4—简单的线性规划基本不等式

4—简单的线性规划、基本不等式知识块一:求目标函数的最值

归纳起来常见的命题角度有:(1)求线性目标函数的最值;(2)求非线性目标的最值;

(3)求线性规划中的参数、

角度一:求线性目标函数的最值

1.设x,y满足约束条件

??

?

??x＋y－7≤0

x－3y＋1≤0

3x－y－5≥0

则z＝2x－y的最大值为()

A.10

B.8

C.3

D.2

解析:选B作出可行域如图中阴影部分所示,由z＝2x－y得y＝2x－z,作出直线

y＝2x,平移使之经过可行域,观察可知,当直线经过点A(5,2)时,对应的z值最大.故z max

＝2×5－2＝8、

2.若x,y满足

??

?

??y≤1

x－y－1≤0

x＋y－1≥0

则z＝3x＋y的最小值为________、

解析:根据题意画出可行域如图,由于z＝3x＋y对应的直线斜率为－3,且z与x正相关,结合图形可知,当直线过点A(0,1)时,z取得最小值1、

答案:1

角度二:求非线性目标的最值

3.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组

?

?

?2x－y－2≥0

x＋2y－1≥0

3x＋y－8≤0

所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为()

A.2

B.1

C.－

1

3 D.－

1

2

解析:选C已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示,显然当点M与点

A 重合时直线OM 的斜率最小,由直线方程x ＋2y －1＝0与3x ＋y －8＝0,解得A (3,－1),故OM 斜率的最小值为－13

、

4.

设实数x ,y 满足不等式组???

x ＋y ≤2

y －x ≤2

y ≥1

则x 2＋y 2的取值范围就是( )

A.[1,2]

B.[1,4]

C.[2,2]

D.[2,4]

解析:选B 如图所示,不等式组表示的平面区域就是△ABC 的内部(含边界),x 2＋y 2表示的就是此区域内的点(x ,y )到原点距离的平方.从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离,其值为1;最远的距离为AO ,其值为2,故x 2＋y 2的取值范围就是[1,4].

角度三:求线性规划中的参数 5.若x ,y 满足???

??

x ＋y －2≥0kx －y ＋2≥0

y ≥0且z ＝y －x 的最小值为－4,则k 的值为( )

A.2

B.－2 C 、1

2

D.－12

解析:选D

作出线性约束条件????

?

x ＋y －2≥0kx －y ＋2≥0

y ≥0

的可行域.当k ＞0时,如图①所示,此时可行域为y 轴上

方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域,显然此时z ＝y －x 无最小值.

当k ＜－1时,z ＝y －x 取得最小值2;当k ＝－1时,z ＝y －x 取得最小值－2,均不符合题意.

当－1＜k ＜0时,如图②所示,此时可行域为点A (2,0),B ? ?????

－2k 0,C (0,2)所围成的三角形区域,当直线z ＝y －x

经过点B ? ??

?

??－2k 0时,有最小值,即－????－2k ＝－4?k ＝－1

2、故选D 、

6.x ,y 满足约束条件???

x ＋y －2≤0

x －2y －2≤0

2x －y ＋2≥0、

若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为( )

A 、

12或－1 B.2或1

2

C.2或1

D.2或－1

解析:选D 法一:由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,可知A (0,2),B (2,0),C (－2,－2),则z A ＝2,z B

＝－2a ,z C ＝2a －2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ,解得a ＝－1或a ＝2、

法二:目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ,令l 0:y ＝ax ,平移l 0,则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意,故a ＝－1或a ＝2、

一、选择题

1.已知点(－3,－1)与点(4,－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧,则a 的取值范围为( ) A.(－24,7) B.(－7,24)

C.(－∞,－7)∪(24,＋∞)

D.(－∞,－24)∪(7,＋∞)

解析:选B

根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0、 即(a ＋7)(a －24)＜0,解得－7＜a ＜24、

2.已知O 为坐标原点,A (1,2),点P 的坐标(x ,y )满足约束条件?

????

x ＋|y |≤1

x ≥0则z ＝OA ·

OP 的最大值为( ) A.－2 B.－1 C.1 D.2

解析:选D 如图作可行域,

z ＝OA ·

OP ＝x ＋2y ,显然在B (0,1)处z max ＝2、故选D 、

3.设动点P (x ,y )在区域Ω:???

x ≥0

y ≥x

x ＋y ≤4

上,过点P 任作直线l ,设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ,

则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )

A.π

B.2π

C.3π

D.4π

解析:选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,则根据图形可知,以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π

×????422

＝4π,故选D 、

4.变量x ,y 满足约束条件???

??

y ≥－1

x －y ≥2

3x ＋y ≤14若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a 的取

值集合就是( )

A.{－3,0}

B.{3,－1}

C.{0,1}

D.{－3,0,1}

解析:选B 作出不等式组所表示的平面区域,如图所示.

易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个,即－a ＝1或－a ＝－3,∴a ＝－1或a ＝3、故选B 、

5.设x ,y 满足约束条件?

????

x ＋y ≥a

x －y ≤－1且z ＝x ＋ay 的最小值为7,则a ＝( )

A.－5

B.3

C.－5或3

D.5或－3

解析:选B 法一:联立方程?????

x ＋y ＝a

x －y ＝－1解得

?

??

x ＝

a －12

y ＝

a ＋12

代入x ＋ay ＝7中,解得a ＝3或－5,当a ＝

－5时,z ＝x ＋ay 的最大值就是7;当a ＝3时,z ＝x ＋ay 的最小值就是7,故选B 、

法二:先画出可行域,然后根据图形结合选项求解.

当a ＝－5时,作出不等式组表示的可行域,如图(1)(阴影部分).

图(1)

由?????

x －y ＝－1x ＋y ＝－5

得交点A (－3,－2), 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值. z max ＝－3－5×(－2)＝7,不满足题意,排除A,C 选项. 当a ＝3时,作出不等式组表示的可行域,如图(2)(阴影部分

).

图(2)

由?????

x －y ＝－1x ＋y ＝3

得交点B (1,2),则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值.z min ＝1＋3×2＝7,满足题意. 答案:4

6.设D 为不等式组???

x ≥02x －y ≤0

x ＋y －3≤0

所表示的平面区域,区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为

________.

解析:作出可行域,如图中阴影部分所示,则根据图形可知,点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小,d ＝|2×1－0|22

＋1

＝255,故最小距离为25

5、

答案:255

7.设x ,y 满足约束条件???

x ≥0

y ≥0

x 3a ＋y

4a

≤1若z ＝

x ＋2y ＋3x ＋1

的最小值为3

2,则a 的

值为________.

解析:∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1,

而

y ＋1

x ＋1

表示过点(x ,y )与(－1,－1)连线的斜率, 易知a >0,

∴可作出可行域,由题意知y ＋1x ＋1的最小值就是14,即? ????y ＋1x ＋1min ＝0－(－1)3a －(－1)＝13a ＋1＝1

4?a ＝1、 答案:1

8.若x ,y 满足约束条件???

x ＋y ≥1

x －y ≥－1

2x －y ≤2、

(1)求目标函数z ＝12x －y ＋1

2

的最值;

(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求a 的取值范围.

解:(1)作出可行域如图,可求得A (3,4),B (0,1),C (1,0).平移初始直线12x －y ＋1

2＝0,过A (3,4)

取最小值－2,过C (1,0)取最大值1、

所以z 的最大值为1,最小值为－2、

(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知－1＜－a

2＜2,解得－4＜a ＜2、

故所求a 的取值范围为(－4,2).

知识块二:基本不等式

考点一 利用基本不等式证明不等式

1.基本不等式ab ≤

a ＋b

2

,成立的条件:一正、二定、三相等 2.几个重要的不等式:(1)a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R ).(2)b a ＋a

b ≥2(a ,b 同号).(3)ab ≤????a ＋b 22(a ,b ∈R ). (4)a 2＋b 22≥

????a ＋b 22(a ,b ∈R ).

[典题例析]

设a ,b ,c 都就是正数,求证:bc a ＋ac b ＋ab

c ≥a ＋b ＋c 、

证明:∵a ,b ,c 都就是正数, ∴bc a ,ca b ,ab

c

都就是正数.

∴bc a ＋ca

b

≥2c ,当且仅当a ＝b 时等号成立, ca b ＋ab

c

≥2a ,当且仅当b ＝c 时等号成立, ab c ＋bc

a

≥2b ,当且仅当a ＝c 时等号成立. 三式相加,得2????

bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c ),

即bc a ＋ca b ＋ab

c

≥a ＋b ＋c ,当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立. [类题通法]

利用基本不等式证明不等式的方法技巧

利用基本不等式证明不等式就是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.

[演练冲关]

设a ,b 均为正实数,求证:1a 2＋1

b 2＋ab ≥22、

证明:由于a ,b 均为正实数, 所以1a 2＋1b

2≥2

1a 2·1b 2＝2ab

, 当且仅当1a 2＝1

b 2,即a ＝b 时等号成立,

又因为2

ab

＋ab ≥2

2ab

·ab ＝22, 当且仅当2

ab ＝ab 时等号成立,

所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2

ab

＋ab ≥22,

当且仅当?????

1a 2

＝1

b 2

2

ab ＝ab

即a ＝b ＝4

2时取等号.

考点二 利用基本不等式求最值

已知x >0,y >0,则:

(1)如果积xy 就是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值就是2p 、(简记:积定与最小) (2)如果与x ＋y 就是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值就是p 2

4

、(简记:与定积最大)

[一题多变]

[典型母题]

[题点发散1] 本例的条件不变,则????1＋1a ???

?1＋1

b 的最小值为________. 解析:????1＋1a ????1＋1b ＝? ????1＋a ＋b a ? ????1＋a ＋b b ＝????2＋b a ·????2＋a b ＝5＋2????b a ＋a b ≥5＋4＝9、当且仅当a ＝b ＝12时,取等号.

答案:9

[题点发散2] 本例的条件与结论互换即:已知a ＞0,b ＞0,1a ＋1

b ＝4,则a ＋b 的最小值为________.

解析:由1a ＋1b ＝4,得14a ＋1

4b

＝1、

∴a ＋b ＝????14a ＋14b (a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥1

2＋2b 4a ＋a

4b

＝1、 当且仅当a ＝b ＝1

2时取等号.

答案:1

[题点发散3] 若本例条件变为:已知a >0,b >0,a ＋2b ＝3,则2a ＋1

b 的最小值为________.

解析:由a ＋2b ＝3得13a ＋2

3b ＝1,

∴2a ＋1b ＝????13a ＋23b ????2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b

3a ≥4

3＋2a 3b ·4b 3a ＝83、当且仅当a ＝2b ＝3

2

时,取等号. 答案:83

[题点发散4] 本例的条件变为:已知a ＞0,b ＞0,c ＞0,且a ＋b ＋c ＝1,则1a ＋1b ＋1

c 的最小值为________.

解析:∵a ＞0,b ＞0,c ＞0,且a ＋b ＋c ＝1,

∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b

c ＝3＋????b a ＋a b ＋????c a ＋a c ＋????c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9、

当且仅当a ＝b ＝c ＝1

3时,取等号.

答案:9

[题点发散5] 若本例变为:已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5,若存在两项a m ,a n ,使得a m ·a n ＝22a 1,则1m ＋4

n

的最小值为________.

解析:设公比为q (q ＞0),由a 7＝a 6＋2a 5?a 5q 2＝a 5q ＋2a 5?q 2－q －2＝0(q ＞0)?q ＝2、

a m ·a n ＝22a 1?a 12m －1·a 12n －1＝8a 21?2m －1·2n －1

＝8?m ＋n －2＝3?m ＋n ＝5,则1m ＋4n ＝15????1m ＋4n (m ＋n )＝15????5＋

????n m ＋4m n ≥15(5＋24)＝95

, 当且仅当n ＝2m ＝10

3时等号成立.

答案:95

考点三 基本不等式的实际应用

[典题例析]

某厂家拟在2014年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－

k

m ＋1

(k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能就是1万件.已知2014年生产该产品的固定投入为8万元.每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1、5倍(产品成本包括固定投入与再投入两部分资金).

(1)将2014年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数; (2)该厂家2014年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大？ 解:(1)由题意知,当m ＝0时,x ＝1(万件), ∴1＝3－k ?k ＝2,∴x ＝3－2

m ＋1

,

每件产品的销售价格为1、5×8＋16x

x (元),

∴2014年的利润y ＝1、5x ×8＋16x

x

－8－16x －m

＝－????

??16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0).

(2)∵m ≥0时,16

m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8,

∴y ≤－8＋29＝21,

当且仅当16

m ＋1

＝m ＋1?m ＝3(万元)时,y max ＝21(万元).

故该厂家2014年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元. 1.已知f (x )＝x ＋1

x －2(x ＜0),则f (x )有 ( )

A.最大值为0

B.最小值为0

C.最大值为－4

D.最小值为－4

解析:选C ∵x ＜0,∴f (x )＝－ ????(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4,当且仅当－x ＝1

－x ,即x ＝－1时取等

号.

2.已知不等式(x ＋y )????

1x ＋a y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值就是( ) A.2 B.4 C.6

D.8

解析:选B (x ＋y )????1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax

y ≥1＋a ＋2a ,∴当1＋a ＋2a ≥9时不等式恒成立,故a ＋1≥3,a ≥4、

3.若a ,b 均为大于1的正数,且ab ＝100,则lg a ·lg b 的最大值就是( ) A.0 B.1 C.2

D 、52

解析:选B ∵a >1,b >1,∴lg a >0,lg b >0、 lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )2

4＝1、

当且仅当a ＝b ＝10时取等号.

4.设OA ＝(1,－2),OB ＝(a ,－1),OC ＝(－b,0)(a ＞0,b ＞0,O 为坐标原点),若A ,B ,C 三点共线,则2a ＋1

b 的最

小值就是( ) A.4 B 、9

2

C.8

D.9

解析:选D ∵AB ＝OB －OA ＝(a －1,1), AC ＝OC －OA ＝(－b －1,2),

若A ,B ,C 三点共线, 则有AB ∥AC ,

∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0, ∴2a ＋b ＝1,

又a ＞0,b ＞0,

∴2a ＋1b ＝????

2a ＋1b ·(2a ＋b )

＝5＋2b a ＋2a

b

≥5＋2

2b a ×2a b

＝9, 当且仅当??

?

2b a ＝2a b

2a ＋b ＝1

即a ＝b ＝1

3

时等号成立.故选D 、

5.函数y ＝x 2＋2

x －1(x >1)的最小值就是( )A.23＋2 B.23－2C.2 3 D.2

解析:选A ∵x >1,∴x －1>0、

∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1

＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2

≥2

(x －1)? ??

??

3x －1＋2＝23＋2、

当且仅当x －1＝3

x －1

,即x ＝1＋3时,取等号.

6.已知a ,b ∈R ,且ab ＝50,则|a ＋2b |的最小值就是________.

解析:依题意得a ,b 同号,于就是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20,当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号,因此|a ＋2b |的最小值就是20、

答案:20

7.当x ＞1时,不等式x ＋1x －1≥a 恒成立,则实数a 的最大值为________.

解析:因为x ＞1,所以x －1＞0、又x ＋1x －1＝x －1＋1x －1

＋1≥2＋1＝3,当且仅当x ＝2时等号成立,所以a 的最大值为3、

答案:3

8.已知x ＞0,y ＞0,且2x ＋8y －xy ＝0,求 (1)xy 的最小值; (2)x ＋y 的最小值. 解:(1)由2x ＋8y －xy ＝0,

得8x ＋2y ＝1, 又x ＞0,y ＞0, 则1＝8x ＋2y ≥2

8x ·2y ＝8xy

, 得xy ≥64,

当且仅当x ＝16,y ＝4时,等号成立. 所以xy 的最小值为64、 (2)由2x ＋8y －xy ＝0,得8x ＋2

y ＝1,

则x ＋y ＝????8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2

2x y ·8y

x

＝18、 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立, ∴x ＋y 的最小值为18、