学而思七上.第2讲.绝对值几何意义突破

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有理数基本概念及运算

板块一、正数、负数、有理数随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足认知需要了.譬如一些具有相反意义的量，收入300元和支出200元，向东50米和向西30米，零上6C ︒和零下4C ︒等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎么表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数.正数：像3、1、0.33+等的数，叫做正数.在小学学过的数，除0外都是正数.正数都大于0.负数：像1-、 3.12-、175-、2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于0.例题精讲中考要求有理数基本概念及运算0既不是正数，也不是负数.一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号.正数前面的“＋”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数. 用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然. 譬如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为3km -.“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.有理数:按定义整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数.【例1】 ⑴如果收入2000元，可以记作2000+元，那么支出5000元，记为 .⑵高于海平面300米的高度记为海拔300+米，则海拔高度为600-米表示 .⑶某地区5月平均温度为20C ︒，记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+，0，1.4+，3-， 4.7-，那么这5项记录表示的实际温度分别是 .⑷向南走200-米，表示.【例2】珠穆朗玛峰海拔高度为8848米，吐鲁番盆地海拔高度为155-米，则海平面为【例3】下列说法正确的是（）A．a-一定是负数B．一个数不是正数就是负数C．0-是负数D．在正数前面加“-”号，就成了负数【巩固】学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030±(mL)”字样，请问“30mL±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603mL，611mL，589mL，573mL，627mL，问抽查产品的容量是否合格？【例4】下列个数中：1330.70125---，，，，，中负分数有个；负整数有个；自然数有个【例5】检查篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表：_______克.【例6】下列数中，哪些属于负数？哪些属于非正数？属于正分数？哪些属于非负有理数？4.5-，6，0，2.4，π，12-，0.313-，3.14，11-【例7】若a -是负数，则a【例8】 ⑴在下列各数：(2)--，2(2)--，2--，2(2)-，2(2)--中，负数的个数为个．⑵①10a -；②21a --；③a -；④2(1)a -+一定是负数的是（填序号）．【例9】 ⑴下列说法正确的是（）A ．a -表示负有理数B ．一个数的绝对值一定不是负数C ．两个数的和一定大于每个加数D ．绝对值相等的两个有理数相等 ⑵两数相加，其和小于其中一个加数而大于另一个加数，那么（） A ．这两个加数的符号都是正的 B ．这两个加数的符号都是负的 C ．这两个加数的符号不能相同 D ．这两个加数的符号不能确定板块二、倒数【例10】（2010朝阳二模）6的倒数是（）A ．6-B ．16± C ．61- D ．61【例11】（2010东城二模）5-的倒数是（）A ．-5B ．5C ．15- D ．15【例12】（2010房山二模）4-的倒数是（） A. 4 B. -4 C. 14-D. 14【例13】 (2010宣武二模)7-的倒数为（）A.7B.17C.17- D.7-【例14】（2级）（2010顺义二模）5的倒数是（）A ．5-B ．15C D ．5【例15】（2010西城二模）2010-的倒数是（） A. 2010 B. 20101- C. 20101D. －2010【例16】一个数的倒数是它本身，则这个数一定是【例17】有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20022003a b +=【例18】若0a b +=，c 和d 互为倒数，m 的绝对值为2，求代数式2a bm cd a b c++-+-的值【例19】在一列数123...a a a ，，中，已知112a =-，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”⑴ 求234a a a ，，的值 ⑵ 根据以上计算结果，求202007a a ，的值板块三数轴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.注意：⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变. ⑶数轴的画法及常见错误分析 ①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点： ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π. 利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.【例20】如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_________.【例21】数轴上有一点A 它表示的有理数是3-，将点A 向左移动3个单位得到点B ，再向右移动8个单位，得到点C ，则点B 表示的数是，点C 表示的数是．【巩固】如右图所示，数轴上的点M 和N 分别对应有理数m 、n ，那么以下结论正确的是( )A .0m <，0n <，m n >B .0m <，0n >，m n >MC .0m >，0n >，m n <D .0m <，0n >，m n <【例22】数a b c d ，，，所对应的点A B C D ，，，在数轴上的位置如图所示，那么a c +与b d+的大小关系为（）A.a c b d +<+B.a c b d +=+C.a c b d +>+D.不确定的【巩固】如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A B C D ，，，对应的数分别为整数a b c d ，，，，并且29b a -=，那么数轴的原点对应点为（） A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点【巩固】在数轴上，下面说法中不正确的是( )． A ．两个正数，小的离原点 B ．两个有理数，大数对应的点在右边 C ．两个负数，较大的数对应的点离原点近 D ．两个有理数，大的离原点较远【例23】 ⑴数轴上点A 对应的数为3-，那么与A 相距1个长度的点B 所对应的数是_________.⑵数轴上的点A 、B 分别表示数3-和2，点C 是A 、B 的中点，则点C 所表示的数是_________.⑶一个点从数轴的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，则终点表示的数是_________.【巩固】数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数是 _________.【巩固】数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米时，有一条2米长的线段放在数轴上它可以盖住多少个整数点？【巩固】已知数轴上有A B，两点，A B，之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么点B所对应的数为【例24】一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向前走了1.5km到达小颖家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市⑴以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置⑵小明家距离小彬家多远？⑶货车一共行驶了多少千米？【例25】初一（4）班在一次联欢活动中，把全班分成5个队参加活动，游戏结束后，5个队的得分如下：A队：-50分；B队：150分；C队：-300分；D队：0分；E队：100分．⑴将5个队按由低分到高分的顺序排序；⑵把每个队的得分标在数轴上，并将代表该队的字母标上；⑶从数轴上看A队与B队相差多少分？C队与E队呢？【巩固】在数轴上，点A和点B都在与154对应的点上，若点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，点B以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A和点B 所处的位置对应的数是什么？这时线段AB的长度是多少？【例26】在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为【巩固】数轴上表示整数的点称为整点。

第二节二元一次方程组的解法(含答案)...七年级数学学而思

第二节二元一次方程组的解法1．二元一次方程组的解法基本思路是消元，即通过运用代入法或加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解． (1)代入消元法：通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法．代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数例如y，用含另一个未知数如x的代数式表示出来；②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．(2)加减消元法：加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一．加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其它方程（组）经常用到的方法．加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数；②加减消元：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求得未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，需要把求得的x，y的值用“{”联立起来．2．特殊方程组的解法对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错，则可根据题目的特点，利用整体思想来采用特殊方法简化方程组，接着再采用代入或加减消元法解出相应x，y的值即可．(1)系数轮换法：适用方程组类型：如果把方程组中的每一个未知数依次轮换后，虽然每个方程都变了，但是整个方程组仍不变，步骤：解题时，把各方程相加，即可得到x+ y=常数的形式，把各方程相减，即可得到x- y=常数的形式，这两个新的方程组成的方程组就是原方程组化简后的结果，便可以采用加减或代入消元法求得未知数的值．(2)换元法：适用方程组类型：方程组项数较多、系数较为复杂，而且会有相同的部分或者是互为相反数的部分多次出现；步骤：解题时，把方程中相同的部分或者是互为相反数的部分看成是一个整体，用另一个字母来替换，从而简化原先项数多、系数复杂的方程组，再采用常规的加减或者代入消元法来求得未知数的值．(3)倒数法：适合方程组类型：方程中出现分母是和的形式，分子是积的形式⋅+yx xy步骤：解题时，采用倒数法变换成分子是和、分母是积的形式,xyyx +然后进行拆分，利用加减或者代入或者换元法来解出x ，y 的值．1．代入消元方法的选择①运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0=0”的形式，求不出未知数的值；②当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或一1时，用代入法较简便． 2．加减消元方法的选择①一般选择系数绝对值最小的未知数消元；②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；③某一未知数系数成倍数关系时，直接使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解；④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同的方程，再用加减消元求解，例1．如果关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-=+223a y x y x 的解是负数，则a 的取值范围是( )54.<<-a A 5.>a B 4.-<a C D ．无解检测1．（浙江绍兴期末）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-=-,52253a y x ay x 若x ，y 的值互为相反数，则a 的值为( )5.-A 5.B 20.-C 20.D例2．（四川南江县期末）已知,0)112(|32|2=+++--y x y x 则（）⎩⎨⎧==12.y x A ⎩⎨⎧-==30.y x B ⎩⎨⎧-=-=51.y x C ⎩⎨⎧-=-=72.y x D检测2．（山东滨州期末）已知,0|72|)12(2=-++--y x y x 则=-y x 3（）3.A 1.B 6.-C 8.D例3．（湖北黄冈期末）若y x h y xb a ba -+--332243是同类项，则b a -的值是（）0.A 1.B 2.C 3.D检测3．若y x nm +243与n m y x -5是同类项，则m ．n 的值分别是( ) 3,2.A 1,2.B 0,2.C 2,1.D例4．（湖南衡阳县一模）解方程组：⎩⎨⎧=+=+,604320122016604120162012y x y x 则yx yx -+值是3.A 3.-B 6.C 6.-D检测4．(1)（江苏海门市期末）如果实数x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,4222y x y x 那么=+y x(2)（安徽泗县校级模拟）关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+-=+22132y x k y x 的解满足y x +,1=则k=例5．（河北古冶区一模）已知a ，b 满足方程组⎩⎨⎧=-=+,283b a b a 则=+b a2.A3.B4.C5.D检测5．(1)（河北模拟）已知e 、f 满足方程组⎩⎨⎧=-=--,6223e f f e 则f e +2的值为（）2.A 4.B 6.C 8.D(2)（广东广州中考）已知a ．b 满足方程组⎩⎨⎧=-=+,43125b a b a 则b a +的值为第二节二元一次方程组的解法（建议用时：35分钟）实战演练1．用加减法解方程组⎩⎨⎧-=-=+15y x y x 中，消x 用法，消y 用法( )A.加，加 B ．加，减 C ．减，加 D ．减，减2．若用代入法解方程组⎩⎨⎧+==,12332y x yx 以下各式代入正确的是( )1)32(23.+=x x A 1)32(23.+=y x B1)23(23.+=x x C 1623.+⋅=x x x D3．若,0|52||12|=--+--y x y x 则x+y 的值为( )4.A5.B6.C7.D4．已知：|32|++y x 与2)2(y x +互为相反数，则=-y x （）7.A 5.B 3.C 1.D5．（山东临清市期末）已知方程组⎩⎨⎧=+=-my x y x 24中x ，y 相加为0，则m 的值为（）2.A 2.-B 0.C 4.D6．（河北石家庄校级模拟）若方程组⎩⎨⎧=++=+my x m y x 32253的解x 与y 互为相反数，则m 的值为（）2.-A 0.B 2.C 4.D7．若方程组⎩⎨⎧=+=+16156653y x y x &的解也是方程103=+ky x 的解，则（）6.=k A 10.=k B 9.=k C 101.=k D 8．若3243y x b a +与ba y x -634的和是单项式，则=+b a （） 3.-A 0.B 3.C 6.D9．按如图8 -2—1所示的运算程序，能使输出结果为3的x ，y 的值是( )128--2,5.-==y x A ⋅-==3,3.y x B 2,.4.=-=y x C 9,3.-=-=y x D10.（山东临沂中考）已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,4252y x y x 则y x -的值为（）⎩⎨⎧==12.11y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+04by ax by ax 的解，那么=+-))((b a b a 12.已知方程组⎩⎨⎧-=+=-123225m y x my x 的解x ，y 互为相反数，则m=13.（江苏常州期末）若关于x ，y ，的二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=+22132y x a y x 的解满足x+ y=l ，则a 的值为14.三个同学对问题“若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解是⎩⎨⎧==,43y x 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222111523523c y b x a c y b x a 的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”，参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是．15.（“信利杯”竞赛题）已知：a ，b ，c 三个数满足,31=+b a ab ,41=+c b bc ,51=+a c ca 则ca bc ab abc++的值为 16.（重庆校级自主招生）解方程组：⎩⎨⎧=+=+200320042005200620052004y x y x17.解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+-421621y x y x18．已知方程组⎩⎨⎧+=---=+ay x ay x 317的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围； (2)化简.|2||3|++-a a19.（江苏张家港市期末）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧+=+=+12242m y x my x （实数m 是常数）．(1)若x+y=1，求实数m 的值；(2)若,51≤-≤-y x 求m 的取值范围； (3)在(2)的条件下，化简：.|32||2|-++m m20.（黑龙江讷河市校级期末）已知二元一次方程组⎩⎨⎧+=-+=+1593a y x a y x 的解x ，y 均是正数．(1)求a 的取值范围； (2)化简.|4||54|--+a a拓展创新21．解方程组：⎩⎨⎧==+44y -3x 23y x 2拓展1．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+443232y x y x 拓展2．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+41432132x y xy x y xy极限挑战22.（全国初中数学竞赛）若,0634=--z y x ),0(072=/=-+xyz z y x 则式子222222103225z y x z y x ---+的值等于( )21.-A219.-B 15.-C 13.-D课堂答案培优答案。

十五次课学完初一上学期数学(1—5)讲义

十五次课学完初一上学期数学(人教版)讲义有理数的基本概念（上）板块一有理数基本概念【知识导航】正数：像3、1、+0.33 等的数，叫做正数。

在小学学过的数，除0外都是正数。

正数都大于0。

负数：像-1、-3.12、-17、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负5数。

负数都小于0。

0既不是正数，也不是负数。

如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。

如：南为正方向，向南1km表示为+1km，那么向北3km表示为-3km。

有理数：整数与分数统称为有理数。

无理数：无限不循环小数，如π。

注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。

【例1】⑴下列各组量中，具有相反意义的量是（）A．节约汽油10升和浪费粮食B．向东走8公里和向北走8公里C．收入300元和支出100元D．身高1.8米和身高0.9米⑵如果零上5οC记作+5οC，那么零下5οC记作（）A．-5 B．-10 C．-5οC D．-10οC⑶如果水位升高4m时水位变化记为+4m，那么水位下降3m记作___，水位不升不降时水位变化记为____m⑷甲乙两地的海拔高度分别为200米，-150米，那么甲地比乙地高出（）A．200米B．50米C．300米D．350米⑸学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“600±30(ml)”字样，请问“±30ml”是什么意思？质监局对该产品抽查3瓶，容量分别为589ml,573ml,627ml，问抽查产品的容量是否合格？【例2】0.05⑴一种零件的长度在图纸上是(20+-0.05)米，表示这种零件加工要求最大不超过_______，最小不小于_____.⑵1是（）A．最小的整数B．最小的正整数C．最小的自然数D．最小的有理数&π,-1,-0.313,3.14,&&⑶-4.5,6,0,2.4,-11以上各数中，____属于负数，____属于非正数，2____属于非负有理数。

第一节二次根式的相关概念-学而思培优

第一节二次根式的相关概念二、核心纲要一二次根式形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式，称为二次根号．注：(1)在二次根式中，被开方数a 可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式．(2)是0≥a 为二次根式a 的前提条件．(3)形如)0(≥n n m 的式子也是二次根式，它表示m 与n 的乘积．二二次根式的性质)0(0)1(≥≥a a 具有双重非负性． (2) ).0()(2>=a a a (3) ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(||2a a a a a a a 或⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||2a a a a a a 或⎩⎨⎧⋅≤->==)0()0(||2a a a a a a注：(1)化简2α时，一般先将它化成|,|a 再根据绝对值的意义进行化简． (2) 22*2)(a a 的区别和联系，区别：2a 中的a 可以取任意实数，而2)(a 中的a 必须是非负数，当a<0时，2)(a 无意义， .2a a -=联系：当a≥O 时，.)(22a a a ==3。

非负数的三种常见形式(1)绝对值：lal ≥0．(2)偶次幂：n a n (02≥为正整数）．(3)二次根式：).0(0≥≥a a 若,0||2=++c b a 则.0===c b a4.积、商的算术平方根的性质(1)积的算术平方根的性质：).0,0(≥≥⋅=b a b a ab(2)商的算术平方根的性质：).0,0(>≥=b a ba b a 5．确定二次根式所含字母的取值范围若二次根式有意义，只要被开方数大于或等于零即可．即当0≥a 时，a 有意义．6、最简二次根式(1)被开方数中不含分母．即根号内无分母，分母内无根号．(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．即开方开得尽．我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式．7.同类二次根式如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，注：(1)前提条件：二次根式是最简二次根式．(2)被开方数相同．本节重点讲解：两个性质，三个概念．三、全能突破基础演练1．下列各式中，一定是二次根式的是( )．23.-A 2)3.0(.-B 2.-C x D .2．若式子11++-m m 有意义，则点)2,1(--m m 在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(1)如果,31)3)(1(+⋅-=+-x x x x 那么( )．1.>x A 3.-≥x B 13.≤≤-x C D ．x 为任意实数(2)等式22+-=+-a a a a 成立的条件是( )． 0.≤a A 2.->a B 02.≤<-a C 02.≥+-a a D 4．(1)在下列二次根式32,9,,,45222x a y x xy +-中，最简二次根式的个数是( )． 1.A 2.B 3.C 4.D(2)在下列各组根式中，是同类二次根式的是( )．83.和A 313.和B 22.ab b a C 和 11.-+a a D 和 5．把下列各式化成最简二次根式：=12)1( 24)2(= =32)3( =214)4(54)5(a = ⋅535)6(= =632)7(= =+4131)8(= 6．(1)当a= 时，最简二次根式a h a 593721----可以合并． (2)如果最简根式b b a b a b a 6a 2414114+++++与是同类二次根式，则=+100)(b a 7．若m 8是非零整数，则m 的最小值是8．(1)已知a a 2.42-=化简：.32b a(2)化简：.)3(2-a9．已知x ，y 为实数，,319922-+---=x x x y 求5x+6y 的值．10．(1)已知：a ，b ，c 满足,0442||212=+-+++-c c c b b a 求a b c )(-的值． (2)已知△ABC 的三边长a 、b 、c 均为整数，△ABC 的周长是奇数，且a 和b 满足9622+-+-b b a ,0=试求△ABC 的边长c 的值．能力提升11．如果nm 是二次根式时，那么m 和n 应满足条件为( )． 0,0.>≥n m A 0,0.<≥n m B 0.≥mn C D ．m 、n 同号或0,0=/=n m12．下列命题中，正确的是( )．A ．若a>0，则a a =2B ．若,2a a =则0>aC ．若a 为任意实数，则a a =2D ．若a 为任意实数，则a a ±=2)(13．(1)若实数a 满足等式|,|1|1|a a +=-则=-2)1(a ( )1.A 1.--a B 1.-a C a D -1.(2)若)()()(22m n m n n a a m ≥-⋅=-+-成立，则a 的取值范围是( )． n a m A ≤≤. m a n a B ≤≥且. m a C ≤. n a D ≥.14.把根号外面的因式移到根号内：=-212)1( =--x11)1)(2(x 15．已知a ，b ，c ．为三角形的三边，则()=-++--+-+222)()a (a c b a c b c b 16.已知,10<<x 则=-+-+-4)1(4)1(22x x x x 17.若3)3(2-=-x x 与x x -=-5)5(2都成立，化简.|10|12362-++-x x x18．阅读下面的文字后，回答问题：甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：,9612a a a +-+其中a=5．”甲、乙两人的解答不同，甲的解答是：;92131)31(96122-=-=-+=-+=+-+a a a a a a a a 乙的解答是：.191413)31(96122=-=-+=-+=+-+a a a a a a a a(1) 的解答是错误的．(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： (3)仿照上题解答：化简21681|1|a a a +-+-并求值，其中.2=a19．如右图所示，△ABC 的三边a ，b ，c ，且满足b a c a ,46)4(2-=-+-是10的整数部分，AD 是BC 边上的中线，求：(1)a 的取值范围；(2)AD 的取值范围．20．阅读材料，-个三角形的三条边长为a 、b 、c ，若满足,222c b a =+则这个三角形就是直角三角形，长度为c 的边所对的角是直角．这是我们后面要学的勾股定理的逆定理．根据上述知识解答下列问题：已知实数x 、y 、a 满足,32388++-+--=--+-+a y x a y x y x y x 试问长度分别为x 、y.a 的三条线段能否组成一个直角三角形？若能，请求出三角形的面积；若不能，请说明理由．21．已知843与a -是同类二次根式，解答下列问题：(1)若a 是正整数，则符合条件的a 的值有几个？试写出最大值和最小值．(2)若a 是整数，则符合条件的a 的值有几个？是否存在最大值和最小值，为什么？中考链接22．（2011．湖北鄂州）要使式a a 2+有意义，则a 的取值范围为23．( 2011．四川内江)已知,)3(63)5(|36|22n m m n m ---=-+-则=-n m24.( 2012．杭州）已知,2,0)3(a b a a -=<-若则b 的取值范围是巅峰突破25.已知a 、b 满足,753=+b a 则b a s 32-=的取值范围为( )．314521.<<-s A 314521.≤≤-s B 19141921.≤≤-s c D ．以上都不对 26.计算：⋅+⨯⨯⨯411011009998。

六年级升七年级暑假数学讲义

第1课时七年级－有理数的概念一、正数、负数、有理数(阅读课本第六页）.有理数:【巩固】（2级）在下表适当的空格里打上“√”号．板块二数轴（阅读课本第７－８页）数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.【例1】如图１.２－４.，在数轴上，６表示的数在原点的边，与原点的距离为个单位长度，－３表示的数在原点的边，与原点的距离是个单位【例2】归纳：一般的，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的边，与原点的距离是个单位，表示数－a的点在原点的边，与原点相距个单位长度。

【例3】（2级）在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用“＜”号连接起来.4-，0， 4.5-，112-，2，3.5，1，122⑵（2级）(2006年乌鲁木齐中考题)如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_________.-1.3 2.6【例4】（2级）数轴上有一点A它表示的有理数是3-，将点A向左移动3个单位得到点B，再向右移动8个单位，得到点C，则点B表示的数是，点C表示的数是．【例5】（2级）数a b c d，，，所对应的点A B C D，，，在数轴上的位置如图所示，那么a c+与b d+的大小关系为（）D C BAA.a c b d+<+ B.a c b d+=+C.a c b d+>+ D.不确定的【巩固】（2级）数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数是_________.课堂学习检测姓名一、填空题．１．规定了______、______和______的______叫数轴．２．数轴上A，B两点分别在原点的两旁，并且与原点的距离相等，已知点A表示的数是－10，则点B表示的数为______．３．如图，有理数a，b在数轴上对应的点如下，则有()．(A)a＞0＞b(B)a＞b＞0(C)a＜0＜b(D)a＜b＜0４已知一组数：.75.0,1,0,214,212,5.0,3,4---- (1)画一条数轴，并把这些数用数轴上的点表示出来；(2)把这些数分别填在下面对应的集合中：负数集合｛ …｝正数集合｛ …｝ (3)请将这些数按从小到大的顺序排列(用“＜”连接)：______________________．第2课时趣味数学－加乘原理加乘原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”【例 1】商店里有2种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有2种水果糖：苹果味、梨味、橙味．小明想买一些糖送给他的小朋友． ⑴如果小明只买一种糖，他有几种选法？ ⑵如果小明想买水果糖、巧克力糖各1种，他有几种选法？（2级）练习不：4个班比赛打排球，每两个班都要比赛一场，问：一共要比赛多少场？【例 2】由数字1，2，3 可以组成多少个没有重复数字的数？（4级）练习由数字0，1，3，9可以组成多少个无重复数字的自然数？（6级）【例 3】北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海或者武汉作停留，已知北京到上海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车．问，从北京到广州一共有多少种交通方式供选择？（2级）练习：从学而思学校到王明家有3条路可走，从王明家到张老师家有2条路可走，从学而思学校到张老师家有3条路可走，那么从学而思学校到张老师家共有多少种走法？（2级）王明家张老师家学而思学校【例 4】直线a ，b 上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？（6级）ba练习１：数一数，图中一共有多少个角？练习２：数一数，图中一共有多少个长方形？第3课时七年级－相反数板块一、相反数（阅读第１０页）互称为相反数．特别地，0的相反数是.相反数的性质：⑵３和－３是一对相反数，它们分别位于原点的，并且和是对称的几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点是．⑶３的相反数是，一３的相反是是－（－３）＝３求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“—”号即可．一般地，数a的相反数是；注意a-是负数．⑷互为相反数的两个数的和为零，即若a与b互为相反数，则0a b+=，【例1】⑴（2级）（2010丰台二模）2010的相反数是⑵（2级）（2010密云二模）－3的相反数是【巩固】（2级）下列说法错误的是( )A.(3)+-与(3)--互为相反数B.(3)+-与(3)++互为相反数C.(3)+-与(3)-+互为相反数D.3-与(3)--互为相反数例２、我们知道一个数的+１可以去掉“+”简写成，而－（－１）是求的相反数，化简写成１化简下列各数：－(＋1) －(－3)＋(－8.5) )32(+-－[＋(－ 2)] ＋{－[＋(－7)]}归纳：负负得，正负得课堂学习检测姓名１．________________的两个数，叫做互为相反数；零的相反数是______．２．0.4与______互为相反数，______与－(－7)互为相反数，a的相反数是______．３．数轴上，表示－3的点到原点的距离是______个单位长，与原点距离为3个单位长的点表示的数是______。

第一节一元一次方程的基本概念(含答案)...七年级数学学而思

第一节一元一次方程的基本概念1．等式的概念：像m+n=n+m ，x+ 2x= 3x ，3×3+1=5×2，3x+1=5y 这样的式子，都是等式，我们可以用a=b 表示一般的等式．注：用“=”连接的式子叫做等式，但是等式不一定表示相等关系．2．等式的类型(1)恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总成立．例如．3x= 3x 这样，无论字母的取值如何变化，或2=2这样，等式两边恒相等；(2)条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．例如，2x =2这样，只有当x=l 时等式两边才相等；(3)矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立，例如，x-2= x+2这样，无论字母取什么值，或者2=3这样，等式两边恒不相等．3．等式的性质(1)等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．如果,b a =那么;c b c a ±=±(2)等式的性质2：等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果b a =那么.bc ac =如果),0(=/=c b a 那么⋅=cb c a (3)对称性：等式左、右两边互换，所得结果仍是等式，即：如果a=b ．那么b=a ；(4)传递性：如果a=b ，b=c ，那么a=c ．4．方程的定义含有未知数的等式叫做方程，注：方程是等式，但是等式不一定是方程．5．方程中的已知数和未知数已知数指具体的数值，未知数指要求的数，通常未知数用z ，y ，z 来表示，例如，方程x+3= y-1，其中3和1指的是已知数，x 和y 指的是未知数．6．方程的解和解方程使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程的解的过程，叫做解方程．例如，x=2是方程3-x=1的解，而求出x=2的过程叫做解方程．注：①方程的解一定要写成x=2这样的形式，2=x 不是方程的解的形式；②方程可能无解，可能只有一个解，也可能有多个解．7．方程解的检验要验证某个数是否为一个方程的解，只需将该数代入这个方程中．若此时方程左右两边数值相等，则这个数为方程的解，否则不是方程的解．8．一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，注：“元”指的是未知数，“次”指的是未知数项的最高次数．9．最简形式方程b a a b ax ,,0=/=（均为已知数）的形式叫做一元一次方程的最简形式．10．标准形式方程b a a b ax ,,00=/=+（均为已知数）的形式叫做一元一次方程的标准形式注：①一元一次方程均可转化成最简形式或标准形式，在判断一个方程是否为一元一次方程时需要先根据方程的原始形式判断该方程是否为整式方程，如果是整式方程则进行整理化简．若能进一步整理为最简形式或标准形式则该方程为一元一次方程；②一元一次方程一般情况下有唯一解．绝对值符号里有字母的方程不是一元一次方程．(1)在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行即：同时加或者减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边；(2)若题目条件中给出分式形式，则默认为分母不为零．如“若b c b a = 则c a =是正确的，这里条件中已经出现分式形式，因此默认;0=/b(3)若题目结论中出现分式形式，则需要说明分母不为零，如“若,c a =,b c b a =不正确，而“若,c a =则,),0(=/=b bc b a 正确； (4)注意比较“若,cb ab =则,c a =和“若),1()1(22+=+b c b a 则,c a =前者为错误的说法，后者为正确的说法．这两个判断题从条件到结论的变化，均需同时除以一个数，这里需要我们注意，同时除以的这个数不能为0．前者b 可能为零，但是后者+2b .01=/2．判定一元一次方程的方法(1)看一看：先判定方程是否为整式方程，即等号两边是否为整式，如果是整式则进行化简，若不是整式，则该方程一定不是一元一次方程；(2)消一消：若方程是整式方程，则对方程进行整理化简，如果能化成一元一次方程的最简形式或者是标准形式则为一元一次方程，否则不是一元一次方程．3．已知方程的解，求参数值逢解必代入．如果题目中告诉方程的解，解题时一般情况下均需要把方程的解代入原方程，4．求含参一元一次方程中的参数值此时考查了一元一次方程的“110定律”．何为“110定律”？“1”指一元即方程中只含有一个未知数，另一个“1”指一次即未知数项的次数为1，“0”指未知数的系数不为0．求解参数值时，只需按照“110”定律，列方程求参数值即可，例1．（广东中考）已知方程,832=+-y x 则整式y x 2-的值为( )5.A 10.B 12.C 15.D检测1．已知,2,3+=-=k y k x 则y 与x 的关系是( )5.=+y x A 1.=+y x B 1.=-y x C 1.-=x y D例2．下列方程：;33x x =-①;15.0=x ②;34=-x x ③;433x x -=④;13-=+x y ⑤;324222-+=-x x x x ⑥ ;1271x x x x +=-+⑦.37||=-x ⑧其中是一元一次方程的是检测2．在方程,23=-y x ,021=-+x x ,2121=x 0322=--x x 中一元一次方程的个数为( )A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例3．（福建泉港期末）已知x=2是关于x 的方程03=+a x 的一个解，则a 的值是( )6.-A 3.-B 4.-C 5.-D检测3．（福建石狮市期末）下列方程中解为x=0的是( )11.-=+x A x x B 32.= 22.=x C x x D 5421.=++例4．已知方程m m x m x m 24)35()43(2-=----是关于x 的一元一次方程．(1)求m 和x 的值；(2)若n 满足关系式,1|2|=+m n 求n 的值，检测4．（四川自贡期末）若6)2(|32|=--m x m 是一元一次方程，则m 等于( )A ．1B ．2 C.1或2 D ．任何数第一节一元一次方程的基本概念（建议用时: 25分钟）实战演练1．（山东沂源一模）下列各项中叙述正确的是( )A ．若,nx mx =则n m =B ．若,0||=-x x 则0=xC ．若,nx mx =则121220152015+=+x n x m D ．若,n m =则nx mx -=-24242．下列叙述中，正确的是( )A.方程是含有未知数的式子B.方程是等式C.只有含有字母x ，y 的等式才叫方程D.带等号和字母的式子叫方程3．在以下的式子中：;383=+x ;12x -;3=-y x ;121+=+x x ;1032=x ,752=+其中是方程的个数为( ) 3.A 4.B 5.C 6.D4．下列方程的解是x=2的方程是( ) 084.=+x A 03231.=+-x B 232.=x C 531.=-x D 5．方程024=-x 的解是( )2.=x A 2.-=x B 21.=x C 21.-=x D 6．已知1=x 是方程12-=+a x 的解，那么a 的值是( )1.-A 0.B 1.C2.D7．在下列方程中;122=+x x ①;931=-x x ②;021=x ③;322313=-④,3132+=-y y ⑤是一元一次方程的有( )个．1.A2.B3.C4.D8．（山东威海期末）若关于x 的方程032=+--m mx m 是一元一次方程，则这个方程的解是( )0.=x A 3.=x B 3.-=x C 2.=x D9．（江西校级期末）在等式6253+=-a a 的两边同时减去一个多项式可以得到等式,1=a 则这个多项式是10.将方程634=+y x 变形成用y 的代数式表示x ，则x=11．（河南扶沟期末）阅读下列解题过程，指出它错在了哪一步？为什么?.1)1(31)1(2--=--x x 两边同时加上1，得),1(3)1(2-=-x x 第一步，两边同时除以),1(-x 得2=3，第二步．12．（重庆忠县期末）已知,43143n m =-试用等式的性质比较m 与n 的大小． 13．（重庆忠县期末）已知方程)()32()(3y x m m y y m x -=--+-是关于x 的一元一次方程，求m 的值，并求此时方程的解．14．（重庆忠县期末）已知08)1()1(22=++--x m x m 是关于x 的一元一次方程，求代数式xm 的值． 15.已知08)2()4(22=----x n x n 是关于x 的一元一次方程，(1)试求x 值；(2)求关于y 方程x y n =+||的解．拓展创新16．已知201611)2016(2015||-=++-a x a a 是关于x 的一元一次方程，求a 的值及方程的解．拓展1．已知2016)2016(2015||-=++-a y x a a 为一元一次方程，其中a 为参数，求a 的值及方程的解，拓展2．已知b a y b x a b a +=+++--2015||2015||)2016()2016(为一元一次方程，其中a ，b 为参数，求a+b 的值．极限挑战17.若p ，q 都是质数，以x 为未知数的方程975=+q Px 的根为1，求q P -2的值．课堂答案培优答案。

第二节一元一次方程的解法(含答案)...七年级数学学而思

第二节一元一次方程的解法1．一元一次方程的基本解法去分母、去括号、移项、合并同类项、x 项系数化为1．注：①去分母时，方程两边要同时乘以分母的最小公倍数，常数项不要漏乘；②去括号时，括号前的系数要与括号里的每一项都要相乘；③移项的时候要变号；④方程的解的形式要写成x 在等号左边的形式． 2．解一元一次方程的技巧小数化为整数、整体思想、裂项、凑项． 3．含绝对值的一元方程运用分类讨论法去绝对值，转化成一元一次方程后，再求解． 4．求含参方程的解的情况对原方程整理后，可化为ax =b （a 和b 为参数，x 为未知数）的形式．求此类方程的解时需要对a 和b 的取值分类讨论． 5．同解方程两个方程的解相同的方程． 6．整数解方程解为整数的方程．1．解一元一次方程的技巧(1)整体思想：方程中重复出现内容相同的括号时，可考虑将括号当成整体；(2)小数化整数：方程中，若分数的分子或分母中有小数出现，则利用分数的性质将分子分母同时扩大若干倍使分子或分母化为整数后再计算；(3)若方程中出现明显的裂项法的特征，则考虑裂项后消项，把方程化为简单形式后再求方程的解． 2．求含参方程的解的情况(1)先把方程整理成b ax =的形式； (2)分类讨论：①当0=/a 时，,abx =原方程有唯一解；②当0=a 且0=b 时．原方程有无数解： ③当a 0=且，0=/b 原方程无解． 3．同解方程问题(1)普通方程和含参方程的解相同：①解出普通方程的解；②将普通方程的解代入含参方程中； ③求出参数值；(2)两个含参方程的解相同：①将其中一个方程的解用参数表示出来；②将①中的解代入另一个方程中，消去未知数； ③求出参数值． 4．方程的整数解问题①将方程整理成b ax =的形式； ②解方程，得⋅=ab x ③求出满足条件的参数值，常用枚举法或分离常数法．例1．解方程：⋅-=--05.035.22.04x x检测1．（四川雁江区期末）解方程：.2.15.023.01=+--x x 例2．解方程：.2016201720161262=⨯++++xx x x ΛΛ检测2．解方程：⋅=⨯++⨯+⨯+⨯2019120192017755331x x x x ΛΛ 例3．（广东普宁市期末）阅读下列解方程的过程，并完成(1)(2)小题的解答．解方程：.2|1|=-x解：当,01<-x 即1<x 时，原方程可化为：,2)1(=--x 解得,1-=x当≥-1x ,0即1≥x 时，原方程可化为：,21=-x 解得,3=x 综上所述，方程2|1|=-x 的解为1-=x 或.3=x (1)解方程：;8|32|=+x (2)解方程：.1|1||32|=--+x x检测3．解方程：.1|21|=--x x例4．(1)已知关于x 的方程)2(2)1(2--=-+m m x 的解比方程1)1(41)1(5+-=-+x x 的解大2，求m 的值；(2)已知方程1324+=+x m x 和方程1623+=+x m x 的解相同． ①求m 的值； ②求20202019)572()2(-⋅+m m 的值．检测4．（湖北黄冈期末）如果方程22834+-=--x x 的解与方程126)13(4-+=+-a x a x 的解相同，求式子a a 1-的值．例5．已知关于x 的方程b x ax -=+56有无数个解，试求b a +2的值．检测5．讨论关于x 的方程b x x a +-=-12的解的情况，其中a ，b 为已知数．例6．已知关于x 的方程),2(2)1(--=+x k x k 求当k 是取什么整数值时，方程的解是整数．检测6．（北京海淀区期末）已知关于x 的方程x kx -=7有正整数解，则整数k 的值为例7．我们规定，若关于x 的一元一次方程b ax =的解为a b -则称该方程为定解方程，例如：293=x 的解为,23329=-则该方程293=x 就是定解方程．请根据上边规定解下列问题： (1)若x 的一元一次方程m x =2是定解方程，则=m(2)若x 的一元一次方程a ab x +=2是定解方程，它的解为a ，则=a (3)若x 的一元一次方程m mn x +=2和n mn x +=-2是定解方程，求代数式]2)[(21])[(3)24(222n m mn m m mn m ++-++++-的值，检测7．（福建永春县期末）对于两个不相等的有理数a ，b ，我们规定符号},max{b a 表示a ，b 中的较大值，如：,4}4,2max{=按照这个规定解决下列问题： =--}2,3max{)1((2)方程23},max{+=-x x x 的解为第二节一元一次方程的解法（建议用时 35分钟）实战演练1．(1)（湖南株洲中考）在解方程21331+=+-x x x 时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是( ) )13(3612.+=+-x x x A )13(36)1(2.+=+-x x x B )13(3)1(2.C +=+-x x x )1(3)1.(+=+-x x x D(2)（四川富顺县模拟）下列解方程过程中，变形正确的是( )A ．由312=-x 得132-=xB ．由2.11.01314++=+x x 得12110314++=+x x C ．由7675=-x 得7675-=xD.由123=-xx 得632=-x x2．已知,1=/a 则关于x 的方程a x a -=-1)1(的解是( )0.=x A 1.=x B 1.-=x C D ．无解3．（山东滕州市期末）规定一种计算法则为,c b d a db ca ⨯-⨯=如--⨯=-)2(12201,202-=⨯依此法则计算2423-=-x 中的x 值为4．a ．b 互为相反数，c ，d 互为倒数，则关于x 的方程02)1(3)(2=--++x x cd x b a 的解为=x 5．马小哈在解一元一次方程923)x (+=-•x 时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中未知数x 前的系数看不清了，他便问邻桌，邻桌不愿意告诉他，并用手遮住解题过程，但邻桌的最后一步“所以，原方程的解为x=-2”（邻桌的答案是正确的）露在手外被马小哈看到了，马小哈由此就知道了被墨水遮住的系数，请你帮马小哈算一算，被墨水遮住的系数是6．已知关于x 的方程439+=-kx x 有整数解，那么满足条件的整数k 有个 7．（四川岳池县期末）解方程：.14126110312-+=+--x x x 8．解方程：.02}2]2)231(31[31{31=----x9．解方程：⋅+=-++03.002.001.0355.09.05.0xx x10．已知方程,21)20191(541=-+x 求代数式)20191(203-+x 的值．11．（江苏东台市期末）我们定义一种新运算：ab b a b a +-=2*（等号右边为通常意义的运算）：(1)计算：)3(*2-的值；(2)解方程：.*21*3x x =12．解方程：.2020202032132121=+++++++++++ΛΛx x x x 13．（山东牡丹区期末）阅读下面的解题过程：解方程：.2|3|=+x解：当03≥+x 时，原方程可化成为,23=+x 解得,1-=x 经检验1-=x 是方程的解；当,03<+x 原方程可化为，,2)3(=+-x 解得,5-=x 经检验5-=x 是方程的解．所以原方程的解是.5,1-=-=x x 解答下面的两个问题： (1)解方程：;04|23|=--x(2)探究：当a 为何值时，方程,|2|a x =-①无解；②只有一个解；③有两个解．14．当m 为何值时，关于x 的方程524+=-x m x 的解比1)2(3)(2--=-x m x 的解小2． 15．（湖南祁阳县期末）方程0)1(32=+-x 的解与关于x 的方程x k xk 2232=--+的解互为倒数，求k 的值． 16．已知：关于x 的方程b x a x a 3)5()1(2+-=-有无数多解，求a ，b 的值 17.解方程：.121115236362-=---xx x拓展创新18．若a ，b ，c 是正数，解方程：.3=--+--+--bac x a c b x c b a x 拓展1．若a ，b ，c 是正数，解方程：⋅++=-+-+-)111(222Cb a b cab xa bc a x c abc x拓展2．若a ，b ，c ，d 是正数且,1=abcd 解方程：⋅+++=+++)1111(||||||||2222dC b a d x abc b x acd a x bcd c x abd极限挑战19.若,1=abc 解方程：.1121212=++++++++c ca cxb bc bx a ab ax课堂答案培优答案11。

1-1-1 有理数基本概念

内容基本要求略高要求较高要求有理数理解有理数的意义会比较有理数的大小数轴能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点的对应关系会借助数轴比较有理数的大小相反数会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反数掌握相反数的性质绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题板块一正数、负数、有理数随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足认知需要了.譬如一些具有相反意义的量，收入300元和支出200元，向东50米和向西30米，零上6C ︒和零下4C ︒等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎么表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数.正数：像3、1、0.33+等的数，叫做正数.在小学学过的数，除0外都是正数.正数都大于0.负数：像1-、 3.12-、175-、2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于0. 0既不是正数，也不是负数.一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号.正数前面的“＋”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数.例题精讲中考要求有理数基本概念及运算用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然.譬如：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为3km-.“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量. 有理数:按定整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.【例 1】⑴如果收入2000元，可以记作2000+元，那么支出5000元，记为 .⑵高于海平面300米的高度记为海拔300+米，则海拔高度为600-米表示 .⑶某地区5月平均温度为20C︒，记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+，0， 1.4+，3-， 4.7-，那么这5项记录表示的实际温度分别是 .⑷向南走200-米，表示 .【巩固】学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030±(mL)”字样，请问“30mL±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603mL，611mL，589mL，573mL，627mL，问抽查产品的容量是否合格？【例 2】下列数中，哪些属于负数？哪些属于非正数？属于正分数？哪些属于非负有理数？4.5-，6，0，2.4，π，12-，0.313-，3.14，11-【巩固】0.31【例 3】 (第16届希望杯培训试题)下列说法中正确的个数是( )①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大； ②没有最大的非负数，也没有最小的非负数； ③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等； ④只有负数的绝对值等于它的相反数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【巩固】（一零一）223-的相反数是，绝对值是，倒数是．（四中）在下列各数：(2)--，2(2)--，2--，2(2)-，2(2)--中，负数的个数为个．（三帆）①10a -；②21a --；③a -；④2(1)a -+一定是负数的是（填序号）．（理工）下列说法正确的个数是（）①互为相反数的两个数一定是一正一负 ②0没有倒数 ③如果a 是有理数，那么a +一定是正数，a -一定是负数 ④一个数的相反数一定比原数小 ⑤a 一定不是负数⑥有最小的正数，没有最小的负数A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个（人大附）下列说法正确的是（）A ．a -表示负有理数B ．一个数的绝对值一定不是负数C ．两个数的和一定大于每个加数D ．绝对值相等的两个有理数相等（三帆）两数相加，其和小于其中一个加数而大于另一个加数，那么（） A ．这两个加数的符号都是正的 B ．这两个加数的符号都是负的 C ．这两个加数的符号不能相同 D ．这两个加数的符号不能确定板块二数轴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.注意：⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变. ⑶数轴的画法及常见错误分析①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点： ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例：有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π. 利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.【例 4】 ⑴在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用“＜”号连接起来.4-，0， 4.5-，112-，2，3.5，1，122⑵(2006年乌鲁木齐中考题)如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_________.【巩固】如右图所示，数轴上的点M 和N 分别对应有理数m 、n ，那么以下结论正确的是( )MA .0m <，0n <，m n >B .0m <，0n >，m n >C .0m >，0n >，m n <D .0m <，0n >，m n <【巩固】在数轴上，下面说法中不正确的是( )． A ．两个正数，小的离原点B ．两个有理数，大数对应的点在右边C ．两个负数，较大的数对应的点离原点近D ．两个有理数，大的离原点较远【巩固】数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数是 _________.【巩固】在数轴上，点A 和点B 都在与154-对应的点上，若点A 以每秒3个单位长度的速度向右运动，点B 以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A 和点B 所处的位置对应的数是什么？这时线段AB 的长度是多少？【例 5】 (第6届希望杯)数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点有( )个．A ．1994或1995B ．1994或1996C ．1995或1996D ．1995或1997板块三相反数相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0. 相反数的性质：⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0．相反数必须成对出现，不能单独存在．例如5+和5-互为相反数，或者说5+是5-的相反数，5-是5+ 的相反数，而单独的一个数不能说是相反数．另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开．例如3+与3-互为相反数，而3+与2-虽然符号不同，但它们不是相反数． ⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．⑶求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“—”号即可．一般地，数a 的相反数是a -；这里以a 表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意a -不一定是负数．当0a >时，0a -<；当0a =时，0a -=；当0a <时，0a ->. ⑷互为相反数的两个数的和为零，即若a 与b 互为相反数，则0a b +=，反之，若0a b +=，则a 与b 互为相反数．⑸多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）.【例 6】『第17届希望杯』a 和b 是满足ab ≠0的有理数，现有四个命题：①224a b -+的相反数是224ab -+； ②a b -的相反数是a 的相反数与b 的相反数的差； ③ab 的相反数是a 的相反数和b 的相反数的乘积；④ab 的倒数是a 的倒数和b 的倒数的乘积．其中真命题有( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个【巩固】 m -的相反数是，1m -+的相反数是，m n a b +-+的相反数是 .【巩固】若0m n +=，0n p +=，且0m q -=，则( ).A .p 与q 相等B .m 与p 互为相反数C . m 与n 相等D .n 与q 相等【巩固】若0a b +=，且a b >，那么____0a ，____0b .【例 7】如果0a <，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数⑴()a -+；⑵()a --；⑶[]()a -+-；⑷[]()a ---；⑸(){}a -+--⎡⎤⎣⎦【巩固】下列说法错误的是( )A .(3)+-与(3)--互为相反数B .(3)+-与(3)++互为相反数C .(3)+-与(3)-+互为相反数D .3-与(3)--互为相反数板块四科学计数法、有效数字科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是整数），此种记法叫做科学记数法．例如：5200000210=⨯就是科学记数法表示数的形式． 710200000 1.0210=⨯也是科学记数法表示数的形式．有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字．如：0.00027有两个有效数字：2，7 ；1.2027有5个有效数字：1，2，0，2，7．注意：万410=，亿810=常考点及易错点：科学计数法中的单位转换，精确到什么位与保留有效数字的差别．记忆方法：移动几位小数点问题．比如：1800000要科学记数法，实际就是小数点向左移动到1和8之间，移动了6位，故记为61.810⨯．【例 8】 ⑴ （2008年广东中考题）2008年5月10日北京奥运会火炬接力传递活动在美丽的海滨城市汕头举行，整个火炬传递路线全长约40820米，用科学记数法表示火炬传递路程是（）． A ．2408.210⨯米 B ．340.8210⨯米 C ．44.08210⨯米 D ．50.408210⨯米 ⑵（2008年北京中考题）截止到2008年5月19日，已有21600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21600用科学记数法表示应为（） A ．50.21610⨯ B ．321.610⨯ C ．32.1610⨯ D ．42.1610⨯【巩固】（2007年北京中考试题）国家游泳中心——“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积给260000平方米，将260000用科学记数法表示应为（） A ．60.2610⨯ B ．42610⨯ C ．62.610⨯ D ．52.610⨯【例 9】指出下列各近似值精确到哪一位：⑴ 56.3；⑵ 5.630；⑶ 65.6310⨯；⑷ 5.630万；⑸ 0.017；⑹ 3800【巩固】指出下列近似数有几个有效数字：⑴ 0.319；⑵ 0.0170；⑶ 0.25037；⑷ 4.46万；⑸ 85.2910⨯；⑹ 38.7【例 10】（2006年广西课改）今年秋季，广西有一百三十余万名义务教育阶段的贫困学生享受到国家免费教科书政策，预计免费教科书发放总量为1500万册，发放总量用科学记数法记为______册（保留2个有效数字）【巩固】用四舍五入法，对456.7007，①保留四位有效数字；②保留两位有效数字．练习 1．下面各量具有相反意义的是( )A .向北走3千米，向东走3千米B .七年级⑴班男生有25人，女生有15人C .上午气温零上30C ︒，下午气温零上8C ︒D .上升200米，下降15米练习 2． (2003年无锡中考题)检查篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的篮球编号12345与标准质量的差（克） 4+7+ 3- 8- 9+练习 3． (2008年厦门中考题)下列说法正确的是（）A ．-a 一定是负数B ．一个数不是正数就是负数C ．-0是负数D ．在正数前面加“-”号，就成了负数练习 4．『第17届希望杯培训试题』如下四个命题：①有理数由负有理数和正有理数组成．课后练习。

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领先中考培优课程 MATHEMATICS绝对值几何意义突破目标一熟练绝对值式子的几何意义——距离，理解最值的含义目标三掌握一般的绝对值式子求最值、定值的方法—一零点分段法思维引入——最值的含义知识导航最大值与最小值统称为最值，一个代数式一般能取到无数个值，我们把其中最大的值叫做最大值，最小的值叫做最小值，例如：当x 等于任意数时，代数式2-x 能取到无数个值．但其中最小的值是0．因此可以说, 仅当x ＝2时．2-x 取得最小值为0；此时2-x 可以无穷大．因此它没有最大值．当1≤x ≤3时，2x －3能取到无数个值，但当x ＝1时2x －3取得最小值为－1；当x ＝3时， 2x －3取得最大值为3．这里也可以描述为．当l ≤x ≤3时,－1 ≤2x －3≤3．练习——最值的含义的理解1. π-x 2的最小值是，当x ＝时它取得最小值；一()23x -的最大值是，当x ＝时它取得最大值；当x ＝时，(1－3x )2 ＋2取得最小值为；当x ＝时，3一1+x 取得最大值为； 2.先化简43-+-x x ，再求它的最值，并说明相应的x 的取围．3．先化简51---x x ，再求它的最值，并说明相应的x 的取值范围.总结归纳虽然“最值”这个概念是代数层面上的，通过代数计算来找最值是最本质的方法，但通过上面的练习不难发现，如果纯通过代数计算来找最值，有时过程会比较繁琐，计算量也较大，耗时又易错.初中知识两大主线——几何与代数各成体系又相辅相成，例如数轴就是用形来表示数，后面学习坐标系与函数后会有更多数与形的结合．现阶段，绝对值的代数运算意义和它在数轴上表示距离的几何意义，就架起了数与形的桥梁．灵活运用绝对值的代数意义与几何意义，融会贯通，就能使二者相得益彰，不仅能为解题带来很大帮助，这种思维间的转换对以后的学习也大有裨益．本讲要学习的主要就是仅含绝对值的式子求最值的方法——绝对值的几何意义．模块一绝对值的几何视角——距离知识导航通过前面的学习．我们对绝对值的代数意义已经很熟悉．⎩⎨⎧-≥-=-)()b (b a a b a b a b a ＜，这让我们看到一个含绝对值式子的第一反应就是，我们可以把它拆开．例如，当1-x 这个式子出现在我们眼前，它就被我们强迫症般的在脑海中变成了⎩⎨⎧-≥-=-)1(1)1(11＜x x x x x ．诚然，这种利用代数意义进行的转换在做绝对值化简时是必要且实用的．但在做最值类题型时反而绕了，转换为距离更简．实际上，前面我们已经多次接触了绝对值的几何意义，上一讲更是大量用到了绝对值来表示数轴上点的距离，因此当我们看到要“表示数轴上的距离”时．会不自觉的想到“可以用绝对值来表示”．反过来，我们也应该认识到，当一个绝对使式子出观时，它也代表着距离．例如，a 表示数轴上数a 对应的点到原点的距离，n m -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离.所以，当1-x 这个式子出现在我们眼前，它还应该被我们强迫症般的在脑海中变成“这表示数轴上x 对应的点与1对应的点之间的距离”．练习几何视角1. 21--的几何意义是数轴上表示－1的点与表示2的点之间的距离，则21--＝； 2．π-x 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离：π-x ＝1的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是： 3. b a -的几何意义是表示的点与表示的点之间的距离，且a b b a -=-； b a +的几何意义是表示的点与表示的点之间的距离，b a b a --=+；4．2+x 的几何意义是数轴上表示点与表示点之间的距离；若2+x ＝2，则x ＝； 5．当x ＝－1时，25++-x x ＝，当x ＝π时，25++-x x ＝ .例1．(1)数轴上四个点的位置关系如右图，且它们表示的数分别为p ,q ，r ，s ．若,10=-r p9,12=-=-s q s p 则r q -＝．(2)有理数a 、b 、c 、d 各自对应着数轴上X 、Y 、Z 、R 四个点，且它们满足以下三个条件： ①d b -比b a -，d c c b d a c a ----、、、都大；②c d c a a d -=-+-； ③c 是a 、b 、c 、d 中第二大的数．则点X 、Y 、Z 、R 从左到右依次是 .练满足b a b a +=-成立的条件是( )．A ． ab ≥0B ．ab ＞1C . ab ≤0D . ab ≤1模块二绝对值之和求最小值知识导航求21-+-x x 的最小值；1-x 即数轴上x 与1对应的点之间的距离，2-x 即数轴上x 与2对应的点之间的距离，把这两个距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值.设A 、B 、P 三点对应的数分别是1、2、x .当l ≤x ≤2时，即P 点在线段AB 上，此时121==+=-+-AB PB PA x x ；当x ＞2时，即P 点在B 点右侧，此时21-+-x x ＝ P A ＋PB ＝AB ＋2PB ＞AB ；当x ＜1时，即P 点在A 点左侧，此时21-+-x x ＝P A ＋PB ＝AB ＋2P A ＞AB ；综上可知，当l ＜x ＜2时（P 点在线段AB 上），21-+-x x 取得最小值为1．此结论可以推广：若已知以a ＜b ，则当a ≤x ≤b 时，b x a x -+-取得最小值为b －a . 题型一两个绝对值相加求最小值例2（1）当x 满足时,2005-+-x x 取得最小值为；当x 满足时,43-++x x 取得最小值为；当x 满足时，46+++x x 取得最小值为．（2）当－1≤x ≤6时，x x +-2的最小值为 ,最大值为 . （3）当31-++x x 取得最小值时，试化简55-++x x ＝．总结归纳绝对值的最值问题多以选填题的形式考察，上述绝对值几何意义的方法能迅速求解，但此法不能作为大题的解题步骤，所以一旦要求写大题步骤，只能使用零点分段法化简，分别求出每一段的取值范围，最后得到最值．练（1）当x 满足时，π-++x x 8取得最小值为；当x 满足时．1132x x +++取得最小值为．（2）已知x 为整数，且满足44=++x x ,则x 的所有可能值之和为 . （3）求54++-x x 的最小值，并写出相应的x 的范围．挑战压轴题（2014武昌七校七上期中压轴题）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图所示，点A 、B 在数轴上分别对应的数为a 、b ，则A 、B 两点间的距离表示为b a AB -=，根据以上知识解题：(1) 若数轴上两点A 、B 表示的数为x 、－1.①A 、B 之间的距离可用含x 的式子表为； ②若该两点之间的距离为2,那么x 值为 .(2) 21-++x x 的最小值为，此时x 的取值范围是；已知()()152321=++--++y y x x ，求x －2y 的最大值和最小值.拓◆已知y y x x +---=-++15912，求x ＋y 的最值．题型二多个绝对值相加求最小值以四个绝对值之和为例，求4321-+-+-+-x x x x 的最小值；设A 、B 、C 、D 、P 五点对应的数分别为1、2、3、4、x ，在数轴上画出各点，排好序之后由远及近依次两两一组求和。

①当1≤x ≤4时，41-+-x x ＝P A ＋PD ＝4－1＝3，取得最小值； ②当2≤x ≤3时，32-+-x x ＝PB ＋PC ＝3－2＝1，取得最小值；所求的PD PC PB PA x x x x +++=-+-+-+-4321，即上面两式41-+-x x与32-+-x x 之和，如果这两式能同时取得最小值，即P A ＋PD 与PB ＋PC 同时最小，那么它们的和必然也取得最小值．故当2≤x ≤3时，4321-+-+-+-x x x x 的最小值为(4－1)＋(3－2)＝4．再以三个绝对值之和为例，求21-+-+x x x 的最小值；设A 、B 、C 、P 四点对应的数分别为0、1、2、x ．①当0≤x ≤2时，2022=-=+=-+PC PA x x ，取得最小值； ②当x ＝l 时，01==-PB x ，取得最小值；所求的21-+-+x x x ＝P A ＋PB ＋PC 即上面两式之和，如果这两式2-+x x 和1-x 能同时取得最小值，即P A ＋PC 与PB 同时最小，那么它们的和必然也取得最小值．故仅当x ＝l 时，21-+-+x x x 的最小值为(2 – 0)＋0＝2．若求更多的偶数个或奇数个绝对值之和，可以用同样的方法求其最小值．例3（1）当x 满足时，6413-+-+-++x x x x 取得最小值为；当x 满足时，x x x x +++++-123取得最小值为；当x 满足时，x x x x -+++++--4731取得最小值为； (2)当x 满足时，512-+-++x x x 取得最小值为；当x 满足时，x x x ++-+-562取得最小值为；（3）当x 满足时，201621-++-+-x x x 取得最小值为；当x 当x 满足时，10121-++-+-x x x 取得最小值为；（4）若0＜a ＜10,则当x 满足时，1010--+-+-a x x a x 的最小值是；总结归纳奇数个x 取“中间点”若1221-n a a a ＜＜＜，当x 满足时，1221+-++-+-n a x a x a x 取得最小值；最小值为()()()()023*******+-++-+-+-+-+n n n n n a a a a a a a a . 偶数个x 取“中间段”若n a a a 221＜＜＜，当x 满足时，n a x a x a x 221-++-+- 取得最小值；最小值为()()()()n n n n n n a a a a a a a a -+-++-+-----11221212 .练(1)当x 满足时，48-+-++++x x x x ππ取得最小值为；当x 满足时，x x x ++++2131取得最小值为 . (2)求654++++-+x x x x 的最小值，并写出相应的x 的范围．拓◆求13121-+-+-x x x 的最值； ○2求131121-+-x x 的最值.模块三绝对值之差求最值知识导航求21---x x 的最大值：设A 、B 、P 三点对应的数分别为l 、2、x ，当1≤x ≤2时，即P 点在线段AB 上，此时21---x x ＝P A －PB ，其值在－1到1之间，其中，当x ＝l 时，P A －PB ＝－l ，当x ＝2时P A －PB ＝1,当l ＜x ＜2时，－1＜P A －PB ＜1.当x ＞2时，即P 点在B 点右侧，此时21---x x ＝P A －PB ＝AB ＝1．当x ＜l 时，即P 点在A 点左侧，此时21---x x ＝P A －PB ＝－1．综上可得：当x ≤l 时（P 点在A 点左侧）．21---x x 取得最小值为－l ：当x ≥2时（P 点在B 点右侧）．21---x x 取得量大值为1．用绝对值代数意义展开亦可知21---x x ＝⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥)2(1)21(3221x x x x ＜＜）（此结论可以推广：b x a x ---的最大值为b a -．最小值为－b a -，至于当x 满足什么条件时分别取最大、最小值．则可以画数轴分析或把绝对值展开计算．例4（1）用绝对值的几何意义求53---x x 的最值.(2)用“零点分段法”化简14+--x x ，求出最值，并说明相应的x 的取值范围．(3)求75+-x x 的最值．练（2012武昌七校七上期中）①当x 在何范围时，21---x x 有最大值，并求出最大值.②当x 在何范围时，4321---+---x x x x 有最大值，并求出它的最大值．③代数式100994321---++---+---x x x x x x 最大值是．模块四定值问题知识导航定值即指代数式的值恒为某一个数．例如．用“零点分段法”化简可得⎪⎩⎪⎨⎧≤-<<-≥=---)1(1)21(32)2(121x x x x x x .可见当x ≥2时21---x x 的值恒为1．即定值为1；当x ≤l 时21---x x 的值恒为－1，即定值为－1．再如，令s ＝21+++x x ，化简可得s ＝21+++x x ＝⎪⎩⎪⎨⎧-<---≤≤-->+)2(32)12(1)1(32x x x x x ，可见对于－2≤x ≤－l 范围内的任意x 值，s 的值恒为常数1，我们就说当－2≤x ≤－1时s 为定值．综上可知，要让某式有定值，必须使它在某一条件下的取值与x 无关．因此，定值问题的核心任务是，找到x 的某个取值范围，使得代数式中的x 正好可以相互抵消．例5(1)如果对于某一给定范围内的x 值，p ＝31-++x x 为定值，则此定值为，相应的x 的范围是．（2）如果对于某一给定范围内的x 值，p ＝25+--x x 为定值，则此定值为． (3)如果对于某一给定范围内的x 值，p ＝922-5++x x 为定值，则此定值为，相应的x 的范围是 .练如果对于某一给范围内的x 值，m ＝733-2++x x 为定值，则此定值为，相应的x 的范围是 .总结归纳定值问题虽然也可以用绝对值的几何意义——转化为距离来求解，但它并不是此类题型的本质解法，仅在x 的系数都为l 时此法较为便捷．产生定值的根本原因是x 相互抵消了，因此定值问题的本质解法是用类似“零点分段法” 的思路，将式子中的每个绝对值拆开，配x 的系数使它为0，从而迅速找到相应的x 的范围，并求出定值.当然，上述方法都针对的是选填题，能迅速找到答案．如果是需要写过程的大题，无论是求最值还是定值，都只能用“零点分段法，，分类讨论求解．例6(1) 若431542+-+-+x x x 的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件？此常数的值为少？（2）（2014武昌七校中）如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，s ＝x x x 523222-+-+-的值恒为一常数，刚此常数值为（）. A .0 B .2 C ．4 D .6(3) 已知对于某一特定范围内a 的任意允许值，a a a 42576---+的值恒为一常教．则此常数值为( )．A . 12B .2C ．－12D ．12或－12(4)如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，s ＝2016321-++-+-+-x x x x 的值恒为一常数，则相应的x 的取值范围是 .练若a a a 3433--+-的值是一个定值，求a 的取值范围.拓（2012外校七上期中）已知x 为正数，且对于x 在某一范围内任意取值，代数式282726252423222-+-+-+-+-+-+-+-x x x x x x x x 的值恒为定值，试求出x 的取值范围及这个定值．第2讲绝对值几何意义突破（课后作业）1.不相等的有理数a 、b 、c 在数轴对应的点分别为A 、B 、C ，如果c a c b b a -=-+-，那么点A 、B 、C 在数轴上的位置关系是( )A ．点A 在点B 、C 之间 B .点B 在点A 、C 之间C ．点C 在点A 、B 之间D .以上三种情况均有可能2．已知0＜p ＜20，当p ≤x ≤20时，2020--+-+-p x x p x 的最小值是( )．A . 40B ．0C . 20D ．一个与p 有关的代数式3. 如果对于某一特定范围内的任意允许值，p ＝x x x x x 8171615141-+-+-+-+- 的值恒为一常数，则此值为( )．A .－1B ．0C ．1D ．1或－14. 如果对于某一给定范围内的x 值，p ＝x x x 3723++--为定值，则此定值为．相应的x 的范围是．5．根据绝对值的几何意义可知：033-=，它在数轴上的意义是表示3的点与原点之间的距离；又如式子38-，它的几何意义是表示8的点与表示3的点之间的距离，那么：（1）5+x 在数轴上的意义是；（2）41-+-x x 的最小值为；（3）654321-+-+-+-+-+-x x x x x x 的最小值为 .6. 如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，S ＝100321-++-+-+-x x x x 的值恒为一常数，则此常为，相应的x 的取值范围是 .7. 已知a 为整数，且满足532=-++a a ，则a 的值为 .8. （1）当x 满足时，3-x 取得最小值为；（2）当x 满足时，x --24取得最大值为；（3）当x 满足时，x x -+-51取得最小值为；（4）当x 满足时，987-+-+-x x x 取得最小值为；（5）当x 满足时，54---x x 取得最大值为；（6）当x 满足时，54+-+x x 取得最小值为 .9. 已知a ＜b ＜c ＜d ．求d x c x b x a x y -+-+-+-=的最小值，并求出此时x 的取值范围．10.求x x --+42的最值．11.当32-+-x x 的值最小时，求112--+++x x x 的最值.12．如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站P ，使这5台机床到供应站P 的距离总和最小，点P 应建在哪？最小值为多少？。