必修2第五章曲线运动第6、7节向心力与圆周运动的应用

- 1 - 教育学科教师辅导讲义(2B) 课 题 向心力 生活中的圆周运动

教学目的 1、 知道什么是向心力，理解它是一种效果力。 2、 知道向心力大小与哪些因素有关。理解公式的确切含义，并能用来进行计算。 3、理解变速圆周运动中合外力与向心力的关系。 4、知道向心力是圆周运动的物体半径方向的合力，不管是匀速圆周运动还是变速圆周运动。 5、通过日常生活中的常见例子，学会分析具体问题中的向心力来源。 6、能理解运用匀速圆周运动规律分析和处理生活中的具体实例。 教学内容

课前检测 1、向心力： ，向心力是产生 的原因，它使物体速度的 不断改变，但不能改变速度的 。向心力是按 命名的力，它可由重力、弹力、摩擦力等提供，也可以是这些力的合力或它们的分力来提供。向心力大小的计算公式： 。 。 2、火车转弯时的运动特点：火车转弯时做的是________运动，因而具有向心加速度，需要__________。 3、为了消除火车车轮对路轨的侧向压力，铁路弯道处内、外轨不在同一水平面上，即_______高、__________低。其高度差是根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度而设计的。 4、设火车质量m、轨道平面倾角θ、轨道转弯处半径r、规定的车速v，则应有 （写出表达式） 5、汽车在凸形桥的最高点时， 提供向心力。请写出对应的表达式： 。（设桥的半径是r，汽车的质量是m，车速为v，支持力为FN）。 6、汽车在凹形桥的最低点时， 提供向心力。请写出对应的表达式： （设桥的半径是r，汽车的质量是m，车速为v，支持力为FN）。 7、近地做匀速圆周运动的航天器中，物体的向心力由 提供。把航天器失重的原因说成是它离地球太远，从而摆脱了地球引力，是 的。 8、做圆周运动的物体，在合外力突然消失时，将会 ；如果合外力未消失，但合力不足以提供它做圆周运动所需的向心力时，将会做逐渐__________圆心的运动，这种运动叫离心运动。

知识梳理

（一）向心力 1、关于向心力的来源。 （1）介绍：分析和解决匀速圆周运动的问题，首先是要把向心力的来源搞清楚。 2、向心力

（1）向心力的方向总是与物体运动的方向垂直，总是沿着半径指赂圆心。向心力的作用只是改变速度的方向。 （2）向心力的大小为

2

mrF

或rvmF2

说明： ①向心力是按效果命名的力； - 2 -

②任何一个力或几个力的合力只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力； ③不能认为做匀速圆周运动的物体除了受到另外物体的作用外，还要另外受到向心力。 3、简介运用向心力公式的解题步骤： （1）明确研究对象，确定它在哪个平面内做圆周运动，找到圆心和半径。 （2）确定研究对象在某个位置所处的状态，进行具体的受力分析，分析哪些力提供了向心力。 （3）建立以向心方向为正方向的坐标，据向心力共式列方程。 （4）解方程，对结果进行必要的讨论。

（二）匀速圆周运动与非匀速圆周运动 1、匀速圆周运动 （1）特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的。 （2）性质：是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动。 （3）加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。 （4）质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心． 2、非匀速圆周运动 （1）非匀速圆周运动的物体，不仅线速度大小、方向时刻在改变，而且加速度的大小、方向也时刻在改变，是变加速曲线运动（注：匀速圆周运动也是变加速运动）。 非匀速圆周运动的合力一般不指向圆心，非匀速圆周运动所受的合外力产生两个效果。 （2）半径方向的分力：产生向心加速度而改变速度方向。 （3）切线方向的分力：产生切线方向加速度而改变速度大小。 故利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值。

（三）生活中的圆周运动 1、火车转弯 火车转弯特点：火车转弯是一段圆周运动，圆周轨道为弯道所在的水平轨道平面。 受力分析，确定向心力（向心力由铁轨和车轮轮缘的相互挤压作用产生的弹力提供）。 缺点：向心力由铁轨和车轮轮缘的相互挤压作用产生的弹力提供，由于火车质量大，速度快，由公式F向=mv2/r，向心力很大，对火车和铁轨损害很大。 事实上在火车转弯处，外轨要比内轨略微高一点，形成一个斜面，火车受的重力和支持力的合力提供向心力，对内外轨都无挤压，这样就达到了保护铁轨的目的。 - 3 -

强调说明：向心力是水平的。 F向= mv02/r = F合= mgtanθ

v0=tangr （1）当v= v0，F向=F合 内外轨道对火车两侧车轮轮缘都无压力. （2）当v＞v0，F向＞F合时 外轨道对外侧车轮轮缘有压力. （3）当v＜v0，F向＜F合时 内轨道对内侧车轮轮缘有压力. 要使火车转弯时损害最小，应以规定速度转弯，此时内外轨道对火车两侧车轮轮缘都无压力。

2、拱形桥 质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若桥面的圆弧半径为R，画出受力分析图，分析汽车通过桥的最高点时对桥的压力。

在最高点，对汽车进行受力分析，确定向心力的来源；由牛顿第二定律列出方程求出汽车受到的支持力；由牛顿第三定律求出桥面受到的压力FN′=GRmv2 可见，汽车对桥的压力FN′小于汽车的重力G，并且，压力随汽车速度的增大而减小。

汽车通过凹形桥最低点时

FN=G+mRv2 汽车对桥的压力比汽车的重力大，

课堂训练： 一辆质量m=2.0 t的小轿车，驶过半径R=90 m的一段圆弧形桥面，重力加速度g=10 m/s2。求： （1）若桥面为凹形，汽车以20 m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？ - 4 -

（2）若桥面为凸形，汽车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？ （3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？ 解答：（1）汽车通过凹形桥面最低点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f.在竖直方向受到桥面向上的支持力N1和向下的重力G=mg，如图所示.圆弧形轨道的圆心在汽车上方，支持力N1与重力G=mg的合力为N1-mg，这个合力就

是汽车通过桥面最低点时的向心力，即F向=N1-mg.由向心力公式有：N1-mg=Rvm2

解得桥面的支持力大小为 N1=Rvm2+mg=(2 000×90202+2 000×10)N=2.89×104 N 根据牛顿第三定律，汽车对桥面最低点的压力大小是2.98×104 N. （2）汽车通过凸形桥面最高点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f，在竖直方向受到竖直向下的重力G=mg和桥面向上的支持力N2，如图所示.圆弧形轨道的圆心在汽车的下方，重力G=mg与支持力N2的合力为mg-N2，这个合力

就是汽车通过桥面顶点时的向心力，即F向=mg-N2，由向心力公式有mg-N2=Rvm2

解得桥面的支持力大小为N2=mgRvm2=(2 000×10-2 000×90102)N=1.78×104 N 根据牛顿第三定律，汽车在桥的顶点时对桥面压力的大小为1.78×104 N. （3）设汽车速度为vm时，通过凸形桥面顶点时对桥面压力为零。根据牛顿第三定律，这时桥面对汽车的支持力也为零，汽车在竖直方向只受到重力G作用，重力G=mg就是汽车驶过桥顶点时的向心力，即F向=mg，由向心力公式有

mg=Rvmm2

解得：vm=9010gRm/s=30 m/s - 5 -

汽车以30 m/s的速度通过桥面顶点时，对桥面刚好没有压力。 小结： 汽车不在拱形桥的最高点或最低点时，汽车受到重力和垂直于支持面的支持力，将重力分解为平行于支持面和垂直于支持面的两个分力，这样，在垂直于支持面的方向上重力的分力和支持力的合力提供向心力。

3、航天器中的失重现象 假设宇宙飞船质量为M，它在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径近似等于地球半径R，航天员质量为m，宇宙飞船和航天员受到的地球引力近似等于他们在地面的重力。 在任何关闭了发动机，又不受阻力的飞行器中，都是一个完全失重的环境.其中所有的物体都处于完全失重状态。

（四）离心运动与向心运动 1、定义：做圆周运动的物体，在所受外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。这种运动叫做离心运动。 2、做圆周运动的物体，离心现象条件的分析 （1）当向合外力FF 时，物体被限制着沿圆周运动。 （2）当0合外力F时，物体便沿所在位置的切线方向飞出去。 （3）当向合外力FF时，物体沿切线和圆周之间的一条曲线运动。 3、当向合外力FF时，物体离圆心将越来越近，即做向心运动。

重难点突破 （一）圆周运动中的动力学问题分析 1、向心力的来源 （1）向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种类型的力，是根据力的效果命名的．在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力、万有引力）以外再添加一个向心力． （2）由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变的运动，故只存在向心加速 度，物体受的外力的合力就是向心力。显然物体做匀速圆周运动的条件是：物体的合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 2、向心力的确定 （1）确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置， （2）分析圆周运动物体所受的力,作出受力图,最后找出这些力指向圆心方向的合外力就是向心力． 3、变速圆周运动向心力的分析向心力来源的步骤同分析匀速圆周运动向心力来源的步骤相向．但要注意，