(新人教B必修5)数学：等差数列课件

1.已知无穷等差数列{an}中,首项为a1，公差为d 数列中，第n项与第m项有什么关系？
解: 依题得,
an=a1+(n-1)d am=a1+(m-1)d
an=am+(n-m)d
在等差数列｛an｝中，
1）已知a1=3,an=21,d=2,求n
2）已知d=-1/3,a7=8,求a1
3）在等差数列｛an｝中，已知a3=9,a9=3,求a12
a
b 等差中项 :
ab , ( ), 2
（2）-12，( -6 ) ，0
如果在x与y中间插入一个数A，使x，A，y 成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项
x y A 2
an 1
an an 2 2
通过它的通项 公式，可以看 出它与什么10 9 8 7 6 5
等差数列的通项公式为：
an d n (a1 d )
an an b
直线的一般形式：
y kx b
等差数列的图象为相应直线上的点。
讨论：
1.已知无穷等差数列{an}中,首项为a1，公差 为d, 数列中，第n项与第m项有什么关系？ (其中，m，n N*,n m)
讨论：
1.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果 前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是 多少？ 解：由题意得， a6=a1+5d＞0 a7=a1+6d＜0 ∴-23/5＜d＜-23/6 ∵d∈Z ∴d=-4 2. 已知等差数列 {an} 的首项为 30 ，这个数列从 第12项起为负数，求公差d的范围。 解：a12=30+11d＜0 a11=30+10d≥0 ∴ -3≤d＜-30/11 即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11
4 3 2 1 0 1 2 3 4
等 差 an 2n 1 的图象 数 列 的 图 像
5 6 7 8 9 10
0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
1
2 3
4
5 6
7
8
9
10
等 差 an 2n 1 的图象 数 列 的 an 3的图象 图 像
通过图像你能说明 公差对图像有什么影响？
39 a10=__________
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
求首项a1
例如 ：已知a20=－49, d=－3
则，
由a20=a1+(20－1)· (－3)
得a1=8
6 练习：a4=15 d=3 则a1=______________
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
求项数n
例如： ①已知等差数列8，5，2…问－49是第几项
（d是常数，n≥2，n∈N*）
它们是等差数列吗？
(1)
(2) (3)
1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
×
5，5，5，5，5，5，…公差 d=0 常数列
x, 3x, 5 x, 7 x, 9 x, … 公差 d= 2x
观察下面的数列： ①4，5，6，7，8，9，10 …… ； ②3，0，－3，－6，……； 下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋长、单位是 cm） ③ 21，21.5 一张梯子 ⑴从高到低每级的宽度依次为（单位cm） ④ 40，50，60，70，80，90，100； ⑵每级之间的高度相差分别为 ⑤ 40，40，40，40，40，40. ，22，22 .5 ，23，23 .5 ，24，24 .5 ，25 ;
当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。 这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数 列{an}的通项公式。
巩固通项公式
an=a1+(n－1)d
* (n∈N )
求通项an
若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出 an 2=2n－1 例如：①a1=1, d=2,则 an=1+(n－1)· ②已知等差数列8，5，2，…求 an及a20(第20 项 )。a1=8, d=5－8=－3 解： ∴an=8+(n－1)· (－3)=－3n+11 ∴a20=－49 练习：已知等差数列3，7，11，… 4n-1 则 an=_______________ a4=_________ 15
?
解 ：a1=8, d=－3 则 an=8+(n－1)· (－3) －49=8+(n－1)· (－3) 得 n=20。
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
【说明】 在等差数列{an}的通项公式中 a1、d、an、n 任知 三 个， 可求出 另外一个
简言之————“知三求四”
探究
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为 一个等差数列： （1）2 ，( 3 ) ， 4 (3)
知识巩固
1. {an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差 数列，若an＝2005，则n＝( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 670 2. 在3与27之间插入7个数，使它们成 为等差数列，则插入的7个数的第四 个数是( ) A. 18 B. 9 C. 12 D. 15
1、试用两种数学语言（文字语言、符号语言）来表述 一下等差数列的概念： ①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都 等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。
②如果数列{an}，满足an-an-1=d（d为常数，n≥2，且 n∈N*），则数列{an}叫做以d为公差的等差数列。
总 结 反 思
2、首项是a1，公差是d的等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d， 在a1，d，n，an这四个量中可知三求一，体现方程思想；
3、等差数列的通项公式的推导方法——归纳法（由特殊到 一般）和累加法，也是我们今后已知数列的递推式求通项公 式的常用方法。 4、数学与生活实际有着密切联系，数学概念来源于生活 实际，又应用于生活实际
今天我们学 了一些什么?
等差数列的定义
an+1-an=d
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d
等差数列中的等差中项A=(a+b)/2
等差数列中第m项与第n项的关系an=am+(n-m)d.
好好学习 天天向上
选作：一个首项为23，公差为整数的等差数
列，如果前六项均为正数，第七项起为负数， 则它的公差是多少？
2.2.1等差数列
学习目标
• 1. 理解等差数列的概念，理解并掌握等差 数列的通项公式，能运用公式解决简单的 问题。 • 2. 培养学生的观察能力，进一步提高学生 的推理归纳能力。
重点难点
• 1.等差数列概念的理解与掌握 • 2.等差数列通项公式的推导及应用 • 3. 等差数列“等差”特点的理解、把握及 应用
复习回顾:
1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数
简记作:{an}
2.通项公式:如果数列{an}中第n项an与n之间的
关系可以用一个式子来表示,那么这 个公式叫做数列的通项公式. 3.数列的分类
(1)按项数分： 项数有限的数列叫有穷数列 项数无限的数列叫无穷数列
(2)按项之间的大小关系：递增数列，
摆动数列，
思考：这5个数列有什么共同特点？
这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这 个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
数学语言：
an－an－1=d
说明:递推公式也是数列的一种表示方法。
观察下面的数列： ①4，5，6，7，8，9，10 …… ； ②3，0，－3，－6，……； 下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋长、单位是 cm） ③ 21，21.5 一张梯子 ⑴从高到低每级的宽度依次为（单位cm） ④ 40，50，60，70，80，90，100； ⑵每级之间的高度相差分别为 ⑤ 40，40，40，40，40，40. ，22，22 .5 ，23，23 .5 ，24，24 .5 ，25 ;
给出一个数列的通项公式，你能证明它 是等差数列吗？比如an=an+b
由定义归纳通项公式
a2 － a1=d， a3 － a2=d， a4 － a3=d， …… an－1－an－2=d, 则 a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d ……
an －an－1=d.
这（n－1）个式子迭加 由此得到 a n=a1+(n－1)d an － a1= (n－1)d
递减数列， 常数列。
4.数列的实质 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N （ 或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数， 当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函 数值。
*
5.递推公式:
如果已知{an}的第1项(或前n项),且任一项an与 它的前一项an-1(或前n项)间的关系可用一个公 式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.