反比例函数、二次函数知识梳理
初中反比例函数与二次函数知识点详解
初中反比例函数与二次函数知识点详解知识点一、反比例函数1、反比例函数的概念一般地，函数xky =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。
自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=xy x y =∙。
k S k xy xky ==∴=,, 。
知识点二、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
知识归纳：二次函数和反比例函数五点通
二次函数和反比例函数五点通二次函数和反比例函数是初中数学的重点、难点，也是中考的热点.学好二次函数和反比例函数，需要把握好如下五点.一、了解二次函数的概念一般地，形如y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数. 说明: (1)a≠0是二次函数定义的组成部分，不能忽视.但b ，c 可以是任意实数，特别地，当b=c=0时，就是y=ax 2.(2)任何一个二次函数都可化为y=ax 2+bx+c 的形式，我们称之为一般式，其特征是:等号右边是关于自变量x 的二次多项式.二、理解二次函数的图象和性质1.二次函数的图象:二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线，它的开口方向和大小是由a 决定的，而位置则是由a ，b ，c 共同决定的.(1) a>0，抛物线开口向上; a<0， 抛物线开口向下.(2)越大，开口越小; 越小，开口越大.(3) c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标.c=0， 抛物线经过原点; c>0， 抛物线与y 轴正半轴相交; c<0， 抛物线与y 轴负半轴相交.2.二次函数的性质:(1) 顶点:二次函数图象的顶点坐标为(ab ac a b 44,22--).当a>0时，顶点为最低点，此时函数有最小值，即当x=ab 2-时，最小值为a b ac 442-; a<0时，顶点为最高点，此时函数有最大值，即当x=ab 2-时，最大值为a b ac 442-. (2)对称性:二次函数的图象是轴对称图形，对称轴x=ab 2-是过顶点且与y 轴平行的直线(b=0时， 对称轴为y 轴).当a ，b 同号时，对称轴在y 轴左侧;当a ，b 异号时，对称轴在y 轴右侧.(3)增减性:①当a>0时，在对称轴的左侧，即x<a b 2-时， y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，即x>ab 2-时， y 随x 的增大而增大;②当a<0时，在对称轴的左侧，即x<a b 2-时， y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，即x>a b 2-时， y 随x 的增大而减小.三、掌握二次函数顶点坐标的求法1.公式法: 先确定出a ，b ，c 的值，再分别将其代入公式ab 2-和a b ac 442-中，计算后即可得到顶点的横、纵坐标.2.配方法:将二次函数关系式经过配方，化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，即可求得顶点坐标为(h ，k).说明:上述两种方法都是确定顶点坐标的常用方法，应根据系数a ，b ，c 的特征灵活选用.四、掌握二次函数关系式的求法求二次函数关系式的基本方法是待定系数法，根据已知条件的不同，常用如下两种形式:(1)一般式:y=ax 2+bx+c;(2)顶点式: y=a(x-h)2+k 来求函数关系式.说明: (1)求二次函数关系式的实质是确定三个系数的值，因此需要三个独立的已知条件. (2)当已知抛物线上任意三点的坐标(或函数的三对对应值)时，可选用一般式;当当已知抛物线的顶点坐标时，常用顶点式.五、反比例函数知识要点1、经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式2、一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y=xk （k 为常数，k 不等于0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数.从y=x k 中可知，x 作为分母，所以不能为零3、画反比例函数图像时要注意以下几点a 列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点b 列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线c 在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线4、反比例函数的性质反比例函数()0≠=k x k y k 的取值范围 0>k 0<k图像性质 ①x 的取值范围是0≠x ，y 的取值范围是0≠y②函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内y 随x 的增大而减小 ①x 的取值范围是0≠x ，y 的取值范围是0≠y ②函数图像的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内y 随x 的增大而增大 注意：1）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；2）双曲线的两个分支都与x 轴、y 轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交；3）在利用图像性质比较函数值的大小时，前提应是“在同一象限”内。
中考数学二次函数基础知识
中考数学二次函数基础知识
二次函数
正比例函数是：y=kx(k≠0) 两个数的商是常数(x/y=k,k≠0)一次函数是：y=kx+b(k≠0)
反比例函数： 两个数的积是常数(xy=k,k≠0)二次函数：y=ax 2+bx+c
1、二次函数y=ax 2+bx+c 一些基本概念①
二次函数是一条关于 x=- 对称的抛物线。
此抛物线有三大特征：有开口方向，有对称轴，有顶点。
考点一、 二次函数的概念
a
b
2
考点五、二次函数的解析式的几种应用例1
例2例3
解法1用一般式方法，由于顶点D点的横坐标为-1，所以是以 x=- = -1为对称轴的
解法2知道顶点和交点就可利用顶点式方法：再把BC点代入
a
b
2
解法
知道和x轴的两个交点，可直接用交点式方法：
3
解析：由于抛物线是以D为顶点（-1，？）为对称轴的，又和x轴交于两点AB,因为B点坐标是（-3，0），就可推出A的坐标是（1，0）
例4知道最值和对称轴，可直接用顶点法。
一次函数,二次函数,反比例函数性质总结
一次函数、二次函数、反比例函数性质总结1.一次函数一次函数)0(≠+=k b kx y ,当0=x 时,得到的y 的值也即b 叫做图象与坐标轴的纵截距,当0=y 时,得到的x 的值,叫做图象与坐标轴的横截距。
(1)当0=b 时,一次函数的解析式变为)0(≠=k kx y ,也称为正比例函数,此函数图象恒过原点)0,0(O ,且横,纵截距都为0。
且0>k 时,函数图象过一、三象限,0>k 时,图象过二、四象限。
② k (≠a )+∞（1）当0,0==c b 时,函数的解析式变为)0(2≠=a ax y ,则 ①0>a 时 ②0<a 时（2）b a ,决定二次函数的对称轴与开口方向②0,0,0=<>c b a 时③ 0,0,0=><c b a 时 ④ 0,0,0=<<c b a 时（3）c a ,决定开口方向与与y 轴的截距①0,0,0=>>b c a 时 ②a③0,0,0=>b c a 时 ④0,0,0=<<b c a 时y yOxx yOOyyOxxxxy y OOx xOOy（3）对于一般的二次函数,c b a ,,共同来决定其函数图像与性质,故通常采用配方的方法 )0(2≠++=a c bx ax y c aba b x a b x a c x a b x a +-++=++=))2()2(()(2222 c a b a b x a +-+=]4)2[(222=c a b a b x a +-+4)2(22 =ab ac a b x a 44)2(22-++ 我们称abx 2-=为二次函数的对称轴,坐标)44,2(2a b ac a b --为二次函数的顶点坐标,此时我们也称其解析式为二次函数的顶点式,并可设其解析式为)0()(2≠+-=a k h x a y 。
若知道二次函数与x 轴的两个交点坐标,可设其解析式为)0)()((21≠--=a x x x x a y 。
反比例、三角、二次函数精讲
专题：反比例函数、二次函数、三角函数一. 【重点、难点】这三部分涉及的知识非常灵活，学生掌握起来特别困难。
在这里建议大家在复习中注意以下几点： 1. 深入理解概念。
反比例函数和二次函数都有自己的一般形式。
它们都有较灵活的变形。
如反比例函数y k x=可写成y ＝kx －1的形式，二次函数除了一般形式外，还可有顶点式、交点式，在具体的题目中，应用起来也很方便。
研究三角函数的前提是在直角三角形中，正弦、余弦、正切的概念必须记牢，才能在计算中灵活应用。
2. 注意数形结合，函数之所以被大部分同学认为较难，是函数可以从“数”和“形”两个方面进行研究，有的题目给出的“数”的形式，让你找到“形”的变化。
当然，有的题目反之，如果同学们不能使“数”和“形”两方面顺利地相互转化，自然驾驭不了知识。
【二次函数的知识点】1、解析式：（1）一般式： ____________________（2）顶点式：____________________，此时二次函数的顶点坐标为__________（3）交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）其中x 1、x 2是二次函数与___轴的两个交点的___坐标，此时二次函数的对称轴为直线______________；2、二次函数的图象与性质：3、 ①二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）与X 轴只有一个交点或顶点在X 轴上，则 ___________；②二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在Y 轴上或图象关于Y 轴对称，则_________； ③二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则_________；【反比例函数的知识点】1、反比例函数x k y =（k≠0）的图象称为_________,既是轴对称图形，也是中心对称图形.2、反比例函数的图像与性质：3、k 的几何意义二、【例题分析】 例1. 如图,O 为坐标原点，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标是（-1，0）点C 的坐标为（0，－3），且BO ＝CO（1）求出B 点坐标和这个二次函数的解析式； （2）求△ABC 的面积。
二次函数和反比例函数的知识点
二次函数知识点1：二次函数的概念形如y=ax2＋bx＋c (a≠0, a,b,c是常数)的函数叫做二次函数．知识点2：在理解二次函数的定义时，应注意下述问题：(1) 在解析式中最高项是ax2项且系数a≠0，而b，c可以不为零，也可以为零。
(2) 自变量x的取值范围是任何实数．(3) 如果a=0，则该函数一定不是二次函数，但不一定是一次函数，如果a=0，b≠0才是一次函数。
知识点3：用二次函数描述有关实际问题中的变量间的关系在实际生活中，变化规律，解决实际问题，如何建立实际问题中的二次函数关系式（1）审清题意，找出实际问题中的已知量（定量），未知量（变量）并分析它们之间的关系，将文字或图形语言转化为数学符号语言．（2）建立函数关系式，根据前面的思考和分析，得到函数关系，即用自变量解析式来表示函数，并判断它是否为二次函数．(3) 确定函数的定义域，在实际问题中，变量都有一定的实际意义，要受到一定的条件限制，所以在求出二次函数解析式时，还要指明它的定义域．知识点4：二次函数的画法：（1）先列表；（2）描点，（3）连线．2函数开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大(小)值y=ax2 a＞向上(0,0) y轴x＞0时，y随x增大而增大x＜0时，y随x增大而减小当x=0时，y最大=0y=ax2 a＜向下(0,0) y轴x＞0时，y随x增大而减小x＜0时，y随x增大而增大当x=0时y最大=0知识点6：.二次函数y=ax2＋k的图象二次函数y=ax2＋k的图象是由函数y=ax2的图象上、下平移得到的，当k＞0时，抛物线y=ax2向上平移︱k︱个单位得到y=ax2＋k的图象；当k＜0时，抛物丝y=ax2向下平移︱k︱个单位得到y=ax2＋k的图象.注意：抛物线y=ax2＋k与抛物丝y=ax2形状完全相同，开口方向相同，对称轴都是y轴，但顶点位置不同，y=ax 2的顶点是（0，0），y=ax 2＋k 的顶点是（0，k ），，顶点在y 轴上. 知识点7：.二次函数y=a （x －h ）2的图象二次函数y=a （x －h ）2的图象可由抛物线y=ax 2向左（或向右）平移而得到，当n ＞0时，抛物线y=ax 2向右平称︱n ︱个单位，得到y=a （x －n ）2的图象；当n ＜0时，抛物线y=ax 2向左平移︱n ︱个单位得到y=a （x －n ）2的图象.注意：抛物线y=a （x －n ）2与抛物线y=ax 2的形状完全相同，开口相同只是在坐标系中的位置不同，抛物线y=a （x －n ）2的对称轴是x=n ，顶点是（n ，0），顶点在x 轴上. 知识点8：.二次函数y=a （x －n ）2＋k 的图象1）二次函数y=a （x －h ）2＋k （a ≠0）与二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象都是抛物线，在a 相等的情况下，形状相同，只是位置不同。
二次函数及反比例函数知识点
二次函数及反比例函数知识点二次函数和反比例函数是初中和高中数学中经常涉及的函数。
它们在数学上有着重要的应用，同时也具有一定的难度。
下面我们来详细介绍二次函数和反比例函数的知识点。
一、二次函数1. 定义：二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数，且a≠0。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
3.二次函数的性质：(1) 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2 + bx + c。
(2)对称轴：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))的直线称为二次函数的对称轴，方程为x=-b/2a。
(3)开口方向：二次函数的开口方向取决于系数a的正负。
(4) 判别式：二次函数ax^2 + bx + c的判别式为Δ = b^2 - 4ac，当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ = 0时，有两个相等的实根；当Δ < 0时，无实根。
4.二次函数的平移：二次函数的横向平移和纵向平移可以通过对函数的自变量和因变量进行平移操作实现。
5.二次函数的解析式：通过给定的定点和顶点坐标，可以确定一条与x轴相交的二次函数。
6.二次函数的应用：二次函数在数学和物理等领域有着广泛的应用，如碰撞问题、抛物线运动等。
二、反比例函数1.定义：反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k为非零实数。
2.变化规律：反比例函数的特点是随着x的增大，y的值会逐渐减小；反之，随着x的减小，y的值会逐渐增大。
3.反比例函数的性质：(1)零点：当x≠0时，y=0称为反比例函数的零点。
(2)渐近线：反比例函数y=k/x的图像有两个渐进线x=0和y=0。
(3)对称性：反比例函数的图象关于坐标轴对称。
(4)奇函数：反比例函数是一个奇函数，满足f(-x)=-f(x)。
二次函数及反比例函数知识点
二次函数及反比例函数知识点二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学建模、物理学、经济学等领域中有广泛应用。
本文将介绍二次函数的定义、性质以及常见的应用，同时也会介绍反比例函数的定义、性质和应用。
二次函数的定义与性质二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的方程，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，当a > 0时，函数图像开口向上，当a < 0时，函数图像开口向下。
b决定了二次函数的对称轴的位置，对称轴的方程为x = -b/(2a)。
c则决定了二次函数的纵坐标平移。
二次函数的图像通常是一个抛物线，根据a、b、c的具体取值，抛物线可以与x轴相切、相交或者没有交点。
当抛物线与x轴相交时，方程的解即为交点的横坐标。
当抛物线有最小值时，最小值的纵坐标为抛物线的顶点。
二次函数还有一些特殊的形式，例如完全平方式和标准形式。
完全平方式的二次函数为y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
标准形式的二次函数为y = a(x - h)(x - k)，其中(h, 0)和(k, 0)为x轴上两个交点的坐标。
二次函数的应用二次函数在现实生活中有很多应用。
其中，最常见的是抛物线的运动轨迹问题。
例如，一个抛物线可以描述一个抛出的物体在经过一段时间后的运动情况。
我们可以利用二次函数来计算物体的高度、速度等信息。
二次函数在经济学中也有广泛应用。
例如，成本函数、收益函数等都可以用二次函数来表示。
这样一方面可以方便计算和优化，另一方面也可以通过分析二次函数的图像来研究经济问题的特性。
反比例函数的定义与性质反比例函数是形如y = k/x的方程，其中k为常数且k ≠ 0。
反比例函数的定义域为除了x = 0以外的所有实数，值域为除了y = 0以外的所有实数。
反比例函数的图像是一条经过原点的双曲线，其特点是随着x的增大而逐渐趋近于x轴，随着x的减小而逐渐趋近于y轴。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
反比例函数
核心知识梳理
1.反比例函数的定义：一般地，形如y=k／x（k是常数，且k≠0）的函数叫做反比例函数.其表达式还可写为y=kxˉ¹（k≠0）或xy=k（k≠0）.对此概念要注意以下几点：①k是常数，且k≠0.②自变量x在分母中的指数为1，如y=3／x²就不是反比例函数.
③自变量x的取值范围是x≠0的全体实数，函数y 的取值范围是y≠0的全体实数。
2.反比例函数的图像：反比例函数y=k／x（k是常数，且k≠0）的图像由两支曲线组成，称为“双曲线”.其图像具有以下特点：①图像的两个分支分别在不同的象限，不能连接起来.②由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。
③图像既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是y=x或y=－x，对称中心为原点.④画反比例函数的图像时，可先画出一个分支，然后根据对称性画出另一分支。
3.反比例函数的性质：当k＞0时，图像的两个分支在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减
小；当k＜0时，图像的两个分支在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
4.反比例函数解析式的确定：由于反比例函数y=k／x只有一个比例系数k，所以只要知道一组x、y的值或图像任意一点的坐标，就可确定反比例函数的解析式，进而解决相关问题。
考点易错点解析
反比例函数是中考的必考内容，题型有选择题、填空题和解答题，其考点主要体现在以下几个方面：①求反比例函数的解析式②领悟反比例函数的意义，确定函数图像的位置③已知函数图像，求参数的值或取值范围，以及函数增减性的确定④利用反比例函数解决有关实际应用问题⑤反比例函数与其他函数、方程（组）、不等式（组）的有关综合问题。
有关本部分内容再解题中应注意以下几点，以避免错误的解答：
1.注意反比例函数y=k／x的表达式成立的限制条
件是k≠0，不要忽视这一点
2.正确区分反比例与反比例函数，避免因混淆相关
概念而出错。
如y与x－2成反比例，并不是指y 是x的反比例函数。
而是指y是x－2的反比例函数
3.在运用函数图像性质判断其增减性时，要注意必
须是在同一象限內进行
4.再利用反比例函数解决实际问题时，要注意自变
量的取值范围，以及某些隐含条件，防止因思考不全面而出错
规律方法总结
应切实掌握以下解题规律及要点：
1.过反比例函数y=k／x的图像上任意一点做
一条坐标轴的垂线，则垂足、已知点和原点这
三点做构成的三角形的面积S=½｜k｜，也即是
k=±2S，若图像在第一、三象限，则k=2S;若
图像在第二、四象限，则k=－2S.
2.已知反比例函数图像上点的横坐标大小，而
要求比较纵坐标大小时，可依据函数的增减性
在同一象限內进行比较
3.反比例函数解析式中比例系数的确定：①可
通过图像上得点的坐标求出②利用图像的性质
来确定③根据有关图形的面积求得④利用反比
函数图像与一次函数图像的交点坐标求出
4.利用反比例函数解决实际问题时。
可仿照列
方程（组）、不等式（组）解应用题那样求解，
但要注意自变量的取值范围应受实际问题条件
的制约。
二次函数
核心知识梳理
1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax²＋bx＋c
（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫作二次函数。
其特例是y=ax²＋bx（c=0），y=ax²＋c（b=0），y=ax²（a=0，b=0）.
2.二次函数的图像与性质：二次函数y=ax²＋bx＋c
的图像是抛物线。
它是轴对称图形，对称轴是x=b ／－2a，顶点坐标是（b／－2a，4ac－b²／4a）.
①当a>0时。
图像开口向上，函数有最小值，在对
称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大②当a<0时，图像开口向下，函数有最大值，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小。
3.二次函数解析式的确定：①一般式：已知函数图
像上三点坐标时，通常设函数解析式为y=ax²＋bx ＋c（a≠0）求解。
②顶点式：已知抛物线顶点坐标为（h，k）或对称轴时，其解析式可设为顶点式y=a（x－x₁）（x－x₂）（a≠0）.
4.二次函数与一元二次方程的关系：①一元二次方
程ax²+bx+c=0的根就是二次函数y=ax²＋bx＋c 的图像与x轴的交点的横坐标②抛物线y=ax²＋bx＋c与x轴的交点个数可以由对应的一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式判定：1）当b²－4ac>0时，一元二次方程有两个不等的实数根，抛物线与x轴有两个交点2）当b²－4ac=0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）3）当b²－4ac<0时，一元二次方程无实数根，抛物线与x轴没有交点。
考点易错点解析
二次函数是中考的重要内容，题型有选择题、填空题和解答题，其考点主要体现在以下几个方面：
1.以选择题和填空题为主考察二次函数的有关概念：
①抛物线的形状②抛物线的平移③抛物线与坐标
轴的交点④抛物线的顶点坐标、对称轴⑤抛物线y =ax²＋bx＋c的解析式中a、b、c之间的相互关系
⑥函数增减性的判定
2.求二次函数的解析式，此类问题的考察频率较高
3.二次函数与一元二次方程之间的关系（如图像与坐
标轴的交点等）
4.利用二次函数解决有关的实际应用问题（最大利
润、最优方案等）
5.二次函数图像与几何图形的综合问题，此类问题综
合性强、区分度明显、思维能力要求高。
因此常作为压轴题出现。
有关本部分内容在解题中应注意以下几点，以避免错误的解答：
1.注意二次函数y=ax²＋bx＋c的限制条件是
a≠0，不要忽视这一点.
2.正确理解二次函数y=ax²＋bx＋c中系数a、b
和常数项c的各自几何意义。
避免因一知半解而出错。
3.求二次函数的最值时，容易不考虑自变量的
取值范围而出错。
要注意只有当抛物线的顶点横坐标在自变量取值范围内时，顶的纵坐标才是函数的最值，否则函数的最值在图像的端点处取得，或者没有最值。
4.在利用二次函数解决实际问题时，注意自变
量的取值应符合实际问题（某些隐含条件）的要求，防止因思考不全面而出错。
5.在有关动态几何问题中，容易对动点运动过
程中所形成的几何图形和函数关系分析考虑不周全（不能进行分类讨论）而出现错误。
规律方法总结
应切实掌握以下解题规律及要点：
1.抛物线y=ax²＋bx＋c的解析式中系数a、b和常数c的各自作用：①a决定开口方向及大小：a＞0时抛物线开口向上，a越大，开口越小；a＜0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小.②b和a共同决定抛物线对称轴的位置：当啊a、b同号时，对称轴在y轴左侧，当a、b异号时，对称轴在y轴右侧；当b=0时，对称轴为y轴，此时抛物线顶点在y轴上③c 决定抛物线与y轴的交点情况：c＞0时，抛物线与y轴的正半轴相交；c＜0时，抛物线与y轴的负半轴相交；c=0时，抛物线过原点，当c=0且b=0时，物线的顶点为原点。
2.将抛物线y=ax²＋bx＋c平移时，根据“上加下减，左加右减”的规律可求得平移后的抛物线解析式。
3.将抛物线y=ax²＋bx＋c进行轴对称变换和旋转变换，其形状都不会发生改变，因此|a|不变，要求变换后的抛物线解析式，只需将原抛物线解析式化为顶点式，再根据具体的变换确定变换后抛物线的顶点坐标和a的符号。
4.抛物线y=ax²＋bx＋c与x轴交点的横坐标x₁、x₂是二次函数y=ax²＋bx＋c的函数值y为0时，所得一元二次方程ax²＋bx＋c=0的两实数根，故有
x₁＋x₂=－b／a，x₁·x₂=c／a，从而可得两交点线段的长度为｜x₁－x₂｜=√（x₁－x₂）²=√(x₁＋x₂)²－4 x₁x₂=√b²－4ac／｜a｜
5.利用二次函数求解实际问题的基本思路是：①理清思路（现实模型）②分析问题中的常量和变量（构建数学模型）③用函数解析式表示出它们之间的关系④利用二次函数的有关性质求解⑤检验所求结果是否符合题意. 在解决这类问题时要特别注意数形结合思想、建模思想等数学思想方法的运用。