反比例函数6个模型证明
反比例函数-ppt课件
读 范围．
27.1 反比例函数
归纳总结
考
点
由于反比例函数表达式中只有一个待定系数 k，因此求
清
单 反比例函数的表达式只需一组对应值或一个条件即可.
解
读
27.1 反比例函数
对点典例剖析
考
点
典例2 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x=-3 时，y=4
清
单 ．
解
读
（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；
重
难
题 反比例函数→表示出组合函数→列方程组求解→写出函数
型 表达式.
突
破
27.1 反比例函数
重 ■题型二 实际问题中的反比例函数模型
难
例 2 某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售，
题
型 设汽车的行驶时间为 t h，平均速度为 v km/h（汽车行驶
突
破 速度不超过 110 km/h）．根据经验，v，t 的部分对应值
（2）求当 x=6 时 y 的值；
（3）求当 y=
时 x 的值.
27.1 反比例函数
［答案］解：（1）设 y 与 x 之间的函数表达式为 y=
考
点
清 （k≠0），把 x=-3，y=4 代入，得 k=-3×4=-12，∴y 与
单
解
读 x 之间的函数表达式是 y=- ；
（2）当 x=6 时，y=（3）当 y=
∴y 关于 x 的函数表达式为 y=2（x-1）+
.
��
Hale Waihona Puke =2x-2+27.1 反比例函数
变式衍生1 已知 y=y1-y2，y1与 x 成正比例，y2 与
巧用反比例函数k_的几何意义模型解题
解法探究２０２３年９月下半月㊀㊀㊀巧用反比例函数k 的几何意义模型解题◉重庆市九龙坡区杨家坪中学㊀郑天顺㊀㊀在数学解题教学中,教师既要讲解解题思路,更要培养学生的数学思想㊁模型意识㊁几何直观理念,让学生学会利用数学模型解决数学问题．本文中将对反比例函数k 的几何意义模型解题进行简要分析．１利用反比例函数面积不变性模型解题反比例函数面积不变性指的是过反比例函数图象上的任意一点分别作x 轴与y 轴的垂线,它们与坐标轴形成的矩形面积为定值|k |(如图１所示),即S 矩形A B E O ＝S 矩形D O F C ＝|k |．图１㊀㊀㊀图２如图２,过双曲线上任意一点分别作x 轴与y 轴的垂线,则连接该点㊁垂足与坐标原点所构成的三角形面积始终为|k |２,即S әA B O ＝S әC O D ＝k２．２利用反比例函数面积公式模型解题反比例函数面积公式模型指的是过反比例函数图象上的任意两点与坐标原点相连形成的三角形与过这两点分别作x 轴的垂线所形成的梯形面积相等．简单来说,即A ,B 是反比例函数y ＝kx图象上的任意两点,则S ΔA B O ＝S 梯形A MN B(如图３所示)．图３㊀㊀图４例１㊀如图４,在平面直角坐标系x O y 中,点A ,B ,C 为反比例函数y ＝kx(k ＞０)上不同的三点,连接O A ,O B ,O C ,过点A 作A D 垂直y 轴于点D ,过点B ,C 分别作B E ,C F 垂直x 轴于点E ,F ,O C 与B E 相交于点M ,记әA O D ㊁әB O M ㊁四边形C M E F 的面积分别为S １,S ２,S ３,则(㊀㊀)．A．S １＝S ２＋S ３㊀㊀㊀㊀㊀B ．S ２＝S ３C ．S １＜S ２＜S ３D．S １S ２＜S ２３分析:由模型１和模型２的结论,可知S １＝１２k ＝S әB O E ＝S әC O F ．由S әB O E －S әO M E ＝S әC O F －S әO M E ,得S ２＝S ３．所以S ２＝S ３＜S １．故选答案:B ．３利用反比例函数平行性质模型解题反比例函数平行性质模型指的是过反比例函数图象上的任意两点分别作x 轴与y 轴的垂线,如图５,则A B 与MN 一直保持平行关系,即A B //MN ．反比例函数平行性质模型可有效解决位置㊁面积等方面的问题．图５㊀㊀图６例２㊀如图６,直线y ＝k x ＋b 分别与x 轴㊁y 轴相交于点C ,D ,与反比例函数y ＝２x(x ＞０)的图象相交于点A (１,３)与点B (３２,２),过点A 作A M 垂直y 轴于点M ,过点B 作B N 垂直x 轴于点N ,连接MN ,O A 与O B ．以下结论:①әA D M ɸәC B N ;②MN //A B ;③S әA O D ＝S әB O C ;④四边形D MN B 与四边形MN C A 的周长相等．其中正确的结论个数为(㊀㊀)．A．１㊀㊀㊀B ．２㊀㊀㊀C ．３㊀㊀㊀D．４分析:结论①,从反比例函数的平行性质模型来看,四边形DMN B 与四边形AMN C 均为平行四边形,所以B D ＝NM ＝A C ,AM ＝C N ,所以A D ＝B C ．又øAMD ＝øB N C ＝９０ʎ,所以ΔAMD ɸәC N B ,故①正确．结论②,从平行性质模型来看显然正确．结论③,过点O 作C D 的垂线,әA O D 与әB O C 等底同高,面积相同．结论④,四边形DMN B 与四边形MN C A 只能确定一组对边相等,故周长并不一定相等．故选答案:C ．２８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年９月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀４利用反比例函数等线段性质模型解题反比例函数等线段性质模型指的是过反比例函数图象上的任意两点作直线,并使这条直线与坐标轴相交,若设相交点分别为M ,N ,则AM ＝B N (如图７与图８)．图７㊀㊀图８图９例３㊀如图９所示,P 是反比例函数y ＝２x(x ＞０)图象上的某一点,过点P 分别作x 轴与y 轴的平行线,与y 轴㊁x 轴交于点D ,E ,且这两条平行线与经过点(２,５)的双曲线y ＝kx(x ＞０,k ʂ０)交于点A 和点B ,连接A B ．(１)求k 的值;(２)连接O A 与O B ,若点P 的横坐标是２,求әA O B 的实际面积;(３)若直线A B 与x 轴交于点M ,与y 轴交于点N ,试证明AM ＝B N ．分析:(１)显然k ＝１０．(２)过点A 作x 轴的垂线,垂足为F ．过点B 作y 轴的垂线,垂足为G ．点P 的坐标为(２,１)．由反比例函数面积不变性模型知,S әA O F 与S әB O E 的面积都是５．从反比例函数的面积公式来看,S әA O B 与S 梯形B E F A 的面积是相等的,且面积为１２(１＋５)(１０－２)＝２４．(３)过点B 作y 轴的垂线,垂足为G ,设点P (m ,２m )(m ＞０),则点A (５m ,２m ),点B (m ,１０m)．易得直线A B 的表达式为y ＝－２m２x ＋１２m ,可得M (６m ,０),N (０,１２m )．因此,O M ＝６m ,O N ＝１２m．所以N G ＝２m ,F M ＝m ,N G ＝A F ＝２m,G B ＝F M ＝m ,又øN G B ＝øA F M ＝９０ʎ,则әN G B ɸәA F M ,所以AM ＝B N ．本题第(３)问还可以先求证S әN O B ＝S әA O M ,再利用等高证明AM ＝B N ,或在R t әN G B 与R t әA F M 中利用勾股定理进行求解,从而论证AM ＝B N ．５利用反比例函数之同侧双曲模型解题在反比例函数同侧双曲模型当中,如图１０和图１１,反比例函数y ＝k １x(x ＞０)图象上有一点A ,且反比例函数y ＝k ２x(x ＞０)(k １,k ２＞０)图象上有一点B ．(１)若直线A B 与x 轴或y 轴平行,则S 矩形A B N P ＝|k １－k ２|．图１０㊀㊀图１１(２)若直线A B 与x 轴或y 轴平行,如图１２和图１３,则S әA B O ＝S әA B P ＝|k １－k ２|２．图１２㊀㊀图１３６利用反比例函数之异侧双曲模型解题在反比例函数之异侧双曲模型中,若反比例函数y ＝k １x (x ＞０,k １＞０)图象上有一点A ,且反比例函数图象y ＝k ２x (x ＜０,k ２＜０)图象上有一点B ．(１)若A B 与x 轴或y 轴平行(如图１５),则S ΔA B O ＝S әA B P ＝|k １|＋|k ２|２．图１５㊀图１６(２)若线段A B 的中点M 在y 轴上,如图１６,则S әA B O ＝|k １|＋|k ２|２．在数学教学过程中,需注重学生解题思维㊁创新意识的培养,提高学生应用数学模型的能力．反比例函数k 的几何意义模型有很多,如面积不变性模型㊁面积公式模型㊁平行性质模型等,在解决数学问题的过程中,让学生了解各种模型的应用方法,从而提高解决问题的能力．Z３８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
反比例函数常见生物模型
反比例函数常见生物模型反比例函数是数学中常见的一类函数，也可以在生物学中找到许多与之相关的模型。
本文将介绍一些常见的反比例函数生物模型。
1. 鸟繁殖模型在某些鸟类中，繁殖成功率与繁殖对手数量成反比例关系。
这是由于资源（如食物、空间等）的有限性导致的。
当繁殖对手数量较少时，每个鸟类个体能够获得更多的资源，繁殖成功率也会更高；而当繁殖对手数量增多时，资源分配变得有限，导致繁殖成功率下降。
这种关系可以用反比例函数来描述。
2. 病毒传播模型在传染病学中，病毒的传播速度常常与宿主密度成反比例关系。
当宿主密度低时，病毒传播速度较慢；而当宿主密度增加时，病毒传播速度加快。
这是因为宿主密度越高，病毒传播的机会也越多，导致传播速度增加。
这种关系可以用反比例函数来描述。
3. 生物种群模型在生态学中，生物种群的增长率常常与种群密度成反比例关系。
当种群密度较低时，个体之间的竞争较弱，导致种群增长速度较快；而当种群密度增加时，个体之间的竞争加剧，导致种群增长速度减慢。
这种关系可以用反比例函数来描述。
总结：反比例函数在生物学中有许多应用，如鸟繁殖模型、病毒传播模型和生物种群模型等。
这些模型能帮助我们理解生物之间的关系以及随着环境变化引起的影响。
使用反比例函数来描述这些生物模型有助于我们解释和预测生物行为和生态变化。
注意：- 本文介绍反比例函数常见的生物模型，包括鸟繁殖模型、病毒传播模型和生物种群模型。
- 在每个模型中，都解释了反比例函数与所描述生物模型之间的关系，包括资源分配、传播速度和种群增长率等。
- 文章最后强调了反比例函数在生物学中的重要性，以及如何运用这些模型来解释生物行为和生态变化。
反比例函数常见社会模型
反比例函数常见社会模型
概述
反比例函数是一种常见的函数模型，它描述了两个变量之间的相反比例关系。
在社会科学中，反比例函数常被用来分析和预测一些社会模型。
本文将介绍一些常见的反比例函数社会模型。
1. 人口增长模型
人口增长模型是社会科学中应用反比例函数的典型例子之一。
反比例函数可以描述人口增长与人口稠密度之间的关系。
随着人口稠密度增加，资源利用率变高，导致人口增长率下降。
这种模型在城市规划、环境保护等领域中具有重要的应用价值。
2. 教育资源配置模型
教育资源配置模型是另一个应用反比例函数的社会模型。
该模型用于分配有限的教育资源，以实现公平和效率。
根据反比例函数的特性，资源将更倾向于投入到资源匮乏的地区，以提高整体的教育水平。
3. 税收与经济发展模型
税收与经济发展模型也可以使用反比例函数进行建模。
这种模
型可以描述税收与经济发展之间的关系。
随着经济的发展，税收往
往会增加，但增长速度会相对减缓。
这是因为随着经济规模的扩大，税收增长所带来的负担也会逐渐增加。
4. 社会服务分配模型
反比例函数在社会服务分配模型中也有应用。
例如，医疗资源
可以根据人口密度进行合理的分配。
使用反比例函数，可以根据需
求和资源的匹配程度来确定资源分配的合理性，以确保社会公平。
结论
反比例函数在社会科学中具有广泛的应用。
通过理解和应用这
些反比例函数社会模型，我们可以更好地分析和解决一些社会问题。
这些模型可以帮助我们做出更明智的决策，实现社会的可持续发展。
反比例函数与几何的重要结论与证明.doc
反比例函数与几何的重要结论与证明
反比例函数与几何综合的处理思路 1. 从关键点入手．通过关键点坐标和横平竖直线段长的互相转化，可将函数特征与几何特征综合在一起进行研究．2. 对函数特征和几何特征进行转化、组合，列方程求解．若借助反比例函数模型，能快速将函数特征转化为几何特征．与反比例函数相关的几个模型，在解题时可以考虑调用．
反比例与面积问题
线段等量关系
平行关系
证明１
由反比例函数的几何性质有SΔOAD=SΔOCB
SΔOCD=SOBCD-SΔOBC=SOBCD-SOAD=S梯形ABCD 证明２
辅助线是关键
分别过Ｂ、Ｃ两点，作x、y轴垂线，连接ＢＥ和ＣＦ因为ＢＦ平行于Ｙ轴，所以ＳΔＢＥＦ＝ＳΔＢＦＯ（同底等高）
同理ＣＥ平行于Ｘ轴，所以ＳΔＥＦＣ＝ＳΔＥＣＯ（同底等高）
故ＳΔＥＦＢ＝ＳΔＥＦＣ得到ＥＦ平行于ＡＤ四边形ＡＢＦＥ和ＣＤＦＥ都为平行四边形（两组对边
平行）
所以ＡＢ＝ＣＤ
一样的证明思路
过A、D分别作ＸＹ轴的垂线，连接ＡＦ、ＤＥ
SΔDFE=SΔDFO SΔAFE=SΔAEO (同底等高）
所以ＳΔＥＦＡ＝ＳΔＥＦＤ所以得到ＥＦ平行于ＡＤ四边形ＥＦＢＡ和ＥＦＤＣ都是平行四边形
所以ＡＢ＝ＣＤ
证明３
同理可得
同样运用同底等高可以证明，相信你也可以的！
以上重要结论在题目中如果能直接使用则可以大大提升做题速度,后面证明中作辅助线的方法在某些大题中可以提供思路和线索.对于一些反比例相关的压轴题还是比较有用的.。
万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题
万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题万能解题模型(一)：反比例函数中的面积问题类型1：单支双曲线上一点一垂直形成的三角形的面积设单支双曲线方程为 $y=\frac{k}{x}$，点$A(x_1,y_1)$ 为单支双曲线上的一点，点 $P(x_1,0)$ 为$A$ 点向 $x$ 轴作垂线段的底部交点，则 $\triangle AOP$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}x_1y_1$，同时 $\triangle ABC$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}x_1\cdot\frac{k}{x_1}=\frac{1}{2}k$，因此$\triangle AOP$ 和 $\triangle ABC$ 面积的比值为$\frac{S_{\triangle AOP}}{S_{\triangleABC}}=\frac{\frac{1}{2}x_1y_1}{\frac{1}{2}k}=\frac{y_1}{k} $，即 $S_{\triangle AOP}=|k|\cdot S_{\triangle ABC}$。
类型2：单支双曲线上一点两垂直形成的矩形面积设单支双曲线方程为 $y=\frac{k}{x}$，点$P(x_1,y_1)$ 为单支双曲线上的一点，$AC$ 和 $DE$ 分别为$P$ 点向 $x$ 轴和 $y$ 轴作垂线段的线段，$B$ 点为 $AC$ 和$DE$ 的交点，则四边形 $PMON$ 的面积为 $S=|x_1y_1|$，同时四边形 $ACDE$ 的面积为$S=\frac{1}{2}|x_1|\cdot|y_1|=\frac{1}{2}S_{\square PMON}$，因此四边形 $PMON$ 和四边形 $ACDE$ 面积的比值为$\frac{S_{\square PMON}}{S_{\squareACDE}}=\frac{2S}{|x_1|\cdot|y_1|}=2|k|$，即 $S_{\square PMON}=|k|\cdot S_{\square ACDE}$。
反比例函数建立反比例函数模型教学课件ppt
05
教学总结
教学内容的反思与总结
教学内容
本节课主要介绍了如何建立反比例函数模型，包 括反比例函数的概念、性质、应用等方面。
重点与难点
重点在于理解反比例函数的概念和性质，难点在 于应用反比例函数解决实际问题。
教学方法
采用了实例教学、探究学习和合作学习等多种方 法，帮助学生深入理解反比例函数的知识点。
总结词：灵活运用
题目：已知函数 y=k/x，当x=4时， y=3，求函数在x=2 处的值。
解答：因为函数为 y=k/x，当x=4时， y=3，代入得k=12， 所以函数为y=12/x， 当x=2时，y=6。
题目：已知函数 y=ax+b/x，当x=2 时，y=5，当x=4时 ，y=3，求a、b的值 。
下一步教学计划与安排
巩固基础
根据学生的实际情况，制定针对性的练习和作业，帮助学生巩固 所学知识点。
拓展提高
选取一些有代表性的例题，引导学生进行探究学习，提高学生的 思维能力和解题能力。
合作探究
组织学生进行小组合作学习和讨论，加强学生的合作意识和探究 能力，同时培养学生的团队协作精神。
06
习题解答
资源分配问题
02
利用反比例函数模型，可以研究资源分配与产出的关系，为优
化资源配置提供解决方案。
工程预算问题
03
通过反比例函数模型，可以分析工程预算与完成时间之间的关
系，为工程预算和进度的合理安排提供指导。
应用案例解析
电费计费问题
建立一个反比例函数模型，根据用电量和电费单价计算电费金额，实现电费的快 速、准确计费。
$x = \frac{k}{y}$
反比例函数的图像
一文搞定反比例函数7个模型,13类题型
反比例函数是高中数学中的重要内容，也是考试中经常出现的题型之一。
掌握反比例函数的基本概念和解题方法对于提高数学成绩至关重要。
本文将通过七个模型和十三类题型，帮助读者全面了解并掌握反比例函数的相关知识。
一、反比例函数的基本概念1. 反比例函数的定义反比例函数是一种特殊的二元一次函数，其函数关系可以表示为y=k/x，其中k为比例系数。
当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。
反比例函数的图像呈现出一条经过原点的曲线，并且不过原点，是一对对称的点。
2. 反比例函数的特点反比例函数的图像呈现出一种特殊的“反比例”关系，即x与y成反比。
在实际问题中，反比例函数常常用来描述一种随着某个变量的增大而导致另一个变量的减小，或者随着某个变量的减小而导致另一个变量的增大的情况。
二、反比例函数的模型分析1. 比例系数为正数的反比例函数模型当比例系数k大于0时，反比例函数的图像为一条经过第一象限和第三象限的曲线，随着x的增大，y的值减小；随着x的减小，y的值增大。
2. 比例系数为负数的反比例函数模型当比例系数k小于0时，反比例函数的图像为一条经过第二象限和第四象限的曲线，随着x的增大，y的值增大；随着x的减小，y的值减小。
3. 比例系数为零的反比例函数模型当比例系数k等于0时，函数变为y=0，即y始终为0，这时反比例函数的图像为一条水平直线。
4. 比例系数为整数的反比例函数模型当比例系数k为整数时，反比例函数的图像呈现出一种更为规律的变化规律，可以通过整数的变化来探究x和y之间的反比关系。
5. 比例系数为分数的反比例函数模型当比例系数k为分数时，反比例函数的图像表现出更为复杂的变化规律，需要通过分数的变化来揭示x和y之间的反比关系。
6. 反比例函数的图像变换反比例函数的图像可以通过平移、缩放、翻转等变换来形成新的图像，这些变换对于理解反比例函数的性质和特点非常重要。
7. 反比例函数的应用举例反比例函数在日常生活中有很多应用，比如收费问题、速度与时间问题、密度与体积问题等等。
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反比例函数6个模型证明
反比例函数是一种数学模型，可以用来描述两个变量之间的关系。
反比例函数的一般形式是 y = k/x，其中 k 是常数，表示两个变量之间的比例因子。
1. 水缸填水速度和填充时间：当水缸填水速度增加时，填充时间减少。
填充时间与填水速度成反比例关系，可以用反比例函数模型来描述。
2. 人口密度和土地面积：人口密度是指单位面积内的人口数量。
当土地面积固定时，人口密度与土地面积成反比例关系。
可以用反比例函数模型来描述不同土地面积下的人口密度。
3. 电阻值和电流强度：根据欧姆定律，电阻值与电流强度成反比例关系。
当电流强度增加时，电阻值减小。
可以用反比例函数模型来描述电阻值与电流强度之间的关系。
4. 速度和旅行时间：当旅行时间固定时，速度与旅行距离成反比例关系。
旅行速度越快，旅行距离相应地减小，可以使用反比例函数模型来描述这种关系。
5. 工人数量和任务完成时间：假设一项任务需要完成固定的工作量，当工人数量增加时，任务完成时间减少。
工人数量与任务完成时间成反比例关系，可以用反比例函数模型来描述。
6. 阻尼力和物体振幅：在振动系统中，阻尼力与振幅成反比例关系。
阻尼力越大，振幅相应减小。
可以使用反比例函数模型来描述阻尼力与物体振幅之间的关系。
总之，反比例函数可以用来描述许多现实生活中的关系，并且在数学建模和解决实际问题中起到了重要作用。