弹性力学中的有限单元法
2-弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式
2.2 平面问题的常应变单元
说明： 1) 单元确定后，单元结点坐标确定 →对于三结点三角形单位，ai, bi, ci, aj, bj, cj, am, bm, cm为 常数 2)
ai x j ym − xm y j = = a j xm yi − xi ym = am xi y j − x j yi
第2章 弹性力学问题有限单元法的一般 原理和表达格式
本章重点和应掌握的内容 (3) 有限元方程求解前引入位移（强制）边界条件的必 要性和方法。 (4) 有限元方法作为一种数值方法的收敛准则。 (5) 有限元法求解弹性力学问题的一般原理和基本步骤 。
第2章 弹性力学问题有限单元法的一般 原理和表达格式
1 yj bi = − 1 ym
1 β = 1 xj 3 D 1 xm 1 xi
1 yi bj = − 1 ym
ui
1 yi bm = − 1 yj
1 u = ci ui + c j u j + cmum ) ( j 2A um
1 xj ci = 1 xm
1 xi cj = − 1 xm
1 xi cm = − 1 xj
单元内的位移场用单元结点位移表示（一般采用多项
式形式）
形函数、多项式的阶次……
2.1 有限元分析的主要步骤（位移元）
3. 用单元结点位移表示单元内的应变场、应力场
几何关系 位移场 位 移 模 式 结点位移 应变场
本构关系 应力场
2.1 有限元分析的主要步骤（位移元）
4. 利用变分原理（弱解形式）（加权余量法）形成有限 元求解方程组 集成 单元方程 首先建立单元方程 形成线性代数方程组 问题的本质是采用一个弱解形式 总体方程
第二章 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式
第二章 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 2.1 引言本章将讨论通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元法列式的基本步骤。
最小位能原理的未知场变量是位移，以结点位移为基本未知量，并以最小位能为基础建立的有限单元位移元。
它是有限元方法中应用最普遍的单元。
对于一个力学或物理问题，在建立其数学模型以后，用有限元方法对它进行分析的首要步骤是选择单元形式。
平面问题三结点三角形单元是有限元方法最早采用，而且至今仍经常采用的单元形式。
我们将以此作为典型，讨论如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法与步骤，并进而导出弹性力学问题有限元方法的一般列式。
2.2 弹性力学平面问题的有限元列式2.2.1 单元位移模式及插值函数典型的三结点三角形单元结点编码为i,j,m 。
每个结点有两个位移分量，如图2.2所示。
每个结点的位移可用位移矢量i α表示，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i i i v u α ),,(m j i每个单元有6个结点位移分量（称为6个自由度），于是单元结点的位移向量可表示为[]Tm m j j i im j i e v u v u v u =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=ααααe α为单元结点位移列阵。
1．单元的位移模式和广义坐标在有限元方法中单元的位移模式，是指在单元内位移的插值函数，其一般形式采用多项式作为近似函数，因为多项式运算简单，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。
假设3结点三角形单元位移模式选取一次多项式y x u 321βββ++=y x v 654βββ++= （2.2.1）它的矩阵形式是φβ=u （2.2.2）其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=v u u ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕϕφ00 []y x 1=ϕ[]T 654321βββββββ=由于三个结点也在单元内，满足位移模式，于是得i i i y x u 321βββ++=j j j y x u 321βββ++= （2.2.3） m m m y x u 321βββ++=上式是关于321,,βββ的线性方程组。
《弹性力学及有限单元法》学习指南
第一章绪 论学习指导在学习本章时，要求学生理解和掌握下面的主要内容：1、弹性力学的研究内容，及其研究对象和研究方法，认清他们与材料力学的区别；2、弹性力学的几个主要物理量的定义、量纲、正负方向及符号规定等，及其与材料力学相比的不同之处；3、弹性力学的几个基本假定，及其在建立弹性力学基本方程时的应用。
§1－1弹性力学的内容弹性体力学，简称弹性力学，弹性理论（Theory of Elasticity或Elasticity），研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
这里指出了弹性力学的研究对象是弹性体；研究的目标是变形等效应，即应力、形变和位移；而引起变形等效应的原因主要是外力作用，边界约束作用（固定约束，弹性约束，边界上的强迫位移等）以及弹性体内温度改变的作用。
首先，我们来比较几门力学的研究对象。
理论力学一般不考虑物体内部的形变，把物体当成刚性体来分析其静止或运动状态。
材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。
结构力学研究杆系结构，如桁架、刚架或两者混合的构架等。
而弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。
因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。
其次，从研究方法来看，弹性力学和材料力学既有相似之外，又有一定区别。
弹性力学研究问题，在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出较精确的解答。
而材料力学虽然也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的。
例如，材料力学常引用近似的计算假设（如平面截面假设）来简化问题，使问题的求解大为简化；並在许多方面进行了近似的处理，如在梁中忽略了бy的作用，且平衡条件和边界条件也不是严格地滿足的。
一般地说，由于材料力学建立的是近似理论，因此得出的是近似的解答。
但是，对于细长的杆件结构而言，材料力学解答的精度是足够的，附合工程上的要求（例如误差在5%以下）。
《有限单元法》PPT课件
➢有限单元法的应用
（2）在土力学、岩石力学、基础工程学等方 面，用来研究填筑和开挖问题、边坡稳定性问 题、土壤与结构的相互作用，坝、隧洞、钻孔、 涵洞、船闸等的应力分析，土壤与结构的动态 相互作用，应力波在土壤和岩石中的传播问题。
（3）在流体力学、水利工程学等方面，研究 流体的势流、流体的粘性流动、蓄水层和多孔 介质中的定常（非定常）渗流、水工结构和大 坝分析，流体在土壤和岩石中的稳态渗流，波 在流体中传播，污染的扩散问题。
➢有限单元法的特性
计算精度的可信性
随着单元数目的增加，近似解不断趋近于精确解。
计算的高效性
适合于计算机编程实现。
➢有限单元法的分析过程
结构物的离散
划分 单元
数据 建立 编码 信息 坐标
单 元 类 型 选 最 优 化 单 最 优 化 单 合适的坐标
择 （ 形 状 、 元 结 点 编 元 结 点 编 系（直角、
建立离散化 计算模型
（二维问题） （三维问题） （二阶问题） （四阶问题） （杆系问题） （组合体问题） （梁弯曲问题） （板弯曲问题）
单元分析 (科学规律)
形成总体方程 （组装总刚度阵） （组装载荷阵）
基础理论 (变分原理) (分片插值)
约束条件处理 (灵活、易错)
有限元方法的组成模块
解方程 (数值积分) (代数方程求解)
结点数等） 码
码
柱、球坐标）
➢有限单元法的分析过程
单元分析（结点位移与结点力的关系）
单元位 移模式
单元特 性分析
单元载 荷分析
形函数
单元刚度矩阵
等效荷载矩阵
➢有限单元法的分析过程
整体分析（结点位移与结点力的关系）
单元刚 度矩阵
有限单元法试题
一．有限元法求解弹性力学问题的基本步骤，为什么应力解答的精度低于位移解答精度？（1）步骤1 弹性单元的离散化 2选择位移函数 3建立单元刚度方程 4建立整体平衡方程5，求解整体平衡方程（2）位移法求解，位移是直接解，应力是一个与位移导数相关的派生解，这就导致了应力解答的精度低于位移解答精度。
二．简述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵的性质单元刚度矩阵性质 481单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题，每列元素之和为零。
2.单元刚度矩阵中对角线上的元素为正。
3 单元刚度矩阵为对称矩阵4 单元刚度矩阵为奇异矩阵整体刚度矩阵性质1每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题，每列元素之和为零。
2.单元刚度矩阵中对角线上的元素为正。
3 单元刚度矩阵为对称矩阵4 单元刚度矩阵为奇异矩阵，排除整体刚度位移后为正定矩阵。
5 整体刚度矩阵是带状矩阵三、简述你知道的单元类型，对同一类型的单元精度比较，给出一般规律。
三角形单元中，三结点的常应变单元，其单元内应力是常量，它是一种简单但精度低的单元；六结点的二次三角形单元精度高但不能适应曲线边界。
而矩形单元，其精度虽比相应的三角形单元高，但不易改变单元尺寸，以及不能适应曲线边界和非直角的直线边界。
平面等参数单元适应了曲线边界和非直角的直线边界。
四、有限元网格划分的过程中应注意哪些问题？1网格数目网格数目的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。
一般来讲，网格数目增加，计算精度会有所进步，但同时计算规模也会增加。
实际应用时可以比较两种网格划分的计算结果，假如两次计算结果相差较大，可以继续增加网格，相反则停止计算。
2网格疏密网格疏密是指在结构不同部位采用大小不同的网格，这是为了适应计算数据的分布特点。
在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格。
而在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，则应划分相对稀疏的网格。
有限元分析理论（弹性力学）
3)可以适应不连续的边界条件和载荷条件。 4)各单元的计算程式都相同，便于实现规范化和在计算机上统一编程，容易将程序编成模 块式结构。 5)有限元法最后得到的大型联立方程组的系数是一个稀疏矩阵，其中所有元素都分布在矩 阵的主对角线附近，且是对称的正定矩阵，方程间的联系较弱。这种方程计算工作量小，稳定 性好，便于求解，占用的计算机内存也少。 有限元法的这些特点，正好可以克服工程科学计算中所遇到的许多困难。对于已有方程的 物理问题，主要是因为集合形状复杂、边界条件复杂、本构关系复杂而解不出来。利用有限元 法离散化的手段，用各种小单元来适应这些复杂多变的因素，用分块近似插值函数来逼近全域 上的连续函数，问题就变得容易了。
目前，有限元法以远远超出了原有的应用范畴，已从弹性力学扩展到了弹塑性力学、岩石 力学、地质力学、流体力学、传热学、气动力学、计算物理学、海洋工程、大气污染等各种学 科和应用领域，取得了出人意料的成功。
在机械工程领域内，可以用有限元法解决的问题有： 1)包括杆、梁、板、壳、三维块体、二维平面、管道等各种单元的各种复杂结构的静力分 析。 2)各种复杂结构的动力分析，包括频率、振型和动力响应计算。 3)整机（如水压机、汽车、发电机、泵、机床）的静、动力分析。 4)工程结构和机械零部件的弹塑性应力分析及大变形分析。 5)工程结构和机械零件的热弹性蠕变、粘弹性、粘塑性分析。 6)大型工程机械轴承油膜计算等。
弹性力学第6章：用有限元法解平面问题(徐芝纶第五版)
Ni (ai bi x ci y) / 2A。 (i, j, m)
第六章 用有限单元法解平面问题
应变
应用几何方程，求出单元的应变列阵 ：
ε ( u v v u )T x y x y
ui
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0
vi
cm bm
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fi (Fix Fiy T
－－单元对结点的 作用力，与 Fi 数值 相同,方向相反，作 用于结点。
Fiy vi
Fix i
ui
Fiy
y v j Fjy i
Fix
j
uj
F jx
vm Fmy
um
m Fmx
o
x
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
（5）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的概念
§6-2 有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度的离 散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的 考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计 算方法，其理论基础是分片插值技术与变分原理。
FEM的分析过程：
1.将连续体变换为离散化结构； 2.单元分析； 3.整体分析。
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 1.有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。 首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
弹性力学-06用有限单元法解平面问题 (2)
a a， 0
1 bj 1
0 0， 0
10
bm 1
a a
1 ci 1
0 0， 0
1 cj 1
a a， 0
1 cm 1
a a
0
Si
E
2(1 2
)A
bi
bi
1
2
ci
ci
ci
1
2
bi
E (1 2 ) a
1
0
0
0
1 2
S
j
E
2(1 2
)
A
bj
bj
例：图示等腰直角三角形单元 i j m 。试写出单元 y
的应力转换矩阵 [ S ]和劲度矩阵 [ k ] 。
解：在图示坐标下
j
xi a, xj 0，xm0
yi 0, yj a, ym0
a
a
1 1
xi
A 1 2
xj
yi yj
1 11
2
a 0
0
m
a 1 a2
2
1 xm ym
10 0
i x
1 bi 1
0 cj bj
bm 0 cm
0
vi
cm bm
uj vj um
vm
或简写为 B e 其中[ B ]称应变转换矩阵，可写成
BBi Bj Bm
Bi
1 2A
bi
0
0
c
i
(i, j,m)
c i bi
注意：由于矩阵[ B ]的元素都是常量，可见应变{ e }的元素也是常量。因此三 结点三角形单元也称为平面问题的常应变单元。
i vj
ui
1 2 x i 3 y i u i 4 5 x i 6 y i v i
弹性力学平面问题的有限元法
用于描述四节点四边形单元内任意一点的位移和 应力状态。
刚度矩阵
由四节点四边形单元的形状函数和弹性力学基本 公式构建，用于描述单元的刚度特性。
平面六面体八节点单元
六面体八节点单元
是一种三维有限元单元， 具有六个面和八个节点。
形状函数
用于描述六面体八节点 单元内任意一点的位移 和应力状态。
刚度矩阵
对复杂问题的处理能力有限
对于一些高度非线性或耦合问题，有限元法可能难以获得准确解，需要采用其他数值方法 或实验手段。
对高维问题的处理难度较大
随着问题维度的增加，有限元法的计算量和内存消耗会急剧增加，限制了其在高维问题中 的应用。
未来发展方向与挑战
高效算法设计
研究更高效的有限元算法，提高计算速度和精度，降低计算成本。
载荷向量的确定
根据边界条件和外力分布，确定每个节点的载荷 向量。
3
系统刚度矩阵与总载荷向量
将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组合起来，形 成系统刚度矩阵和总载荷向量。
求解线性方程组
线性方程组的求解
利用数值方法（如Gauss消去法、迭代法等）求解由 系统刚度矩阵和总载荷向量构成的线性方程组。
解的收敛性与稳定性
02 弹性力学基本方程
应力和应变的关系
01
02
03
胡克定律
在弹性范围内，应力与应 变之间存在线性关系，即 应力与应变成正比。
应变分量
描述物体变形的量，包括 线应变和角应变。
应力分量
描述物体内部受力情况的 量，包括正应力和剪切应 力。
平衡方程
静力平衡
物体在无外力作用下保持静止状态， 即合力为零。
弹性力学平面问题的有限元法
弹性力学—第六章—用有限单元法解平面问题.
m
x a
i
单元的结点力列阵与劲度矩阵（5）
j a y m
x a
i
载荷向结点移置（1）
对于变形体，包括弹性体在内，所谓静力 等效，是指原载荷与结点载荷在任何虚位 移上的虚功相等。原载荷与结点载荷向任 意点简化时，它们具有相同的主矢量和主 矩。 假设将集中力移置各结点上后，各结点 上的结点载荷为： j a y m x a i
位移列阵：
运用几何方程的应变列阵：
平面应力状态下的物理方程的矩阵表示：
有限元法的量
对于平面应变问题，在D中做如下变换： 换为 换为
有限元法的基本方程
有限元法的基本方程
在有限单元法中，作用于弹性体的各种外力常以作用于 某些点的等效集中力来代替。这些点上的集中力以及它 们相应的虚位移可用列阵表示为：
结构整体分析（3）
综上所述，i 点的平衡方程为。
将所有结点的平衡方程写在一起，就得到了整个 结构的结点平衡方程：
这里 称为整体劲度矩阵， 阵， 是整体结点位移列阵。
是整体结点载荷列
结构整体分析（4）
其中：
n为结点数, 下标1, 2, 3…是结点在整体结构中的编号。 注：i, j, m 是结点在单元中的局部编号。 整体刚度矩阵的一个元素Krs 就是由按整体编码的，同 下标的单元劲度矩阵元素的叠加得到的：
有限元法的求解步骤(2)
（3）应用几何方程，由单元的位移模式求出单元的应变， 即求出关系式： m （4）应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力： i （5）应用虚功方程，由单元的应力求出单元的结点力。
结点对单元的作用力称为结点力，在三角形单元中，结点 力列阵为：
j
有限元法的求解步骤(3)
（5）应用虚功方程，由单元的应力求出单元的结点力。