广义胡克定律
材料力学复杂应力状态和强度理论第4节 广义胡克定律
1 1 [ 1 ( 2 3 )] E 1 2 [ 2 ( 3 1 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
如图所示，从受力物体内一点取出主单元体， 其上的主应力分别为1、2和3，沿三个主应力方 向的三个线应变称为主应变，用1、2和3表示。 对于各向同性材料，在最大正应力不超过材料 的比例极限条件下，可以应用胡克定律及叠加法来 求主应变。
由单向应力状态胡克定律可知：主应力1、2和 3单独作用时，分别对应的纵向线应变为1/E、2/E 和3/E；令横向变形系数 ，则主应力2 将引起1 方 向相应的线应变为–2/E；其它同理。故1由1的纵 向线应变与2、3分别引起的1方向相应的横向线应 变三项叠加而成。
13-2广义胡克定律与变形能-材料力学
1 m 形状改变
3 m
②形状改变比能：
证明在：
' 1
1
m
,
' 2
2
m
,
' 3
3
m
作用下，体积没有变化 。
3(1
2)
1'
' 2
' 3
E
3
1 2
E
(1'
' 2
' 3
)
1 2
E
[(1
m
)
(
2
1
该单元体所储存的应变
能为：
3
U
1 2
(
1e1
2
e
2
3e
3
)dxdydz
②比能：
u
U V
1 2
(
1e1
2e2
3e
3
)
③代入虎克定律：
u
1 2E
[12
2 2
2 3
2
(1
2
2
3
31
)]
（二）、体积改变比能 ut 与形状改变比能 u x
1.有关概念：
三、复杂应力状态下的变形比能 （一）、总应变比能
1.有关概念： ①应变能(变形能)：伴随弹性体的变 形而储存在弹性体的能量。用U表示；
广义胡克定律、强度理论、组合变形
1 2 3
b
n
最大切应力理论（第三强度理论）
理论要点
引起材料屈服的主要因素－最大切应力 max
当 max s,单拉 时, 材料屈服
max
1
3
2
s,单拉
s 0 2
s
2
1 3 s －材料的屈服条件
强度条件
r,3 1 3 [ ]
1 , 3 － 构件危险点处的工作应力 － 材料单向拉伸时的许用应力
2
2 x
max min
CK
x
2
y
2
2 x
回顾 极值应力的方位
min
y
x
最大正应力方位：
max与min所在截面正交
tan2α0 = -
τx σx - σy
2
tan
0
x
x
min
x max
y
极值与 极值所在截面, 成 45 夹角
回顾 主平面与主应力 (类似单向应力状态)
2
min
2
xy x
min
所在方位切应变为零的正 应变－主应变
主应变位于互垂方位,
主应变表示：1 2 3
Cε
εx
+ 2
εy
,0
Rε =
εx
- εy 2
2
+
γ xy 2
2
广义胡克定律（三向应力状态）
因切应力不引起正应变, 故只考虑正应力引起的正应变之和
x
x
E
x
y
E
x
z
(适用于脆性材料) ❖ 最大拉应变理论 (第2强度理论)
屈服强度理论 最大切应力理论 (第3强度理论)
材料力学：第八章-应力应变状态分析
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
材料力学广义胡克定律ppt课件ppt课件
x
1 1 ( 45 45 ) ( ) E E 1 16(1 )m E Ed 3
[例5] 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点
处与其轴线成 45°和135° 角即 x, y 两方向分别贴上应变片,然后在
四、应力--应变关系
E ( y z ) x 2 x 1
E ( z x ) y 2 y 1 E ( x y ) z 2 z 1
xy G xy
yz G yz
主应变2为：
联立两式可解得：
0.3 6 2 1 3 44 . 3 20 . 3 10 9 E 21010 34.3 106
其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。
[例2]边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性
uf
状态1受平均正应力m作用，因各向均匀受力，故只有 体积改变，而无形状改变，相应的比能称为体积改变比能uV。 状态2的体积应变： 1 2 ( V ) 2 [( 1 m ) ( 2 m ) ( 3 m )] 0 E 状态2无体积改变，只有形状改变，相应的比能称为形
uV
uf
[例1]边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性 模量为E 、泊桑比为 ，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的体 积应变V 和形状改变比能uf 。 P y
y x z
x
z
解： 由已知可直接求得： N P y 2 , z 0, A a
x 0,
1 y 0 [ x ( y 0)] E P x y 2 , a z P P 1 0, 2 2 , 3 2 a a 1 2 1 2 P P V ( 1 2 3 ) (0 2 2 )
广义胡克定律
第四章 广义胡克定律第四章 广义胡克定律 (1)§4.1节广义胡克定律 (2)§4.2节拉梅常数与工程弹性常数 (5)§4.3节弹性应变能函数 (7)§4.1节 广义胡克定律（一）单向应力状态下胡克定律单向应力状态下，处于线弹性阶段材料，其应力与应变关系可由下式表示：x x E σε=其中E 为材料的弹性模量。
（二）三维广义胡克定律三维条件下，物体应力状态可由6个分量表示，而应变状态也由6个分量表示。
假设应力与应变的各个分量之间均相关，一般地，1111111222133314121523163122211122222333241225232631333111322233333412352336311241114222433344124523463123511152225c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεε=+++++=+++++=+++++=+++++=++33354125523563131611162226333641265236631c c c c c c c c c εεεεσεεεεεε⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪+++⎪=+++++⎪⎩ 或写作111213141516111121222324252622223132333435363333121241424344454623235152535455563131616263646566c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεσεσεσεσεσε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎥ 其中，mn C （,1,,6m n ="）为弹性常数。
§7-4各向同性材料的应力、应变关系一、广义胡克定律
σy
解： （1）求应变εx, εy ,εz 根据广义胡克定律：
σx
O
= ε x
1 E
(σ
x
−
µσ
y
)
=
1 200 ×
109
(160
×
106
+
0.25
×
40
×
106
)
=
8.5 ×10−4
εy
=1 E
(σ
y
−
µσ x )
= 200
1 ×
109
(−40 × 106
−
0.25×160×106 )
=−4 × 10−4
例: 刚性块D=5.001cm凹座，内放d=5cm刚性
圆柱体，F=300kN, E=200GPa, µ = 0.3,无摩擦，
求圆柱体主应力。
解：
σ3
=− F A
=− π30×05×012043
=−153MPa
F
设圆柱体胀满凹座
ε2 = (5.001− 5) 5= 0.0002
由对称性，可设 σ1 = σ2 = −q
(2) 坐标系转动30o，求 ε γ 30, 30/120
解：（ii）由应力转轴公式
σ= 30
σx
+σ y
2
+
σx
−σ
2
y
cos 2 × 30
−τ x
sin 2 × 30
= 160 − 40 + 160 + 40 cos 60 = 110MPa
2
2
（应力单位：MPa）
τ 30
σ
x
−σ
2
y
第四章广义胡克定律
式中共有 36 个常数。
（三）弹性常数矩阵的对称性
上述 36 个常数并不都是独立的，从§4.3 节能量角度考虑，弹性常数矩阵是对称的，即极端
2
弹性力学讲义（2013 版），山东大学岩土中心 王者超
各向异性的弹性体其独立弹性常数只有 21 个。 根据材料本身性质的对称性，独立的弹性常数个数将发生变化。 若材料具有一个对称面，则弹性常数减少至 13 个； 若材料具有三个正交的对称面，即材料具有正交各向异性，则弹性常数减少至 9 个； 若材料是横观各向同性的，则弹性常数减少至 5 个； 最后，若材料是各向同性的，则弹性常数只有 2 个。
+
c24ε
′
12
+
c25ε
′
23
+
c26ε
′
31
⎪⎪σ ⎨
′
33
=
c31ε
′
11
+
c32ε
′
22
+
c33ε
′
33
+
c34ε
′
12
+
c35ε
′
23
+
c36ε
′
31
⎪σ ⎪
′
12
=
c41ε
′
11
+
c42ε
′
22
+
c43ε
′
33
+
c44ε12′
+
c45ε
′
23
+
c46ε
′
31
⎪σ ⎪
′
23
=
c51ε11′
1
弹性力学讲义（2013 版），山东大学岩土中心 王者超
广义胡克定律的适用范围
广义胡克定律的适用范围稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊广义胡克定律的适用范围。
你知道吗？广义胡克定律可不是随随便便就能用的哦！它一般适用于那些材料在弹性范围内的情况。
啥叫弹性范围？就是材料受力后能像弹簧一样，力没了还能恢复原状。
比如说常见的钢材、铝材这些金属材料，在受到不大不小的力时，就乖乖遵循广义胡克定律。
但是哦，如果力太大了，材料被拉坏了、压坏了，变形没法恢复了，那广义胡克定律可就不管用啦！就好像一个弹簧被拉得超过了极限，再也弹不回去了。
而且呀，广义胡克定律对于那些各向同性的材料表现特别好。
啥是各向同性？简单说就是材料各个方向的性质都差不多。
可要是遇到那种各向异性的材料，比如一些复合材料，就得小心点用啦，说不定就会出偏差。
还有哦，温度也会影响广义胡克定律的适用呢。
如果温度变化太大，材料的性能可能会改变，这时候用广义胡克定律就得三思而后行啦。
呢，要想用广义胡克定律，得先看看材料是不是在弹性范围，是不是各向同性，还要注意温度等因素。
不然用错了可就闹笑话啦！好啦，今天就聊到这儿，小伙伴们明白了不？稿子二嗨呀，朋友们！今天咱们来好好唠唠广义胡克定律的适用范围。
先来说说材料方面，大多数普通的均质材料，像咱们常见的钢铁、铝合金啥的，在正常受力情况下，广义胡克定律那是相当好用的。
但要是碰到一些特殊材料，像那种有特殊微观结构的，或者经过特殊处理的，就得留神啦。
再说说受力的大小。
要是力小一点，材料能轻松应对，广义胡克定律就能准确描述它的变形。
可要是用力过猛，把材料折腾得不成样子，超过了它的承受能力，这定律就不灵啦，就像小孩玩玩具，太用力就玩坏了。
还有哦，时间也是个关键因素。
如果受力时间特别短，瞬间的冲击，广义胡克定律可能还能应付。
但要是长时间受力，材料可能会产生疲劳，这时候就得重新考虑啦。
另外，环境条件也很重要。
比如在高温或者低温环境下，材料的性质会发生变化，这时候可不能盲目套用广义胡克定律。
所以呀，用广义胡克定律的时候，一定要多方面考虑，可别想当然哟！不然得出错误的结果，那可就糟糕啦。
广义胡克定律
广义胡克定律 强度理论[知识回顾]1、 轴向拉（压）变形在轴向拉（压）杆件内围绕某点截取单元体，单向应力状态（我们分析过）横向变形2）纯剪切[导入新课]胡克定律反映的是应力与应变间的关系，对复杂应力状态，其应力与应变间的关系由广义胡克定律确定。
[新课教学]x x E εσ=E xx y σμμεε-=-=γτG =广义胡克定律 强度理论一、广义胡克定律（Generalized Hooke Law ）1、主应力单元体－叠加法只在1σ作用下：1方向只在2σ作用下：1方向 1方向由1σ、2σ、3σ共同作用引起的应变只在3σ作用下：1方向即同理：2、非主应力单元体可以证明：对于各向同性材料，在小变形及线弹性范围内，线应变只与正应力有关，而与剪应力无关； 剪应变只与剪应力有关，而与正应力无关， 满足应用叠加原理的条件。
E11σε='E21σμε-=''E 31σμε-='''111εεεε'''+''+'=()[]32111σσμσε+-=E()[]13221σσμσε+-=E()[]21331σσμσε+-=E [][][]⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=+-=+-=)(1)(1)(1y x z z x z y y z y x x E E E σσμσεσσμσεσσμσε⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===zx zx yz yz xy xy G G G τγτγτγ111小变形，线弹性范围内，符合叠加原理3、体积应变单元体，边长分别为dx 、dy 和dz 。
在三个互相垂直的面上有主应力1σ、2σ和3σ。
变形前单元体的体积为 变形后，三个棱边的长度变为由于是单元体，变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后的体积为dxdydz V )1)(1)(1(3211εεε+++=将上式展开，略去含二阶以上微量的各项，得dxdydz V )1(3211εεε+++= 于是，单元体单位体积的改变为 3211εεεθ++=-=VVV θ称为体积应变（或体应变）。
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§10.4 空间应力状态与广义胡克定律
一、空间应力状态简介
当单元体上三个主应力均不为零时的应力状态称为空间应力状态,也称为三向应力状态.本节只讨论在已知主应力σ1、σ2、σ3的条件下,单元体的最大正应力和最大剪应力.先研究一个与σ1平行的斜截面上的应力情况,如图10-16<a>所示.该斜面上的应力σ、τ与σ1无关,只由主应力σ2、σ3决定.于是,可由σ2、σ3确定的应力圆周上的点来表示平行于σ1某个斜面上的正应力和剪应力.同理,在平行于σ2或σ3的斜面上的应力σ、τ,也可分别由〔σ1、σ3〕或〔σ1、σ2〕确定的应力圆来表示.这样作出的3个应力圆称作三向应力圆,如图10-16〔d〕所示.当与三个主应力均不平行的任意斜面上的正应力和剪应力必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内的某一点D.D点的纵横坐标值即为该斜面上的正应力和剪应力.由于D点的确定比较复杂且不常用,在此不作进一步介绍.
图10-16 空间应力状态与其应力圆
二、最大、最小正应力和最大剪应力
从图10-16<d>看出,在三个应力圆中,由σ1、σ3所确定的应力圆是三个应力圆中最大的应力圆,又称极限应力圆.画阴影线的部分内,横坐标的极大值为Al点,而极小值为B1点,因此,单元体正应力的极值为：
σmax=σ1,σmin=σ3
单元体中任意斜面上的应力一定在σ1和σ3之间.
而最大剪应力则等于最大应力圆上Gl点的纵坐标,即等于该应力圆半径：
Gl 点在由σ1和σ3所确定的圆周上,此圆周上各点的纵横坐标就是与σ2轴平行的一组斜截面上的应力,所以单元体的最大剪应力所在的平面与σ2轴平行,且与σ1和σ3主平面交450
.
三、广义胡克定律
在研究单向拉伸与压缩时,已经知道了在线弹性范围内,应力与应变成线性关系,满足胡克定律 E σε= 〔a 〕
此外,轴向变形还将引起横向尺寸的变化,横向线应变根据材料的泊松比可得出：
'E σ
εμεμ=-=- 〔b 〕
在纯剪切的情况下,根据实验结果,在剪应力不超过剪切比例极限时,剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律,即
G τγ= 或 G τγ= 〔c 〕
对于复杂受力情况,描述物体一点的应力状态,通常需要9个应力分量,如图10.1所示.根据剪应力互等定律,τxy =－τyx ,τxz =－τzx ,τyz =－τzy ,因而,在这9个应力分量中只有6个是独立的.这种情况可以看成是三组单向应力〔图10-17〕和三组纯剪切的组合.对于各向同性材料,在线弹性范围内,处于小变形时,线应变只与正应力有关,与剪应力无关；而剪应变只与剪应力有关,与正应力无关,并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变,而不会影响其它方向上的剪应变.因此,求线应变时,可不考虑剪应力的影响,求剪应变时不考虑正应力的影响.于是只要利用〔a 〕、〔b 〕、〔c 〕三式求出与各个应力分量对应的应变分量,然后进行叠加即可.
图10-17 应力分解
如在正应力σx 单独作用时<图10-17<b>>,单元体在x 方向的线应变x
xx E σε=；
在σy 单独作用时<图10-17<c>>,单元体在x 方向的线应变为：y
xy E σεμ=-；
在σz 单独作用时<图10-17 <d>>,单元体在x 方向的线应变为z
xz E σεμ=-；
在σx 、σy 、σz 共同作用下,单元体在x 方向的线应变为：
同理,可求出单元体在y 和z 方向的线应变εy 和εz.最后得 1()y y z x E εσμσσ=-+⎡⎤⎣⎦ 〔10-9〕
对于剪应变与剪应力之间,由于剪应变只与剪应力有关,并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变,而不会影响其它方向上的剪应变.因而仍然是〔c 〕式所表示的关系.这样,在xy 、yz 、zx 三个面内的剪应变分别是
12(1)yz yz yz G E μγττ+== 〔10-10〕
公式〔10-9〕和〔10-10〕就是三向应力状态时的广义胡克定律.
当单元体的六个面是主平面时,使x 、y 、z 的方向分别与主应力σ1、σ2、σ3的方向一致,这时有
广义胡克定律化为：
[]22311()E εσμσσ=-+ 〔10-11〕
ε1、ε2、ε3方向分别与主应力σ1、σ2、σ3的方向一致,称为一点处的主应变.三个主应变按代数值的大小排列,ε1 ≥ ε2 ≥ε3,其中,ε1和ε3分别是该点处沿各方向线应变的最大值和最小值.
四、 体积应变
单位体积的改变称为体积应变〔体应变〕.图10-18
所示的主单元体,边长分别是dx 、dy 和dz.在3个互相
垂直的面上有主应力σ1、σ2和σ3.
单元体变形前的体积为: v = dxdydz ;
变形后的体积为：v 1=〔dx +ε1dx><dy +ε2dy><dz
+ε3dz>
则体积应变为：
略去高阶微量,得 123θεεε=++ 〔10-12〕
将广义胡克定律式<10-11>代入上式,得到以应力表示的体积应变
图10-18 主应力单
12312312()E μθεεεσσσ-=++=
++ 〔10-13〕
令 1231()
3m σσσσ=++ 〔10-14〕
则 3(12)m m E K μσσθ-== 〔10-15〕
式中：3(12)E K μ=
-称为体积弹性模量,σm 称为平均主应力.
公式〔10-15〕表明,体积应变θ与平均主应力σm 成正比,即体积胡克定律.单位体积的体积改变只与三个主应力之和有关,至于三个主应力之间的比例对体积应变没有影响.
若将图10-19〔a 〕中所示单元体分解为〔b 〕和〔c 〕两种情况的叠加,在〔c 〕图中,由于各面上的主应力为平均主应力,该单元体各边长按相同比例伸长或缩短,所以单元体只发生体积改变而不发生形状改变.
在图〔b 〕中,三个主应力之和为零,由式〔10-13〕可得其体积应变θ也为零,表明该单元体只发生形状改变而不发生体积改变.由此可知,图〔a 〕所示的单元体的变形将同时包括体积改变和形状改变.
五、 复杂应力状态下的弹性变形比能
弹性变形比能是指物体在外力作用处于弹性状态下,在单位体积内储存的变形能.在单向应力状态下,当应力σ与应变ε满足线性关系时,根据外力功和应变能在数值上相等的关系,导出变形比能的计算公式为
图10-19 单元体应力的组合
在复杂应力状态下的单元体的变形比能为
将将广义胡克定律<10.11>式代入上式,经过整理后得出：
22212312233112()2E σσσμσσσσσσ⎡⎤=++-++⎣⎦ 〔10-16〕 式〔10-16〕就是在复杂应力状态下杆件的弹性变形比能计算公式.由于单元体的变形包括体积改变和形状改变,所以变形比能也可以看成由体积改变比能和形状改变比能这两部分的组合.
式中：u θ为体积改变比能,d u 为形状改变比能.
对于图〔10-19〔c 〕〕中的单元体,各面上的正应力为：
1231()3m σσσσ==++,将σ
m 代入式〔10-16〕得体积改变比能： 2
12312()6E μσσσ-=++ 〔10-17〕
形状改变比能：
2221223311[()()()]6E μσσσσσσ+=
-+-+- 〔10-18〕 例10-7 如图
10-20所示钢梁,在梁的A 点处测得线应变640010,x ε-=⨯612010,y ε-=-⨯ 试求：A 点处沿x 、y 方向的正应力和z 方向的线应变.已知弹性模量E=200GPa,泊松比μ=0.3.
图10-20 钢梁上某点A 的位置
解：因为A 点的单元体上σz=0,该单元体处于平面应力状态,将εx 、εy 、E 、μ代入公式〔10-9〕,得
解得：σx=80MPa,σy=0
再由。