可逆矩阵ppt课件
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《可逆矩阵》课件
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定义
特点
02
03
举例
如果一个矩阵A，满足$A^{-1} = A^T$，则称A为三角可逆矩阵 。
三角可逆矩阵的逆矩阵与其转置 矩阵相等，即$A^{-1} = A^T$ 。
单位矩阵、对角矩阵等都是三角 可逆矩阵。
对角可逆矩阵
1 2
定义
如果一个矩阵A，满足$P^{-1}AP = Lambda$ ，其中$Lambda$是对角矩阵，则称A为对角可 逆矩阵。
可逆矩阵的判定条件
行列式不为零
如果矩阵$A$的行列式$|A| neq 0$，则矩 阵$A$是可逆的。
秩相等
如果矩阵$A$的秩$r(A) = n$，其中$n$是矩阵$A$ 的阶数，则矩阵$A$是可逆的。
满秩
如果矩阵$A$是满秩的，则它是可逆的。
02 可逆矩阵的运算规则
可逆矩阵的乘法规则
总结词
矩阵乘法满足结合律和交换律，但不满足消去律。
总结词
矩阵分解是将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理 的矩阵，是可逆矩阵的另一个重要应用。
详细描述
通过将矩阵分解为可逆矩阵和其它易于处理的矩阵的乘积， 可以简化矩阵的运算，提高计算效率。例如，QR分解、LU分 解等都是基于可逆矩阵的分解方法。
在特征值和特征向量求解中的应用
总结词
特征值和特征向量的求解是线性代数中的重要问题，可逆矩阵在这个问题中也有应用。
详细描述
矩阵没有除法运算，即不存在矩阵的 除法规则。但可以通过求逆矩阵来实 现“除法”功能，即$ A^{-1}B = A div B $。
可逆矩阵的逆矩阵求法
总结词
逆矩阵是可逆矩阵的一种重要运算方 式。
详细描述
§2.3 可逆矩阵
可逆， 所以λ A可逆， 且（ λ A ) − 1 =
λ
1
λ
A −1
AB可逆
性质2.3.3 性质 性质2.3.4 性质
若同阶矩阵A 均可逆,则 也可逆， 若同阶矩阵 ,B 均可逆 则 AB 也可逆，且 ( AB ) −1 = B −1 A−1 .
− 可逆， 也可逆， 若A可逆，则 AT 也可逆，且（ AT）1 = ( A−1 )T .
预 习： §2.4 分块矩阵及其运算 §2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 §2.6 矩阵的秩
*14(1) 例3
1 1 , Λ = 4 例3 P = 0 1 − 5 AP = PΛ , 求 A n。
0 , − 2
3 1 A= 5 − 1 ,
解： A = PΛP −1 ⇒ A 2 = PΛP −1 PΛP −1 = PΛ2 P −1= AE依据Fra bibliotekP10,
P16,
P17
性质1.2.2 (展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各 展开定理) 性质 展开定理 行列式等于它的任意一行（ 元素与其对应的代数余子式乘积之和， 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯⋯ + a in Ain
要解决的问题： 要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆 方阵满足什么条件时可逆? 方阵满足什么条件时可逆 2.可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时
可逆概念 结束
2.3.2 方阵可逆的充要条件
伴随矩阵
定义2.3.2 设n 阶方阵 A = ( aij ) ,元素 ij在|A|中的代数余子 元素a 元素 中的代数余子 式为 Aij ,(i , j = 1,2 , ……, n) . 则矩阵
λ
1
λ
A −1
AB可逆
性质2.3.3 性质 性质2.3.4 性质
若同阶矩阵A 均可逆,则 也可逆， 若同阶矩阵 ,B 均可逆 则 AB 也可逆，且 ( AB ) −1 = B −1 A−1 .
− 可逆， 也可逆， 若A可逆，则 AT 也可逆，且（ AT）1 = ( A−1 )T .
预 习： §2.4 分块矩阵及其运算 §2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 §2.6 矩阵的秩
*14(1) 例3
1 1 , Λ = 4 例3 P = 0 1 − 5 AP = PΛ , 求 A n。
0 , − 2
3 1 A= 5 − 1 ,
解： A = PΛP −1 ⇒ A 2 = PΛP −1 PΛP −1 = PΛ2 P −1= AE依据Fra bibliotekP10,
P16,
P17
性质1.2.2 (展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各 展开定理) 性质 展开定理 行列式等于它的任意一行（ 元素与其对应的代数余子式乘积之和， 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯⋯ + a in Ain
要解决的问题： 要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆 方阵满足什么条件时可逆? 方阵满足什么条件时可逆 2.可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时
可逆概念 结束
2.3.2 方阵可逆的充要条件
伴随矩阵
定义2.3.2 设n 阶方阵 A = ( aij ) ,元素 ij在|A|中的代数余子 元素a 元素 中的代数余子 式为 Aij ,(i , j = 1,2 , ……, n) . 则矩阵
线性代数PPT课件：矩阵 第3节 逆 矩 阵
2 A A 2 E O 证明 例5 设方阵 A 满足
A 及 A 2E 都可逆，并求
例6
A
1
及 ( A 2E ) .
1
设
4 2 3 A 1 1 0 , 1 2 3
AB A 2 B,
求 B.
例7 用逆矩阵求解线性方程组的解.
2 x1 x2 x3 4, x1 2 x3 4, 3x x 3x 2. 3 1 2
问题．
2.3.4 矩阵可逆的充要条件
定理2.3.1 如果 n 阶方阵Ａ可逆，则它的
逆矩阵是唯一的．
由定理2.3.1知，如果 A 是可逆矩阵，则有
detA 0， 那么，反过来是否成立呢？为了回
答这个问题，先引入伴随矩阵的定义．
定义 2.3.2 n 阶方阵 A 的行列式 detA 的各
个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下方阵
2.3.5 举例
例2 求二阶矩阵
a b A c d
的逆矩阵.
“两调一除 ”法
求二阶矩阵的逆矩阵可用 “两调一除 ”的方法 , 其方法是 : 先将矩阵 A 中的主对角线上的 元素调换位置 , 再将次对角线上的元素调换其符号 , 最后用 |A| 去除 A 的每一个元素 , 即可得 A 的逆矩
例1
设
3 1 1 1 A 2 1 , B 2 3 ,
验证 B 是否为 A 的逆矩阵．
2.3.3 可逆矩阵的性质
设 A, B, Ai (i = 1, 2, …, m) 为 n 阶可逆方阵，
k 为非零常数，则
A-1, kA, AB, A1A2…Am , AT 也都是可逆矩阵，且 (1) (A-1)-1 = A; (2)
可逆矩阵与逆矩阵PPT精选文档
16
1 0 1
例1.
设
A
2
1
0
,
求A 的伴随矩阵.
解:
3 2 5
10
A11 2
5 5
01
A21 2
2 5
01
A31 1
1 0
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
17
A*
第三节 n阶方阵的行列式
1、定义：设 A = ( aij )n×n 为 n阶方阵 . 由A 中
所有的元素按它们在 A 中的排列位置构成的
n阶行列式称为方阵A 的行列式, 记作 A 或
det A, 即
a11 a12 L a1n
A
a21 a22 L a2n
MM
M
an1 an2 L ann
1
注： 方阵与行列式的区别
a an n1 1A n a1 n 2 a n 2 A an n2 n A1n a A n 2nA n n A A n nn
A
O
O
A
A
,
A
19
所以 AA* AE, 同理 A*A AE,
故有
AA*A*AAE,
当 A 0 时，我们有
A A 1 A* A 1 A*AE.
从而A可逆, 且 A 1 1 A* . A
方阵与行列式是两个不同的概念，
n 阶方阵是 n2 个数按一定方式排成的
数表. 而 n 阶行列式是按行列式的定义 所确定的一个数．要清楚两者的含义 及记号的区别.
1 0 1
例1.
设
A
2
1
0
,
求A 的伴随矩阵.
解:
3 2 5
10
A11 2
5 5
01
A21 2
2 5
01
A31 1
1 0
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
17
A*
第三节 n阶方阵的行列式
1、定义：设 A = ( aij )n×n 为 n阶方阵 . 由A 中
所有的元素按它们在 A 中的排列位置构成的
n阶行列式称为方阵A 的行列式, 记作 A 或
det A, 即
a11 a12 L a1n
A
a21 a22 L a2n
MM
M
an1 an2 L ann
1
注： 方阵与行列式的区别
a an n1 1A n a1 n 2 a n 2 A an n2 n A1n a A n 2nA n n A A n nn
A
O
O
A
A
,
A
19
所以 AA* AE, 同理 A*A AE,
故有
AA*A*AAE,
当 A 0 时，我们有
A A 1 A* A 1 A*AE.
从而A可逆, 且 A 1 1 A* . A
方阵与行列式是两个不同的概念，
n 阶方阵是 n2 个数按一定方式排成的
数表. 而 n 阶行列式是按行列式的定义 所确定的一个数．要清楚两者的含义 及记号的区别.
大学线性代数课件第三章第一节可逆矩阵
证明方法
假设有两个不同的逆矩阵$B$和$C$，则有$AB = BA = I$和$AC = CA = I$。由此可得$(B - C)A = 0$和 $A(B - C) = 0$，从而推出$(B - C)$是零矩阵，即$B = C$。
逆矩阵与原矩阵的关系
逆矩阵的性质
如果矩阵$A$是可逆的，那么它的逆矩阵和原矩阵满足关系式 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$。
分解方法
常见的矩阵分解方法包括QR 分解、LU分解、SVD分解等， 这些方法都利用了可逆矩阵的 性质。
应用场景
在数值分析、计算物理等领域 中，矩阵分解是非常重要的计 算工具，可逆矩阵的应用为这 些领域提供了强大的支持。
特征值和特征向量的计算
特征值和特征向量
可逆矩阵可以用于计算特征值和 特征向量，这些数值在许多领域 中都有重要的应用。
p;3 1&2 end{bmatrix} $$
习题
判断矩阵B是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵。
$$ B = begin{bmatrix}
习题
4 & -3 1&2 end{bmatrix} $$
答案与解析
矩阵A的行列式值为
$ |A| = 2*2 - 3*1 = 1 neq 0 $，因此矩阵A是可逆的。
矩阵A的逆矩阵为
$ A^{-1} = frac{1}{2} begin{bmatrix}
答案与解析
2 & -3
end{bmatrix} $。 1&2
01
03 02
答案与解析
矩阵B的行列式值为
$ |B| = 4*2 - (-3)*(-1) = 5 neq 0 $，因此矩 阵B是可逆的。
假设有两个不同的逆矩阵$B$和$C$，则有$AB = BA = I$和$AC = CA = I$。由此可得$(B - C)A = 0$和 $A(B - C) = 0$，从而推出$(B - C)$是零矩阵，即$B = C$。
逆矩阵与原矩阵的关系
逆矩阵的性质
如果矩阵$A$是可逆的，那么它的逆矩阵和原矩阵满足关系式 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$。
分解方法
常见的矩阵分解方法包括QR 分解、LU分解、SVD分解等， 这些方法都利用了可逆矩阵的 性质。
应用场景
在数值分析、计算物理等领域 中，矩阵分解是非常重要的计 算工具，可逆矩阵的应用为这 些领域提供了强大的支持。
特征值和特征向量的计算
特征值和特征向量
可逆矩阵可以用于计算特征值和 特征向量，这些数值在许多领域 中都有重要的应用。
p;3 1&2 end{bmatrix} $$
习题
判断矩阵B是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵。
$$ B = begin{bmatrix}
习题
4 & -3 1&2 end{bmatrix} $$
答案与解析
矩阵A的行列式值为
$ |A| = 2*2 - 3*1 = 1 neq 0 $，因此矩阵A是可逆的。
矩阵A的逆矩阵为
$ A^{-1} = frac{1}{2} begin{bmatrix}
答案与解析
2 & -3
end{bmatrix} $。 1&2
01
03 02
答案与解析
矩阵B的行列式值为
$ |B| = 4*2 - (-3)*(-1) = 5 neq 0 $，因此矩 阵B是可逆的。
线性代数课件逆矩阵重点精讲.ppt
则有 HH
1
A O
B C
X X
11 21
X 12 X 22
E
HH 1 OA
B C
X X
11 21
X 12 X 22
E
即
AX11 CX
B
21
X21
AX12 CX
BX22
22
E O
O E
AX11 BX 21 E AX12 BX22 O
CX 21 O
CX 22 E
X11 A1 AXX1212AB1CBC1 1
2A2 A 2E E E
且 ( A E)(2A E) 2A2 A 2A E
2A2 A 2E E E
故2A+E可逆，且(2A E)1 A E
逆矩阵的运算公式： 1、若A可逆，则 AA1 A1A E 2、若A可逆，则 ( A1 )1 A 3、若A可逆，则 A 可逆，且 ( A)1 ( A1 ) 4、若A可逆，数k 0, 则 kA可逆，且(kA)1 1 A1
因为当 Anm 时， Bmn AB为n阶方阵，AB有可能可逆， 但A-1和 B-1没意义
判断题： 1、若A、B都是可逆矩阵，则A+B也是可
逆矩阵。×
2、若AB是可逆矩阵，则A、B也都是可逆
矩阵。× （因为A、B有可能都不是方阵）
3、若n阶方阵AB是不可逆矩阵，则A、B
中至少有一个是不可逆矩阵。√ 4、若A是可逆矩阵，且AX=AY，则X=Y√
（2）A、B互为逆矩阵。即若 A1 B 则 B1 A
（3）若A可逆，则其逆矩阵是唯一的
( 因为若B、C都是A的逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E
于是 B =BE=B(AC=)(BA)C=EC=C ）
2-5逆矩阵PPT课件
可改写为 XA + X(2E) = B, 即 X(A+2E) = B ,
其中 A 2E 3 2, 该矩阵可逆，其逆
1 1
1 2
( A 2E )1 1 1 51
2 3
5 1
5 3
.
5 5
2
故
X
B(
A
2E
)1
1
2
3 1 2
1
5 1
5
2
5 3
5
1 0 0
1 1 . 2
推论2 若A, B都是方阵，且满足AB = E (或 BA=E )，则A可逆，且A-1 = B .
证 由AB = E 得 |A||B| = 1, 于是|A|≠0，A可逆； 则A-1存在，又 B = EB = (A-1 A)B = A-1E = A-1.
推论2说明，在验证B是否为A的逆矩阵时，只 需验证一个等式AB = E 或BA=E 即可, 但注意A, B 须是方阵的前提下才能如此验证.
0 0 4 2
求
例3 A-1,
设A
B-1 .
1 0 0
3 0 0
0 1 2
0 11
,
B
0 3 1
0 1 0
5 0 0
2
0 0
解 把A, B分块化为分块对角阵：
1
A
1 0 0
2 3 0 0
0 0 1 2
0 0 11
A11 0
0 A22 ,
而
A1 11
|
1 A11
|
A* 11
1 5
二、可逆矩阵的判定及其求法
1、伴随矩阵法
定义4 设A (aij )为n阶矩阵，Aij为行列式 | A |
§1.5可逆矩阵
1 2 1 1 2 1
0 1 3 0 1 3
A21 A22 A23
求A 1
2.公式法：
A
1
1 * A A
1 1 0 0 1 1 2, 0 1 3
5 3 1 1 * 1 1 A A 3 3 1 . A 2 1 1ห้องสมุดไป่ตู้1
作业：P40 18, 19（1），21，22
三、简单的矩阵方程
其中，A，B，C已知 当A，B可逆时，它们有唯一解 ：
(1) AX B ( 2) XA B ( 3) AXB C
X BA X A CB
X A1 B
1
1
1
例 3 若 A BA C , 求 B ,
1.定义法：
AB I .
A
1
2.公式法：
1 * A . A
AA A A AI 三.
课堂习题
2 1 1. 4 3
1
1
2 0 0 2. 0 3 0 0 0 1
A
1
1 * A . A
3.初等变换法：
2.1节学习
例 1 若方阵 A 可逆，试证 A*也可逆，并求(A*)-1.
A0 解 A* A A I 又 A可逆，
1 两边同除 A，得A A I A
*
1 得 A 可逆，( A ) A. A
*
* 1
1.定义法：
AB I .
例 2 设方阵 A 满足方程 A2 A 2 I 0, 证明
注 1 逆矩阵是一种对称的相互关系；
注 2 逆矩阵是唯一的；
1.5可逆矩阵
1 3
1 2
由 AB BA E，AB1 B1 A E 知
B BE BAB1 EB1 B1
故 A 的逆矩阵是唯一的.
我们把这唯一的逆矩阵记为 A1
3. A 与 B 互为可逆矩阵. 即 A1 B，B1 A.
定义 1.11 若 n 阶矩阵 A 的行列式 A 0 ，则称 A 为非奇异矩
0 1
1 0
的逆矩阵.
3 2 5
101
10
解 因A 2
1
0 2 0 所以 A 可逆.
A11 2
5 5
3 2 5
2 A12 3
0 5
10，
A13
2 3
1 2
7，A21
0
2
1 5
2，A22
1 3
1 2
5
1 A23 3
0 2， 2
0 A31 1
5 2
A1
1 A
A
1 2
A1 1 A A
二、逆矩阵的计算
定理1.5 n 阶矩阵 A (aij ) 为可逆的充要条件是 A 非奇异，而且
A1 1 A A
推论 设 A, B 均为 n 阶矩阵, 并且 AB E, 则 A, B 都可逆, 并且 A1 B, B1 A.
例
求
A
2 1
5 3
的
逆矩
阵.
例1．求矩阵
A
1 2
a22
a1n A11
a2n
A12
A21 A22
An1 An2
an1 an2 ann A1n A2n Ann
A
0
0 A
0
1
0
A
0
第09节-可逆矩阵
A1 , B 1都存在.
2 1
3 2 1 1 且 A 3 2 3 5 2 , 1 1 1
1
B
1
3 1 , 5 2
1 1
又由 AXB C A AXBB A CB E 1 1 X A CB . 于是 X A1CB 1
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
1
1
AA1 E ,
推广
A1 A2 Am1 Am1 A21 A1.1
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
证明
A
T
A A A
1 T 1
T
ET E,
A
T 1
A
1 T
.
2a c 1, 2b d 0, a 0, b 1,
a 0, b 1, c 1, d 2.
又因为
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
B是A的一个逆矩阵.
AB BA E ,
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E , AC CA E ,
2 1
3 2 1 1 且 A 3 2 3 5 2 , 1 1 1
1
B
1
3 1 , 5 2
1 1
又由 AXB C A AXBB A CB E 1 1 X A CB . 于是 X A1CB 1
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
1
1
AA1 E ,
推广
A1 A2 Am1 Am1 A21 A1.1
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
证明
A
T
A A A
1 T 1
T
ET E,
A
T 1
A
1 T
.
2a c 1, 2b d 0, a 0, b 1,
a 0, b 1, c 1, d 2.
又因为
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
B是A的一个逆矩阵.
AB BA E ,
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E , AC CA E ,
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对 方 阵 A 是 否 存 在 矩 阵 A 1 ,使 A1A I 即:
若 是 ， 则 A X B 有 唯 一 解 X A 1 B
高等代数
可逆矩阵
一.可逆矩阵的定义： １.定义： 设 A 是 数 域 P 上 n 阶 矩 阵 , 若 存 在 n 阶 矩 阵 B , 使
A BB AE
那么称A 为 可 逆 矩 阵 , 而 B 叫 做 A 逆 矩 阵 , 记 为 A - 1
可逆矩阵也叫做非奇异矩阵或非退化矩阵 注：⑴可逆矩A 阵一定是方阵，并且它的逆矩阵是与它同阶
Pn nB
的方阵。 ⑵可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的。
高等代数
例如
A11 10, B11 10,
AB
1 1
0 1 1 1
0 1
1 0
0 1
I,
1 01 0 1 0 B A1 11 10 1I.
矩阵A,B互为可逆矩阵
一般地， (A 1 A 2 L A s) 1 A s 1 A s 1 1 L A 2 1 A 1 1
高等代数
性质3 可逆矩阵A的转置矩阵可逆，且
(A')1 (A1)'
证 A (A 1)(A A 1)II,
(A 1)A (A 1 A )II,
(A)1(A1).
性质4
(kA)1 1A1 ; k
高等代数
A11 A21 A31 3 3 1 A*A12 A22 A324 0 4.
A13 A23 A33 5 1 3
3
A1
|
A 1|A*144
5
3 0 1
41341
3
5
3 4 0 1
1 4 1. 3
4 4 4
高等代数
逆矩阵的性质
定理2.4.2 若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 证明 若B、C都是A的逆矩阵，则
A * 称为 A 的伴随矩阵.
证明: " " : 若A可逆,有 A A 1A 1AE
两边取行列式,得 |A||A1||A1A|E1
从而 | A | 0
高等代数
" " : QA A *A*A|A|I.
又| A| 0,
A* A* A AI
| A| | A|
所以,A可逆,且 A1 1 A*
| A|
高等代数
性质5
|A 1| 1 ; |A|
可逆矩阵与初等矩阵的关系
由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵
都是可逆的，且：
A B B A I,A C C A I.
于是 B B I B (A C ) (B A )C IC C . 性质2 若A可逆，则 A 1 可逆，且 (A1)1 A.
事实上，这由等式 AA1A1AI，可以直接推出.
高等代数
矩阵求逆运算规律 性质1 若A可逆，则 A 1 可逆，且 (A1)1 A.
高等代数
矩阵可逆的条件
现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆 的？ 如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？ 为此先引入伴随 矩阵的概念.
高等代数
求逆矩阵方法一：伴随矩阵法
定理
方 阵 A 可 逆 的 充 要 条 件 是 |A | 0 ,且 可 逆 矩 阵 A 的 逆 矩 阵 为
A1 1 A* A
A 2 1 ( 1 ) 2 1 2 33 3 3 ,A 2 2 ( 1 ) 2 2 1 1 3 3 0 ,A 2 3 ( 1 ) 2 3 1 1 2 3 1 ,
A 3 1 ( 1 ) 3 1 1 23 2 1 ,A 3 2 ( 1 ) 3 2 1 23 2 4 ,A 3 3 ( 1 ) 3 3 1 21 2 3 .
高等代数
性质2 两个n阶可逆矩阵A、B的乘积AB可逆且
(AB)1 B1A1.
证明 由于
( A B ) ( B 1 A 1 ) A ( B B 1 ) A 1 ( A I ) A 1 A A 1 I , ( B 1 A 1 ) ( A B ) B 1 ( A 1 A ) B B 1 ( I B ) B 1 B I , 故AB可逆，且 (AB)1 B1A1.
a11x11 a12x12 L a1nx1n b1
a21x21 a22x22 L
a2n
x2n
b2
L L L L L L L L L L
an1xn1 an2xn2 L
ann
xnn
bn
高等代数
a11 a12 L a21 a22 L
L L L an1 an2 L
a1n x1 b1 矩阵A的逆矩阵，其中 A
2
1
2
.
1 3 3
123
解 Q | A | 2 1 2 4 0, A可逆.
133
A 1 1 ( 1 ) 1 1 1 32 3 3 ,A 1 2 ( 1 ) 1 2 1 23 2 4 ,A 1 3 ( 1 ) 1 3 1 21 3 5 ,
a2n
x2
b2
L L L
ann
xn
bn
AXB.
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
a
n1
an2
L
a1n
a2n
,
M
ann
x1
X
x2 M
,
xn
b1
B
b
2
.
M
bn
高等代数
问题的提出：
n n 的线性方程组 AXB是否可以象一元一次代
数方程 ax b 一样求解?
一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的判定、求法 三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程
高等代数
回忆
a11x1 a12x2 ...a1n xn b1,
.a.2.1..x.1....a..2.2.x..2.........a..2.n.
xn b2 ........
,
an1x1 an2 x2 ...ann xn bn ,
A12 A1n
A22 A2n
An1
An2
Ann
高等代数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
解:
1 2 (1)A3 4;
1 2 3 (2)B4 5 6
3 3 3
(1) A20. 故A可逆，
A1 1 A* A
1 4 23
2
1
2
3
2
1 1
2
(2) B0.故 B不 可 逆
注:1)此定理适用于低阶(2或3阶)矩阵的求逆.
2)此定理在理论推导中非常有用.
3)阶数较高的矩阵求逆,我们要寻求新的方法.
高等代数
伴随矩阵
a11 a12
定义
设
Aij
是矩阵
A
a21 an1
a22 an2
中元素 aij 的代数余子式，矩阵
a1n
a2n
ann
A11 A21
A*
若 是 ， 则 A X B 有 唯 一 解 X A 1 B
高等代数
可逆矩阵
一.可逆矩阵的定义： １.定义： 设 A 是 数 域 P 上 n 阶 矩 阵 , 若 存 在 n 阶 矩 阵 B , 使
A BB AE
那么称A 为 可 逆 矩 阵 , 而 B 叫 做 A 逆 矩 阵 , 记 为 A - 1
可逆矩阵也叫做非奇异矩阵或非退化矩阵 注：⑴可逆矩A 阵一定是方阵，并且它的逆矩阵是与它同阶
Pn nB
的方阵。 ⑵可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的。
高等代数
例如
A11 10, B11 10,
AB
1 1
0 1 1 1
0 1
1 0
0 1
I,
1 01 0 1 0 B A1 11 10 1I.
矩阵A,B互为可逆矩阵
一般地， (A 1 A 2 L A s) 1 A s 1 A s 1 1 L A 2 1 A 1 1
高等代数
性质3 可逆矩阵A的转置矩阵可逆，且
(A')1 (A1)'
证 A (A 1)(A A 1)II,
(A 1)A (A 1 A )II,
(A)1(A1).
性质4
(kA)1 1A1 ; k
高等代数
A11 A21 A31 3 3 1 A*A12 A22 A324 0 4.
A13 A23 A33 5 1 3
3
A1
|
A 1|A*144
5
3 0 1
41341
3
5
3 4 0 1
1 4 1. 3
4 4 4
高等代数
逆矩阵的性质
定理2.4.2 若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 证明 若B、C都是A的逆矩阵，则
A * 称为 A 的伴随矩阵.
证明: " " : 若A可逆,有 A A 1A 1AE
两边取行列式,得 |A||A1||A1A|E1
从而 | A | 0
高等代数
" " : QA A *A*A|A|I.
又| A| 0,
A* A* A AI
| A| | A|
所以,A可逆,且 A1 1 A*
| A|
高等代数
性质5
|A 1| 1 ; |A|
可逆矩阵与初等矩阵的关系
由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵
都是可逆的，且：
A B B A I,A C C A I.
于是 B B I B (A C ) (B A )C IC C . 性质2 若A可逆，则 A 1 可逆，且 (A1)1 A.
事实上，这由等式 AA1A1AI，可以直接推出.
高等代数
矩阵求逆运算规律 性质1 若A可逆，则 A 1 可逆，且 (A1)1 A.
高等代数
矩阵可逆的条件
现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆 的？ 如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？ 为此先引入伴随 矩阵的概念.
高等代数
求逆矩阵方法一：伴随矩阵法
定理
方 阵 A 可 逆 的 充 要 条 件 是 |A | 0 ,且 可 逆 矩 阵 A 的 逆 矩 阵 为
A1 1 A* A
A 2 1 ( 1 ) 2 1 2 33 3 3 ,A 2 2 ( 1 ) 2 2 1 1 3 3 0 ,A 2 3 ( 1 ) 2 3 1 1 2 3 1 ,
A 3 1 ( 1 ) 3 1 1 23 2 1 ,A 3 2 ( 1 ) 3 2 1 23 2 4 ,A 3 3 ( 1 ) 3 3 1 21 2 3 .
高等代数
性质2 两个n阶可逆矩阵A、B的乘积AB可逆且
(AB)1 B1A1.
证明 由于
( A B ) ( B 1 A 1 ) A ( B B 1 ) A 1 ( A I ) A 1 A A 1 I , ( B 1 A 1 ) ( A B ) B 1 ( A 1 A ) B B 1 ( I B ) B 1 B I , 故AB可逆，且 (AB)1 B1A1.
a11x11 a12x12 L a1nx1n b1
a21x21 a22x22 L
a2n
x2n
b2
L L L L L L L L L L
an1xn1 an2xn2 L
ann
xnn
bn
高等代数
a11 a12 L a21 a22 L
L L L an1 an2 L
a1n x1 b1 矩阵A的逆矩阵，其中 A
2
1
2
.
1 3 3
123
解 Q | A | 2 1 2 4 0, A可逆.
133
A 1 1 ( 1 ) 1 1 1 32 3 3 ,A 1 2 ( 1 ) 1 2 1 23 2 4 ,A 1 3 ( 1 ) 1 3 1 21 3 5 ,
a2n
x2
b2
L L L
ann
xn
bn
AXB.
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
a
n1
an2
L
a1n
a2n
,
M
ann
x1
X
x2 M
,
xn
b1
B
b
2
.
M
bn
高等代数
问题的提出：
n n 的线性方程组 AXB是否可以象一元一次代
数方程 ax b 一样求解?
一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的判定、求法 三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程
高等代数
回忆
a11x1 a12x2 ...a1n xn b1,
.a.2.1..x.1....a..2.2.x..2.........a..2.n.
xn b2 ........
,
an1x1 an2 x2 ...ann xn bn ,
A12 A1n
A22 A2n
An1
An2
Ann
高等代数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
解:
1 2 (1)A3 4;
1 2 3 (2)B4 5 6
3 3 3
(1) A20. 故A可逆，
A1 1 A* A
1 4 23
2
1
2
3
2
1 1
2
(2) B0.故 B不 可 逆
注:1)此定理适用于低阶(2或3阶)矩阵的求逆.
2)此定理在理论推导中非常有用.
3)阶数较高的矩阵求逆,我们要寻求新的方法.
高等代数
伴随矩阵
a11 a12
定义
设
Aij
是矩阵
A
a21 an1
a22 an2
中元素 aij 的代数余子式，矩阵
a1n
a2n
ann
A11 A21
A*