北师大版九年级数学三角函数例题解析(精)

〔1998•台州〕如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，假设cot∠BCD=3，那么tanA=〔〕A．32 B．1 C．13 D．23考点：锐角三角函数的定义；三角形中位线定理．分析：假设想利用cot∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．解答：解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AB=BD，∴E是CD中点，∴AC=2BE，∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE=90°．∴BE∥AC．∵AB=BD，∴AC=2BE．又∵cot∠BCD=3，设BE=x，那么BC=3x，AC=2x，∴tanA=BCAC=3x2x=32，应选A．点评：此题涉及到三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进展计算．〔2021•益阳〕如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的程度间隔为5米，那么这两树在坡面上的间隔AB为〔〕A．5cosαB．5cosαC．5sinαD．5sinα考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：利用所给的角的余弦值求解即可．解答：解：∵BC=5米，∠CBA=∠α．∴AB=BCcosα=5cosα．应选B．点评：此题主要考察学生对坡度、坡角的理解及运用．〔〔2021•武汉〕如图，小雅家〔图中点O处〕门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔〔图中点A处〕在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的间隔AB是〔〕A．250m B．2503m C．50033m D．2502m考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：由可得，∠AOB=30°，OA=500m，根据三角函数定义即可求得AB的长．解答：解：由得，∠AOB=30°，OA=500m．那么AB=12OA=250m．应选A．点评：此题主要考察了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决此题的关键．〔2007•株洲〕以下运算中，错误的选项是〔〕A．π0=1 B．2-1=12 C．sin30°=12 D．8=32考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．分析：此题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进展计算，然后根据实数的运算法那么求得计算结果．解答：解：A、正确，符合零指数幂的运算法那么；B、正确，符合负整数指数幂的运算法那么；C、正确，符合特殊角的三角函数值；D、错误，8=22．应选D．点评：此题考察实数的综合运算才能，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，纯熟掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．〔2004•广东〕以下各式中，运算结果错误的选项是〔〕A．〔-1〕3+〔-3.14〕0+2-1=12 B．sin30°=12C．(-4)2=-4 D．a2•a3=a5考点：特殊角的三角函数值；算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂．分析：根据乘方、0指数幂、负指数幂的运算法那么逐一分析解答．解答：解：A、〔-1〕3+〔-3.14〕0+2-1=-1+1+12=12．正确；B、正确；C、(-4)2=4，不等于-4故错误；D、正确．应选C．点评：解答此题注意：一个数的算术平方根是非负数．〔2001•泰州〕以下实数π2，sin30°，0.1414，93中，无理数的个数是〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个考点：特殊角的三角函数值；无理数．分析：无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．解答：解：∵π2是无限不循环小数，∴它是无理数，∵93是开方开不尽的数，∴它是无理数．其它的数都是有理数．因此有2个无理数．应选B．点评：此题容易出现的错误是把数π2看成分数，分数是AB的形式，其中A、B是整数．π2是无理数而不是分数．要注意灵敏运用三角函数值．直线y=kx-4与y轴相交所成锐角的正切值为12，那么k的值为〔〕A．12 B．2 C．±2 D．±12考点：待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义．分析：首先确定直线y=kx-4与y轴和x轴的交点，然后利用直线y=kx-4与y轴相交所成锐角的正切值为12这一条件求出k的值．解答：解：由直线的解析式可知直线与y轴的交点为〔0，-4〕，即直线y=kx-4与y轴相交所成锐角的邻边为|-4|=4，与x轴的交点为y=0时，x=4k，∵直线y=kx-4与y轴相交所成锐角的正切值为12，即|4k|=4×12，k=±2．应选C．点评：此题比较复杂，涉及到锐角三角函数，在解题时要注意k的正负．一个直角三角形有两条边长为3和4，那么较小锐角的正切值是〔〕A．34 B．43 C．73 D．34或73考点：锐角三角函数的定义．分析：先根据勾股定理求出第三边，再根据正切函数的定义求出较小锐角的正切值．解答：解：当两条边长为3和4是直角边时，那么较小锐角的正切值=34；当3是直角边，4是斜边时，另一条边=42-32=7，那么较小锐角的正切值=73．应选D．点评：此题首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和锐角三角函数的概念解题．此题注意第三边可能是直角边，也可能是斜边．以下说法正确的选项是〔〕A．在Rt△ABC中，假设tanA=34，那么a=3，b=4B．在△ABC中，假设a=3，b=4，那么tanA=15C．在Rt△ABC中，∠C=90°，那么sin2A+sin2B=1D．tan75°=tan〔45°+30°〕=tan45°+tan30°=1+33考点：锐角三角函数的定义．分析：根据三角函数的定义及相关角的三角函数之间的关系综合解答．解答：解：在Rt△ABC中，假设tanA=34，那么a=3x，b=4x，x≠0，故A错误，在△ABC中，假设a=3，b=4，那么tanA=15，没有说明三角形的形状，故B错误，在Rt△ABC中，∠C=90°，那么sin2A+sin2B=1，sinB=cosA，故C正确，tan75°=tan〔45°+30°〕=1+331-33=3+232，故D错误，应选C．点评：此题主要考察锐角三角函数的定义，比较简单．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连AD，那么tan∠DAC的值为〔〕A．233 B．3+33 C．4+313 D．22+13考点：锐角三角函数的定义．分析：欲求∠DAC的正切值，需将此角构造到一个直角三角形中．过C作CE⊥AD于E，设CD=BD=1，然后分别表示出AD、CE、DE的知，进而可在Rt△ACE中，求得∠DAC的正切值．解答：解：如图，过C作CE⊥AD于E．∵∠BDC=90°，∠DBC=∠DCB=45°，∴BD=DC，设CD=BD=1，在Rt△ABD中，∠BAD=30°，那么AD=2．在Rt△EDC中，∠CDE=∠BAD=30°，CD=1，那么CE=12，DE=32．∴tan∠DAC=CEAE=122-32=4+313．应选C．点评：此题主要考察的是解直角三角形，正确地构造出与所求相关的直角三角形，是解题的关键．α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2-3x+1=0的两根，那么△ABC是〔〕A．锐角三角形B．直角三角形或钝角三角形C．钝角三角形D．等边三角形考点：锐角三角函数的定义；解一元二次方程-因式分解法．分析：先解出方程的两根，讨论sinα，tanβ的值．∵在三角形中，角的范围是〔0，180°〕，∴sinα必大于0，此时只要考虑tanβ的值即可，假设tanβ＞0，那么β为锐角；tanβ小于0，那么β为钝角．再把x 的两个值分别代入sinα，tanβ中，可求出α，β的值，从而判断△ABC的形状．解答：解：由2x2-3x+1=0得：〔2x-1〕〔x-1〕=0，∴x=12或x=1．∴sinα＞0，tanβ＞0假设sinα=12，tanβ=1，那么α=30°，β=45°，γ=180°-30°-45°=105°，∴△ABC为钝角三角形．假设sinα=1，tanβ=12，那么α=90°，β＜90°，△ABC为直角三角形．应选B．点评：此题易在α，β上的取值出错，学生常常解出方程的两根后不知道如何判断，因此在解答时我们可对x的值分类讨论，从而判断出△ABC的形状．正方形网格中，∠AOB如图放置，那么cos∠AOB的值为〔〕A．1010 B．21010 C．32 D．22考点：锐角三角函数的定义．专题：网格型．分析：要求cos∠AOB的值，连接AD，CD，根据勾股定理可以得到OD=AD，那么OC是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到△ODC是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解．解答：解：连接AD，CD，设正方形网格的边长是1，那么根据勾股定理可以得到：OD=AD=10，OC=AC=5，∠OCD=90°．那么cos∠AOB=OCOD=510=22．应选D．在△ABC中，∠C=90°，给出以下式子，①a=ctanA；②b=cSinB；③b=cCosA；④a=btanA；⑤c=btanB，其中能成立的个数有〔〕A．2个B．3个C．4个D．5个考点：锐角三角函数的定义．分析：此题可以利用锐角三角函数的定义求解．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanA=ab，sinB=bc，cosA=bc，tanA=ab，tanB=ba．∴a=btanA，b=csin B，b=ccosA，a=btanA，b=atanB．∴②③④成立，应选B．点评：此题考察锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．等腰三角形，边长分别是6，8，那么底角的余弦是〔〕A．23 B．38 C．43 D．23或38考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：计算题．分析：此题可以利用锐角三角函数的定义求解．解答：解：有两种情况：①当等边三角形的底边为6，腰为8时，cosB=38；②当等边三角形的底边为8，腰为6时，cosB=46=23；应选D．点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．在三角形ABC中∠A，∠B是锐角，等式acosB+bcosA=c成立的条件是〔〕A．∠C是锐角B．∠C是直角C．∠C是钝角D．上述三种情形都可以考点：锐角三角函数的定义．分析：此题可以利用锐角三角函数的定义求解．解答：解：过点C作CD⊥AB于点D，∴在Rt△ADC和在Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，∴cosA=ADb，cosB=BDa，∴acosB+bcosA=AD+BD=c．应选D．点评：此题考察锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边△ABC中，∠C=90°，且c=3b，那么cosA=〔〕A．23 B．223 C．13 D．103考点：锐角三角函数的定义．分析：此题可以利用锐角三角函数的定义求解．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，且c=3b，∴cosA=bc=b3b=13．应选C．点评：此题考察锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻正方形网格中，∠AOB如图放置，那么cos∠AOB的值为〔〕A．12 B．22 C．32 D．33考点：锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理．专题：常规题型．分析：找出OB边上的格点C，连接AC，利用勾股定理求出AO、AC、CO的长度，再利用勾股定理逆定理证明△AOC是直角三角形，然后根据余弦=邻边斜边计算即可得解．解答：解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，根据勾股定理，AO=22+42=25，AC=12+32=10，OC=12+32=10，所以，AO2=AC2+OC2=20，所以，△AOC是直角三角形，cos∠AOB=OCAO=1025=22．应选B．点评：此题考察了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出格点C并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．正比例函数y=kx的图象经过点〔3，2〕，那么它与x轴所夹锐角的正切值是〔〕A．23 B．32 C．132 D．133考点：锐角三角函数的定义；正比例函数的性质．专题：推理填空题．分析：过A作AB⊥x轴于B，得出AB=2，OB=3，得出tan∠AOB=ABOB，代入求出即可．解答：解：过A作AB⊥x轴于B，∵A〔3，2〕，∴AB=2，OB=3，∵正比例函数y=kx的图象经过点〔3，2〕，∴它与x轴所夹锐角的正切值是：tan∠AOB=ABOB=23，应选A．点评：此题考察了锐角三角函数定义，正比例函数的应用，关键是确定AB和OB的值，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．β为锐角，cosβ≤12，那么β的取值范围为〔〕A．30°≤β＜90°B．0°＜β≤60°C．60°≤β＜90°D．30°≤β＜60°考点：锐角三角函数的增减性．分析：首先明确cos60°=12，再根据余弦函数随角增大而减小，进展分析．解答：解：∵cos60°=12，余弦函数随角增大而减小，又cosβ≤12，所以锐角β的取值范围为60°≤β＜90°．应选C．点评：熟记特殊角的三角函数值，理解锐角三角函数的增减性是解题的关键．∠β为锐角，且33≤cotB＜3，那么β的取值范围是〔〕A．30°≤β≤60°B．30°＜β≤60°C．30°≤β＜60°D．β＜30°考点：锐角三角函数的增减性．分析：首先明确cot60°=33，cot30°=3，再根据余切值随着角的增大而减小，进展分析．解答：解：∵cot60°=33，cot30°=3．又余切值随着角的增大而减小，∴30°＜β≤60°．应选B．点评：熟记特殊角的三角函数值和理解锐角三角函数的增减性是解题的关键．。