不定积分求解方法
不定积分计算公式
不定积分计算公式不定积分是微积分中的重要内容之一，它是对函数的积分运算，是求导的逆运算。
在数学中，不定积分可以帮助我们求解各种函数的原函数，用符号∫来表示，被积函数称为被积表达式，积分变量叫做积分变量。
本文将介绍不定积分的计算方法和常用公式，并通过具体的例子进行说明。
一、基本公式1. 常数的不定积分当被积表达式为常数c时，不定积分为cx，其中x为积分变量，c为常数。
2. 幂函数的不定积分(a) 单项式的不定积分对于单项式x^n来说，其中n是非零整数，不定积分为(x^(n+1))/(n+1)+C，其中C为常数。
例如，∫x^3dx=(x^(3+1))/(3+1)+C=(x^4)/4+C。
(b) 反函数的不定积分当被积表达式为反函数1/x时，不定积分为ln|x|+C，其中C 为常数。
例如，∫(1/x)dx=ln|x|+C。
(c) 一般幂函数的不定积分对于一般的幂函数x^m来说，其中m不等于-1，不定积分为(x^(m+1))/(m+1)+C，其中C为常数。
例如，∫x^(-3)dx=(x^(-3+1))/(-3+1)+C=(x^(-2))/(-2)+C=-1/(2x^2)+C。
3. 指数函数的不定积分(a) e^x的不定积分为e^x+C，其中C为常数。
例如，∫e^xdx=e^x+C。
(b) a^x(lna)的不定积分为(a^x)/lna+C，其中C为常数，a不等于1。
例如，∫2^xdx=(2^x)/ln2+C。
4. 对数函数的不定积分lnx的不定积分为xlnx-x+C，其中C为常数。
例如，∫lnxdx=xlnx-x+C。
5. 三角函数的不定积分(a) sinx的不定积分为-cosx+C，其中C为常数。
例如，∫sinxdx=-cosx+C。
(b) cosx的不定积分为sinx+C，其中C为常数。
例如，∫cosxdx=sinx+C。
(c) tanx的不定积分为-ln|cosx|+C，其中C为常数。
例如，∫tanxdx=-ln|cosx|+C。
不定积分求解运算法则
不定积分求解运算法则不定积分求解是微积分中的重要内容之一，它可以用来求解函数的原函数，为我们提供了求解定积分和解微分方程等问题的基础。
在求解不定积分时，我们需要掌握一些运算法则，这些法则可以帮助我们更加高效地求解不定积分。
一、基本积分法则基本积分法则主要包括线性性、积化和差化和常数乘积的法则。
1.线性性：若f(x)和g(x)是连续函数，k为常数，则有：∫(kf(x) + g(x))dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx2.积化和差化：对于连续函数f(x)和g(x)，有：∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx3.常数乘积法则：对于连续函数f(x)和常数k，有：∫k f(x)dx = k∫f(x)dx二、换元积分法则换元积分法则也称为u-置换法，它是利用复合函数的求导和求逆的关系进行积分的一种方法。
1.一元换元法则：设u=g(x)是x的可导函数，f(u)是u的原函数，则有：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du2.多元换元法则：对于多元函数，设u=g(x,y)和v=h(x,y)是x,y的可导函数，f(u,v)是u,v的原函数，则有：∬f(g(x, y), h(x, y))(∂(g, h)/∂(x, y))dxdy = ∬f(u, v)dudv 三、分部积分法则分部积分法是利用求导的乘积法则进行积分的方法，可以将一个积分转化为两个因子相乘的形式，从而简化计算。
1.一元分部积分法则：设u=f(x)和v=g(x)是可导函数，f'(x)和g'(x)是它们的导数，则有：∫u v' dx = uv - ∫u'v dx2.多元分部积分法则：对于多元函数，设u=f(x,y)和v=g(x,y)是可导函数，f'(x,y)和g'(x,y)是它们的导数，则有：∫∫u ∂v/∂x dA = ∮uv dy - ∫∫∂u/∂y v dA四、有理函数分解积分法则有理函数分解积分法用于求解有理函数的不定积分，即把一个有理函数表示为几个基本函数的和的形式。
不定积分的求解方法和技巧
不定积分的求解方法和技巧不定积分是微积分中的一种重要概念，可以用来求解函数的原函数。
在求解不定积分时，有一些方法和技巧可以帮助我们简化计算和找到更好的求解路径。
接下来，我将介绍一些常见的不定积分求解方法和技巧。
一、基本不定积分公式：不定积分有许多基本公式，它们是我们在求解过程中常常会用到的工具。
下面是一些常见的不定积分公式：1. 恒等式：$\\int dx = x + C$2. 幂函数：$ \\int x^n dx = \\frac{1}{n+1} x^{n+1} + C, (n \eq -1)$3. 对数函数：$\\int \\frac{1}{x} dx = \\ln|x| + C$4. 三角函数：$\\int \\sin(x) dx = -\\cos(x) + C, \\int \\cos(x) dx = \\sin(x) + C$5. 指数函数：$\\int e^x dx = e^x + C$这些基本不定积分公式可以大大简化我们计算的过程，在求解时可以灵活运用。
二、换元法：换元法是一种常用的求解不定积分的方法。
其基本思想是，通过适当选择变量替换，使积分表达式变得简单。
设有函数$y=f(u)$, 且$u=\\varphi (x)$ 是一个可导的单调函数，且$\\varphi'(x) ≠0$。
则可以计算积分$\\int f(\\varphi(x))\\varphi'(x) dx$。
换元法的具体步骤如下：1. 选择一个合适的变量替换 $u = \\varphi(x)$。
2. 计算变量替换的导数 $\\varphi'(x)$。
3. 将原函数中的$x$ 用$u$ 表示，并将$\\varphi'(x)$ 插入到积分中。
4. 做出了新的积分表达式，对 $u$ 进行不定积分。
5. 将 $u$ 再用 $x$ 替换，得到所求积分的结果。
换元法在求解一些特定形式的不定积分时特别有用，例如复合函数的形式。
不定积分的解法汇总
不定积分的解法汇总不定积分是微积分中的一个重要概念，在实际应用中经常需要求解不定积分。
下面将汇总一些常见的不定积分的解法。
1. 一些基本的不定积分：- 常数函数的不定积分：∫c dx = cx + C，其中c为常数，C为常数。
- 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n为实数，C为常数。
- 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数。
- 正弦函数的不定积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为常数。
- 余弦函数的不定积分：∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为常数。
2. 基本积分法则：- 线性性质：∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx，其中a和b为常数。
- 乘法性质：∫f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x) dx，其中f(x)和g(x)为可微函数。
- 分部积分法：∫u dv = uv - ∫v du，其中u和v为可微函数。
4. 一些常见的特殊积分：- ∫(ax + b)^n dx = (ax + b)^(n+1)/(a(n+1)) + C，其中n为实数。
- ∫e^(ax)sin(bx) dx = (e^(ax))(asinx - bcosx)/(a^2 + b^2) + C。
- ∫e^(ax)cos(bx) dx = (e^(ax))(acosx + bsinx)/(a^2 + b^2) + C。
还有一些特殊的函数积分，比如有理函数、反三角函数和反双曲函数的不定积分，需要根据具体的情况使用不同的方法进行求解。
需要注意的是，不定积分的解法并不唯一，同一个函数可能可以使用不同的方法进行求解，有时还需要进行换元积分或部分分式分解等技巧。
有些函数可能不存在原函数，即无法求得其不定积分。
不定积分是一个复杂而多变的问题，需要根据具体的函数和积分形式选择不同的解法。
求不定积分的方法与技巧
求不定积分的方法与技巧不定积分是微积分的一个重要概念，它常被用于求出函数的原函数。
在求不定积分时，我们需要掌握一些方法和技巧，下面将介绍一些常用的方法。
1.基本积分法：这是最基本的积分方法，也是需要重点掌握的。
它是指利用函数的基本积分公式来求解不定积分。
如常数函数、幂函数、指数函数、三角函数的基本积分公式。
2.运用换元法：换元法是求不定积分中非常常用的一种方法。
它可以将原函数转化为另一个变量的函数，并通过对新变量的积分求解。
换元法中的关键是选择合适的替换变量和微分形式。
需要特别注意的是，替换变量一定要进行对应的替换。
3.部分分式法：部分分式法常用于求解有理函数的积分。
有理函数指的是多项式除以多项式的形式。
我们可以将有理函数进行分解，然后再分别进行积分。
其中分解的关键是根据多项式的次数进行合适的分子分母的拆分。
4.三角函数的积分：三角函数的积分是求不定积分中比较常见的一类问题。
需要掌握三角函数之间的积分关系，比如正弦函数、余弦函数、正切函数等的积分公式。
在求解三角函数的积分时，可能需要通过换元法或其他方法将其转化为其他函数的积分形式。
5.分部积分法：分部积分法是求不定积分中常用的一种方法，它类似于求导中的乘积法则的逆过程。
即将一个复杂的积分问题转化为两个较简单的积分问题。
在利用分部积分法时，需要选择合适的因子进行拆分，通常选择一个函数进行求导，另一个函数进行积分。
6.对称性和周期性的运用：对于一些特殊函数或特殊区间上的函数，可以利用其对称性和周期性来简化积分计算。
比如对称函数在对称区间上的积分值为零，周期函数的平均值积分等。
7.径向对称结构的积分：对于具有很多共轭因子的积分表达式，可以利用极坐标变换将其转化为极坐标系下的积分形式。
实现径向对称，使原积分化简。
8.利用积分性质：积分有一些常用的性质，比如线性性质、分段性质等。
通过运用这些性质，可以将复杂的积分问题简化为更容易求解的形式。
比如可以将一个积分表达式拆分为多个积分求和的形式。
举例说明不定积分计算的一些常用方法
举例说明不定积分计算的一些常用方法以《举例说明不定积分计算的一些常用方法》为标题，写一篇3000字的中文文章不定积分是微积分中一个重要的概念，它专门用于计算函数不定积分。
不定积分通常用于求解微分方程，以及解决物理学、化学、经济学等多种学科中的问题。
本文旨在举例说明不定积分计算的一些常用方法。
第一种不定积分的计算方法是分部积分法。
分部积分由较简单的函数组合而成，通过求解部分函数，可以解决较复杂的函数求积问题。
例如，当计算函数《f(x) = x2 + 5x - 4》的不定积分时，可以先求解其中的x2，再求解5x，最后求解-4，即可结合三部分求出总的积分结果。
第二种不定积分的计算方法是分变量法。
通常，函数的求积过程是由多个变量组成的。
分变量法是把函数中的多个变量分开求积，最后结合起来求出积分结果。
比如，当计算函数《f(x, y) = 6xy + 3x2》的不定积分时，先求解其中的6xy，然后求解3x2，最后结合这两部分求出总的积分结果。
第三种不定积分计算方法是解析技巧法。
解析技巧法是通过利用函数本身的性质，运用解析方法求解不定积分。
比如，当计算函数《f(x) = 3 sin2x》的不定积分时，可以利用函数本身的性质，把sin2x分解为2 sinx cosx，再利用解析技巧求解出总的积分结果。
第四种不定积分计算方法是变形法。
变形法是把原来的函数按照一定的规则变形，然后再进行不定积分求解。
例如，当计算函数《f(x) = x3 + lnx》的不定积分时，可以把x3变形为x2 + 1，再结合lnx，按照分部积分法求解出总的积分结果。
是一种非常有效的计算不定积分的方法。
关于不定积分的计算，还包括导数分段法、反函数分段法、积分变换法、高等数学方法等。
不定积分的计算不仅要掌握其计算方法，还要有较强的数学解题思维。
以上就是本文举例说明不定积分计算的一些常用方法，希望可以给大家带来帮助。
在计算不定积分时，需要根据实际情况选择最合适的方法，以达到最快的求解效果。
不定积分的求解技巧和方法
不定积分的求解技巧和方法不定积分是微积分学中的重要概念，可以用于求解函数的原函数。
在求解不定积分时，我们可以使用一些常见的技巧和方法来简化计算过程。
下面将介绍一些常见的不定积分求解技巧和方法。
1. 基本积分法：基本积分法是最常用的不定积分求解技巧。
它基于导函数与原函数的关系，即求一个函数的导函数时，再反向求解出原函数。
常用的基本积分公式包括幂函数积分、指数函数积分、三角函数积分等。
2. 分部积分法：分部积分法用于解决乘积函数的积分。
根据分部积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，我们可以选取两个函数u和v来进行积分求解。
常见的选择包括选择一个函数的导函数为u'(x)，另一个函数为v(x)，或者选择一个函数的原函数为u(x)，另一个函数的导函数为v'(x)。
通过多次应用分部积分法，可以将原函数的积分分解为更简单的形式。
3. 代换法：代换法是一种常见的不定积分求解技巧。
它基于替换变量的原理，通过选择适当的变量代换，将原函数的积分转化为更简单的形式。
常见的代换法有换元法、三角代换法等。
在使用代换法时，需要选择合适的变量替换，并计算出变量的微分，再将原函数用新的变量表示。
4. 递推法：递推法是一种特殊的不定积分求解方法。
递推法的基本思想是将一个复杂的积分问题，通过递推求解出一个简单的积分问题，并根据递推关系得到原函数的积分表达式。
递推法通常适用于具有特定递推关系的函数，例如级数的递推关系。
5. 分数分解法：分数分解法是一种用于解决有理函数积分的方法。
有理函数是由多项式函数和分式函数构成的函数。
通过将有理函数进行分数分解，可以将积分转化为多个简单的有理函数的积分。
分数分解法常用于解决分式函数的积分，例如部分分式分解。
6. 特殊函数积分法：特殊函数积分法是一种根据特殊函数的性质和定义，对特殊函数的积分进行求解的方法。
特殊函数包括超几何函数、伽玛函数、贝塞尔函数等。
不定积分的计算方法
不定积分是微积分中的重要概念之一，它可以用来求函数的原函数。
在求不定积分时，我们主要使用的是一些基本的计算方法，如换元法、分部积分法和常数因子法等。
接下来，我们将逐一介绍这些方法。
首先是换元法。
它是利用导数和基本积分公式的逆运算，将积分转化为“求导”的逆运算。
具体步骤为：先选择一个合适的变量代换，使被积函数简化或形式明显，然后求出变量代换的导数，带入积分式中进行计算，最后用原变量表示出结果。
其次是分部积分法。
该方法适用于一些具有乘积形式的被积函数。
分部积分法的基本思想是将被积函数中的乘积分解成两个函数的乘积，然后通过部分积分公式将积分转化成一个普通的不定积分。
具体步骤为：选择一个作为“u”的函数，找到它的导函数“du”，同时选择另一个作为“dv”的函数，“v”为“dv”的不定积分。
然后，利用分部积分公式进行计算，得出最终结果。
分部积分法常被用于求含有幂函数、指数函数、三角函数和对数函数等的不定积分。
最后是常数因子法。
该方法适用于一些被积函数中存在常数因子的情况。
常数因子法的基本思想是将常数提取到积分外面，然后对去除了常数因子的函数进行不定积分。
具体步骤为：先提取出常数因子，“a”，然后将被积函数中除去常数因子的部分进行不定积分，最后将结果与常数因子相乘得到最终的结果。
除了上述方法，我们还可以利用一些基本的不定积分公式进行计算，如幂函数的不定积分公式、指数函数的不定积分公式、三角函数的不定积分公式等。
掌握这些公式，能够大大简化我们的计算过程。
在进行不定积分计算时，我们还需要注意一些特殊的情况。
例如，被积函数出现无界函数时，我们需要分段计算不定积分；当被积函数存在一些不连续点时，我们需要将积分区间分为多个相互不重叠的区间，并对每个区间进行计算；对于有理函数的不定积分，我们还需要进行分式分解，化简后再进行计算。
综上所述，求解不定积分的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法。
在实际应用中，往往需要运用多种方法相结合，以便更好地完成计算工作。
不定积分求解方法
不定积分的题目不要忘记后面的常数C 1. 【凑微分法】3222321211sin cos 93331321cos arctan333x x x dx x x d x x x x x C⎛⎫-+=++ ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+++⎰⎰2. 【凑微分法】()()11ln 35ln 35ln 11135ln ln 35ln 535ln 5dx d xx x x d x x Cx=++=+=+++⎰⎰⎰3. 【凑微分法】3341sin cos sin sin sin 4x xdx xd x x C ==+⎰⎰4. 【换元法】24x dx -⎰解 令2sin ,2cos ,,,22x t dx tdt t ππ⎛⎫==∈-⎪⎝⎭则所以 ()2142cos 2cos 21cos 22sin 22sin 22x dx t tdt t dt t t C t t C ⎛⎫-=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2242sin ,cos 1sin 2x x t t t -==-=由知22442sin 222sin cos 2arctan22x x xx dx t t C t t t C C--=++=++=++⎰5. 【无理函数积分】311dx x+⎰解 令323,,3t x x t dx t dt ===则，所以()()()22232111211133311111331233ln 112t t t tdx dt dt dttttxt dt t t t C t +-+-+-===++++⎛⎫=+--=-+++ ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰所以323331333ln 121dx x x x Cx=-++++⎰【分部积分法：udv uv vdu =-⎰⎰，凑dv 的顺序为，反对幂指三或者对反幂指三，即排序靠后的凑dv 】6. 【幂函数和对数函数，口诀中幂函数排在后面，所以幂函数来凑dv 】ln x xdx ⎰2222221111111ln ln ln ln ln ln 2222224x xdx xdx x x x d x x x xdx x x x C ==-=-=-+⎰⎰⎰⎰7. 【幂函数和指数函数，口诀中指数函数排后面，所以指数函数来凑dv 】2xx e dx ⎰22222222xx x x x x x xx e dx x de x e e dx x e xe dx x e xde==-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰222222xxxxx xx e xe e d x x e xe e C =-+=-++⎰8. 【类型相同的函数找容易凑的凑dv 】33333ln 33x xx x x x x x x x x xe dx de e e d e e dx ==-=-⎰⎰⎰⎰所以331ln 3xxxxee dx C =++⎰。
不定积分技巧总结
不定积分技巧总结
不定积分是微积分中的重要内容，下面总结一些常用的不定积分技巧：
1. 分部积分法：对于两个函数的乘积，可以利用分部积分法将其转化为一个函数的导数与另一个函数的积的形式，从而简化计算。
2. 代换法：对于复杂的函数，可以通过代换变量来简化计算。
常见的代换变量包括三角函数、指数函数、对数函数等。
3. 部分分式分解法：对于有理函数，可以通过部分分式分解将其拆分为多个简单的分式，从而更容易进行积分计算。
4. 凑微分法：对于一些特殊形式的函数，可以通过凑微分的方式将其转化为已知的积分形式，从而简化计算。
5. 倒代换法：对于一些特殊的函数形式，可以通过倒代换的方式将其转化为已知的积分形式，从而简化计算。
6. 利用对称性：对于一些具有对称性的函数，可以利用对称性简化计算，如奇偶函数的积分等。
7. 利用积分表：对于常见的函数，可以利用积分表中的已知结果来进行计算，减少计算量。
8. 利用特殊函数性质：对于一些特殊函数，可以利用其性质来简化
计算，如指数函数、对数函数等。
9. 利用积分性质：对于积分的性质，如线性性质、积分区间可加性等，可以利用这些性质简化计算。
10. 利用对数微分法：对于一些特殊的函数形式，可以利用对数微分法将其转化为已知的积分形式，从而简化计算。
需要注意的是，不定积分的计算有时需要多种技巧的结合运用，而且不同的函数形式可能需要不同的方法来求解，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
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不定积分求解方法 本页仅作为文档封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March 探讨不定积分的解题方法 班级 学号 姓名 51 杨洁珊 摘要 在数学分析中，不定积分占有非常重要的地位，是高等数学教学的难点和重点．具有很高的灵活性，可以开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三、触类旁通的教学效果。 为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。 研究不定积分要重在提高自己的逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想运算能力以及应用能力。求解不定积分的过程对学生的科学思维和文化素质的培养所起的作用极为明显。 求解不定积分的方法主要有直接积分法（即直接利用积分公式求解）、换元积分法（第一换元积分法、第二换元积分法）、分部积分法。 关键词 不定积分、直接积分法、换元积分法、分部积分法、分解积分法。 前言 正如假发有逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法。我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，相反：求一个未知函数使其导函数恰好是某一已知函数。提出这个逆问题，首先是因为它出现在许多实际问题之中，如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的，求曲线方程等等这些都是积分在生活中的应用，特别是在物理学中的应用，变力做功，质点做变速直线运动的路程以及引力问题。所以掌握不定积分的求法，在我们的数学物理科学研究工作中显得尤为重要。 标题一、直接积分法 我们已经知道积分法是微分的逆运算，即直接积分法就是利用最基本的积分公式求解积分。要掌握这一方法首先就应该熟记，并懂得灵活运用。 下面的基本积分表就必须掌握 1.0dxc
2adxaxc 3. 10,01aaxxdxcaxa 41ln||0dxxcxx 5.xxeec 4
6.(0,1)lnxxaadxcaax4
17.cossinaxdxaxca
18sincos0axdxaxcaa
29sectan0xdxxca
210.csctanxdxxc
11.sectansecxxdxxc 12.csccotcscxxdxxc
213.arcsinarccos'1dxxcxcx
214.arctancot'1dxdxxcarcxcx
22115.ln||2dxxacxaaxa
16.secln|sectan|xdxxxc 在实际计算中最重要的是要把复杂的运算转化为熟悉的积分公式，如下几种情况 (1).假分式化为真分式 方法：分母不改变，对分子进行拼凑，转化为真分式。 例：5
6264422242222242
2
53
112211112111121112arctan53xdxxxxxxxdxxxxxxxdxxxdxxdxdxxxxxxC
(2).复杂的三角函数利用积化和差公式转化为熟悉的积分公式 1.sinsincoscossin
2.sinsincoscossin
3.coscoscossinsin
4.coscoscossinsin
5sinsin2cossin
6.sinsin2sincos
7.coscos2sinsin
8.coscos2coscos
6
9.sinsin2sincos22
10.sinsin2sincos22
11.coscos2coscos22
12.coscos2sinsin22
例1：求2sinxdx 解：2sinxdx 1cos2111cos2sin22224xdxdxxdxxxc
（利用到公式7） 例2：求cos3sinxxdx 解：1111cos3sinsin4sin2cos4sin22242xxdxxxdxxxc
（利用公式5） 标题二、换元积分法 所谓不定积分的换元法，其实质就是：当直接求某个积分不能转化为积分公式时，则通过换元转化。●定义：设函数fx在区间I上有定义，t在在区间J上可导，且JI。
（1）、第一换元法：如果不定积分fxdxFxdxc在I上存在，则不定积分,fttdt在J上也存在，且'fttdtFtc
。
该方法的基本思路是把所求的被积函数通过适当的变量代换后，化成积分公式中的某一被积形式，然后代入积分公式求出结果，所以，也称为“凑微分法”。基本步骤是凑微分换元积分回代。 （2）、第二换元法：如果xt在J上存在反函数1tx，xI，且不定积分fxdx在I上存在，则当不定积分1fxdxGxC
。
基本步骤：换元积分回代。 (())()[()]()xtfxdxfttdt换元令′
()Ftc积分
11[()]Fxc回代t=(x)
●要掌握换元法关键在于能够判断是用哪一种，或许两种还换元都可以，学会判断，总结才是真正能够运用着一方法的精髓。下面将对经常遇到的情况进行总结。 ◆第一换元法的应用(1) “凑”：将被积函数中的某个函数直接与dx凑成微分形式； 例：求dxxex22.
分析：其中2x与xe凑成微分形式。 解：dxxex22=22xdex
令ux则22xdex=dueu= ueC 将2ux回代，则2xuee,所以dxxex22= 2xeC (2) 变形后再“凑”，有些积分通过恰当的变形（加、减、乘、除某 些因子）后，可以使用凑微分法。 例：
求 221dxxx
9
2232
222
2
1111111,111111dxxxdxxxduxxxxuduuuCxCx
换元
回代 ◆第二换元积分法的应用 一般地采用第二换元积分法的情形：被积函数中含有根式，目的是去掉根号。
例1：求3duuu⑴ 解：为去掉被积函数中的根式，取根的次数2与3的最小公倍数6，并令6ux，则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分。 解：10
3532
2
32
366
616116ln|1|322366ln|1|duuuxdxxxxxdxxxxxxCuuuuC
例2:求22dxxa⑵ 解：令sec,02xatt（同理可考虑t0的情况）于是有
22sectansectanln|sectan|dxxaattdttdtatttC•
借助直角三角形，便于求出22sec,tanxxattaa,故得