分球入盒问题
数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题
数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题作者：蔡丽菊来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第08期在高中数学中有《排列组合》这一章，对学生逻辑推理能力、分类讨论以及建构模型的能力都有极高的要求，包括现在的数学竞赛中都涉及排列组合问题。
其中，“小球与盒子”的模型问题一直是一个热门话题。
由于球与盒子都有着“相同”与“不同”的分类，并且具有知识上的综合性、解题技巧上的灵活性以及思维方式上的抽象性，使同学对此类问题感到很是困惑，感觉千变万化，无从下手。
下面我就对此模型问题的解法及运用作一个总结和分析，望同学有所感悟。
类型一：不同小球入不同盒子的模型1.球少盒多型例1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，有几种不同的放法？解：分四步完成，每一个小球都有5种放法，所以共有种不同的放法。
变式1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至多放一个，有几种不同的放法？解：与例1相比，这次把盒子看成元素，即从5个不同的盒子里任意取出4个盒子，来放4个不同的小球，所以这是个排列问题。
有种不同的方法。
变式2：若将5个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：此题是5个不同小球的全排列问题，所以有种不同的方法。
注：此类问题一般用排列组合思想，利用分步计数原理2.球多盒少且每盒至少放一球型例2：若将5个不同的小球，放入4个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：分两步完成，先将5个小球先分成4组，根据题意，每组分别是2个、1个、1个、1个，有种方法；然后再将分成4组的小球放到4个不同的盒子里，相当于全排列，即有种方法，所以共有种不同的方法。
变式：若将5个不同的小球放入4个不同的盒子里，恰有1个空盒，有几种不同的放法？解：分三步完成。
第一步，选1个空盒，有种不同的方法；类型二：相同小球放入不同盒子的模型例3：若将10个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子不空，有多少种不同的放法？解：此类问题可以用隔板法解决，即在10个小球中间的9个空中放两个相同隔板的问题，自然分成3组，代表放入三个不同盒子中，故有种方法。
古典概型解题技巧
古典概型解题技巧摘要概率论是数学学科中从数量的侧面来研究部分随机现象的规律性方面，其理论和方法渗透到了自然科学的各个领域，而古典概型是古典概率论的主要研究内容之一，也是概率论的研究中的一个经典的研究概型。
古典概型的主要研究对象是等可能事件，深入研究古典概型有助于我们更好地理解概率论中一些基本的概念，掌握概率论中的基本规律，有助于我们提高分析问题和解决问题的能力。
本文主要研究古典概型中的摸球问题，分球入盒问题，随机取数问题等几种模型，分析其解题思路，总结解题技巧以及思考其应用范围。
关键词：古典概型；分球入盒；摸球问题TitleAbstractKeywords：1 古典概型简介随机现象，是现实生活中非常常见，非常普遍的一种现象。
事件的发生或者是其走向，都是由随机决定的。
而这些随机性的事件都可以用概率模型来进行一定的分析，以求得相对准确的期望值。
随机性虽然容易给人们生活带来一定的烦恼，但同时也是最公平的象征。
在模拟计算，统计运筹中都有运用概率论的思想以及方法，所以，概率论有着明显的现实意义以及数学应用范畴。
在概率论的发展过程中，数学家们根据不同的问题，从各个不同的角度，给与了概率不同的定义和计算的方法。
但是这些定义或者计算的方法往往针对的是非常具体类型的事件和情况，所以多数都有一定的缺点，常常只是经验公式。
而经过长期的发展，概率论先后给出了古典概率，几何概率，统计概率，最后才给出了概率的数学定义。
在所有的随机事件中，有一类随机事件有两个明显的特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，每个结果发生的可能性相同。
这类随机事件是概率论初期的研究对象，我们也把这类事件叫做古典概型。
2 古典概型的计算我们可以根据古典概型的等可能性和有限性的特点，得出模型下的概率。
古典概型的概率计算过程可以分解为三个步骤：第一，确定所研究的对象为古典概型；第二，计算样本点数；第三，利用公式计算概率。
如果本次随机事件只有有限个可能的结果，并且每一个可能的结果出现的可能性相同，则可以确定该事件为古典概型问题。
关于M个球放N个盒子的分析
关于M个球分到N个盒子的分析前几天有考生问过其中几个，楚老师总结了一下，这类题型总共有八类，太简单的例子很多考生说不具有代表性，所以我们拿出一个相对复杂的情况M=50、N=3来逐一分析。
我们先从简单的进行分析：①50个不同的球分到3个不同的盒子，有多少种方法？楚香凝解析：这时候是不同元素分到不同盒子里，相当于每个球都有3种选择，则总情况数=350种；②50个相同的球分到3个不同的盒子，有多少种方法？楚香凝解析：插板法的三个条件：相同元素分到不同盒子、每个盒子至少一个这时候满足了前两个条件，我们可以这样想，先从3个盒子中各借一个球，总共变成了53个球，因为借了需要还回去，所以最后每个盒子至少要有一个球，这样就转化为----------53个相同的球分到3个不同的盒子，每个盒子至少一个，有多少种方法？利用插板法，C（52 2）=1326种。
③50个相同的球分到3个相同的盒子，有多少种方法？楚香凝解析：解法一：为了防止重复，我们分组时统一按照增序进行计数，这样就不会出现类似于1、2、47和2、1、47这样的重复情况。
第一个盒子为0个球，此时另外两个盒子共有50个球，组合方式有0+50、1+49…25+25，所以共26种；第一个盒子为1个球，此时另外两个盒子共有49个球，组合方式有1+48、2+47…24+25，所以共24种；第一个盒子为2个球，此时另外两个盒子共有48个球，组合方式有2+46、3+45…24+24，所以共23种；第一个盒子为3个球，此时另外两个盒子共有47个球，组合方式有3+44、4+43…23+24，所以共21种；第一个盒子为4个球，此时另外两个盒子共有46个球，组合方式有4+43、5+42…23+23，所以共20种；···至此我们可以看到，当第一个盒子为奇数时，情况数分别为24、21、18…呈等差数列；当第一个盒子为偶数时，情况数分别为26、23、20…也呈等差数列；我们来观察最后几种情况，第一个盒子里为15个球，此时另外两个盒子共有35个球，组合方式有15+20、16+19、17+18三种；第一个盒子里为16个球，此时另外两个盒子共有34个球，组合方式有16+18、17+17两种；第一个盒子里为17个球，此时另外两个盒子共有33个球，组合方式有17+16，不符合增序，所以到此为止。
乒乓球与盒子知识点
乒乓球与盒子知识点
1、球相同，盒子不同，盒子不为空。
相当于每两个小球之间有一个空隙，共有n-1个，每个空隙只能放一个隔板，给出m-1个隔板，将小球分成m份，就是从n-1各空隙中选m-1个，方案数为C(n-1,m-1)。
2、球相同，盒子不同，盒子可以为空。
再加入m个小球变成不允许为空，那么就和1情况一样了，方案数为
C(n+m-1,m-1)。
3、球相同，盒子相同，盒子不为空。
这样就成了整数划分问题，用动态规划：f[i][j]表示i这个数划分为j份的方案数。
对于f[i][j]，当划分的数中有1时，f[i][j]=f[i-1][j-1]；
没有1时，就让所有的数都减1，f[i][j]=f[i-j][j]。
综上：f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j]
4、球相同，盒子相同，盒子可以为空。
方案数为Σf[n][j](1<=j<=m)。
排列组合：小球入盒
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。
让设计更加合理清晰让探究更加自然流畅——分球入盒问题的设计和思考
１简单熟悉 的问题 ，激发学生的求知欲 ，让 学 生的思维“ 热” 起来 问题 ６个 不 同的小球 放 入 四个不 同盒 子 中 ，允
球 一样 ，所 以只有一种方法 ，在放入 ４个盒子 ，
十 ＝ １ ０种 情形 ．
生４ ：因为是相 同的元素，可以隔板法处理 ，６
２ ２
福建 中学数学
［ ３ ］ 何小 亚 ．与新 课 程 同行 ：数 学学与 教 的心理 学 ．广 州 ：华南 理工 大 学
出版 社 ，２ ０ ０ ７
让设计更加合理 清晰 让探究更加 自然流畅
— —
分球 入盒 问题 的设 计和 思考 浙江 省杭 州 市学军 中学 （ ３ １ ０ ０ １ ２ ） 许 出现 空盒 ，有 多少放 法？ 若不 允许 空盒 呢？ 生１ ： 前 面一个 问题 ， 分步计 数原 理 ， 分球 入盒 ， 分 六步 ，每球 入盒 有 ４种情 况 ，总共有 ４ 。 种．
ｊｘ ×Ｊ
生 ｌ １ ： 设 百位 ， 十 位 ，各位数 字分 别为 Ｘ， Ｙ， Ｚ，
由已９ ｝ Ⅱ ＋ Ｙ＋ ： ＝ｌ ｌ （ ｘ ｌ ， ｙ ≥０ ， ｚ ≥ ０，且均 ， Ｊ 、 于９ ） ， 和Ｘ ＋Ｙ ＋Ｚ ＝１ ３ （ ｘ ｌ ， ｙ＼ ／ｌ ， Ｚ ｌ 一日 ． 均小于 ９ ）是等
允 许 出现 空盒 ，有多 少放法 ？
生３ ：可 以进行 先分 堆 ３ １ １ １和 ２ ２ １ １ ，因为
翻 阅 了很 多杂 志 ，也请 教 了不 少 同事 ．应该 说 是 基 本 上达 到 预 期 的 目标 ．以下 案 例 是执 教 后 的 思 考 ，颇 有感 悟 ，现 与读 者共享 ．
２ ０ １ ３ 年第１ ０ 期
福建 中学数 学
排列组合常用策略及模型九种
排列组合问题常用策略排列组合问题的常用模型及策略有：捆绑法、插空法、隔板法、特殊元素/特殊位置优先法、缩倍法、间接法（正难则反）、均分问题、错排问题、圆排列问题等。
1、捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的例题：,,,,排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2、插空法:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例题：七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种3、缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那例题：,,,,么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种4、隔板法:对于将不可分辨的球装入可以分辨的盒子中求装入方法数的问题，常用隔板法.例题：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？5、特殊元素/特殊位置优先法：某个或某几个元素要或不要排在指定位置，可先处理这个或几个元素，再排其它的元素（元素优先法）；也可先把指定位置安排符合要求的元素，再排其它的元素（位置优先法）。
例题：某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？6、间接法：对有限制条件的问题，尤其是“至多”“至少”问题，直接法较难则采用间接法，即从总体考虑，再把不符合条件的情况去掉。
例题：从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？7、均分问题：n个元素分成m堆得问题，平均分成的组，无论顺序如何都是一种情况。
初等概率论习题课讲义
初等概率论习题课讲义专题一. 一些组合计数模式在古典概率问题中的应用.1．多组组合模式 有n 个不同元素，要把它们分为k 个不同的组，使得各组依次有121,,...,()kk i i n n n n n ==∑个元素，则一共有12!!!...!k n n n n 种不同分法.2.不尽相异元素的排列模式 有n 个元素，属于k 个不同的类，同类元素之间不可辨认，各类元素分别有121,,...,()kk i i n n n n n ==∑个，要把它们排成一列，则一共有12!!!...!k n n n n 种不同排法.3.分球入盒问题第一类 有n 个不同的小球，要把它们分入k 个不同的盒子，使得各盒依次有121,,...,()kk i i n n n n n ==∑个小球，则一共有多少种不同分法？（注意此问题的两个特征：小球不同，盒子也不同）（12!!!...!k n n n n ）第二类 有n 个相同的小球，要把它们分入k 个不同的盒子，一共有多少种不同分法？（1） 允许空盒出现；（1nn k C +-） （2） 不允许空盒出现.（11k n C --）第三类 有n 个不同的小球，要把它们分入k 个相同的盒子，使得第i k 个盒子有i n 个小球，11,mmii i i i kk n k n ====∑∑，则一共有多少种不同分法？（11!(!)(!)imk ii mii n n k ==∏∏）4.大间距组合问题 设从数集{}1,2,...,n 中选出k 个不同的数11...k j j n ≤≤≤≤， 使之满足条件1(2,3,...,)i i j j m i k -->=，m 为正整数，且(1)k m n -<，求出不同的取法数目.（(1)kn k m C --）5.相异元素的圆排列和项链数 将n 个不同元素不分首尾排成一圈，称为n 个相异元素的圆排列，则其排列总数为多少？（(1)!n -）项链数：将n 粒不同珠子用线串成一副项链，则得到的不同项链数为多少？ （n=1或2时为1，n>2时为(1)!n -／２）６.有限集合计数的容斥原理： 1111...(1)nnnnk ki j k k k k i j nA AA A A ===≤<≤⋃=-⋂++-⋂∑∑.（注意和概率论中加法公式进行类比和区分） 习题：1.设有 10只猫和4头猪随机地站成一行，求每两头猪之间都至少间隔两只猫的概率.2.将n 条手杖都截成一长一短两部分，然后将所得的2n 个小段随机分成n 对，每对连接成一条新的手杖，求以下事件的概率：（1）这2n 个小段全部被重新组成原来的手杖； （2）均为长的部分和短的部分连接.3.找零钱问题：设有一台自动售票机销售地铁车票，票价为5元。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分球入盒问题
将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？
1)小球不同，盒子不同，盒子不空
解：将小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。
再放在3个不同的盒子中，即先分堆，后分配。
有
2)小球不同，盒子不同，盒子可空解：种
3)小球不同，盒子相同，盒子不空
解：只要将5个不同小球分成3份，分法为：1，1，3；1，2，2。
共有=25种
4)小球不同，盒子相同，盒子可空
本题即是将5个不同小球分成1份，2份，3份的问题。
共有
种
5)小球相同，盒子不同，盒子不空
解：（隔板法）。
0\00\00，有种方法
6)小球相同，盒子不同，盒子可空
解一：把5个小球及插入的2个隔板都设为小球（7个球）。
7个球中任选两个变为隔板（可以相邻）。
那么2块隔板分成3份的小球数对应于相应的3个不同盒子。
故有=21
7)小球相同，盒子相同，盒子不空
解：5个相同的小球分成3份即可，有3，1，1；2，2，1。
共2种
8)小球相同，盒子相同，盒子可空
解：只要将将5个相同小球分成1份，2份，3份即可。
分法如下：5，0，0；4，1，0；3，2，0；3，1，1；2，2，1。