从正整数的指数幂数列说起

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整数指数幂课件

（3） (a 3 ) 2 a (32)
例3：计算：
（1） ( 1 )3 ( 1 )2 3.140 (0.1)2
10
30
（2） (3m 1n 2 ) 2 (m 2 n 3 ) 2
（3） (8 106 )2 (2 103 )2
总结反思，拓展升华：
综合运用幂的运算法则进行计算，先做乘方，再做乘除，最后作加减，若遇括号，应作括号内的运算；对于底数是分数的负整数指数幂，可先颠倒分数的分子和分母的位置，便可把负整数指数化为已知整数指数。
一、复习引入
1．回忆正整数指数幂的运算性质：
（1）同底数的幂的乘法：a m a n a mn (m,n是正整数)； .
（2）幂的乘方： (a m )n a mn (m,n是正整数)；
（3）积的乘方： (ab)n a nbn (n是正整数)；
（4）同底数的幂的除法：a m a n a mn ( a≠0，m,n是正整数，m＞n)
(a≠0，m,n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么
a a a 3
a 5
35
=
=
2 .于是得到
a 2 =
1 a 2 （a≠0）
总结：负整数指数幂的运算性质：
当n是正整数时，
an 1
= an
（a≠0）.
（注意：适用于m、n可以是全体整数.）
二、探究新知
例1:计算：(１) (4)
33 (2) ( 1 )3 (3) (2) 2
秒。
例6：用科学记数法表示下列结果：
（1）地球上陆地的面积为149000000平方公里，用科学记数法表示
为
。
（2）一本200页的书厚度约为1。8厘米，用科学记数法表示一页纸的厚度约

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一、近代交通业发展的原因、特点及影响 1．原因 (1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促
进中国社会发展。
(2)列强侵华的需要。为扩大在华利益，加强控制、镇压
中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。
(3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供了物质条件。
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和
1×10-9
-0.000 03
1.2×10-3 3.45×10-7
0.000 000 010 8
-3×10-5
2、计算：
6
1.08×10-8
3 6 2 4 3
(1)(2 10 ) (3.2 10 ) (2)(2 10 ) (10 )
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯的变化资料
解： 1毫米=10-3米，1纳米=10-9米
(10 ) (10 ) 10 10 10
3 3 9 3
9 27 9 ( 27 )
10
18
1立方毫米的空间可以放1018个1立方纳米的物体。
练习
1、用科学记数法表示下列各数： 0.000 000 001 0.001 2 0.000 000 345
航空都获得了一定程度的发展。
(2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式，
一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的
联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立

幂数列与幂数列的通项公式

幂数列与幂数列的通项公式幂数列在数学领域中扮演着重要的角色。

在解决各种问题、推导公式以及预测未来情况时，幂数列的通项公式发挥着关键作用。

本文将深入探讨幂数列以及如何求解它们的通项公式。

一、什么是幂数列？幂数列又称为指数数列，是一种特殊的数列。

它的通项公式中包含幂次运算，即该数列的每一项都是前一项乘以某一特定的常数。

通常情况下，幂数列的通项公式可表示为An = a × r^(n-1)，其中An表示数列的第n项，a表示首项，r表示公比。

二、求解幂数列的通项公式1. 特殊情况下的幂数列对于一些简单的幂数列，可以直接观察数列的规律而不用推导通项公式。

例如，当公比r等于1时，幂数列变成了等差数列，通项公式为An = a + (n-1) × d，其中d表示公差。

2. 通过递推公式求解递推公式是一种通过前一项或前几项来定义后一项的公式。

对于幂数列而言，递推公式的形式通常为An = f(An-1)。

通过不断迭代递推公式，我们可以求得数列的通项公式。

3. 使用等差数列的概念有时候，我们可以将幂数列转化为等差数列来求解通项公式。

例如，对于公比为2的幂数列，我们可以将其转化为等差数列进行分析。

假设幂数列的首项为a，通项公式为An = a × 2^(n-1)，而等差数列的通项公式可表示为Bn = a × 2^(n-1) + (n-1) × d。

通过比较两个数列的公式，我们可以发现d的值为a。

三、幂数列的应用幂数列及其通项公式在数学中有广泛的应用。

以下是几个例子：1. 账户余额的计算假设一个银行账户每年的利率为5%，初始金额为1000元。

我们可以使用幂数列及其通项公式来计算n年后的账户余额。

假设An表示第n年的账户余额，则通项公式为An = 1000 × 1.05^(n-1)。

通过计算任意年份的账户余额，我们可以预测未来的资金增长情况。

2. 生物群落的扩张在生态学中，幂数列被广泛用于描述生物群落的扩张情况。

《正整数指数函数》讲义

《正整数指数函数》讲义一、引入在数学的世界里，函数是一种非常重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。

今天，我们要来探讨一种特殊的函数——正整数指数函数。

想象一下，我们在生活中经常会遇到一些数量随着某个因素的变化而有规律地增加或减少的情况。

比如，银行存款的利息计算、细胞的分裂、放射性物质的衰变等等。

正整数指数函数就能很好地帮助我们描述和理解这些现象。

二、正整数指数函数的定义正整数指数函数是指形如 y ＝ a^x （a ＞ 0 且a ≠ 1，x 是正整数）的函数。

其中，a 被称为底数，x 被称为指数。

举个例子，如果有函数 y ＝ 2^x ，当 x 分别为 1、2、3 时，y 的值依次为 2、4、8 。

三、正整数指数函数的图像让我们来画一下正整数指数函数的图像，以 y ＝ 2^x 为例。

我们先列出 x 和 y 的对应值：当 x ＝ 1 时，y ＝ 2当 x ＝ 2 时，y ＝ 4当 x ＝ 3 时，y ＝ 8……然后，在平面直角坐标系中描出这些点，再用平滑的曲线将它们连接起来。

可以发现，正整数指数函数的图像是一些孤立的点，并且呈现出一种上升的趋势。

当底数 a ＞ 1 时，函数图像是单调递增的；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数图像是单调递减的。

四、正整数指数函数的性质1、定义域正整数指数函数的定义域是正整数集合，即 x ∈｛1, 2, 3, ……｝2、值域当 a ＞ 1 时，值域为{ a, a^2, a^3, ……｝，函数值随着 x 的增大而增大；当 0 ＜ a ＜ 1 时，值域为{ a, a^2, a^3, ……｝，函数值随着 x 的增大而减小。

3、单调性如前面所说，当 a ＞ 1 时，函数单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减。

4、过定点正整数指数函数的图像一定过点（1, a) 。

五、正整数指数函数的应用正整数指数函数在很多领域都有广泛的应用。

1、经济领域在计算复利时，正整数指数函数就发挥了作用。

整数指数幂(一)课件

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青春风采
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高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分数学145 分英语141分文综 255分
毕业学校：北京二中报考高校：
北京大学光华管理学院
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班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。
附赠中高考状元学习方法
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前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
(4) (-1.8x4y2z3) ÷(-0.2x2y4z) ÷(-1/3xyz)
2. 已知
，求a51÷a8的值；
3. 计算：xn+2·xn-2÷(x2)3n-3;

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从正整数的指数幂数列说起湖北省仙桃市汉江中学罗永华（邮编：433000 Email: hy87431@163.com）一、观察、发现与猜测对于1、2、3、4、……，1、4、9、16、……，1、8、27、64、……，……这样的数列人们已经很熟悉了，它们就是正整数的指数幂数列，即mn（mN+），当n分别为1，2，3……时的数列。当我们仔细观察时，就会发现这些数列分别是n阶等差数列。即：一阶一阶二阶一阶二阶三阶 1 1 1 1 3 7 2 4 2 8 12 1 5 19 6 3 9 2 27 18 1 7 37 6 4 16 64 24 61 125 图1 进一步我们又可发现这些数列的公差分别为1!、2！、3！、……。这一结论对于任一n（nN+），是否都成立呢？

二、归纳、整理，提出问题对于上面的问题，我们首先将它归纳整理一下：用dn表示数列am=mn（m=1、2、3，……，nN+）的n阶公差。当n=1时，d1=a2-a1=……=ak+1-ak

当n=2时，d2=a3-2a2+a1=02Ca3-12Ca2+22Ca1

=……

=02Cak+2-12Cak+1+22Cak

当n=3时，d3=(02Ca4-12Ca3+22Ca2)-(02Ca3-12Ca2+22Ca1)

=02Ca4-(12C+02C)a3+(22C+12C)a2-22Ca1 =02Ca4-(12C+02C)a3+(22C+12C)a2-22Ca1

=03Ca4-13Ca3+23Ca2-33Ca1 =…… =03Cak+3-13Cak+2+23Cak+1-33Cak …… 对于任意的n，dn=0nCan+1+(-1)11nCan+(-1)22nCan-1+…+ (-1)ttnCan-t+1+…+(-1)nnnCa1 =…… =0nCan+k+(-1)11nCan+k-1+(-1)22nCan+k-2 +…+(-1)ttnCan+k-t+…+(-1)nnnCak 由此可见，问题可转化为证明式 dn=0nC(n+k)n +(-1)11nC(n+k-1)n +(-1)22nC(n+k-2)n +…+(-1)ttnC(n+k-t)n+…+(-1)nnnCkn =n！。 ………………………… ①

三、证明在证明之前，再看图1，会发现如果继续求数列am=mn（m=1、2、3，……，nN+）的n+1阶、n+2阶、……n+k阶差时，其即为常数列0，由上一步的推理可知：

dn+1=01nCan +2+(-1)111nCan+1 +(-1)221nCan +…+(-1)t1tnCan-t+2+…+(-1)n11nnCa1

dn+2=02nCan +3+(-1)112nCan+2 +(-1)222nCan+1 +…+(-1)t2tnCan-t+3+…+(-1)n22nnCa1

=0 ……

dn+k=0nkCan +k+1+(-1)11nkCan+k +(-1)22nkCan+k-1 +…+(-1)ttnkCan+k -t+1 +…+(-1)nnknkCa1

即dn+k=0nkC(n+k+1)n +(-1)11nkC(n+k)n +(-1)22nkC(n+k-1)n +…+(-1)ttnkC(n+k+1-t)n +…+(-1)nnknkC·1n =0 …………………………………………………… ②

综合①、②式，可得对于正整数n、p，式

0nC(n+k)p +(-1)11nC(n+k-1)p +(-1)22nC(n+k-2)p +…+(-1)ttnC(n+k-t)p+…+(-1)nnnCkp

…………………………………………………… ③ (1) 当p(2) 当p=n时，其值为n!。现证明上述猜测。（1）当p当n=2时，p=1， k=0，式③为

02C21+(-1)112C11+(-1)222C

01=1×2-2×1+1×0=0

对于任意k， 02C(2+k)1+(-1)112C(1+k)1+(-1)222C

(0+k)1

=02C·2+(-1)112C·1+(-1)222C·0+k[02C+(-1)112C+(-1)222C] =0 当n取大于2的任意整数时，运用数学归纳法。当p=1时，k=0，式③为

0nCn+(-1)11nC(n-1)+…+(-1)ttnC(n-t)+…+(-1)n-11nnC•1+(-1)nnnC•0

=0nCn+(-1)11nC(n-1)+…+(-1)ttnC(n-t)+…+(-1)n-11nnC•1 ………………… ④ 考虑到(1)(1)()()!tnnnntCntnttL (1)(2)(1)()!nnntntntL 1tnnC ④式可变形为 011(1)11111(1)(1)(1)ttnnnnnnnCnCnCnCLL = n(1-1)(n-1) = 0 当k为任意值时，③式为

0nC(n+k)+(-1)11nC(n+k-1)+…+(-1)ttnC(n+k+1-t)+…+(-1)n-11nnC(k+1)+(-1)nnnCk

=0nCn+(-1)11nC(n-1)+…+(-1)ttnC(n-t)+…+(-1)n-11nnC•1 +k[0nC +(-1)11nC + … + (-1)ttnC+ … + (-1)n-11nnC +(-1)nnnC] =0 ∴ 当p=1时，命题(1)成立。现假设p=i

0nCni +(-1)11nC(n -1)i +(-1)22nC(n -2)i +…+(-1)ttnC(n -t)i+…+(-1)nnnC0i=0

对于任意常数k，由于(n+k)i的展开式是i次多项式，很显然有 0nC(n+k)i +(-1)11nC(n+k-1)i +(-1)22nC(n+k-2)i +…+(-1)ttnC(n+k-t)i+…+(-1)nnnCki=0

当p=i+10nCn (i+1) +(-1)11nC(n -1) (i+1) +(-1)22nC(n -2) (i+1)+…+(-1)ttnC(n -t) (i+1) +…+(-1)nnnC0(i+1)

=0nCn·ni+(-1)11nC(n-1)·(n-1)i +…+(-1)ttnC(n-t)·(n-t)i +…+(-1)n-11nnC1•1i+0 = n01nCni+(-1)1n11nC(n-1)i +…+(-1)tn1tnC(n-t)i +…+(-1)n-1n11nnC1i 由于p=i+1对于任意常数k，由于(n+k)(i+1)的展开式是i+1次多项式，很显然有

0nC

(n+k) (i+1) +(-1)11nC(n+k-1) (i+1) +(-1)22nC(n+k-2) (i+1)+…+(-1)ttnC(n+k-t) (i+1) +…+(-1)nnnCk(i+1)

=0 由此，命题(1)得证。

（2）当p=n时，此时③式为 0nC

(n+k)n +(-1)11nC(n+k-1)n +(-1)22nC(n+k-2)n +…+(-1)ttnC(n+k-t)n+…+(-1)nnnCkn

运用数学归纳法。当n=1时， 01C

(1+k)+(-1)111Ck=1+k-k=1=1!

假设n=i，k=0时，命题成立，即 0iCii +(-1)11iC(i -1)i +(-1)22iC(i -2)i +…+(-1)ttiC(i -t)i+…+(-1)iiiC0i=i!

对于任意常数k，由于(i+k)i是一个i次多项式，由假设和命题(1)很显然有 0iC(i+k)i +(-1)11iC(i+k-1)i +(-1)22iC(i+k-2)i +…+(-1)ttiC(i+k-t)i+…+(-1)iiiCki=i!

当n=i+1，k=0时， 01iC(i+1)(i+1) +(-1)111iCi (i+1) +(-1)221iC(i -1)(i+1) +…+(-1)t1tiC(i –t+1)(i+1)+…

+(-1) i iiC11(i+1)+(-1)(i+1) 11iiC0(i+1) =(i+1)0iC(i+1)i+(i+1) (-1)11iCii+(i+1) (-1)22iC(i -1)i+…+(i+1) (-1)ttiC(i+1-t)i+… +(i+1) (-1) iiiC1i +0 =(i+1)[0iC(i+1)i+(-1)11iCii+(-1)22iC(i -1)i+…+(-1)ttiC(i+1-t)i+…+(-1)iiiC1i] =(i+1)·i! =(i+1)! 对于任意常数k，由于(i+k)(i+1)是一个i+1次多项式，由命题(1)和上述推理很显然有

01iC(i+k)(i+1) +(-1)111iC(i+k-1) (i+1) +(-1)221iC(i+k-1)(i+1) +…+(-1)t1tiC(i+k–t+1)(i+1)+…

+(-1) i 11iiC(1+k)(i+1)+(-1)(i+1) 11iiCk(i+1) =(i+1)! 由此，命题(2)得证。整个命题也得到证明，因此可以知道猜测是成立的。

四、推论与感受大家都知道0nC、1nC、……、nnC是著名的杨辉三角，而n阶等差数列的通项式是一个n次多项式，由此我们可得出杨辉三角的一个重要性质：对于正整数n、k，如果数列a1、a2、…、ak、…、an+k、…、an+k+i、…是n阶等差数列，则

0nCan+k+(-1)11nCan+k-1+(-1)22nCan+k-2 +…+(-1)ttnCan+k-t+…+(-1)nnnCak=c•n！(c为常数)

0niCan+k+i+(-1)11niCan+k+i-1+(-1)22niCan+k+i-2 +…+(-1)ttniCan+k+i-t+…+(-1)n+ininiCak=0

从这个例子，我们也可以看到数学的美妙之处，它是多么的对称；也可以看到数学所反映出的事物之间的普遍联系。数学再一次让我们得到了美的享受。