力学-内力图的绘制
力学学习中,如何快速绘制内力图
黄敏四川建筑职业技术学院（618000）
摘要:在力学学习中，关键问题在于能够理解杆件的受力，而绘制内力图又是一个难点，本文通过多年的教学总结出快速绘制内力图的方法
关键词: 内力图
目前,学生在力学学习中,往往感到最难的、最不容易做正确的就是如何将轴力图、剪力图、弯矩图绘制正确。而这恰恰是我们力学学习中的一个重点，正确理解杆件的受力情况有助于对杆件本身受力的分析以及做好杆件强度、刚度、稳定性的验算。针对在学习中同学们遇到一些的问题，下面介绍快速绘制内力图的方法。
一、内力图的特点
1、每一个内力图都有一条基线，基线与杆平行，且基线上的每一点都代表着杆件上的每一个截面；
2、所有内力图都是封闭图形，从基线出发，最终会回到基线；
3、有集中力（或集中力偶）的地方，轴力、剪力（或弯矩）会发生突变，突变值等于该处的集中力（或集中力偶）的数值大小。
二、绘制内力图
1、轴力图
一般来讲，我们可以把基线上方的轴力图图形部分规定为正的轴力，把基线下方的轴力图图形部分规定为负的轴力。针对于水平杆件，轴力图可以按照下面的规则来绘制：从左向右画，力向左则向上画；力向右则向下画。没有力的区段为平直线。
例：绘制下图的轴力图
图一
图二
从A点开始，有一个向左的力20kN，根据规则则从基线向上画代表20kN的竖线，从A到B点没有其他的力则从A到B点为一条平直线；到了B点有一个向右的力40kN，根据规则则向下画代表40kN的竖线，因为基线上的数值为零，因此，从正的20kN向下40kN就变成了负的20kN，从B点到C点没有其他的力则从B点到C点为一条平直线；同理，C 点处有一个向左的力50kN，则向上50kN，从负的20kN向上50kN就变成了正的30kN，
C 点到
D 点没有其他的力则为一条平直线；D 点处有一个向右的力10kN 则向下10kN ，就从30kN 变成了20kN ，D 点到
E 点还是一条平直线，在E 点处有一个向右的力20kN 则向下画20kN ，正好回到基线，形成封闭的图形，实现从基线出发在回到基线。
2、剪力图
对于剪力图，我们可以把基线上方的轴力图图形部分规定为正的剪力，把基线下方的轴力图图形部分规定为负的剪力。针对于水平杆件，剪力图可以按照下面的规则来绘制：
从左向右画，力向上则向上画；力向下则向下画。没有力的区段为平直线，有均布荷载的区段为一条斜直线，倾斜方向同样遵循力向上则向上画；力向下则向下画的原则。 例：绘制下图的剪力图
图三
图四
首先计算出梁的支座反力kN Y kN Y D B 5,20==，开始绘制剪力图：从A 点开始，没有集中力则A 点为零，从A 到B 点区段上是一个均布荷载，则根据规则，力向下则向下画，此时为一条斜直线，斜多少呢？从A 到B 点共走了5210kN ⨯=，所以到达B 点时为负的10kN ，在B 点处的支座反力为向上20kN ，根据规则则向上画20kN ，从负10kN 向上画20kN 就变成了正的10kN ，从B 点到C 点没有其他的荷载，则为一条平直线；到了C 点处有一个向下的力15kN ，根据规则则应向下画代表15kN 的竖线，就从正的10kN 变成了负的5kN ，从C 点到D 点，同样没有其他的荷载，所以还是一条平直线；到了D 点处有一个向上支座反力为5kN ，则应向上画代表5kN 的竖线，正好回到基线，形成封闭的图形。 3、弯矩图
弯矩图的绘制中，没有正负号的划分，按照规定，弯矩画在受拉的一侧，因此在对弯矩计算中，常表示为上方受拉5kN 或下方受拉5kN 。一般情况下，弯矩图的绘制都是利用杆件的线形关系采用区段叠加来完成。
所谓的区段就是把杆件分成若干小段来完成绘制，区段划分的原则是：满跨、单一。满跨是指在一个区段内均布荷载的长度就是这个区段的长度；单一是指在一个区段内只有一种荷载。
区段划分按照下面几种方式来划分：
1）外伸梁的悬臂段要划开如图五；
图五
2）均布荷载的起末端要划开如图六；
图六
3）集中力偶的左右两侧要划开如图七；
图七
4）当集中力和均布荷载同时作用时，要从集中力处划开如图八。
图八
在进行弯矩图的绘制时，首先要计算出各个端点的内力，然后才开始叠加，叠加的时候只有三种情况：
1、区段上是均布荷载时，用虚线连接该区段端点的弯矩值，再在跨中向荷载的指向方向叠加2
1
8
ql 。（如图九）
图九
2、区段上是集中荷载时，用虚线连接该区段端点的弯矩值，再在集中力的地方向荷载的
指向方向叠加abF
l
，若集中力在区段的中间则叠加
1
4
Fl。（如图十）
图十
3、区段上没有荷载时，直接用实线连接该区段端点的弯矩值。（如图十一）
图十一
例：绘制下图的弯矩图
图十二
1、 计算该梁的支座反力
()0A
M
F =∑
3029406202320
1108
B F kN ⨯⨯+⨯+⨯⨯-=
=
()0B
M
F =∑
3021402202520
308
A F kN -⨯⨯+⨯+⨯⨯+=
=
2、区段端点弯矩计算
该梁可以分成四个区段，就有8个点，利用简捷法计算出各个端点的弯矩
120M kN m =⋅（上方受拉）
233022040M M kN m ==⨯-=⋅（下方受拉）
4530420202160M M kN m ==⨯--⨯⨯=⋅（下方受拉） 67302160M M kN m ==⨯⨯=⋅（上方受拉） 80M =
3、利用区段叠加绘制弯矩图
1、2段上没有荷载，直接连接1M 、2M
3、4段上有一个均布荷载，用虚线连接3M 、4M ，再在3M 、4M 连线跨中向下叠加21
8ql
5、6段上有一个集中荷载，用虚线连接5M 、6M ，再在5M 、6M 连线跨中向下叠加1
4
Fl
7、8段上同理
这样就完成了对弯矩图的绘制。
参考文献：
「1」《建筑力学》（少学时）刘寿梅，.高等教育出版社，2002年
「2」《土木工程力学》（中学时）卢光斌，机械工业出版社，2003.1 「3」《土木工程力学》（多学时）薛正庭，机械工业出版社，2003.1
作者：黄敏（0838——8902845、2652745）uot@https://www.360docs.net/doc/c019047085.html, 四川德阳嘉陵江西路4号四川建筑职业技术学院土木系（618000）
门式刚架内力图画法
门式刚架内力图画法研究 摘要：针对经典力学中刚架内力图画法的局限性，文章根据直梁上弯矩、剪力与荷载集度间的微分与积分关系，得出了一种静定门式刚架内力图的实用画法，现提出供同仁参考。 关键词：门式刚架；弯矩图；剪力图；轴力图 结构力学是土木工程、水利工程和桥梁等专业的一门重要专业基础课，其教学内容与工程实践联系紧密。该门课程的重点之一是画门式刚架的内力图。门式刚架为一种传统的结构体系，门式刚架结构具有受力简单、传力路径明确、构件制作快捷、施工周期短等特点，因此广泛应用于工业、商业及文化娱乐公共设施等工业与民用建筑中。实际工程中，刚架中各构件截面上一般有弯矩、剪力与轴力的作用，刚架上弯矩、剪力与轴力的最大值直接影响到结构的设计、材料的选择以及配筋的计算。根据内力图找出结构中可能的危险截面是结构强度分析中最直观有效的方法，因此，快速而准确地画刚架的内力图，就成为每个设计者必须具备的能力。 1 经典理论 弯矩、剪力和分布荷载集度间的微积分关系为： dq（x）/dx＝q（x）（1） dm（x）/dx＝q（x）（2） d2m（x）/dx2＝q（x）（3）qb—qa＝（4）
mb—ma＝（5） 式中，m（x）、q（x）分别是坐标x处横载面上的剪力、弯矩，q （x）为该处的荷载集度，规定向上为正，b、a为某梁段的杆端载面。 （1）式的几何意义为剪力图在某载面处的切线斜率等于该截面荷载集度的大小。 （2）式的几何意义为弯矩图在某载面处的切线斜率等于该截面的剪力。 （3）式的几何意义为分布荷载的正负可以确定弯矩图的凹凸方向。 （4）式的几何意义为b、a两横截面的剪力之差，等于这两横载面间梁段上的荷载图面积。 （5）式的几何意义为b、a两横截面的弯矩之差，等于这两横截面间剪力图的面积［1］。 由此可得，对水平直梁，从左往右看，无荷载作用梁段的剪力图为与基线平行的直线，弯矩图为一倾斜直线，斜直线上升或下降的铅直高度等于该段剪力图的面积（本文中面积从此处开始一律取正），剪力为正时，弯矩图下斜（\），剪力为负时，弯矩图上斜（/）；均布荷载作用梁段，剪力图为一倾斜直线，该斜线上升或下降的铅直高度等于该梁段分布荷载图的面积，倾斜方向与荷载集度指向一致，弯矩图为二次曲线，对剪力为正的梁段，弯矩图为下降曲线，
材料力学内力图绘制详解
一、由外力直接绘制轴力图 例 5.4 如图 5.18(a)所示为一绳子受力图，右端固定，试绘制该绳的轴力图。 解 根据外力直接绘制轴力图（见图5.18(b)），绘图分析过程及步骤如下。 从左向右绘制，始终取右边部分为研究体。在截面A 有集中力F 1，使研究体拉伸变形， 故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 1大小，此时 F N =（0+500）N =500 N ；在AB 段没有外力，故轴力不变；在截面B 有集中力F 2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 2大小,此时F N =（500+420）N =920 N ；在BC 段没有外力，故轴力不变；在截面C 有集中力F 3，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 3大小，此时F N =(920-280)N =640 N ；在CD 段没有外力，故轴力不变；在截面D 有集中力F 4，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 4大小，此时 F N =(640-800)N =-160 N ；在DE 段没有外力，故轴力不变；在截面E 有集中力，由于轴力曲 （b ） (a)
线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0。 例5.5有一根阶梯轴受力如图5.19(a)所示，试绘制阶梯轴的轴力图。 图5.19 解从右向左绘制，始终取左变部分为研究体。根据外力直接绘制轴力图（见图5.19(b)），绘图分析过程及步骤如下： 在截面A有集中力F1，使研究体压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F1大小,此时F N=（0-10）kN=-10 kN；在AB段有均匀分布载荷，使研究体受拉伸变形，故轴力以斜直线规律向正方向渐变，轴力渐变大小为均匀分布载荷大小，此时F N=（-10+10×2）kN=10 kN；在截面B没有力，故此截面轴力没有变化；在BC段没有外力，故轴力不变；在截面C有集中力F2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F2大小，此时F N=（10+10）kN=20 kN；在CD段没有外力，故轴力不变；在截面D有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0.
材料力学内力图绘制详解
一、由外力直接绘制轴力图 例 如图(a)所示为一绳子受力图，右端固定，试绘制该绳的轴力图。 解 根据外力直接绘制轴力图（见图(b)），绘图分析过程及步骤如下。 从左向右绘制，始终取右边部分为研究体。在截面A 有集中力F 1，使研究体拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 1大小，此时 F N =（0+500）N=500 N ；在AB 段没有外力，故轴力不变；在截面B 有集中力F 2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 2大小,此时F N =（500+420） （b ） (a)
N=920 N；在BC段没有外力，故轴力不变；在截面C有集中力F3，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F3大小，此时F N=(920-280)N=640 N；在CD段没有外力，故轴力不变；在截面D有集中力F4，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F4大小，此时F N=(640-800)N=-160 N；在DE 段没有外力，故轴力不变；在截面E有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0。 例有一根阶梯轴受力如图(a)所示，试绘制阶梯轴的轴力图。 图 解从右向左绘制，始终取左变部分为研究体。根据外力直接绘制轴力图（见图(b)），绘图分析过程及步骤如下： 在截面A有集中力F1，使研究体压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F1大小,此时F N=（0-10）kN=-10 kN；在AB段有均匀分布载荷，使研究体受拉伸变形，故轴力以斜直线规律向正方向渐变，轴力渐变大小为均匀分布载荷大小，此时F N=（-10+10×2）kN=10 kN；在截面B没有力，故此截面轴力没有变化；在BC段没有外力，故轴力不变；在截面C有集中力F2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F2大小，此时F N=（10+10）kN=20 kN；在CD段没有外力，故轴力不变；在截面D有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0.
材料力学专题一梁的内力和内力图
专题一 梁的内力和内力图 例1求图1(a)所示梁截面 A 、C 的剪力和弯矩。 解：1）求反力 kN 5=A F ，kN 4=B F 2）求A 左截面的内力，如图(a)所示。 0=∑i Y ， 0=+左SA p F F ，kN 3-=左SA F 0=∑O M ，02=+?左A p M F ， m kN 6?-=左A M 3）求A 右截面的内力，如图(b)所示。 0=∑i Y ，0=+--A SA p F F F 左，kN 2=左SA F 0=∑O M ，02=+?右A p M F ， m kN 6?-=右A M 4）求C 左截面的内力，如图(c)所示。 0=∑i Y ，02=-?--左SC P A F q F F ，0=左SC F 0=∑O M ，01224=+??+?-?左C A p M q F F ，=左C M m kN 4?-= 5）求C 右截面的内力，如图(d)所示。 0=∑i Y ，02=-?--右SC P A F q F F ，0235=--=右SC F 0=∑O M ，012241=++??+?-?右C A p M M q F F ，=右C M m kN 6?-= 【小结】①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致。一般取外力比较简单的一段进行分析。②在解题时，通常假设截面上把内力为正，若最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）与实际是相同的，否则是相反的。③该题也可以不画受力图，不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。 图 1 (a) (b) (c) (d) (e)
例2试计算图2所示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。 解：(a)取A +截面左段研究，, 0SA A F F M + +== 取C 截面左段研究，, 2 SC C Fl F F M == 取B -截面左段研究， , SB B F F M Fl == (b) 求A 、B 处约束反力 如图(d)所示，l M F F e B A /== 取A +截面左段研究，, e SA A A e M F F M M l ++=-=-= 取C 截面左段研究， , 22 e e SC A A e A M M l F F M M F l +=-=-=-?= 取B 截面右段研究，, 0e SB B B M F F M l =-=-= (c) 求A 、B 处约束反力 取A + 截面右段研究，2 33, 22248 SA A l ql l l ql F q M q + +=?==-??=- 取C -截面右段研究，2 , 22248 SC C l ql l l ql F q M q --=?==-??=- 取C + 截面右段研究，2 , 22248 SC C l ql l l ql F q M q ++=?==-??=- 取B -截面右段研究，0, 0SB B F M --== 图2 (b) (a) q B (c) B 图(d)
土木工程力学教案——内力与内力图
第4章内力与内力图 第一节变形固体及其基本假设 一、变形固体 工程上所用的构件都是由固体材料制成的，如钢、铸铁、木材、混凝土等，它们在外力作用下会或多或少地产生变形，有些变形可直接观察到，有些变形可以通过仪器测出。在外力作用下，会产生变形的固体称为变形固体。 在静力学中，由于研究的是物体在力作用下平衡的问题。物体的微小变形对研究这种问题的影响是很小的，可以作为次要因素忽略。因此，认为物体在外力作用下，大小形状都不发生变化，而把物体视为一个刚体来进行理论分析。在材料力学中，由于主要研究的是构件在外力作用下的强度、刚度和稳定性的问题。对于这类问题，即使是微小的变形往往也是主要影响的因素之一，必须予以考虑而不能忽略。因此，在材料力学中，必须将组成构件的各种固体视为变形固体。 变形固体在外力作用下会产生两种不同性质的变形：一种是外力消除时，变形随着消失，这种变形称为弹性变形；另一种是外力消除后，不能消失的变形称为塑性变形。一般情况下，物体受力后，即有弹性变形，又有塑性变形。但工程中常用的材料，当外力不超过一定范围时，塑性变形很小，忽略不计，认为只有弹性变形，这种只有弹性变形的变形固体称为完全弹性体。只引起弹性变形的外力范围称为弹性范围。本书主要讨论材料在弹性范围内的变形及受力。 二、变形固体的基本假设 变形固体有多种多样，其组成和性质是非常复杂的。对于用变形固体材料做成的构件进行强度、刚度和稳定性计算时，为了使问题得到简化，常略去一些次要的性质，而保留其主要的性质，因此，对变形固体材料作出下列的几个基本假设。 1．均匀连续假设 假设变形固体在其整个体积内毫无空隙的充满了物体，并且各处的材料力学性能完全相同。 实际上，变形固体是由很多微粒或晶体组成的，各微粒或晶体之间是有空隙的，且各微粒或晶体彼此的性质并不完全相同。但是由于这些空隙与构件的尺寸相比是极微小的，同时构件包含的微粒或晶体的数目极多，排列也不规则，所以，物体的力学性能并不反映其某一个组成部分的性能，而是反映所有组成部分性能的统计平均值。因而可以认为固体的结构是密实的，力学性能是均匀的。 有了这个假设，物体内的一些物理量，才可能是连续的，才能用连续函数来表示。在进行分析时，可以从物体内任何位置取出一小部分来研究材料的性质，其结果可代表整个物体，也可将那些大尺寸构件的试验结果应用于物体的任何微小部分上去。 2．各向同性假设 假设变形固体沿各个方向的力学性能均相同。 实际上，组成固体的各个晶体在不同方向上有着不同的性质。但由于构件所包含的晶体数量极多，且排列也完全没有规则，变形固体的性质是这些晶粒性质的统计平均值。这样，在以构件为对象的研究问题中，就可以认为是各项同性的。工程使用的大多数材料，如钢材、玻璃、铜和浇灌很好的混凝土，可以认为是各向同性的材料。根据这个假设当获得了材料在任何一个方向的力学性能后，就可将其结果用于其它方向。 在工程实际中，也存在了不少的各向异性材料。例如轧制钢材、木材、竹材等，它们沿各方向的力学性能是不同的。很明显，当木材分别在顺纹方向、横纹方向和斜纹方向受到外力作用时，它所表现出的强度或其它的力学性质都是各不相同的。因此，对于由各向异性材料制成的构件，在设计时必须考虑材料在各个不同方向的不同力学性质。
力学-内力图的绘制
力学学习中,如何快速绘制内力图 黄敏四川建筑职业技术学院（618000） 摘要:在力学学习中，关键问题在于能够理解杆件的受力，而绘制内力图又是一个难点，本文通过多年的教学总结出快速绘制内力图的方法 关键词: 内力图 目前,学生在力学学习中,往往感到最难的、最不容易做正确的就是如何将轴力图、剪力图、弯矩图绘制正确。而这恰恰是我们力学学习中的一个重点，正确理解杆件的受力情况有助于对杆件本身受力的分析以及做好杆件强度、刚度、稳定性的验算。针对在学习中同学们遇到一些的问题，下面介绍快速绘制内力图的方法。 一、内力图的特点 1、每一个内力图都有一条基线，基线与杆平行，且基线上的每一点都代表着杆件上的每一个截面； 2、所有内力图都是封闭图形，从基线出发，最终会回到基线； 3、有集中力（或集中力偶）的地方，轴力、剪力（或弯矩）会发生突变，突变值等于该处的集中力（或集中力偶）的数值大小。 二、绘制内力图 1、轴力图 一般来讲，我们可以把基线上方的轴力图图形部分规定为正的轴力，把基线下方的轴力图图形部分规定为负的轴力。针对于水平杆件，轴力图可以按照下面的规则来绘制：从左向右画，力向左则向上画；力向右则向下画。没有力的区段为平直线。 例：绘制下图的轴力图 图一 图二 从A点开始，有一个向左的力20kN，根据规则则从基线向上画代表20kN的竖线，从A到B点没有其他的力则从A到B点为一条平直线；到了B点有一个向右的力40kN，根据规则则向下画代表40kN的竖线，因为基线上的数值为零，因此，从正的20kN向下40kN就变成了负的20kN，从B点到C点没有其他的力则从B点到C点为一条平直线；同理，C 点处有一个向左的力50kN，则向上50kN，从负的20kN向上50kN就变成了正的30kN，
第二章 杆件的内力与内力图
第二章 杆件的内力与内力图 §2-1 杆件内力的概念与杆件变形的基本形式 一、杆件的内力与内力分量 内力是工程力学中一个非常重要的概念。内力从广义上讲，是指杆件内部各粒子之间的相互作用力。显然，无荷载作用时，这种相互作用力也是存在的。在荷载作用下，杆件内部粒子的排列发生了改变，这时粒子间相互的作用力也发生了改变。这种由于荷载作用而产生的粒子间相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。 需要指出的是：受力杆件某横截面上的内力实际上是分布在截面上的各点的分布力系，而工程力学分析杆件某截面上的内力时，一般将分布内力先表示成分布内力向截面的形心简化所得的主矢分量和主矩分量进行求解，而内力的具体分布规律放在下一步（属于本书第二篇中的内容）考虑。 受力杆件横截面上可能存在的内力分量最多有四类六个：轴力 N F 、剪力y Q F )(和z Q F )(、扭矩x M 、弯矩y M 和z M 。 轴力 N F 是沿杆件轴线方向（与横截面垂直）的内力分量。 剪力 y Q F )(和z Q F )(是垂直于杆件轴线方向（与横截面相切）的内力分量。 扭矩x M 是力矩矢量沿杆件轴线方向的内力矩分量。 弯矩y M 和z M 是力矩矢量与杆件轴线方向垂直的内力矩分量。 二、杆件变形的基本形式 实际的构件受力后将发生形状、尺寸的改变，构件这种形状、尺寸的改变称为变形。 杆件受力变形的基本形式有四种：轴向拉伸和压缩、扭转、剪切、弯曲。 1、轴向拉伸和压缩变形 轴向拉伸和压缩简称为轴向拉压。其受力特点是：外力沿杆件的轴线方向。其变形特点是：拉伸——沿轴线方向伸长而横向尺寸缩小，压缩——沿轴线方向缩短而横向尺寸增大，如图4-1所示。轴向受拉的杆件称为拉杆，轴向受压的杆件压杆。
工程力学(高教版)教案：5.4 内力方程及内力图
第四节 内力方程及内力图 描述内力沿杆长度方向变化规律的坐标x 的函数，称为内力方程。为了形象直观的反映内力沿杆长度方向的变化规律，以平行于杆轴线的坐标x 表示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标表示内力的大小，选取适当的比例尺，便可作出对应的内力图。 一、利用内力方程作内力图 内力方程所提供的函数图形，即为内力图。 例5-6 一受力如图5-16(a)所示的阶梯形杆件，q 为沿轴线均匀分布的载荷，试作轴力图。 图5-16 解 如图5-16(b)。 由 ∑=0X 022=-+-R p ql P 解得 1P R = 由于作用在杆件上的外力不是连续变化的，故应分段列出内力方程。 AB 段：()P x N = P N N B A ==-+ ()l x <<0 P N N B A ==-+ BC 段 ()()P x l x q P R x N l P 22-= -+-= ()l x l 3≤< P N B =-, P N C =, CD 段 ()P x N = ()l x l 43<≤ P N D =- ()l x <<0
根据+A N 、-B N 、C N 、-D N 的对应值便可作出图 5-16(c)所示的轴力图 。+ N 及-N 分别对应横截面右侧及左侧相邻横截面的轴力。 由例子可见，杆的不同截面上有不同的轴力，而对杆进行强度计算时，要以杆内最大的轴力为计算依据，所以必须知道各个截面上的轴力，以便确定出最大的轴力值。这就需要画轴力图来解决。 例5-7 试作出例5-2中传动轴的扭矩图。 图5-17 解 BC 段：()28.3-=-=B m x T kN ·m ()l x <<0 28.3-==-+C B T T kN.m CA 段: ()64.7-=--=C B m m x T kN ·m ()l x l 2<< 64.7-==-+A C T T kN ·m AD 段: ()09.5==D m x T kN ·m ()l x l 32<< 09.5==-+D A T T kN ·m 根据+B T 、-C T 、+C T 、-A T 、+A T 、-D T 的对应值便可作出图 5-17(c)所示的扭矩图 。+ T 及-T 分别对应横截面右侧及左侧相邻横截面的扭矩。 由例子可见，轴的不同截面上有不同的扭矩，而对轴进行强度计算时，要以轴内最大的扭矩为计算依据，所以必须知道各个截面上的扭矩，以便确定出最大的扭矩值。这就需要画扭矩图来解决。 例5-8 试作出图5-18(a)所示梁的剪力图和弯矩图。
从函数图像绘制角度统一看四种内力图绘制
从函数图像绘制角度统一看四种内力图绘制作者：马志敏 来源：《教育教学论坛》2019年第10期 摘要：材料力学中内力图的绘制贯穿材料力学强度学习的整个过程，也是工程中结构分析重要的一环，因此，掌握好内力图的绘制，对于培养学生的工程分析能力至关重要。本文从数学函数图像绘制的角度，揭示了内力图绘制的本质，提出了四种内力图绘制的统一思想并小结了若干绘图技巧，以使学生能快速准确绘制内力图。 关键词：函数图像;内力图;截面法;面积法;控制面 中图分类号：G642.0; ; ;文献标志码：A; ; ;文章编号：1674-9324（2019）10-0191-03 材料力学内力图的绘制是学生学习材料力学最开始接触到的内容，如何讲清这一内容，让学生能快速而准确地画出内力图，是很多材料力学主讲教师思考的热点问题。从数学的角度看，轴力、剪力、扭矩和弯矩四种内力，它们随着杆件截面位置的改变而变化，是关于杆件截面位置X的函数，内力图的绘制就是绘制这些函数的图像，这就是内力图的本质。本文从这一事实出发，提出了绘制函数图像的基本要素的概念，并归纳总结了确定内力图绘制所需的基本要素的方法，便于学生把握内力图的本质，深入了解各种内力图绘制技巧的来龙去脉，将所学知识融会贯通，巧记规律，从而快速准确绘制材料力学中的四种内力图。 一、内力函数特点和内力图绘制的基本要素 根据杆件受力的特点，从数学的角度看，内力函数往往是分段函数，回顾数学中分段函数图像的绘制过程，在这一过程中，要确定：（1）分段点位置;（2）每一段图像的形状：直线？斜线？抛物线？（现行材料力学教材中常出现的内力图形状）如果是抛物线，还需明确凸凹性和极值点，以及极值点位置。（3）每一段函数的起点、终点的处截面上的内力值，若有极值，尚需求出极值点截面上的内力值。 二、内力图绘制基本要素的确定 1.分段点位置。由截面法易知，在有集中力、集中力偶、分布荷载起点和终点处两边，内力函数是不一样的，因此，杆件的起点、终点、集中力、集中力偶、分布载荷起点和终点即是分段点位置。 2.每一段内力图形状的确定。内力图的形状由内力与荷载集度之间的微分关系确定。现行材料力学书上主要推导了弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系，事实上，从数学函数的观点，也不难推导出轴力与荷载集度、扭矩与荷载集度也有与上面类似的微分关系，张宏学，马庆捷等人的论文中，均对此问题进行了详细的论述。根据这些微分关系，可以确定内力图的形状，具体见表1。
弯曲变形内力图绘制方法
弯曲变形内力图绘制方法 摘要弯曲变形内力图的绘制是材料力学和结构力学的重点和难点,针对学生在学习该部分内容时出现的一些问题,本文提出了求解这种问题的与技巧,应用此方法,绘制内力图简便、快捷,以此更好地提高学生作图效率和教学效果。 关键词弯曲变形;内力图;荷载 1弯曲变形内力图绘制方法介绍 1.1 3个微分关系的应用 在画内力图时,较简捷的方法是运用3个微分关系来处理,即,,,这里,当为常数时,弯矩方程为二次函数,在弯矩图中反映为抛物线。画抛物线时注意其要点,其对称轴和顶点在处,其开口方向与的方向相反(此时弯矩坐标轴正向与的方向相同)。 1.2 绘制内力图的步骤 一般我们将弯曲变形的内力图分为如下几步进行: 1)计算支反力; 2)分段; 3)计算控制截面内力值; 4)描点、连线。 1.3 杆端荷载的处理 在实际画内力图时,经常会遇到杆端荷载。对于杆端的集中力,如其使杆端产生顺时针转动,则在该截面处的剪力为正,大小与此集中力相等;反之,剪力为负。对于杆端的集中力偶,如其使杆端下边缘受拉,则在该截面处的弯矩为正,大小与此集中力偶相等;反之,弯矩为负。 1.4 重要说明 两点说明:画剪力图时,一般是从左向右,这时,向上的外荷载产生正的剪力,向下的外荷载产生负的剪力;画弯矩图时,计算控制截面的弯矩,易将隔离体看作悬
臂梁形式(详见应用举例)。 2应用举例 如图1所示梁的内力图。 1)求支反力(图2所示); 2)分段AB、BC、CD; 3)计算控制截面内力值; 这里只需计算B与C截面弯矩。计算B截面弯矩时,取AB段为隔离体,其受力与图3所示悬臂梁一致,20kN的集中力使梁上部受拉,60kN的集中力偶使其下部受拉;计算C截面弯矩时,取CD段为隔离体,将其看作图4所示悬臂梁,8kN/m的分布荷载使其上部受拉。其弯矩分别为 4)描点、连线。 剪力图(图5所示):杆端荷载20kN使A点产生逆时针转动,故此时A右截面的剪力为-20kN,AB段无荷载作用,该段剪力为-20kN,剪力图为水平直线;B支座反力向上,该处右截面剪力为27-20=7(kN);BC段有分布荷载作用,剪力图逐步下降,降至7-8×4=-25(kN);C支座反力向上,该处右截面剪力为41-25=16(kN);CD段有分布荷载作用,剪力图逐步下降,降至16-8×2=0(kN);从另一方面看,D截面无集中力作用,该处剪力也应为0。 弯矩图(图6所示):力偶60kNm使A截面下边缘受拉,该处右截面弯矩为60kNm;B与C截面弯矩分别为20kNm和-16kNm;D截面无集中力偶作用,该处弯矩应为0。AB段无荷载作用,其弯矩图用斜直线连接;BC段有分布荷载作用,其弯矩图用抛物线连接,抛物线开口与q方向相反,对称轴在剪力为0即E截面处,CE/BE=25/7,CE=3.125m,DE=5.125m,Mmax=ME=41×3.125-8×5.125×5.125/2=2 3.1 (kNm) ;CD段有分布荷载作用,其弯矩图用抛物线连接,抛物线开口与q方向相反,对称轴在剪力为0即D截面处。 3结论
《土木工程力学》内力图画法探讨(全文)
《土木工程力学》内力图画法探讨(全文) 【【土木工程力学是土木工程重要的理论和实验基础，它是研究结构和构件安全地承受各种作用（荷载等）的一门课程。该课程研究的结构和构件的强度、刚度和稳定性等问题离不开内力分析，内力分析是土木工程力学最为重要的一个环节，而最能体现杆件各截面分布情况的当属内力图，内力图具有较强的直观表达性，制作方便，因此内力图成为杆件内力表达的重要手段。笔者根据多年教学实践，对土木工程力学中最为常见的几种内力图作一探讨。 教材画内力图是列内力平衡方程，由方程画出内力图，而新方法是倡导利用内力图规律和荷载的“突变”，直接画内力图，快而简便，是正确绘制内力图的关键。 一轴向拉（压）杆的内力图——轴力（fn）图 轴向拉（压）杆的受力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。轴向拉（压）杆的轴力图——fn（x）的图像直接反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；而且还能确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。轴力图的简便画法为：（1）以外力作用处为界，将杆件分段；（2）在分界处：突变值＝集中载荷（其余各处为一水平线）。轴力图的要求为正负号、数值、阴影线与轴线垂直。熟练掌握以上几点，就可以准确无误地画出轴向拉（压）杆的轴力图了。
二扭矩图的画法 扭转变形的受力特点是在垂直于杆轴线的平面内，作用有大小相等、转向相反的一对力偶。扭矩的正负号判别用右手螺旋准则，即右手四指代表扭矩的转向，当大拇指背离截面为正，反之为负。扭矩图以外力作用处为分界处，突变值等于该力偶值。扭矩图画法可以参照轴力图的画法。 三直梁弯曲——剪力图和弯矩图的画法 在建筑工程中，为了迅速判断梁危险截面的位置（一般是剪力或弯矩最大值所处的位置），必须明确剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，我们通常采用绘剪力图和弯矩图的方法来表现它。建立内力方程的方法是原有教材中作内力图的最基本方法；建立了内力方程再结合数学上的函数图像性质作图，但工作量大，通过考察大量内力图，我们发现：在常规荷载作用下内力图的函数图形是直线和二次曲线，只要定出起点和终点的值，再对函数图形的形状进行定位，就不难作出内力图了，所以我们采用确定控制面法。 1．控制面法 控制面不外乎梁的起、止截面，均布载荷的起、止截面，集中力、集中力偶作用截面，以及剪力为零的截面。采用控制面法绘图，就是先在这些截面对应的点处求内力值，然后在内力图上定位，即定性地判断各段的剪力图和弯矩图的形状、图形变化趋势等，再根据荷载性质用直线（或曲线）连接定位点。在熟悉内
作轴力图与扭矩图的四句口诀法-精选文档
作轴力图与扭矩图的四句口诀法 G633.6 杆件的强度和刚度计算是工程力学课程重要的研究内容之一，内力分析和计算是进行杆件的强度和刚度计算的前提，通过作内力图可以直观、形象的表示出内力的分布规律，是进行强度计算时判断危险截面位置的重要依据。因此，作杆件的内力图是工程力学课程学习的重点，也是学习的难点。作者经过多年的教学实践，对杆件基本变形作内力图的方法进行了总结和归纳，提炼出利用四句口诀法作内力图的简易方法。下面分别介绍杆件轴向拉压和扭转变形时画轴力图和扭矩图四句口诀法的含义及应用。 一、轴力图的画法 1.根据杆件的受力图画轴力图的步骤 （1）求出杆件的约束力（根据静力平衡方程求解），若全部外力（含约束力）均为已知，则可直 接进行步骤（2）。 （2）在受力图正下方画出轴力图坐标系（横坐标x表示杆件的截面位置，坐标原点O对应杆件 的最左端，纵坐标FN表示轴力的大小）。 （3）在轴力图坐标系中利用四句口诀直接画出轴力图。规定画轴力图时均从杆件最左端开始，
即从轴力图坐标原点开始，从左至右将箭头依次首尾相接，画至杆件最右端，最终箭头终止在X轴上，轴力图构成封闭的图形。 2.画轴力图的四句口诀为：“向左外力向上画，向右外力向下画，两力之间水平画，图形封闭准不差”。其含义如下：（1）向左（右）外力――指受力图中箭头指向左（右）端的外力（包含约束力）。 （2）向上（下）画――最左端的外力则从X轴（轴力FN=0）向上（下）垂直画线段，箭头向上（下），线段长度等于该截面上外力的大小；如是中间的外力则在该截面左侧轴力图（水平线）的基础上向上（下）度量，其突变值等于该截面外力的大小。 （3）两力之间水平画――两个集中外力之间的轴力图画水平线，箭头向右。 （4）图形封闭准不差――轴力图从左端的原点开始，到最右端的水平轴上（轴力FN=0） 结束，轴力图构成封闭的图形，说明外力的水平投影的代数和为零，杆件是平衡的。 3.应用 已知杆件的受力图如图1所示，试画出杆件的轴力图。 图1受力图 图2轴力图 在图1所示的受力图中FA=5KN、FC=25KN为向左的外力，应
建筑力学讲义之内力及内力图_secret
6 内力及内力图 6.1 内力的概念 我们知道，物体是由质点组成的，物体在没有受到外力作用时，各质点间本来就有相互作用力。物体在外力作用下，内部各质点的相对位置将发生改变，其质点的相互作用力也会发生变化。这种相互作用力由于物体受到外力作用而引起的改变量，称为“附加内力”，简称为内力。 内力随外力的增大、变形的增大而增大，当内力达到某一限度时，就会引起构件的破坏。因此，要进行构件的强度计算就必须先分析构件的内力。 6.1.1杆件变形的基本形式 作用在杆上的外力是多种多样的，因此，杆件的变形也是多种多样的。但总不外乎是由下列四种基本变形之一，或者是几种基本变形形式的组合。 1、轴向拉伸和轴向压缩 在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外力作用下，杆件的主要变形是长度改变。这种变形称为轴向拉伸（图6－3（a））或轴向压缩（图6－3（b））。
2、剪切 在一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的主要变形是横截面沿外力作用方向发生错动。这种变形形式称为剪切（图6－3（c））。 3、扭转 在一对大小相等、方向相反、位于垂直于杆轴线的两平面内的外力偶作用下，杆的任意横截面将绕轴线发生相对转动，而轴线仍维持直线，这种变形形式称为扭转（图6－3（d））。 4、弯曲 在一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平面内的外力偶作用下，杆件的轴线由直线弯曲成曲线，这种变形形式称为弯曲（图6－3（e））。 在工程实际中，杆件可能同时承受不同形式的荷载而发生复杂的变形，但却可看作是上述基本变形的组合。由两种或两种以上基本变形组成的复杂变形称为组合变形。 6.2 轴心拉压杆的内力及内力图