基本不等式求最值的类型与方法-经典大全
基本不等式求最值与一元二次不等式的最值联系与区别
基本不等式求最值与一元二次不等式的最值联系与区别摘要：1.基本不等式求最值与一元二次不等式最值的联系2.基本不等式求最值与一元二次不等式最值的差异3.基本不等式求最值的方法与应用实例4.一元二次不等式求最值的方法与应用实例5.总结：联系与区别正文：在数学领域，不等式求最值问题一直是高中阶段代数部分的重要内容。
其中，基本不等式求最值与一元二次不等式的最值有着紧密的联系，但它们之间也存在一定的区别。
下面我们将分别阐述这两者之间的联系与差异，并通过实例来介绍求解方法。
首先，我们来探讨基本不等式求最值与一元二次不等式最值的联系。
在实际问题中，许多不等式问题都可以通过基本不等式来求解最值。
基本不等式的形式为：对于任意实数a、b、c，有（a+b+c）/3 ≥√[(a^2+b^2+c^2)/3]。
当且仅当a=b=c时，等号成立。
通过基本不等式，我们可以将复杂的不等式问题转化为求解最值问题，进而求得问题的解。
然而，基本不等式求最值与一元二次不等式最值之间也存在明显的差异。
一元二次不等式的最值问题通常可以通过二次函数的图像来解决。
一元二次不等式的标准形式为：ax^2+bx+c ≥ 0（a≠0）。
我们可以通过求解该二次函数的零点，找到使其大于等于0的区间，从而确定最值。
接下来，我们分别介绍基本不等式求最值和一元二次不等式求最值的方法及应用实例。
基本不等式求最值的方法：1.判断是否满足基本不等式的条件；2.将不等式转化为求解最值问题；3.求解最值，得到问题的解。
应用实例：求解不等式2(x+1)^2 ≥ 3x^2 + 4。
通过基本不等式，我们可以将该不等式转化为求解最值问题：2(x+1)^2 ≥ 3x^2 + 4 2(x^2 + 2x + 1) ≥ 3x^2 + 4 (x^2 - 2x + 3) ≥ 0。
进一步求解得到x ≤ 1 或x ≥ 3，所以原不等式的解集为（-∞，1]∪[3，+∞）。
一元二次不等式求最值的方法：1.判断二次函数的判别式Δ=b^2-4ac的符号；2.根据Δ的符号，确定二次函数的图像与x轴的交点个数；3.根据交点个数，找到使二次函数大于等于0的区间；4.求解最值。
基本不等式求最值课件
证明方法二
证明方法三
利用代数方法，通过移项、合并同类项、化简等步骤，证明基本不等式。
利用几何方法，通过图形和面积等直观方式，证明基本不等式。
03
02
01
基本不等式的应用
利用基本不等式，我们可以求解一些函数的最值问题，从而在实际问题中得到应用。
总结词
基本不等式是数学中一种重要的工具，它可以用来求解一些函数的最值问题。例如，对于形如 f(x)=x+4/x 的函数，我们可以利用AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）来求解其在某个区间的最值。
答案解析6
利用AM-GM不等式和平方差公式，得到 y = (x - 1)^2 + (1/x - 1)^2 ≥ 2√((x - 1)^2 * (1/x - 1)^2) = 4，当且仅当 x = √2 时取等号。
谢谢
THANKS
详细描述
总结词
均值不等式是数学中一个基本的不等式，它表示对于任意非负实数，其算术平均值总是大于或等于其几何平均值。
详细描述
均值不等式表述为：对于所有非负实数a和b，有(a+b)/2 >= sqrt(ab)。这个不等式在求最值问题中非常有用，因为它提供了两个正数的和与它们的积之间的关系。
总结词
切比雪夫不等式是数学中一个关于概率和期望的不等式，它给出了一个随机变量的概率分布与其期望值之间的关系。
基本不等式求最值ppt课件
目录
CONTENTS
基本不等式的概念和性质基本不等式的应用基本不等式的扩展和深化基本不等式的实际应用案例基本不等式的解题技巧和策略练习题和答案解析
基本不等式的概念和性质
基本不等式是数学中常用的一个不等式，它表示两个正数的平均数总是大于或等于它们的几何平均数。
基本不等式的最值求法
基本不等式的最值求法基本不等式的最值求法1. 介绍基本不等式的概念和重要性基本不等式是数学中一种常见且重要的理论工具，它能够帮助我们求解不等式中的最值。
不等式在数学领域中具有广泛的应用，例如在优化问题、经济学、物理学等领域中都有其身影。
掌握基本不等式的最值求法，对于我们的数学学习和实际应用都具有深远的影响。
2. 基本不等式的最值求法的基本思路在求解基本不等式的最值时，我们可以采用以下的基本思路：第一步，根据不等式的形式，我们需要对不等式进行一些变形和整理，以便更好地理解和处理不等式。
第二步，我们需要注意观察不等式中的各个项，找出其中的极大值和极小值，这些值将有助于我们进行进一步的推导和求解。
第三步，我们可以通过一些常见的不等式定理和方法来简化不等式，例如使用柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。
第四步，根据不等式的说明和要求，我们可以使用方法如二分法、递归法、均分法等来逐步缩小不等式的范围，以便更精确地求得最值。
第五步，最后我们需要对求解过程进行总结和回顾，确保我们找到了最值，并且可以解释和应用这个结果。
3. 利用基本不等式的最值求法解决实际问题基本不等式的最值求法不仅在数学领域有重要的应用，同样在实际问题中也具有广泛的运用。
例如在优化问题中，我们可以利用基本不等式的最值求法找到一组变量的最优取值，使得问题的目标函数达到最大或最小值。
在经济学中，基本不等式的最值求法可以帮助我们确定投资策略，寻找最佳的资源分配方案。
在物理学中，我们可以利用基本不等式的最值求法分析物体的稳定性或者求解问题的最优解。
4. 个人观点和对基本不等式的理解作为一种基础的数学概念，我认为基本不等式的最值求法对于我们的数学学习和思维能力的培养都具有重要意义。
不等式作为一种较为复杂的描述方式，可以帮助我们更全面和深入地理解数学中的不等关系。
通过运用基本不等式的最值求法来解决实际问题，我们可以培养自己的逻辑思考能力和数学建模能力。
总结回顾：基本不等式的最值求法是数学中一种重要的理论工具，能够帮助我们解决不等式中的最值问题。
基本不等式中常见的方法求最值
基本不等式中常见的方法求最值一、题型选讲题型一 、消参法消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例1、【2020年高考江苏】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．例2、.【江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研】已知,a b R +∈，且()27a b b ++=，则32ab a b ++的最小值为_______________.例3、(2017苏北四市期末）. 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________．题型二、双换元若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系例4、【江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)】已知01a <<，01b <<，且44430ab a b --+=，则12a b+的最小值是______. 例5、（2013徐州、宿迁三检）若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ．题型三、“1”的代换1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。
例6、（2020届山东省泰安市高三上期末）若()3log 21a b +=+2+a b 的最小值为（ ） A ．6B ．83C ．3D ．163题型四、齐次化齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解。
例9、【2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题】已知,x y 为正实数，则292y x xx y ++的最小值为______.二、达标训练1、【2019年高考浙江卷】若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数()f x 在R 上单调,若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b +的最小值是( ) A ．1 B ．92 C ．9 D ．183、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知0a >，0b >，若不等式41m a b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．10B ．12C ．16D ．9 4、【2020年高考天津】已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 5、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）函数2245()(1)1x x f x x x -+=>-的最小值是__________.6、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知实数,x y 满足()22241,x y y -+=则2x y +的最大值为________.7、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y-+的最大值为______. 8、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为______．。
消元法基本不等式求最值
消元法基本不等式求最值消元法是一种在解决数学问题中常用的方法，特别适用于求解最值问题。
消元法基于等式的性质，通过消去某些变量，使原方程组的数量减少，从而简化问题的求解过程。
本文将深入探讨消元法在基本不等式求最值问题中的应用。
1. 什么是消元法？消元法是一种利用等式的性质进行变量消去的方法。
在解决问题时，我们经常会面临一些复杂的方程组或不等式组。
通过消元法，我们可以将方程组中的某些变量表示为其他变量的函数，从而简化问题的求解过程。
2. 消元法在基本不等式求最值问题中的应用基本不等式是一类常见的数学问题，其求解过程通常包含了对一系列不等式进行变量消去和整理的步骤。
消元法在这类问题中发挥了重要的作用，能够帮助我们确定最值的存在，并通过化简问题来求解。
以一个简单的例子来说明消元法在基本不等式求最值问题中的应用。
假设我们要求解如下的不等式：（1）x + 2y ≤ 10（2）2x - y ≥ 4我们可以通过消元法将这个不等式组转化为一个只包含一个变量的不等式。
通过对（1）式乘以2，并与（2）式相加，我们可以消去变量y，得到如下的方程：3x ≤ 18我们可以求解这个简化后的不等式，得到x的取值范围为x ≤ 6。
将这个结果代入到原来的不等式组中，我们可以求得y的取值范围为0 ≤ y ≤ 7。
3. 消元法的优点和局限性消元法作为一种常见的数学方法，具有一些明显的优点和局限性。
消元法可以大大简化问题的求解过程。
通过变量消去，我们可以得到更简洁的方程或不等式，从而减少计算量和复杂性，提高解题效率。
消元法可以帮助我们确定最值的存在和取值范围。
在求解最值问题时，我们需要明确变量的取值范围，以便得到正确的结果。
消元法可以通过化简问题，帮助我们确定变量的取值范围，从而为最值问题的求解提供基础。
然而，消元法在应用中也存在一些局限性。
消元法只适用于满足等式性质的问题。
对于不满足等式性质的问题，消元法的应用会受到限制。
消元法在问题求解过程中容易出错。
专题27 基本不等式中常见的方法求最值(解析版)
专题27 基本不等式中常见的方法求最值一、例题选讲题型一、消参法消参法就是对应不等式中的两元问题,用一个参数表示另一个参数,再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正,二定,三相等”这三个条件缺一不可！例1、(2017苏北四市期末). 若实数x ,y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12,则3x ＋1y －3的最小值为________． 【答案】 8【解析】解法1 因为实数x ,y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12,所以y ＝3x－3(y ＞3), 所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8,当且仅当y －3＝1y －3,即y ＝4时取等号,此时x ＝37,所以3x ＋1y －3的最小值为8.解法2 因为实数x ,y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12,所以y ＝3x －3(y ＞3),y －3＝3x－6＞0, 所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x －6＋6≥2⎝⎛⎭⎫3x －6·13x －6＋6＝8,当且仅当3x －6＝13x －6,即x ＝37时取等号,此时y ＝4,所以3x ＋1y －3的最小值为8.例2、(2013徐州、宿迁三检)若0,0a b >>,且11121a b b =+++,则2a b +的最小值为 ．【解析】由已知等式得222122a b ab a b b ++=+++,从而212b b a b-+=,21222b b a b b b -++=+131222b b =++1122≥+=,题型二、双换元若题目中含是求两个分式的最值问题,对于这类问题最常用的方法就是双换元,分布运用两个分式的分母为两个参数,转化为这两个参数的不等关系例3、(2015苏锡常镇、宿迁一调)已知实数x ,y 满足x >y >0,且x ＋y ≤2,则2x ＋3y ＋1x －y的最小值为________．【答案】3＋224【解析】设⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝m ，x －y ＝n .解得⎩⎨⎧x ＝m ＋3n 4，y ＝m －n4.所以x ＋y ＝m ＋n 2≤2,即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y ＝2m ＋1n,所以4t ≥⎝⎛⎭⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224,当且仅当2n m ＝mn ,即m ＝2n 时取等号．例4、(2013徐州、宿迁三检)若0,0a b >>,且11121a b b =+++,则2a b +的最小值为 ．【解析】12,211m n a b m a b n b n --⎧+==⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=-⎩解得 所以111,m n +=332222m n a b +=+-,因为33113()()22222222m n m n m n m n n m+=++=++≥+所以332222m n a b +=+-≥题型三、1的代换1的代换就是指凑出1,使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件,即积为定值,凑的过程中要特别注意等价变形.例5、(2019苏锡常镇调研)已知正实数a ,b 满足a ＋b ＝1,则bb a a 421222+++的最小值为 ． 【答案】.11【解析】思路分析：由于目标式比较复杂,不能直接求最小值,需要对该式子进行变形,配凑出使用基本不等式的条件,转化为熟悉的问题,然后利用基本不等式求解．1174274))(41()(24212421222=+⨯≥++=++++=+++=+++baa b b a a b b a b a b a b b a a b b a a 当且仅当b a a b 4=,即⎪⎩⎪⎨⎧==3231b a 时取“=”,所以b b a a 421222+++的最小值为.11例6、(2019年苏州学情调研)若正实数x y ，满足1x y +=,则4y x y+的最小值是 ． 【答案】8【解析】因为正实数x y ，满足1x y +=,所以4()444y y x y y xx y x y x y ⨯++=+=++4448≥=+=,当且仅当4y x x y =,即2y x =,又1x y +=,即12,33x y ==,等号成立,即4yx y +取得最小值8.题型四、齐次化齐次化就是含有多元的问题,通过分子、分母同时除以得到一个整体,然后转化为运用基本不等式进行求解.例7、(2019通州、海门、启东期末)已知实数a>b>0,且a ＋b ＝2,则3a －ba 2＋2ab －3b 2的最小值为________．【答案】3＋54思路分析2 注意到所求的代数式的分子与分母分别为一次式、二次式,为此想到将它们转化为齐次式来加以处理,即将分子利用条件a ＋b ＝2,通过常数代换转化为二次式,进而将齐次式化为单变量的问题来加以处理．解析：(化齐次式法)：因为a ＋b ＝2,所以3a －b a 2＋2ab －3b 2＝（a ＋b ）（3a －b ）2（a 2＋2ab －3b 2）＝32＋2（－ab ＋2b 2）a 2＋2ab －3b 2＝32＋2（2－ab ）（a b ）2＋2·a b －3,令u ＝2－a b ,因为a ＋b ＝2,a>b>0,所以2－b>b>0,故0<b<1,从而u ＝2－a b ＝2－2－b b ＝3－2b ∈(－∞,1),则3a －b a 2＋2ab －3b 2＝32＋2u u 2－6u ＋5＝32＋2u ＋5u－6 当u∈(0,1)时,u ＋5u －6>0,此时3a －b a 2＋2ab －3b 2>32；当u<0时,u ＋5u －6＝－⎝⎛⎭⎫－u ＋5－u －6≤－6－25,此时3a －b a 2＋2ab －3b 2≥32＋2－6－25＝3＋54,当且仅当u＝－5时等号成立．因此3a －b a 2＋2ab －3b 2的最小值为3＋54.二、达标训练1、(2019年苏州学情调研)若正实数x y ，满足1x y +=,则4y x y+的最小值是 ． 【答案】8【解析】因为正实数x y ，满足1x y +=,所以4()444y y x y y xx y x y x y ⨯++=+=++4448≥=+=,当且仅当4y x x y =,即2y x =,又1x y +=,即12,33x y ==,等号成立,即4yx y +取得最小值8.2、(2018苏锡常镇调研) 已知a>0, b>0,且2a ＋3b ＝ab,则ab 的最小值是________．【答案】 26【解析】思路分析 利用基本不等式,化和的形式为积的形式．因为ab ＝2a ＋3b ≥22a ·3b ,所以ab≥26,当且仅当2a ＝3b＝6时,取等号．3、(2018苏锡常镇调研) 已知a b ，为正实数,且()234()a b ab -=,则11a b+的最小值为 ．【答案】【解析】因为223()()44()4a b a b ab ab ab +=-+=+,所以3222114()44()()48()a b ab ab ab a b ab ab ab +++===+≥,故11a b +≥当且仅当21()4ab a b =⎧⎨-=⎩,即11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取得等号,所以11a b +的最小值为.224、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知a,b,c 均为正数,且abc ＝4(a ＋b),则a ＋b ＋c 的最小值为________． 【答案】 8【解析】由a,b,c 均为正数,abc ＝4(a ＋b),得c ＝4a ＋4b ,代入得a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋4a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫a ＋4a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋4b ≥2a·4a＋2b·4b＝8,当且仅当a ＝b ＝2时,等号成立,所以a ＋b ＋c 的最小值为8. 5、(2019苏北三市期末) 已知a>0,b>0,且a ＋3b ＝1b －1a ,则b 的最大值为________．【答案】 13【解析】由a ＋3b ＝1b －1a ,得1b －3b ＝a ＋1a .又a>0,所以1b －3b ＝a ＋1a ≥2(当且仅当a ＝1时取等号),即1b －3b≥2,又b>0,解得0<b≤13,所以b 的最大值为13.6、(2019扬州期末)已知正实数x,y 满足x ＋4y －xy ＝0,若x ＋y≥m 恒成立,则实数m 的取值范围为_________． 【答案】 (－∞,9]【解析】 m≤x ＋y 恒成立,m≤(x ＋y)min .解法1(消元法) 由x ＋4y －xy ＝0,得y ＝x x －4,因为x,y 是正实数,所以y>0,x>4,则x ＋y ＝x ＋x x －4＝x ＋x －4＋4x －4＝x ＋4x －4＋1＝(x －4)＋4x －4＋5≥2（x －4）·4x －4＋5＝9,当且仅当x ＝6时,等号成立,即x ＋y 的最小值是9,故m≤9.解法2(“1”的代换) 因为x,y 是正实数,由x ＋4y －xy ＝0,得4x ＋1y ＝1,x ＋y ＝(x ＋y)·⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝4y x ＋x y ＋5≥24y x ·xy＋5＝9,当且仅当x ＝6,y ＝3时,等号成立,即x ＋y 的最小值是9,故m≤9. 解法3(函数法) 令t ＝x ＋y,则y ＝t －x,代入x ＋4y －xy ＝0,得x 2－(3＋t)x ＋4t ＝0.Δ＝(t ＋3)2－16t ＝t 2－10t ＋q≥0,得t≤1或t≥9.又y ＝xx －4>0,且x>0,则x>4,故t>4,从而t≥9.所以m≤9. 7、(2017苏州期末) 已知正数x,y 满足x ＋y ＝1,则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________． 【答案】 94【解析】 解法1 令x ＋2＝a ,y ＋1＝b ,则a ＋b ＝4(a ＞2,b ＞1),4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝14⎝⎛⎭⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94,当且仅当a ＝83,b ＝43,即x ＝23,y ＝13时取等号．8、(2019宿迁期末)已知正实数a,b 满足a ＋2b ＝2,则1＋4a ＋3b ab 的最小值为________.【答案】252【解析】解法1(消元法) 由a ＋2b ＝2得a ＝2－2b ＞0,所以0＜b ＜1,令f(b)＝1＋4a ＋3b ab ＝9－5b2b －2b 2,f′(b)＝－10b 2＋36b －18（2b －2b 2）2＝－2（5b －3）（b －3）（2b －2b 2）2.当b∈⎝⎛⎭⎫0，35时,f′(b)<0,f(b)单调递减；当b∈⎝⎛⎭⎫35，1时,f′(b)>0,f(b)递增, 所以当b ＝35时,f(b)有唯一的极小值,也是最小值f ⎝⎛⎭⎫35＝252. 解法2(齐次化) 因为a ＋2b ＝2,所以1＋4a ＋3b ab ＝12a ＋b ＋4a ＋3bab ＝9a ＋8b 2ab ＝（9a ＋8b ）（a ＋2b ）4ab ＝9a4b ＋4b a ＋132≥29a 4b ·4b a ＋132＝252,当且仅当a ＝45,b ＝35时取等号,所以所求的最小值为252.。
(全)基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析
一.基本不等式注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” . （2） 求最值的条件“一正，二定，三取等”（3） 均值定理在求最值、应用一：求最值 例1 :求下列函数的值域基本不等式应用1解：(1) y = 3x 2 + 21^ 1X = - 2例1 ：已知x 4，求函数y4x 2 —1—的最大值。
4x 5解：因4x 5 0 ,所以首先要 “调整”符号，又（4x 」不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项, Qx 544x 0, y4x 21---- 54x 52)g4x 54x 32 3 15 4x11一，即x 1时， 5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数当且仅当5 4x上式等号成立, 故当x 1时，y max 1。
1. (1)若 a,b R ，则 a 1 2b 2 *2ab (2)若a,bR ，则 ab 2. (1)若 a,b R *，则2Jab ⑵若a,b R ，则 a b2 .2a —L （当且仅当a22J OE （当且仅当ab 时取“二”） b 时取“=”)⑶若a,b R ,则ab（当且仅当a b 时取“=”)3.若x 0，则x— 2 （当且仅当x 1时取“=”x若x 0，则 x 1 1 1 2 即 X — 2 或 X - -2 (x x X 3.若 ab 0，则 a b .2 （当且仅当a b 时取b a1时取“=”)若ab 0,则- b-2（当且仅当a b 时取“=”）4.若 a,b2 .2a—L (当且仅当 2b 时取“=”)比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.(1) y = 3x 2+ 女1(2) y = x + x“=”)当且仅当a b 时取“=”）2例1.当Dux 4时，求y x(8 2x)的最大值。
解析：由0 < J <4知，S- 2工> 0|,利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子 积的形式，但其和不是定值。
基本不等式的应用——求最值
4
4
2
ab
4
42
4
25 .
a b
2
4
2
2
故
a
1
2
b
1
2
的最小值是
25
a b
2
错解：
a
1 a
2
b
1 2 b
2
a
1 a
2
2
b
1 b
2
4
4
8
，故
a
1
2
b
1 2
a b
的最小值是8．错误的原因是，
在两次用到重要不等式当等号成立时，有 a 1 和 b 1，但在
注意
运用均值定理求最值，主要是揭示已知 条件与目标不等式的运算结构特征，找 出差异，并将其与基本不等式的运算结 构进行类比，选择相应的基本不等式求 解 .基础是检查条件“一正二定三等四同 时”，关键是“配定”!!!
配式的目的是： 创设一个应用基本不等式的情境! 创设其等号成立的条件!
配式的常用方法是： 拆项、组合、添加系数及常值替换等!!!
例4（1）求
6 x2 1 y 4
的最大值．
设a b 0，求a2 16 的最小值. 思 考
b(a b)
a2
16 b(a
b)
a2
[b
16 (a
b) ]2
2
a2 64 16(b a b且a2 =8时原式为16) a2
(当且仅当a 2 2,b 2时，原式取最小值16)
a 0,
ab a b 2 2
4、 a b a2 b2 即 a b 2 a2 b2
2
2
5、 a b c 33 abc a,b,c R*
如何运用基本不等式求最值
基本不等式是求解最值问题的重要工具.运用基本不等式:ab ≤a +b2求最值需要把握三个前提条件:一正二定三相等.一正是a 、b 两个数都为正数;二定是指如果积ab 是定值p ，那么当且仅当a =b 时，和a +b 有最小值2p ，如果和a +b 是定值p ，那么当且仅当a =b时，积ab 有最大值p 24；三相等是当且仅当a =b 时不等式取等号.在运用基本不等式求最值时，要首先确定两个式子是否为正数；然后配凑出两式的和或积，使两式的和或积为定值；最后检验当且仅当两式相等时不等式是否能取等号.而运用基本不等式求最值的关键是，配凑出两式的和或积，使两式的和或积为定值.配凑出两式的和或积的常用方法有添加项、分离整式、减元、常数代换、构建目标不等式，下面举例说明.例1.当x >1时，求x +1x -1的最小值.解:∵x >1,∴x -1>0,∴x +1x -1=x -1+1x -1+1≥+1=3，，当且仅当x -1=1x -1，即x =2时取等号，∴y min =3.该目标式含有整式和分式，为了使它们的积为定值，需添加一项-1，构造出分式的分母，以便利用基本不等式来求得目标式的最小值.例2.求y =x 2+7x +10x +1(x >-1)的最小值.解：y =x 2+7x +10x +1=(x +1)2+5(x +1)+4x +1=(x +1)+4x +1+5，当x >-1,即x +1>0时,y ≥+5=9，且仅当x =1时取“=”号，所以y min 该目标式看似无法运用基本不等式，但将分式、整式分离，便创造出运用基本不等式的条件.例3.已知正数a ,b 满足1a +1b=3，求a +b 的最小值.解：由1a +1b =3得a +b =3ab ，所以b =a 3a -1，由于a >0,b >0，可得a >13，于是a +b =a +a 3a -1=a -13+19(a -13)+23≥+23=43，当a -13=19(a -13)，即a =23时取等号，所以a +b 的最小值43.在解答含有多个变元的最值问题时，可以通过减少变元的方式，把问题转化为只含一个变元的问题，然后通过添加项配凑出两式的和或者积，再利用基本不等式求最值.例4.已知x >0,y >0，且1x +9y =1，求x +y 的最小值.解：∵x >0,y >0,1x +9y=1，∴x +y =()x +y æèçöø÷1x +9y =yx +9x y +10≥16,当且仅当y x =9xy时，等号成立，又1x +9y =1，则x =4,y =12，此时()x +y min =16.这里，我们利用“1”的代换来构造出运用基本不等式的条件.通过常数代换，可把所求的目标化为可以使用基本不等式求解的式子，以达到解题的目的.例5.已知a ，b 为正实数，2b +ab +a =30，求函数y =1ab的最小值.解：由题意得30-ab =a +2b ，∵a +2b ≥22ab ，∴30-ab ≥22ab ，令u =ab ，则u 2+22u -30≤0，解得-52≤u ≤32，∴ab ≤32，ab ≤18，∴y ≥118，即当a =b =32时，y min =118.我们由已知不等式出发求出ab 的范围，进而求得目标式的最值.解答本题的关键是利用基本不等式建立a +b 与ab 之间的关系.构建目标不等式是创造应用基本不等式条件的常用方法.很多问题往往所给的条件是非“标准”的，无法直接利用基本不等式来解题，因而在解题时，我们需要将不等式进行适当的变形，通过添加项、分离整式、减元、常数代换、构建目标不等式等方法，对“原始”的条件进行整合、转化，构造出“一正二定三相等”的三个条件，以保证可以用基本不等式求最值.黎华高46。
高中基本不等式求最值解题技巧
高中基本不等式求最值解题技巧高中基本不等式求最值解题技巧一、基本不等式的概念和特点高中数学中，不等式是一个重要的概念，它与等式一样，是数学中的一种关系。
而基本不等式是不等式中的一种基础类型，它具有许多特点和求解技巧。
基本不等式一般为形如a/x + b/y ≥ c的形式，其中a、b、c为常数，x、y为变量，且x、y均大于0。
在基本不等式中，我们常常需要求解其最值，即找到使得不等式成立的最大或最小值。
这就需要掌握一些技巧和方法来解决这类问题，从而提高我们的数学解题能力。
二、基本不等式求最值的一般步骤1. 分析问题：我们需要对题目给出的基本不等式进行分析，明确要求的最值是最大值还是最小值。
要注意不等式中的常数和变量的具体取值范围。
2. 辅助变量法：辅助变量法是解决基本不等式求最值问题的常用方法。
通过引入一个新的变量，可以将原不等式转化为关于辅助变量的方程组，从而更容易地确定最值的取值范围。
3. 推广性分析：分析不等式中各项参数的推广性，确定不等式成立的条件，从而辅助我们找到最值的解法。
4. 求导分析：对于涉及函数的基本不等式问题，可以利用导数的性质进行求解。
通过求导分析函数的单调性和极值情况，可以确定不等式的最值区间。
5. 综合利用不等式性质：利用不等式的性质，结合数学推理和逻辑推导，可以更灵活地解决不等式求最值的问题。
三、高中基本不等式求最值的解题技巧与举例分析以基本不等式a/x + b/y ≥ c为例，我们可以通过具体的数学题目来演示基本不等式求最值的解题技巧。
给定不等式2/x + 3/y ≥ 5，求x和y的最小值。
我们可以引入辅助变量法，令t=1/x，s=1/y，那么不等式可以转化为2t + 3s ≥ 5。
通过求解辅助不等式2t + 3s = 5的解集，确定最值的取值范围。
进一步分析可知，不等式成立的条件为t>0，s>0，因此我们可以确定最值的解。
我们可以利用推广性分析的方法，分析a、b、c的取值范围，从而求解最值问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本不等式求最值的类型与方法-经典大全专题：基本不等式求最值的类型及方法、几个重要的基本不等式:①a2b2 2ab ab a2—(a> b R),当且仅当a = b时, =”号成立;2 ab ab 2（a、b R ），当且仅当a = b时, =”号成立;11x 1 x 1 1解企.析斤：1)(x1)y x八2 (x2l（x丨丿小小?八2 l（x 12(x1)2(x 1) 2 2 2(x 1)c x 1x 111 3 ’533-12，■ 222(x1)22当且仅当-x 112(x1)即x52时，=”号成立，故此函数最小值是一。
22(x1)22评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
类型n :求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：③a3b333 ac 3abc abc —.3 3b c /(a、3b、c R ）,当且仅当a =b = c时,="号成立;33----- abc ,b c 33 abc abc(a、3b、c R）,当且仅当 a = b = c 时,="号成①y x2(3 2x)(0 x 2② y sin xcosx(0 x ) 2立.注:解析：①Q 0 2x ① 注意运用均值不等式求最值时的条件: 正”、定、三等；二、函数② 熟悉一个重要的不等式链: 、、ab- y (3 2x)(0当且仅当f(x) axb(a、x 0）图象及性质(1)函数f(x) ax a、0图象如图:(2)函数f(x) ax a、0性质:①值域: ,2 ab] ab,)；x 3 2x 即xsin x 2②单调递增区间：（）;单调递减区间:三、用均值不等式求最值的常见类型类型I :求几个正数和的最小值。
例1、求函数y x12 (x 1)的最小值。
2(x 1)2i)1时,x x(3 2x) [X x(3 2x)]3 1 ,3=”号成立，故此函数最大值是20,cos x 0，则y 0 ,欲求y的最大值，可先求y的最大值。
y2 sin4 x cos2 x .2sin x .2sin x 2cosx［(0,,0).当且仅当sin2x22cos x (0此函数最大值是2 2 21 . 2.2c 2、 1 ,sin x sin x 2cosx、3 4(sin x sin x 2cosx) ( ) ,2 23 27tanx .2，即x arctan；2 时='号成立，故例3、若x、y R，求f （x）4x —x(0 x1）的最小值。
解法一：（单调性法）由函数f(x)axK—（a、b 0）图象及性质知，当x （0,1］时，函数f(x)x -是减函数。
证明: 任取xz(0,1]且0 捲X2 1，贝U评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。
类型川：用均值不等式求最值等号不成立。
f (X i )4 f(X 2) (X 1 X 2)() X 1 x 2X 2 X 1(X 1 X 2)4 -- X-|X 2(X i X 2)^「,X 1X 216当且仅当x 8 即x 12,此时yx 83时=”号成立，故此函数最小值是18。
0 X 1X 21，二 X 1 X 2，込/X 1X 2 0 ,则 f (X i) f (X 2)f (X 1) f(X 2),解法f(x)4在（0,1上是减函数。
X故当 x 1时，f （x ）-在（0,1上有最小值5。
X则: x 2y易知当0 解法三：（配方法）X 1时,f(X) X（拆分法）0 x 1,则有 f (x)二低 0且单调递减，则f （x ）（3丘）4在（0,1］上也是减函数, .XX4—在（0,1上是减函数，当X 1时，f （x ） XX4—在（0,1上有最小值5。
X.2 2sin x cos x10 2、(8cot x) (2tan 2 x)413/ 1f(X) X x (0 X 1) (X匚)X 4828—sin x X X 则有 ? 2 sin x12y 12ycos X解法三：（三角换元法）令8csc x 2sec x8(1 cot 2 x) 2(1 tan 2 x) 10 8cot 2 x 2tan 2 x18,易求得x 12,此时y 3时=”号成立，故最小值是评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法:x 2y （-丄）（x 2y ）2 8 1 . x 2y 8。
原因就是等号成立的条件不一致。
x y V x y类型V :利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
例5、已知正数x 、y 满足xy x y 3，试求xy 、x y 的范围。
18。
当且仅当X 1时=”号成立，故此函数最小值是评析：求解此类问题，也是较为简洁实用得方法。
类型IV :条件最值问题。
5。
要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法解法一：由 x 0, y 0 ,则 xy x y 3 xy 3 x y — xy ,即 G xy ）2 2 xy 3 0 解得；xy -舍）或匕 xy 3 ,当且仅当x y 且xy x y 3即x y 3时取="号，故xy 的取值范围是［9,）。
例4、已知正数X 、y 满足解法一：（利用均值不等式）当且仅当 2x x 2y x ------------x 82y X 16y y X8 1 Xy2(x8 1X y 由得 1 yX 8解法二：（消元法） 1 (◎X 12,y 2y 的最小值。
xy计22(x y)2 4(x y) 12 0 x y 2(舍)或x2y) 10△型 10 2x 16yy x Y y =”号成立，故此函数最小值是18,X当且仅当x 解法二：由0,y18。
则:0 x 8，则则：xy当且仅当 y 且xy x0 , xyy 3时取=”号, (X 1)y故x y 的取值范围是［6, ，由3 x2 X 1 X 1 3x (x 1)2 5(x 1)4 1 (x 1)(X 1)-41X 1X 1— (X X 10)即 x 3 , 并求得y 3时取 ?'号，故xy 的取值范围是 [9,16 赢(X8)1610 2 (x168)仁10 18。
41 (X 1)厂 1 24(X 1)x 1分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。
因为函数的定义域为，所以须对x的正负加以分类讨论。
正解：1）当时，36 3625y 13x 13 2 xx . x当且仅当即x6时取等号。
所以当时，2）当时,y 13[(x)(兰)]13 12 1当且仅当，即时取等号，所以当时，.例2.当时，求的最小值。
错解：因为所以当且仅当即时，。
分析：用均值不等式求和”或积. ”的最值时，必须分别满足积为定值"或和为定值”，而上述解法中与的积不是定值，导致错误。
正解：因为以原函数y取不到最小值2。
正解：令，则又因为时，是递增的。
所以当，即时，。
1 4例4.已知x, y R且1，求uxy的最小值?x y1 4 4 —.—错解：1 xy 4 , u x y 2 xy 8, u的最小值为8.x y xy分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为1 4 、和x y，而这两个式子不能同x y时成立，故取不到最小值8.正解：u （x y）（」-)54x y 5 4 9x y y x4x v当且仅当一即x3,y6时等号成立.u的最小值为9.综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足和为定值"或积为定值”，要凑出和为定值"或积为定值"的式子结构，如果找不出定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。
技巧一：凑项当且仅当x 1 C(x 0)即x 3，并求得y 3时取=”号，故xy的取值范围是［9,评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。
四、均值不等式易错例析:例1.求函数的最值。
错解:当且仅当，即时等号成立，所以当时，例3.求的最小值。
错解: 因为，所以当且仅当即时取等号。
所以当时，y的最小值为25,此函数没有最大值。
分析：忽视了取最小值时须成立的条件，而此式化解得，无解，所精品文档5 彳例1 ：已知x，求函数y 4X 21的最大值。
44x 5解：因4x 5 0，所以首先要“调整”符号，又 (4x 2)昇不是常数，所以对 4x 2要进行 4x 5 拆、凑项，Q x 5, 5 4x 0， y 4x 2-5 4x -3 2 3 1，44x 55 4x当且仅当5 4x ，即x 1时，上式等号成立，故当5 4x技巧二：凑系数例2.当时，求y x(82x)的最大值。
解析：由「?二知，一 "「匚，禾U 用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到2x (8 2x) 8为定值，故只需将 y x(82x)凑上一个系数即可。
A = ^(8-2X ) = ^[2^ (8-2创 < 女鮎亠:-鬥2 =8当二―，即x = 2时取等号当x = 2时，y x(8 2x)的最大值为8。
15因为y t -在区间1,单调递增，所以在其子区间2, 为单调递增函数，故 y —。
t25 所以，所求函数的值域为-,。
2技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
1 92:已知x 0, y 0 ,且 1，求x y 的最小值。
x y解：Q x 0, y0,- 9 4 1， x y 1 x y - 9 y 9x 10 6 10 16x yxyx yv 9x1 9当且仅当y时上式等号成立，又1，可得x 4, y 12 时，x y16。
x yx y技巧三：分离 2 例3?求y x 7x _ (x 1)的值域。
x 1解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x + 1 )的项，再将其分离。
—+ 5)Z 工十1 z+1 * ' 4 ——5 x 19 (当且仅当x = 1时取“=”号)。
1、已知：x 2y2 2a,m 2n 2b 且a b ，贝Umxny 的最大值为()2 . 22.2(A) . ab(B)- a b (C)a bJ ---------- 、、a (D)b2\ 222、右 a,x, y R ，且xy a x y 恒成立，则 a 的最小值是()(A) 2 2(B)2 (C)2 (D)13、已知下列不等式:①x 3 3 2x(x R );② a 5.53 2 2 3b a b a b(a,b R )；巩固练习:技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令4 5 t(t 1)2 7(t 1)+10 t 2 5t 4 — t2当-… J ,即t = [ _ ? 时，y tY5 9 (当t =2即x = 1时取“=”号)。