排列组合——小球盒子模型
排列组合(正式版)
排列组合——隔板法隔板法就是在n 个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b ）个板，可以把n 个元素分成（b+1）组的方法.应用隔板法必须满足三个条件：（1） 这n 个元素必须互不相异（2） 所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异.【例题解析】例1、把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？（3629=C ）例2、高二年级8个班级协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班级至少要出一名，有多少种不同的 组成方式？分析：将10名队员理解成10个球，排成一列，共形成9个空隙，设想有7个隔板，将排成一列的10个球隔成8段，注意：任意两块隔板不能相邻！故为3679=C 种. 附加：从5个学校选出8名学生组成代表团，每校至少有一人的选法种数是多少？分析：问题转化为将8个学生分成5组，每组至少一人，故有3547=C 种选法.例3、求方程X+Y+Z+W=23的正整数解的个数.分析：我们设想有23个无区别的球排成一列，共形成22个空，可以理解为有3块隔板，将排成一列的球隔成4段，共有1540322=C 个正整数解。
对某些不符合上述隔板法条件的一些问题可以通过一些技巧“转化”为符合条件的隔板问题.〖技巧一：添加球数用隔板法〗例4、求方程X+Y+Z+W=23的非负整数解的个数.分析：注意到x 、y 、z 、w 可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，此时只要添加四个球，给x 、y 、z 、w 各一个球。
这样原问题就转化为求X+Y+Z+W=27的正整数解的个数了，故解的个数为2600326=C .例5、20个相同的球分给3个人，允许有人不取，但必须分完，有多少种分法？分析：问题转化为：20个相同的球分给1，2，3编号的盒子，允许有盒为空，但必须分完，有多少种分法？解析：添加3个球，给3个人每人一个，问题转化为：23个相同的球分给3个人，每人至少分一个球，且必须分完，有多少种分法？也就是23个球有22个空隙，2块隔板分成三部分，231222=C 种.评述：这个问题是典型的玻瑟——爱因斯坦（Bose-Einstein ）统计模型：要将k 个相同的球放入n 个不同的盒子,每盒所放球数不限,有多少种不同放法?〖技巧二：减少球数用隔板法〗例6： 将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数.分析：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个无区别的球,问题等价于将14个球放入4个编号为1,2,3,4的四个盒子里，每个盒子至少有一个球的问题.剩下14个无区别的球排成一列，共形成13个空，可以理解为有3块隔板，将排成一列的球隔成4段，每段至少1个，有286313=C 种.附加：20个不加区别的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子里，要求每个盒内的球数不小于盒子的编号数，问有多少种放法？解析：先取出3个球，在编号1，2，3的三个盒子内分别放0，1，2个球。
小球与盒子的问题
⼩球与盒⼦的问题这类问题的基本模型是：你有n个⼩球，m个盒⼦，现在想把这n个⼩球放进m个盒⼦中，问有多少种放的⽅法但是只给出这样的条件并不⾜够，我们必须加上⼀些限制，否则结果是不确定的⼀般加的有三个限制，即⼩球是否有区别、盒⼦是否有区别、允不允许有空盒⼦，也因此可以组合出⼋种不同的问题接下来我们逐个讨论这⼋种问题⼀.⼩球有区别，盒⼦有区别，允许有空盒⼦这是最简单的，因为每个⼩球都有m种不同的放法，于是总共有m n种不同的放法⼆.⼩球有区别，盒⼦有区别，不允许有空盒⼦⾸先是初等的情况：如果m>n，那么显然是不可能放好的，⽅案数为0那么如果m=n，答案就是n!（注意不是n!m!，这是初学者常犯的错误，你不能让这俩⼀起变化）⽽对于n>m的情况，我们不妨构造⼀个递推式f[n][m]表⽰把n个不同⼩球放进m个不同盒⼦的⽅法，那么当我们新增⼀个⼩球的时候，我们可以有：f[n+1][m]=m∗(f[n][m]+f[n][m−1])，这个递推式成⽴的原因是：当我们新增⼀个⼩球的时候，⾯对m个盒⼦就有两种可能，⼀种是原来这m个盒⼦都已经有球了，那么这个⼩球随便选个盒⼦放进去就⾏，另⼀种是原来只有m−1个盒⼦⾥有球，这样这个新来的球只能放在没有球的那个盒⼦⾥，但是由于盒⼦不同，没有球的盒⼦可能是这m个盒⼦中任何⼀个，因此也有m种可能三.⼩球没区别，盒⼦有区别，不允许有空盒⼦这种情况等价于求⽅程x1+...+x m=n的所有正整数解的组数实际上就是决定每个盒⼦⾥要放⼏个⼩球，那么我们采⽤隔板法，把⼩球排成⼀⾏，这样⼩球之间⼀共有n−1个空隙，然后在这n−1个空隙中选择m−1个空隙放下隔板，这样第i个隔板与第i+1个隔板之间就是要放进第i+1个盒⼦的⼩球，于是答案即为C m−1n−1四.⼩球没区别，盒⼦有区别，允许有空盒⼦这种情况等价于求⽅程x1+...+x m=n的所有⾮负整数解的组数这种情况也很容易，我们再拿m个⼩球过来，在每个盒⼦⾥都放⼀个，这样问题就转化成了你有n+m个⼩球，放进m个盒⼦⾥，不允许有空盒⼦的上⾯三的情况，那么答案即为C m−1n+m−1但是如果换⼀个⾓度，我们说允许有空盒⼦，那么我们忽略所有空盒⼦剩下的盒⼦就是不空的（废话），那么我们假设有i个盒⼦⾮空，那么放法就是C i−1n−1，⽽由于盒⼦不同，选出这i个不空的盒⼦的⽅法为C im，于是答案即为∑mi=1C i m C i−1n−1，那么我们还可以获得⼀个组合恒等式：∑m i=1C i m C i−1n−1=C m−1n+m−1五.⼩球有区别，盒⼦没区别，不允许有空盒⼦这⾥开始变得有些困难了，我们考虑递推：设f[n][m]为此时的⽅案数，那么有转移f[n+1][m]=mf[n][m]+f[n][m−1]这个递推式的合理性在于，当我们新加⼀个⼩球的时候有两种可能的情况，⼀种是原来的m个盒⼦已经放满了，那么可以任选⼀个盒⼦放进去，另⼀种是还有⼀个空盒⼦，但是由于盒⼦没区别，所以空的是哪个⽆所谓，故前者要乘m，后者不乘记S2(n,k)=f[n][k]，这就是第⼆类斯特林数第⼆类斯特林数S(n,k)表⽰将n个不同元素划分为k个集合的⽅案数递推式：S(n,k)=S(n−1,k−1)+kS(n−1,k)组合意义下的写法：S(n,k)=1k!∑ki=0(−1)i C(k,i)(k−i)n这样的话，考虑快速求斯特林数的⽅法：展开后⾯的组合数：S(n,k)=1k!∑ki=0(−1)ik!i!(k−i)!(k−i)n然后扔到前⾯去：S(n,k)=∑k i=0(−1)ii!(k−i)n(k−i)!这就是卷积了嘛性质：m n=∑m i=0C i m S(n,i)i!六.⼩球有区别，盒⼦没区别，允许有空盒⼦由于允许有空盒⼦，那么我们忽略所有空盒⼦就是必须放满的情况，那么答案就是∑m i=1S2(n,i)（即只放在⼀个盒⼦~放在全部m个盒⼦的⽅案数之和）七.⼩球没区别，盒⼦没区别，允许有空盒⼦这实际上就是把n拆成m个⾮负数之和的⽅案数，⼀般将这个数记作P m(N)，但是这⾥可以写出⼀个递推P[n+m][m]=P[n][m]+P[n+m][m−1]，这个递推的思想是分两类讨论，⼀类是没有空盒⼦，那么相当于是在n进⾏m拆分的基础上每个数加上1，⽽如果有空盒⼦，那么不妨在m−1个盒⼦的基础上多放⼀个空盒⼦就可以。
解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型--“小球入盒”模型
解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型--“小球入盒”
模型
凤斌;叶菊
【期刊名称】《青苹果：高中版》
【年(卷),期】2016(000)005
【摘要】数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并“解决”实际问题的数学模型的一种强有力的数学手段。
排列组合问题的情景设置千变万化，“小球入盒”是一类典型的数学模型，将其用来解读排列、组合问题，可以搭起挖掘知识的内涵和外延的平台，直击目标。
【总页数】3页(P42-44)
【作者】凤斌;叶菊
【作者单位】安徽省宿州二中
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型——『小球入盒』模型 [J], 凤斌;叶菊
2.排列组合中一类分组分配问题的统一球盒模型 [J], 姜保庆;郭旌巍;张忠军
3.利用"球入盒"模型解决分组问题 [J], 叶德凤
4.解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型——“小球入盒”模型 [J], 凤
斌;叶菊;
5.利用“球入盒”模型解决分组问题 [J], 司振玲
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数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题
数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题作者：蔡丽菊来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第08期在高中数学中有《排列组合》这一章，对学生逻辑推理能力、分类讨论以及建构模型的能力都有极高的要求，包括现在的数学竞赛中都涉及排列组合问题。
其中，“小球与盒子”的模型问题一直是一个热门话题。
由于球与盒子都有着“相同”与“不同”的分类，并且具有知识上的综合性、解题技巧上的灵活性以及思维方式上的抽象性，使同学对此类问题感到很是困惑，感觉千变万化，无从下手。
下面我就对此模型问题的解法及运用作一个总结和分析，望同学有所感悟。
类型一：不同小球入不同盒子的模型1.球少盒多型例1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，有几种不同的放法？解：分四步完成，每一个小球都有5种放法，所以共有种不同的放法。
变式1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至多放一个，有几种不同的放法？解：与例1相比，这次把盒子看成元素，即从5个不同的盒子里任意取出4个盒子，来放4个不同的小球，所以这是个排列问题。
有种不同的方法。
变式2：若将5个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：此题是5个不同小球的全排列问题，所以有种不同的方法。
注：此类问题一般用排列组合思想，利用分步计数原理2.球多盒少且每盒至少放一球型例2：若将5个不同的小球，放入4个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：分两步完成，先将5个小球先分成4组，根据题意，每组分别是2个、1个、1个、1个，有种方法；然后再将分成4组的小球放到4个不同的盒子里，相当于全排列，即有种方法，所以共有种不同的方法。
变式：若将5个不同的小球放入4个不同的盒子里，恰有1个空盒，有几种不同的放法？解：分三步完成。
第一步，选1个空盒，有种不同的方法；类型二：相同小球放入不同盒子的模型例3：若将10个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子不空，有多少种不同的放法？解：此类问题可以用隔板法解决，即在10个小球中间的9个空中放两个相同隔板的问题，自然分成3组，代表放入三个不同盒子中，故有种方法。
球盒模型的概率问题
定理2.1.4多重集合中取k个元的排列，若限定元素 出现的次数集合为Mi(1<_i<_n)，把这种排列的个数记为Ck，则数列的指数型生成函数
定理2.1.5把k个不同的球放入n个不同的盒子中，限定盒子a，的容量集合为
Mi(1<_i<_n),则其分配方案数的生成函数为
组合数学最早是同数论和概率论交叉在一起的.概率方法是解决离散数学尤其是组合数学中许多问题的强有力工具。该方法
在组合数学中应用大致分为两类：一类是非构造性的概率方法,该类方法从本质上
讲，是一种粗糙的计数论证方法，常被用来断定具有某种特性的组合对象的存在
性；一类是构造性的概率方法,该方法是用概率的语言描述一些组合对象，然后借
助概率论中的方法与技巧解决组合分析的问题。非构造性概率方法就是用基本概率方法、期望的线性法在一些组合问题中的应用,如何用它们来证明一些命题和定理。构造性概率方法，即一些常见组合变量(以后统称组合数为组合变量)的概率表示,诸如Stirling数、Bell数、调和数、Fibonacci数、错排数都可以表示为一些随机变量的矩,这些概率表示可以用来研究组合和式的计算与恒等式的证明。本文主要研究了概率方法在一些重要组合数中的应用。
组合数学与概率论中的离散型随机理论密切相关，而球盒模型是用组合数学的知识解决概率论中的离散型随机问题的重要数学方法。在离散型随机理论方面，组合数学与相关的离散数学的方法占据了一个非常重要的中心位置。在这些方法中，组合列举的方法和基本的有限差分的计算方法是最主要的。尤其是，在离散型概率理论中，随机现象或随机实验被描述为是球放入盒子的随机分配模型。在
，…，则有P(A1 A2 .......)=P(A1)+P(A2)+…;当n→∞时频率fn(A)在一定
构建模型巧解组合题 学法指导 不分版本
构建模型巧解组合题徐建晔排列、组合知识内容丰富，应用广泛，是学习概率统计知识的基础。
它的题型多变，解题思路灵活，解法多样，不易掌握。
若能构建模型，则能得到巧妙、新颖的解法，举例如下。
例1 8个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中。
（1）每个盒子至少有1个小球的不同放法有多少种？（2）若可以有空盒子，则不同的放法有多少种？解析：（1）将8个小球排成一排，中间有7个间隔，在这7个间隔中选出3个放上“隔板”。
如○|○○|○○○|○○，隔板将8个小球分成4部分。
每一种隔板的插法，就对应着小球的一种放法，所以不同的放法有37C 种。
（2）因为可以有空盒，所以隔板之间允许无球，插入法无法应用。
但仿效（1）可建数学模型。
将三个隔板与8个小球排成一排，有11个可放隔板的位置。
如○○||○○|○○○○，隔板将一排球分成4部分，这相当于4个盒子分别放入2个、0个、2个、4个小球。
每一种隔板的方法，就对应着小球的一种放法，排列的位置有11个，先从11个位置中选出3个位置放隔板有311C 种排法，放好隔板的同时，球的位置也就确定，所以球的放法有311C 种。
例2 空间两个平面，其中一个平面内有5个点，另一个平面内有4个点，在任意2点连成的直线中，异面直线最多有（ ）A. 360对B. 120对C. 240对D. 220对解析：同学们解题时也许会感到无处下手，若先求出有多少直线，再分类讨论有多少异面直线，则问题就显得太复杂。
若联想到一个三棱锥中有3对异面直线，此题就可转化为可确定多少个三棱锥的问题。
由题意知，最多可确定的三棱锥的个数为：120C C C C C C 153********4=++。
故构成最多的异面直线的对数为：3601203)C C C C C C (3153425243514=⨯=++。
故选A 。
例3 正方体有8个顶点，过每2个顶点引一条直线，这些直线是异面直线的对数是（ ）。
A. 28C 21B. 48C 3C. 48C 4D. )12C (348- 解析：同理，由例2可知先构造三棱锥，再求解。
球与盒子的排列组合问题(精华版)
球与盒子的排列组合问题（精华版）首先看一下分类，主要有8种：1）球同，盒同，无空箱2）球同，盒同，允许空箱3）球同，盒不同，无空箱4) 球同，盒不同，允许空箱5) 球不同，盒相同，无空箱6）球不同，盒相同，允许空箱7) 球不同，盒不同，无空箱8）球不同，盒不同，允许空箱做这种题型关键是要对号入座，下面的解释分析统一假设m个球，n个盒子。
先从最简单入手，第8种，每个球都有n种选择，所以是n m剩下的我们先从前四种（数字都不会太大，且分析较简单）开始。
做题时一看到球同，盒同，就想到凑数法，事实证明这是最快的一种方法。
如第（1）种，假设m=7，n=4.它的情况只有 1 1 1 41 12 31 2 2 2这3种情况，所以答案是3.第（2）种是在第（1）种的基础上延伸它的情况如下0，0，0，70，0，1，60，0，2，50，0，3，40，1，1，50，1，2，40，1，3，30，2，2，31，1，1，41，1，2，31，2，2，2所以答案是11种。
第（3）种，典型的插板法（不懂的网上搜一下）。
记住就行1-n1-m C第（4）种，是上面方法的延伸，同样记住就行1-n1-nm C下面分析球不同的（５）（６）（７）３种情况先给各位献上一张表，大家别看到数字就害怕了，其实也就是类似与乘法口诀表，（５）（６）（７）的答案都可以在这个表上找到。
看一下图上的数字是怎么来的，看下面解释第一左右两边都是1，第几行就有几个数，比如第5行就是1XXX1第二S（n,k)=S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k)，含义是第N排的第K个数等于他上一排的上一个位置数字加上一排的同样位置数字的K倍例如S（7，3）就是第7排第3个数字，所以他等于上排第6排第2个数字+第6排第3个位置*3所以画图的话，明显第1排是1，第2排1，1，推理第3排（左右两边都是1，只有中间那个数字没确定）所以S(3,2)=第2排第1个数字+第2排第2个数字两倍=1+1*2=3，所以第3排数字就是1,3,1.同理S(4,2)=S(3,1)+2*S(3,2)=1+2*3=7,S(4,3)=S(3,2)+3*S(3,3)=3+3*1=6......如此类推三角形所以第（5）种即：N不同球，M同箱子，无空箱。
排列组合：小球入盒
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。
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① ② ③
A —— BC —— DE BD —— CE BE —— CD CD —— BE CE —— BD DE —— BC
B —— A
C —— DE A
D —— C
E AE —— CD CD —— AE CE —— AD DE —— AC C —— AB —— DE AD —— BE AE —— BD BD —— AE BE —— AD DE —— AB D —— AB —— CE
AC —— BE AE —— BC BC —— AE BE —— AC CE —— AB E —— AB —— CD AC —— BD AD —— BC BC —— AD BD —— AC CD —— AB
排列组合——小球盒子模型
例1. 5个不同的小球放入3个不同的盒子里面，第1个盒子放1个，第2个和第3个盒子各
放2个，有多少种不同的方法？
解：设5个小球分别为A 、B 、C 、D 、E ，三个盒子分别为①、②、③
从5个小球种选出1个放入第1个盒子里有C 1
5种方法，从剩下的4个小球中选出2
个放入第2个盒子里面有C
24
种方法，把剩下的2个球放入剩下的1个盒子里，有1
种方法，所以共有302
41
5=⋅C C 种方法。
例2. 5个不同的小球放入3个不同的盒子中，若有两个盒子各放2个，1个盒子放1个，有
多少种不同的放法？
解：设5个小球分别为A 、B 、C 、D 、E ，三个盒子分别为①、②、③
从3个盒子中选1个盒子放1个球有
C
1
3
种方法，从5个球中选择1个放进去有C
15
种
方法，从剩下的4个球中选择2个放进剩下的2个盒子中的1个里面有C
24
种方法，把
剩下的2个球放进剩下的1个盒子中有1种方法，所以共有902
41
51
3=⋅⋅C C C 种方法。
① ② ③ A —— BC —— DE BD —— CE BE —— CD CD —— BE CE —— BD DE —— BC B —— AC —— DE AD —— CE AE —— CD CD —— AE CE —— AD DE —— AC C —— AB —— DE AD —— BE AE —— BD BD —— AE BE —— AD DE —— AB D —— AB —— CE AC —— BE AE —— BC BC —— AE BE —— AC CE —— AB E —— AB —— CD AC —— BD AD —— BC BC —— AD BD —— AC CD —— AB
② ① ③ A —— BC —— DE BD —— CE BE —— CD CD —— BE CE —— BD DE —— BC B —— AC —— DE AD —— CE AE —— CD CD —— AE CE —— AD DE —— AC C —— AB —— DE AD —— BE AE —— BD BD —— AE BE —— AD DE —— AB D —— AB —— CE AC —— BE AE —— BC BC —— AE BE —— AC CE —— AB E —— AB —— CD AC —— BD AD —— BC BC —— AD BD —— AC CD —— AB
③ ① ② A —— BC —— DE BD —— CE BE —— CD CD —— BE CE —— BD DE —— BC B —— AC —— DE AD —— CE AE —— CD CD —— AE CE —— AD DE —— AC C —— AB —— DE AD —— BE AE —— BD BD —— AE BE —— AD DE —— AB D —— AB —— CE AC —— BE AE —— BC BC —— AE BE —— AC CE —— AB E —— AB —— CD AC —— BD AD —— BC BC —— AD BD —— AC CD —— AB
放1个球的盒子 放2个球的盒子 放1个球的盒子 放2个球的盒子 放1个球的盒子 放2个球
的盒子
例3. 5个不同的小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子至少放1个，有多少种不同的放法？ 解：设5个小球分别为A 、B 、C 、D 、E ，三个盒子分别为①、②、③ 分成2类
第1类和例2相同，共有
902
41513=⋅⋅C C C 种方法；
第2类，从3个盒子中选1个盒子放3个球有C
13
种方法，从5个球中选择3个放进去
有
C
3
5
种方法，从剩下的2个球中选择1个放进剩下的2个盒子中的1个里面有C
12
种
方法，把剩下的1个球放进剩下的1个盒子中有1种方法，所以共有60
1
23
51
3=⋅⋅C C C 种方法，所以共有1506090=+种方法。
例4. 5个不同的小球分成3组，有1组有1个球，2组各2个球，有多少种分法？
解：先按例1做，即“5个不同的小球放入3个不同的盒子里面，第1个盒子放1个，第2
S
1,2,2放置
3,1,1放置
F
① ② ③ ABC ——— D —— E E —— D ABD ——— C —— E E —— C ABE ——— C —— D D —— E ACD ——— B —— E E —— B ACE ——— B —— D D —— B ADE ——— B —— C C —— B BCD ——— A —— E E —— A BCE ——— A —— D D —— A BDE ——— A —— C C —— A CDE ——— A —— B B —— A 放3个球的盒子 放1个球的盒子
② ① ③ ABC ——— D —— E E —— D ABD ——— C —— E E —— C ABE ——— C —— D D —— E ACD ——— B —— E E —— B ACE ——— B —— D D —— B ADE ——— B —— C C —— B BCD ——— A —— E E —— A BCE ——— A —— D D —— A BDE ——— A —— C C —— A CDE ——— A —— B B —— A
③ ② ① ABC ——— D —— E E —— D ABD ——— C —— E E —— C ABE ——— C —— D D —— E ACD ——— B —— E E —— B ACE ——— B —— D D —— B ADE ——— B —— C C —— B BCD ——— A —— E E —— A BCE ——— A —— D D —— A BDE ——— A —— C C —— A CDE ——— A —— B B —— A
放3个球的盒子 放1个球的盒子 放1个球的盒子 放3个球的盒子
个和第3个盒子各放2个”，共有
302
415=⋅C C 种方法；下面观察例1的列举图发现，
当盒①中为“A ”时，有如下两种分法
而对于“分组”来说，这只是一种分法，例1中每一种分法都有1次这样的重复，要减
去重复的可以看成“BC ”和“DE ”做了一次
A 2
2
的全排列，通过
A
C C 22
2
4
15⋅得到结果。
所以最后有
1522
2
4
15=⋅A
C C 种方法。
减去例1中的黑体部分得到的分组结果如下：
【总结归纳】例2，例3的总体思路是“先选盒子再放球”，通过例4我们解决了“分堆”
问题，那么例2也可以通过“先分堆再分配”的方法解决。
第一步“分堆”有
A
C C 22
2
4
15⋅种方法；第二步“分配”有
903
322
2
4
15=⋅⋅A A
C C 种方法。
例5. 5个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个，有多少种方法？ 解：“挡板法”是专门用来解决同时满足“小球相同”、“盒子不同”、“每个盒子至少放1个”
3个条件的问题的。
具体操作如下：
设三个盒子分别为①、②、③，5个相同的小球如下放置，中间产生4个空，在4个空中选出2个空插入2个“板子”，把小球分成3部分，最左边部分放入盒①，中间部分放入盒②，最右边部分放入盒③。
如图所示的放置方法，①、②、③种分别放1个、3
个、1个。
所以共有
624
=C
种放法。
O OOO O ||
① ② ③ A —— BC —— DE DE —— BC 第1组 第2组 第3组 A —— BC —— DE BD —— CE BE —— CD B —— AC —— DE AD —— CE AE —— CD C —— AB —— DE AD —— BE AE —— BD D —— AB —— CE AC —— BE AE —— BC E —— AB —— CD AC —— BD AD —— BC。