球盒问题
数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题
数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题作者：蔡丽菊来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第08期在高中数学中有《排列组合》这一章，对学生逻辑推理能力、分类讨论以及建构模型的能力都有极高的要求，包括现在的数学竞赛中都涉及排列组合问题。
其中，“小球与盒子”的模型问题一直是一个热门话题。
由于球与盒子都有着“相同”与“不同”的分类，并且具有知识上的综合性、解题技巧上的灵活性以及思维方式上的抽象性，使同学对此类问题感到很是困惑，感觉千变万化，无从下手。
下面我就对此模型问题的解法及运用作一个总结和分析，望同学有所感悟。
类型一：不同小球入不同盒子的模型1.球少盒多型例1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，有几种不同的放法？解：分四步完成，每一个小球都有5种放法，所以共有种不同的放法。
变式1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至多放一个，有几种不同的放法？解：与例1相比，这次把盒子看成元素，即从5个不同的盒子里任意取出4个盒子，来放4个不同的小球，所以这是个排列问题。
有种不同的方法。
变式2：若将5个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：此题是5个不同小球的全排列问题，所以有种不同的方法。
注：此类问题一般用排列组合思想，利用分步计数原理2.球多盒少且每盒至少放一球型例2：若将5个不同的小球，放入4个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：分两步完成，先将5个小球先分成4组，根据题意，每组分别是2个、1个、1个、1个，有种方法；然后再将分成4组的小球放到4个不同的盒子里，相当于全排列，即有种方法，所以共有种不同的方法。
变式：若将5个不同的小球放入4个不同的盒子里，恰有1个空盒，有几种不同的放法？解：分三步完成。
第一步，选1个空盒，有种不同的方法；类型二：相同小球放入不同盒子的模型例3：若将10个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子不空，有多少种不同的放法？解：此类问题可以用隔板法解决，即在10个小球中间的9个空中放两个相同隔板的问题，自然分成3组，代表放入三个不同盒子中，故有种方法。
排列组合：小球入盒
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。
常见算法之14---球放入盒问题
常见算法之14---球放⼊盒问题N个球放⼊M个盒⼦中的问题研究：本来这是组合数学中的问题，但近年来公务员考试，企业⾯试经常会涉及到这个问题。
这个问题并⾮咋⼀看上去那么容易，不妨⾃⼰先动⼿计算⼀下下⾯⼏个题⽬：情形1 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
情形2 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
情形3 N个相同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法情形4 N个相同的球，放⼊M个不同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
情形5 N个相同的球，放⼊M个相同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
情形6 N个相同的球，放⼊M个相同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
情形7 N个不同的球，放⼊M个相同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
情形8 N个不同的球，放⼊M个相同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
==================分割线=========================假定：c(N,M)表⽰为从n个项中挑选出m个项的⽅案数。
情形1 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
每个球都可以随意放，有M个选择，故共M^N种⽅式。
情形2 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
⾸先，从N个球中选出M个球，将这M个球排列。
（相当于每个盒⼦⾥放⼀个）c(N,M)*M!种然后，剩下的N-M个球就可以随意放了。
M^(N-M)种综上，c(N,M)*M!*[M^(N-M)]情形3 N个相同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
根据隔板原理：将N个球排成⼀列，中间插⼊M-1个隔板，分成M个堆，其中允许隔板相邻，也可以放在两边。
N个球时，有N+1个空；插⼊⼀个板后，有N+2个空....故⼀共有(N+1)*(N+2)....*(N+M-1)种。
但板⼦的插⼊顺序是没有要求的，所以我们要去除重复的情形。
板⼦的顺序有(M-1)!综上，有(N+1)*(N+2)....*(N+M-1)/(M-1)!种情形。
可能性(摸球游戏)
摸球游戏教学设计设计说明:课前准备:学生准备摸球盒小球假设干(除颜色外，其他均相同)教学过程:一、创设情境：猜一猜 1．出示准备好的盒子，提问：在这个盒子里有红、黄两种颜色的小球，从里面任意摸出一个球，摸出哪种球的可能性大？学生讨论猜想，说出自己的想法。
预设生：没法判断，因为不知道盒子里哪种球比较多。
2．导入新课。
师：在不翻开盒子看的情况下，有没有方法知道哪种球比较多呢，这是我们这节课要研究的内容。
二、问题深化：摸一摸1、引导学生思考：不翻开盒子看，如何知道盒子里红球多还是黄球多？2、小组内讨论，鼓励每位学生提出自己的建议，形成小组内的意见。
3、组织全班交流，听取学生的不同想法，梳理学生的不同思路，启发学生通过摸球活动来判断。
4、组织学生进行摸球活动。
(1)组织学生讨论并制订“摸球游戏〞的规那么：①摸多少次；②摸球时不能偷看；③每次摸球后记下颜色，放回盒子里摇匀，再摸下一次。
(2)小组合作进行摸球游戏，填写“课堂活动卡〞。
5、根据小组记录的结果，猜一猜盒子里哪种颜色的球可能多？哪种颜色的球可能少？让学生在小组内交流，根据小组记录的数据，猜想盒子里哪种颜色的球可能多，哪种颜色的球可能少。
同时，做好全班发言的准备。
6、如果各组的猜想不一致，那么引导学生讨论“为什么不一致？〞；如果各组的猜想一致，那么就阅读教材中呈现出的两个小组的猜想，再引导学生讨论。
学生讨论交流，汇报方法：一是翻开盒子验证；二是汇总数据；三是继续做试验，再汇总数据。
〔设计意图：学生通过直观摸一摸，亲身经历试验，记录摸球的颜色，感知哪种球可能多，给学生获取直接经验的时机，有充分进行数学活动的时间和空间，让他们切实融入自主探究新知的过程中，成为学习的主人，开展思维，提高能力。
〕三、稳固实践1．完成教材105页“练一练〞1题。
让学生独立读题，理解题意，按照要求进行摸球活动，然后汇报本组的实验过程和结果。
2．完成教材105页“练一练〞2题。
球盒模型的概率问题
定理2.1.4多重集合中取k个元的排列，若限定元素 出现的次数集合为Mi(1<_i<_n)，把这种排列的个数记为Ck，则数列的指数型生成函数
定理2.1.5把k个不同的球放入n个不同的盒子中，限定盒子a，的容量集合为
Mi(1<_i<_n),则其分配方案数的生成函数为
组合数学最早是同数论和概率论交叉在一起的.概率方法是解决离散数学尤其是组合数学中许多问题的强有力工具。该方法
在组合数学中应用大致分为两类：一类是非构造性的概率方法,该类方法从本质上
讲，是一种粗糙的计数论证方法，常被用来断定具有某种特性的组合对象的存在
性；一类是构造性的概率方法,该方法是用概率的语言描述一些组合对象，然后借
助概率论中的方法与技巧解决组合分析的问题。非构造性概率方法就是用基本概率方法、期望的线性法在一些组合问题中的应用,如何用它们来证明一些命题和定理。构造性概率方法，即一些常见组合变量(以后统称组合数为组合变量)的概率表示,诸如Stirling数、Bell数、调和数、Fibonacci数、错排数都可以表示为一些随机变量的矩,这些概率表示可以用来研究组合和式的计算与恒等式的证明。本文主要研究了概率方法在一些重要组合数中的应用。
组合数学与概率论中的离散型随机理论密切相关，而球盒模型是用组合数学的知识解决概率论中的离散型随机问题的重要数学方法。在离散型随机理论方面，组合数学与相关的离散数学的方法占据了一个非常重要的中心位置。在这些方法中，组合列举的方法和基本的有限差分的计算方法是最主要的。尤其是，在离散型概率理论中，随机现象或随机实验被描述为是球放入盒子的随机分配模型。在
，…，则有P(A1 A2 .......)=P(A1)+P(A2)+…;当n→∞时频率fn(A)在一定
排列组合：小球入盒
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有=15种放入的方式。
球盒问题的简单归纳
这 是一 个 伯 努剩 概 型 ， 设事件 C= 丈 5次中 恰有 一 次抽 到 自球 }. 98 动 。0. 02 1= 0 . 092 : . P ( C) = 以 。 ， 砚 98魂 2 1 注 : 也 可 以这 样 解 P ( C ) 100 岛
0. 0 92.
例 2: 将 1 0 个 球J 日0 一9 这 1 0 个
验 彼此独 立 每次试 验
p(‘ )，同为壳， 求 ‘发
2 ) 设事 件 B = 弋 ( 4 个球放人 3 个盒子恰有 一 个 空 盒 }，
生 2 次 的概 率 ， 这是 n “5 ， k = 2 的伯 努力 概 型
解: 设事件 A= {球放人 1 号盒 内} 尸(A )
事 件 B = {1 号 盒 中 恰有 两 个 球}. .’ . P ( B ) = 以 0 . 12 0 . 93 二0 0 72 9注 : 不 同 伯努 力 概 型 ， 此题 还 可 以这 样解 2. n 个 不 同的 球放 入 m 个 相 同盒 子 中
放一球， 且任 何 球 的 编 号为 盒 子 的 编 号 都 不 相 同， 共有 放 法数 为
此类问题， 基本 事件 的全集个 数可这样 分
析 : 山于 盒子 相 同 ， 可 看 成将 n 个 不 同 的 球 分 成
、堆 ， 其不同的分法数可以根据各个盒子 里的
不 同球 数分 类 讨论 所 得 . 例 4: 将 a ， b， ‘ ， d 四个不 同的球 放 人 3 个 相 同 的盒 子 中 ， 其中 。 ， d 恰 好 在 同 一盒 中 的概 率 是多 少 ? 分析 : 4 个 不 同 的 球 放 人 3 个 相 同 的 盒 子 _， _ _ 人二。 于 、 ， 、‘ ，、二 、 J 卜c 寻 醚 」~
数量关系概率知识点总结
数量关系概率知识点总结数量关系概率是描述随机事件发生可能性的一种数学工具，它可以帮助我们理解和预测各种事件发生的概率。
在日常生活中，我们经常需要考虑一些随机事件的概率，比如掷硬币的结果、中奖的概率等等。
而在一些更为复杂的情况下，比如统计学、经济学等领域，数量关系概率更是起到了非常重要的作用。
在本文中，我们将讨论数量关系概率的基本概念、相关定理和公式，并且通过一些例题来帮助读者更好地理解这一知识点。
一、基本概念1. 随机试验随机试验是指具有以下三个特点的试验：（1）试验的可能结果是明确的，但试验发生的结果是不可预测的；（2）试验的结果有多个可能的结果，每个结果的发生概率是一样的；（3）试验的结果不能由规律来确定。
2. 样本空间样本空间是指一个随机试验的所有可能结果所构成的集合。
样本空间通常用Ω来表示。
3. 事件事件是指样本空间中的某些结果所组成的集合。
比如说，掷一个硬币，正面朝上和反面朝上分别是两个结果，那么“出现正面朝上”的事件和“出现反面朝上”的事件就是样本空间中的两个事件。
4. 概率概率是描述事件发生可能性大小的一个数值，通常用P(A)来表示。
其中，A是一个事件，P(A)表示事件A发生的概率。
概率的取值范围是[0,1]，即0≤P(A)≤1。
二、数量关系概率的相关定理和公式1. 加法定理对于两个事件A和B，它们的概率之和等于它们的并集的概率加上它们的交集的概率。
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)2. 乘法定理对于两个事件A和B，它们的概率乘积等于事件A发生的概率乘以事件B在事件A发生的条件下发生的概率。
P(A∩B) = P(A) * P(B|A)3. 全概率公式如果一个试验的所有可能结果可以分成若干个互不相容的事件，且它们的概率之和等于1，那么对于任意一个事件B，它的概率可以表示为：P(B) = Σ P(Ai) * P(B|Ai)其中，Ai是事件B的一个划分，P(Ai)是事件Ai发生的概率，P(B|Ai)是事件B在事件Ai发生的条件下发生的概率。
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球盒问题”是排列组合中的一个重点，也是一直困扰学生学习的一个难点．因为在这个问题中涉及到“球是否相同，盒子是否相同”等四种情形，很容易混淆．学生在做题时关键是要弄清楚以下两点：①哪个是“球”，哪个是“盒”；②“球”是否相同，“盒”是否相同．对于每一种情形，都有其各自不同的解题方法。
为此，笔者对“球盒问题”作了一个系统的归纳，在对比中加深理解．
一、球相同，盒相同
例1将10个相同的球，放入3个相同的盒子中，不允许有空盒，有几种方法？
分析：因为球相同，盒子也相同，所以把10个球分成3份，比如分成2个、3个、5个这样3份放入3个盒子中，不论哪一份小球放入哪一个盒子都是同一种放法，因此，只需将10个球分成如下3份即可，即（1,1,8），（1,2,7），（1,3,6），（1,4,5），（2,2,6），（2,3,5），（2,4,4），（3,3,4），共有8种方法．
二、球不同，盒相同
例2有9个不同的球，按照以下要求处理，各有几种方法？
（1）一组2个，一组3个，一组4个；（2）一组2个，一组2个，一组5个；
（3）平均分成3组，每组3个．
分析：只需对球进行分组即可，但要注意其中的平均分组问题．
解：（1）先从9个球中任取2个，作为一组，有种取法；再从余下的7个球中任取3个，作为一组，有种取法；最后从余下的4个球中任取4个，作为一组，有种取法，故共有种；
（2）先从9个球中任取5个，作为一组，有种取法；再把余下的4个球平均分成2组，有种取法，故共有种；
（3）把9个球平均分成3组，共有种．
变式1将10个不同的球分成四组，每组的个数分别为2、2、3、3，共有几种方法？
分析：这里涉及到两组平均分组，共有种．
三、球相同，盒不同
例3将7个大小相同的球，放入3个不同的盒子中，
（1）每个盒子至少有一个，有几种方法？（2）允许有空盒，有几种方法？
分析：因为球是相同的，所以我们只需考虑放入盒子中球的数量．对于问题（1），可以采用“隔板法”；对于问题（2），先作一个简单的变换，然后用隔板法来解决．
解：（1）设3个盒子中球的个数分别为（为正整数，），显然有．故是方程的一组解；反之，方程的任何一组解，对应着唯一的一种在7个球之间（6个空隙）插入2块隔板的方法，即方程的解和插入隔板的方法一一对应．方程的解的组数等于插隔板的方法数种，故每个盒子至少有一个球的方法共有15种．
（2）设3个盒子中球的个数分别为（为自然数，），有．令(为正整数，)，有，此不定方程的解有组，因此的自然数解有36组，故允许有空盒共有36种方法．
变式2 把10本相同的书分给编号为1、2、3的三个学生阅览室，要求每一个阅览室分得书的本数不小于其编号数，有几种分法？
分析：第一次分给1号、2号、3号三个阅览室各0本、1本、2本，为了满足不小于编号数的要求，第二次将余下的7本书分给三个阅览室时，每个阅览室分得的书本数都应该是正整数，易知共有种．
四、球不同，盒不同
例4有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内，
（1）共有几种放法？（2）恰有1个空盒，有几种放法？
（3）恰有2个空盒，有几种放法？
分析：此题的关键是第（2）问，恰有一个空盒相当于一定有2个球放在同一个盒子里，可以采用“先分组再分配”的方法；对于第（3）问，我们只需对（2）中的解法进行推广．
解：（1）由分步乘法计数原理可知，共有种放法；
（2）首先，拆数．把4拆成3个正整数相加，只有一种情形，即：；
其次，分组．把4个不同的球分成上述的3组有种方法；
最后，分配．将每次分组的结果分配到4个不同盒子中的3个有 种；
故恰有1个空盒的放法共有
种．
（3）首先，拆数．有2种情形，即： ；
其次，分组．有
种方法；
最后，分配．将每次分组的结果分配到4个不同盒子中的2个有 种；
故恰有2个空盒的放法共有
种．
变式3 把13个乒乓球运动员分成3组，一组5人，另两组各4人，但3个种子选手每组要选派1人，有几种分法？
分析：可以将3个种子选手看成3个不同的盒子，问题就转化为将其余10个非种子选手“放”入3个不同的盒子，一个盒子4人，另两个盒子各3人，。