(完整word版)湘教版数学七年级下册期末知识点复习+各章节培优题

二元一次方程

含有 个未知数，并且 项的次数都是 的方程叫做二元一次方程。
把 个含有 未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来组成

在一个二元一次方程组中，使每一个方程 两边的值都 的一组未知数的值，叫做这个二元一次方

由二元一次方程组中的一个方程的某一个未知数用含有 的代数式表示，再代入另一方程，便得到
消元法，简称代入法。
两个二元一次方程中同一未知数的系数 或 时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数，从
消元法，简称加减法。
列二元一次方程组解决实际问题的关键是寻找 。

．已知方程组，甲同学正确解得，而乙同学粗心，把c给看错了，解得，求abc的值．

．已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．
．先阅读，然后解方程组．
x﹣y=1③，然后再将③代入②得4×1﹣y=5，求得y=﹣1，从而进一步求得这种方法被
．
．
．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．

2x+2y=2即x+y=1③ ③×16得16x+16y=16④ ②﹣④得x=﹣1，从而可得y=2
．
1） 请你仿上面的解法解方程组．
2）猜测关于x、y的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证．
．南山植物园以其优美独特的自然植物景观，现已成为重庆市民春游踏青、赏四季花卉、观山城夜景的重要旅游景区．若
A、B两个园区，已知A园区为矩形，长为（x+y）米，宽为（x﹣y）米；B园区为正方形，边长为（x+3y）

1）请用代数式表示A、B两园区的面积之和并化简；
2）现根据实际需要对A园区进行整改，长增加（11x﹣y）米，宽减少（x﹣2y）米，整改后A区的长比宽多350米，
980米．若A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C、D两种花投入的费 C D 投入（元/平方米） 13 16 收益（元/平方米） 18 26
A、B两园区旅游的净收益之和．（净收益=收益﹣投入）
．江海化工厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季中，甲种产品售价50千元/件，乙种产品售价30千元/件，生
A、B两种原料，生产甲产品需要A种原料4吨/件，B种原料2吨/件，生产乙产品需要A种原料3
/件，B种原料1吨/件，每个季节该厂能获得A种原料120吨，B种原料50吨．
1）如何安排生产，才能恰好使两种原料全部用完？此时总产值是多少万元？
2）在夏季中甲种产品售价上涨10%，而乙种产品下降10%，并且要求甲种产品比乙种产品多生产25件，问如何安
1375千元，A，B两种原料还剩下多少吨？
．小明从家到学校

的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路
4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校

整式的乘法

同底数幂相乘， 不变， 相加。an.am= (m,n是正整数)
幂的乘方， 不变， 相乘。(an)m= (m,n是正整数)
积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。 (ab)n= (n是正整数)
单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。
单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a（m+n）=
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，
a+b）（m+n）= 。
平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b）（a-b）=
完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。
a+b）2= ,（a-b）2= 。
公式的灵活变形：
a+b）2+（a-b）2= ，（a+b）2-（a-b）2= ，a2+b2=（a+b）2- ，
2+b2=（a-b）2+ ，（a+b）2=（a-b）2+ ，（a-b）2=（a+b）2- 。

． 已知2a?5b=2c?5d=10，求证：（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．
．（1）已知2x+2=a，用含a的代数式表示2x；
2）已知x=3m+2，y=9m+3m，试用含x的代数式表示y．
．我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面

1）请你写出图3所表示的一个等式： ．
2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2．
．归纳与猜想：
1）计算：
x﹣1）（x+1）= ；②（x﹣1）（x2+x+1）= ；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ；
2）根据以上结果，写出下列各式的结果．
x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；
3）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1）= （n为整数）；
4）若（x﹣1）?m=x15﹣1，则m= ；
5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．
．认真阅读材料，然后回答问题：

（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，
a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…
a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，
取正整数时可以单独列成表中的形式：
；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
2

）推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．
．观察下列各式：
x﹣1）÷（x﹣1）=1；（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1；（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1；（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1；
1）根据上面各式的规律可得（xn+1﹣1）÷（x﹣1）= ；
2）利用（1）的结论求22015+22014+…+2+1的值；
3）若1+x+x2+…+x2015=0，求x2016的值．
因式分解

把一个多项式表示成若干个 的形式，称为把这个多项式因式分解。（因式分解三注意：1.乘积形式；2.
3.分解彻底。）
几个多项式的 称为它们的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到 外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因
am+an=a（ ）
找公因式的方法：
。
的。
把乘法公式从右到左的使用，把某些形式的多项式进行因式分解的方法叫做公式法。
2-b2= ，a2+2ab+b2= ，a2-2ab+b2= 。

．仔细阅读下面例题，解答问题：
x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
．解得：n=﹣7，m=﹣21
x﹣7），m的值为﹣21
2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3
1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．
2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法 次，结果是 ．
3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
．已知乘法公式：a5+b5=（a+b）（a4﹣a3b+a2b2﹣ab3+b4）；a5﹣b5=（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）．利用或者不利用上述
x8+x6+x4+x2+1．
、先化简，再求值：33222491233xyxyxyxyxyxy，其中1,2
xy17．
、已知323121710xxx能被22mxmx整除，其商式为5xn，求m、n的值。
、已知a、b、c分别为△ABC的三边，你能判断2222224abcab的符号吗？
相交线与平行线

同一平面内的两条直线有 、 、 （或平行）三种位置关系。
在同一平面内，没有 的两条直线叫做平行线。（记作a//b）
过直线外一点有 直线与这条直线平行。
平行于同一条直线的两条直线 (平行线的 性)。
有共同的 ，其中一角的两边分别是另一角的两边的 线，这样的两个角叫做对顶角。对顶
。两条直线相交，有2对对顶角，n条直线相交于一点，有n

（n-1）对对顶角。
同位角：在“三线八角”中，位置相同的角，在 ， 同一侧的角，是同位角。
内错角：在“三线八角”中，夹在两直线 ，位置 角，是内错角。
同旁内角：在“三线八角”中，夹在两直线 ，在第三条直线 的角，是同旁内角。
平移不改变图形的 和 ，不改变直线的 ，一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应
（或在同一直线上）。
平行线的性质：
1）两直线平行， 角相等；（2）直线平行， 相等；（3）两直线平行， 角互补。
平行线的判定：
1） 角相等，两直线平行；（2） 角相等，两直线平行；（3） 角互补，两直线平行。
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 角时，这两条直线叫做互相垂直，它们的交点叫做 。
在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线 。
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于 。
在同一平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直。
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短，从直线外一点到这条直线的 的长度，叫

两条平行线的所有 都相等。两条平行线的公垂线段的 叫做两条平行线间的距离。

．如图，直线AE与CD相交于点B，射线BF平分∠ABC，射线BG在∠ABD内，
1）若∠DBE的补角是它的余角的3倍，求∠DBE的度数；
2）在（1）的件下，若∠DBG=∠ABG﹣33°，求∠ABG的度数；
3）若∠FBG=100°，求∠ABG和∠DBG的度数的差．
．数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并证明你的结论
2）①如图2，已知AA
∥BA1，请你猜想∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；
3，已知AA
∥BAn，直接写出∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、…∠Bn-1、∠An的关系
3）①如图4所示，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为
°+α+β-γ B.180°-α-γ+β C．β+γ-α D．α+β+γ
5，AB∥CD，且∠AFE=40°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，请你根据上述结论直接写出∠GHM的度数


．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．
1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．
2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量

3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？说明理由．
．已知AM∥CN，

点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；
．已知：∠MON=132°，射线OC是∠MON内一条射线，且∠CON+∠MOC=59度．问OM与OC是否垂直，

．一张白纸上有三条直线，已知直线a平行于直线b，直线b平行于直线c且直线a与直线b之间的距离为3厘米，
b与直线c之间的距离是5厘米，那么直线a与直线c之间的距离是几厘米？
轴对称图形

轴对称图形：如果一个图形沿一条直线 ，直线两侧的部分能够 ，那么这个图形叫做轴对称图形，
。等腰三角形有 条对称轴，等边三角形有 条对称轴，长方形有 条对称轴，正
条对称轴，圆有 条对称轴。
轴对称变换不改变图形的 和 （含长度、角度、面积等）。
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴 。
一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的 相等，两组对应点分别与旋转中心的连线所
相等。旋转不改变图形的 和 。

．如图所示，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A，B，C作循
即第一次从点P跳到关于点A的对称点M处，第二次从点M跳到关于点B
N处，第三次从点N跳到关于点C的对称点处，…如此下去．
1）在图中标出点M，N的位置，并分别写出点M，N的坐标： ．
2）依次连接M、N和第三次跳后的点，组成一个封闭的图形，并计算这个图形的面积；
3）猜想一下，经过第2009次跳动之后，棋子将落到什么位置．
．将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的
已知∠BAC=∠B
A1C=30°，AB=2BC．
1）固定三角板A
B1C，然后将三角板ABC绕点
顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A
C、A1B1
D、E，AC与A
B1交于点F．
20°时，∠BCB
= 度；
AB与A
B1垂直？请说明理由．
2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB
，AB与A1C交于点D，试说明A1D=CD．
．世界数学家大会于2002年在北京举办，大会的会标如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的“弦图”．请你
1全等．
1）拼图游戏：应用你所学过的图形变换的知识，将四个直角三角形通过平移、旋转、翻折等方法，拼成以下方格纸

2）设计图案：用四个直角三角形在下列方格纸中按要求设计另外不同的图案．

设计一个是中心对称图形
但不是轴对称图形的图案．
数据的分析

加权平均数：权数之和为 。
中位数：把一组数据按 顺序排列，如果数据的个数是 数，位于 的数称为这组

数据的中位数；
数，位于中间的两个数的 数称为这组数据的中位数。
众数：一组数据中，出现 的数。
方差：一组数据中，各数据与其 之差的平方的 值。即S2= 。

．某地区初中毕业综合成绩按社会实践、考试成绩、体育测试三项分别占40%，40%，20%进行计算，毕业综合成绩
80分以上（包括80分）为“优秀毕业生”．
1）下表是朝阳中学小聪、小亮两位同学的毕业综合成绩
（单位：分）


2）小亮绘制了一个不完整的该校去年300名学生毕业综合成绩优秀、良好、合格、不合格人数的扇形统计图（如图），



．某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评．A、B、C、D、E五位老师作为评委，对
50位同学参与了民主测评．结果如下表所示：
1 演讲答辩得分表（单位：分） 表2 民主测评票数统计表（单位：张）
A B C D E
90 92 94 95 8
89 86 87 94 91

=“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分；
=演讲答辩得分×（1﹣a）+民主测评得分×a（0.5≤a≤0.8）．
1）当a=0.6时，甲和乙的综合得分是多少？
2）a在什么范围时，甲的综合得分高？a在什么范围时，乙的综合得分高？
．甲、乙两名射击选手各自射击十组，按射击的时间顺序把每组射中靶的环数值记录如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
98 90 87 98 99 91 92 96 98 96
85 91 89 97 96 97 98 96 98 98
1）根据上表数据，完成下列分析表：
众数 中位数 方差 极差 社会实践 考试成绩 体育测试 毕业综合成绩 小聪 72 98 60 小亮 90 75 95 “好”票数 “较好”票数 “一般”票数 甲 40 7 3 乙 42 4 4
94.5 96 16.65 12
94.5 18.65
2）如果要从甲、乙两名选手中选择一个参加比赛，应选哪一个？为什么？
．某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取6次，记

79 82 78 81 80 80
83 80 76 81 79 81
1）请你计算这两组数据的平均数；
2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从成绩的稳定性考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．