直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质 2016.5.9 (1)
直线与平面、平面与平面平行的性质定理
(2)平行线的作法：先作平面，再作线。
(3)线线平行
线面平行
（4）证明面面平行的思路：
线面平行
面面平行
如图，已知 a∥ b， a∥ , b ，a
求证：b∥平面
证明：过a 作平面β交平 面于直线 c
∵a∥ 线面平行的
∴a∥c
性质定理
又 ∵a∥b
β b
a
c
∴b∥c
b ,
c
b∥ .
线面平行的 判定定理
问题：
（1）两个平面平行，它们一个平面内的直线 与另一平面位置关系如何？
（2）两个平面平行，它们两个平面内直线 的位置关系如何？
(4).过平面外一点与这平面平行的直线有多少条？
例1.如图，一块木料中，棱BC平行于面A1C1 （1）要经过面A1C1内的一点P和棱BC将木料锯 开，应怎样画线？ （2）所画的线与平面AC是什么位置关系？
D1
F
P
C1
A1
DE
C B1
A
B
例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这 个平面，求证：另一条也平行于这个平面
作业：
1、 习题2.2 A组 4，5 ，6 B组 3
一、复习提问：
(1). 直线和平面有哪些位置关系?
a
a
a
α
α
A
α
直线在平面α内a
α
有无数个交点
直线与平面α相交a 直线与平面α平行 ∩ α= A 有一个交 a∥α 无交点 点
直线与平面关系可分两大类：a , a
（1）证明线面平行思路：找平行线
1
（1）怎样判定直线和平面平行？
①定义. （线面无交点 线面平行） ②判定定理（线线平行 线面平行）.
直线和平面平行,平面和平面平行的性质
证明： AB // CD 过AB和CD可作平面 , 且 AC， BD. // AC // BD 故四边形ABCD为平行四边形. 即有AB CD.
B
A
D
C
6、设 // ，A ， 过点A作直线 l // , 则l与的位置关系如何？为什么？
面面平行性质定理:
面面平行
线线平行
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
小结
讲授新课：
线面平行的性质定理： 一条直线和一个平面平行，则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
l // l m
β
l
l // m
m
简记为： “线面平行，则线线平行” 作用：判定直线与直线平行的重要依据。 关键： 寻找平面与平面的交线。
α
例1.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这
作用： 判定直线与平面平行的重要依据。
简记为： 线线平行，则线面平行。
新课引入：
线面平行的判定定理解决了判定线面 平行的问题（即所需条件）；反之，在直 线与平面平行的条件下，会得到什么结论？
问题讨论：
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条
直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
a a
b
b α
c
a
c
b
a
c
a // c b // c
a // b
c
b
b //
线面平行
线线平行
判定定理 线面平行
课堂小结：
1．直线与平面平行的性质定理 a ∥ b． a b
性质定理的运用． 2．判定定理与性质定理展示的数学思想方法：
直线、平面平行的判定及其性质
直线、平面平行的判定及其性质新课讲解：1、直线与平面平行的判定及其性质（1）线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线线平行⇒线面平行（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
线面平行⇒线线平行2、平面与平面平行的判定及其性质（两条相交直线即可代表一个平面）（1）两个平面平行的判定定理①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
线面平行→面面平行②如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
线线平行→面面平行③垂直于同一条直线的两个平面平行.（2）两个平面平行的性质①如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
面面平行→线面平行②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
面面平行→线线平行题型一：直线与平面平行的判定要点：利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。
例1.(2011·天津改编)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为AC 的中点，M 为PD 的中点。
求证：PB ∥平面ACM 。
变式练习1：如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点。
求证：BD 1∥平面AEC 。
变式练习2：如图，若PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PCE 。
A B CD A 1B 1C 1D 1E例2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1分别有E、F，且B1E=C1F，求证：EF∥平面ABCD.变式练习1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.题型二：平面与平面平行的判定例3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B。
直线与平面平面与平面平行的判定定理ppt课件
解:(1)分别连接BM，BF交AC，AD于点E，F. B 因为M，N分别为对应三角形的重心，
故E，F为相应边的中点，且有
BM:ME=2:1，BN:NF=2:1
N
∴MN//EF且MN=
2 3
EF.
A
又因为MN 平面ACD，EF 平面ACD
M E
所以 MN// 平面ACD.
F C
D
(2) 又因为在△ACD中，EF是三角形的中位线，
证明：分别取PD，AD的中点G，H ，连接GE，HF ，GH
在△PDC中，GE为三角形中位线，
所以GE//DC且 GE= 1 DC
同理，HF//AB且
2 HF=
1
AB
2
P E
G
又∵底面为正方形，∴AM//DC且 AM=DC
D
C
∴ GE//HF且 GE=HF
H
F
即HFEG为平行四边形，故EF//GH
A
2 3
FH.
25
练习
练 如图点B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC， △ABD， △BCD的重心. (1)求证：平面MNG//平面ACD. (2)求 SVMNG : SVADC 的值.
B
解：(2)因为EF是△ACD的中位线，
所以，EF//CD且EF= 1 CD.
D1
N
A1
M
F
B1
C1
E
D1 M
A1
N
C1 B1
D A
C B
D
K
A
Q
C
P B
变15式
例 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别为DD1，DB的中点.求证：EF//平面ABC1D1.
直线与平面,平面与平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定：知识要点 直线与平面平行的判断方法有两种1 根据定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行 . （ 一般用反证法． ）2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平 面平行.（符号表示为： a ,b ,a//b a// . 图形如图所示） . 二：例题判定定理证明：已知： a α， b α，且 a ∥b求证： a∥α例 1 ：求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另 外两边所在的平面。
已知：如图空间四边形 ABCD 中，E 、F 分别是 AB 、 求证： EF ∥平面 BCD 证明：例 2: 正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为 DD 1的中点，试判断 BD 1与平面AEC 的位置 关系，说明理由a AF点 BC1CB三练习：1. 判断下列说法是否正确，并说明理由．○1 平面 外的一条直线 a 与平面 内的无数条直线平行则直线 a 和平面 平行；○2平面 外的两条平行直线 a,b ，若 a// ，则b// ；○3 直线a 和平面 平行，则直线 a 平行于平面 内任意一条直线； ○4 直线 a 和平面 平行，则平面 中必定存在直线与直线 a 平行． A. l 1 ∥α B. l 2 α C. l 2 ∥α或l 2 α D. l 2 与α相交 3．以下说法（其中 a ，b 表示直线， 表示平面）①若 a ∥b ， b ，则 a ∥ ②若 a ∥ ，b ∥ ，则 a ∥b ③若 a ∥b ， b ∥ ，则 a ∥ ④若 a ∥ ，b ，则 a ∥b 其中正确说法的个数是（ ） .A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个4.已知a ，b 是两条相交直线， a ∥ ，则 b 与 的位置关系是（ ）. A. b ∥ B. b 与 相交 C. b α D. b ∥ 或 b 与 相交5. 如果平面 外有两点 A 、B ，它们到平面 的距离都是 a ，则直线 AB 和平面 的 位置关系一定是（ ） .A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. AB 6．平面 与△ ABC 的两边 AB 、 AC 分别交于 D 、E ，且 AD ∶DB=AE ∶EC ，求证： BC ∥平面 .7．P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， E 为PB 的中点， O 为 AC ，BD 的交点. （1）求证：EO ‖平面PCD ； （2）图中EO 还与哪个平 面平行？8. 在正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别为棱 BC 、C 1D 1的中点. 求证： EF ∥平面 BB 1D 1D2. 已知直线 l 1、l 2 , 平面α, l 1 ∥l 2 , l 1∥α 那么 l 2 与平面 α 的关系是（ ）.2.2 平面与平面平行的判定：知识要点平面与平面平行的判断方法有三种 1. 定义：两平面没有公共点，则两平面平行2. 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 那么这两个平面平行． 用符号表示为： a ,b ,a b P // a// ,b// 图形如图所示图形如图所示 3. 推论：①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行 ②垂直于同一条直线的两个平面平行 . ③平行与同一平面的两个平面平行 . 二：例题 判定定理证明 : 已知：如图， m ， n ， 求证：//mn ( 思考 1 ：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线， 那么这两个平面平行吗 ?为什么？ )(思考 2：.在判断一个平面是否水平时，把水准器在这个平 面内交叉地放两次，如果水准器的气泡都是居中的，就 可以判定这个平面和水平面平行，你能说出理由吗？) 例 2：已知正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1, 求证：平面 AB 1D 1 // 平面 C 1BD 。
直线、平面平行的判定和性质
直线、平面平行的判定及性质1、直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2、直线和平面平行（1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线L 和平面α平行，记作L ||α。
（2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行.符号表示：,////a b a b a ααα⊄⊂⇒、.3、性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平 行.简记为：线面平行，则线线平行.符号表示：若//,,,//a a b a b αβαβ⊂= 则.4、平面与平面平行的判定与性质一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．α,b⊂β，α∩b＝P，α∥α，b∥α，则//5、性质定理：1.下列命题中，正确命题的个数是 .①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α;②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.答案 12. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）. ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 ④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 ①②③3. 对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中假命题是 （填序号）. ①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n④若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 答案 ①②④4. 已知直线a ,b ,平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ,b ⊂α,则a ∥α; ②若a ∥b ,a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α,b ∥α,则a ∥b . 其中真命题的个数是 . 答案 05. 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点.求证：MN ∥平面AA 1C 1.证明 设A 1C 1中点为F ，连接NF ，FC ， ∵N 为A 1B 1中点，∴NF ∥B 1C 1，且NF =21B 1C 1， 又由棱柱性质知B 1C 1 BC ， 又M 是BC 的中点，∴NF MC ，∴四边形NFCM 为平行四边形. ∴MN ∥CF ，又CF ⊂平面AA 1C 1， MN ⊄平面AA 1C 1， ∴MN ∥平面AA 1C 1.6. 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E =C 1F . 求证：EF ∥平面ABCD .证明 方法一 分别过E ，F 作EM ⊥AB 于M ，FN ⊥BC 于N ，连接MN . ∵BB1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN .又∵B 1E =C 1F ，∴EM =FN ，故四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN .又MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD .方法二 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ， 连接GF ，则BB GB A B E B 1111=， ∵B 1E =C 1F ，B 1A =C 1B ， ∴BB GB BC E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ， 又EG ∩FG =G ，AB ∩BC =B ，∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ⊂平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD .7. 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心. （1）求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ； （2）求S △321G G G ∶S △ABC .（1）证明 如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ， 连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD =2∶3，PG 2∶PE =2∶3，∴G 1G 2∥DE . 又G 1G 2不在平面ABC 内，∴G 1G 2∥平面ABC .同理G 2G 3∥平面ABC . 又因为G 1G 2∩G 2G 3=G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC . （2）解 由（1）知PE PG PD PG 21==32，∴G 1G 2=32DE . 又DE =21AC ，∴G 1G 2=31AC . 同理G 2G 3=31AB ，G 1G 3=31BC .∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3， ∴S △321G G G ∶S △ABC =1∶9.8. 如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，C ∈α，点B ∈β，D ∈β,点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB =CF ∶FD . 求证：EF ∥β;（1）证明 ①当AB ，CD 在同一平面内时，由α∥β，平面α∩平面ABDC =AC ， 平面β∩平面ABDC =BD ，∴AC ∥BD ， 2分∵AE ∶EB =CF ∶FD ，∴EF ∥BD ，又EF⊄β,BD⊂β,∴EF∥β. 4分②当AB与CD异面时，设平面ACD∩β=DH，且DH=AC.∵α∥β，α∩平面ACDH=AC，∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形，6分在AH上取一点G，使AG∶GH=CF∶FD，又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，又EG∩GF=G，∴平面EFG∥平面β.∵EF⊂平面EFG，∴EF∥β.综上，EF∥β. 8分9.如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.解SG∥平面DEF，证明如下：方法一连接CG交DE于点H，如图所示.∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG.∴H为CG的中点.∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.方法二∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.∵EF ⊄平面SAB ，SB ⊂平面SAB ， ∴EF ∥平面SAB .同理可证，DF ∥平面SAB ，EF ∩DF =F ， ∴平面SAB ∥平面DEF ，又SG ⊂平面SAB ， ∴SG ∥平面DEF .10. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证： （1）BF ∥HD 1； （2）EG ∥平面BB 1D 1D ； （3）平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明 （1）如图所示，取BB 1的中点M ，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1.又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.（2）取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ， 则OE 21DC ，又D 1G 21DC ，∴OE D 1G ， ∴四边形OEGD 1是平行四边形， ∴GE ∥D 1O .又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D .（3）由（1）知D 1H ∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1、HD 1⊂平面HB 1D 1，BF 、BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1=D 1， DB ∩BF =B ，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .11. 如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形. （1）求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH .（2）若AB =4，CD =6，求四边形EFGH 周长的取值范围.（1）证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG . ∵HG ⊂平面ABD ，∴EF ∥平面ABD . ∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC =AB ， ∴EF ∥AB .∴AB ∥平面EFGH . 同理可证，CD ∥平面EFGH .(2)解 设EF =x （0＜x ＜4），由于四边形EFGH 为平行四边形，∴4xCB CF =. 则6FG =BC BF =BC CF BC -=1-4x. 从而FG =6-x 23.∴四边形EFGH 的周长l =2(x +6-x 23)=12-x . 又0＜x ＜4,则有8＜l ＜12,∴四边形EFGH 周长的取值范围是（8，12）.巩固训练1.下列命题，其中真命题的个数为 . ①直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α; ③若直线a ∥b ,直线b ⊂α,则a ∥α；④若直线a ∥b ,b ⊂α,那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线. 答案 12.写出平面α∥平面β的一个充分条件 （写出一个你认为正确的即可）.答案存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α3.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ;②存在平面γ，使得α，β都平行于γ;③存在直线l⊂α,直线m⊂β,使得l∥m;④存在异面直线l、m，使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有（写出符合题意的序号）.答案②④4.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,一定成立的是 .①AB∥m②AC⊥m③AB∥β④AC⊥β答案①②③5.设有直线m、n和平面α、β.下列命题不正确的是（填序号）.①若m∥α,n∥α,则m∥n②若m⊂α，n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β④若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α答案①②③6.下列关于互不相同的直线m,l,n和平面α，β的四个命题：①若m⊂α,l∩α=A,点A∉m，则l与m不共面；②若m,l是异面直线，l∥α,m∥α,且n⊥l,n⊥m,则n⊥α;③若l∥α,m∥β,α∥β,则l∥m;④若l⊂α,m⊂α,l∩m=A,l∥β,m∥β,则α∥β.其中假命题的序号是 .答案 ③7.考察下列三个命题，在“ ”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l ,m 为不同的直线，α、β为不重合的平面），则此条件为 .①ααl m l m ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂②ααl m ml ⇒⎪⎭⎪⎬⎫③αβαβl l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥ 答案 l ⊄α8.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1， B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP =3a，过P ，M ，N 的平面交上 底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ = . 答案 322a9.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO ？ 解 当Q 为CC 1的中点时， 平面D 1BQ ∥平面PAO .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA . ∵P 、O 为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO . 又PO ∩PA =P ，D 1B ∩QB =B ， D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ， ∴平面D 1BQ ∥平面PAO .10.正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP =DQ . 求证：PQ ∥平面BCE .证明 方法一 如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN . ∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE =BD . 又∵AP =DQ ，∴PE =QB ，∥ ∥ ∥ ∥∥又∵PM ∥AB ∥QN ， ∴AE PE AB PM =，BD BQ DC QN =，DC QNAB PM =，∴P M QN ，∴四边形PMNQ 为平行四边形，∴PQ ∥MN .又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE .方法二 如图所示，连接AQ ，并延长交BC 于K ，连接EK ，∵AE =BD ，AP =DQ ，∴PE =BQ ， ∴PE AP =BQ DQ①又∵AD ∥BK ，∴BQ DQ =QK AQ② 由①②得PE AP =QK AQ，∴PQ ∥EK .又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE .方法三 如图所示，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ，连接QM .∵PM ∥BE ，PM ⊄平面BCE ，即PM ∥平面BCE ， ∴PE AP =MB AM①又∵AP =DQ ，∴PE =BQ ， ∴PE AP =BQ DQ② 由①②得MB AM =BQ DQ，∴MQ ∥AD ，∴MQ ∥BC ，又∵MQ ⊄平面BCE ，∴MQ ∥平面BCE .又∵PM ∩MQ =M ，∴平面PMQ ∥平面BCE ，PQ ⊂平面PMQ ，∴PQ ∥平面BCE .11.如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=，AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C的中点.(Ⅰ)证明：MN ∥平面//A ACC ;(Ⅱ)求三棱锥/A MNC -的体积.【解析】（Ⅰ）连结,AB AC '',由已知M 为AB '的中点，又N 为B C ''的中点，所以MN 为三角形AB C ''的中位线，故MN ∥AC ',又MN A ACC AC A ACC '''''⊄⊂平面，平面， 因此（Ⅱ）连结BN,由题意，A N '⊥B C '',A B C B BCC B C '''''''= 平面平面,所以,A N B BCC '''⊥平面即A N BC '⊥平面N ,故13A MNC N A MC A MC V V S h '''--==⨯ 又12A MCA BC S S ''= ,所以11112223A MNC N A MC N A BC A NBC NBC V V V V S A N ''''----'====⨯⨯⨯ 因为所以2BCBC ''==111211,1222NBC S BC BB A N B C ''''=⨯=⨯⨯=== ， 所以111236A MNC N A MCNBC V V S A N ''--'==⨯⨯⨯= .。
(完整word版)直线、平面平行的判定及其性质总结,推荐文档
线线平行→线面平行：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
【判定】线面平行→线线平行：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
【性质】线面平行→面面平行：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
【判定】面面平行→线线平行：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
【性质】线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上。
公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上。
公理三：三个不共线的点确定一个平面。
推论一：直线及直线外一点确定一个平面。
推论二：两相交直线确定一个平面。
推论三：两平行直线确定一个平面。
公理四：和同一条直线平行的直线平行。
（平行线的传递性）异面直线定义：不平行也不相交的两条直线。
判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线。
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等。
直线、平面平行的判定与性质课件
直线与平面平行的判定与性质
考向基础
直线与平面平行的判定与性质
文字语言
平面外一条直线与此平面内的一
图形语言
符号语言
a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α
条直线平行,则该直线与此平面
平行.简称:线线平行,则线面平行
一条直线与一个平面平行,则过
a∥α,a⊂β,
这条直线的任一平面与此平面的
α∩β=b⇒a∥b
别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.
3.证明两个平面都垂直于同一条直线.(客观题可用)
4.证明两个平面同时平行于第三个平面.(客观题可用)
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,
M,N分别是A1B1,A1D1的中点,E,F分别是B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
∴PQ∥平面BCE.
证法二:如图,在平面ABEF内,过点P作PM∥BE,交AB于点M,连接QM.
∴PM∥平面BCE,且
AP AM
=
,
PE MB
易知AE=BD,又AP=DQ,∴PE=BQ,
∴
AP DQ
AM DQ
=
,∴
=
,
PE BQ
MB QB
∴MQ∥AD,又AD∥BC,
∴MQ∥BC,
∵BC⊂平面BCE,MQ⊄平面BCE,
∴OB∥平面EFC,
∵OB∩OG=O,∴平面OBG∥平面EFC.
方法技巧
方法1
证明直线与平面平行的方法
1.利用线面平行的定义(此法一般伴随反证法证明).
2.利用线面平行的判定定理.应用此法的关键是在平面内找与已知直线
平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β. 二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一 直线与平面平行的判定与性质考法(一) 直线与平面平行的判定[典例] 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．求证：MN ∥平面BB 1C 1C .[证明] 如图，连接A 1C .在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC . 又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C .考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM ＝2MC.求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ， 又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形， ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ， ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH .求证：P A ∥GH .证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴P A ∥MO . 又MO ⊂平面BMD ，P A ⊄平面BMD ， ∴P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， P A ⊂平面P AHG ， ∴P A ∥GH .考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.(变结论)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CDAB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：89.如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 因为OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，所以BE 綊OG ，所以四边形BEGO 为平行四边形， 故OB ∥EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ， EG ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ， 所以四边形HBFD 1是平行四边形， 故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ， ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离． ∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P ABM 的体积V ＝V M P AB ＝V C P AB ＝V P ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N BCM 的体积． 解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N BCM 的体积V N BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE .∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD .又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，∴BD ⊥平面OEC ，∴BD ⊥EO .又∵O 为BD 中点．∴OE 为BD 的中垂线，∴BE ＝DE .(2)取BA 的中点N ，连接DN ，MN .∵M 为AE 的中点，∴MN ∥BE .∵△ABD 为等边三角形，N 为AB 的中点，∴DN ⊥AB .∵∠DCB ＝120°，DC ＝BC ，∴∠OBC ＝30°，∴∠CBN ＝90°，即BC ⊥AB ，∴DN ∥BC .∵DN ∩MN ＝N ，BC ∩BE ＝B ，∴平面MND ∥平面BEC .又∵DM ⊂平面MND ，∴DM ∥平面BEC .。
直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质 课件
判断正误(正确的打“ √”，错误的打 “×”) (1)若 直线 a∥ 平 面α ， 直线 a∥ 直 线 b， 则直 线 b∥ 平 面 α．( × ) (2)若直线 a∥平面α，则直线 a 与平面α内任意一条直线都无 公共点．( √) (3)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面 β．( √ ) (4)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个 平面内的直线异面．( × )
因为平面 A1C1C∩平面 AB1D1＝EO1， 平面 A1C1C∩平面 C1BD＝C1F， 平面 AB1D1∥平面 C1BD，所以 EO1∥C1F． 在△A1C1F 中，O1 是 A1C1 的中点，所以 E 是 A1F 的中点， 即 A1E＝EF； 同理可证 OF∥AE，所以 F 是 CE 的中点， 即 CF＝FE，所以 A1E＝EF＝FC．
解决平行关系的综合问题的方法 (1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交 的辅助平面，以便运用线面平行的性质． (2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、 相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到 平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
若 l∥α，l⊂β，α∩β＝m，则 l 与 m 的位置关系是( )
A．平行
B．相交
Байду номын сангаасC．异面
D．相交或异面
答案：A
如图所示，在三棱锥 S ABC 中，E，F
分别是 SB，SC 上的点，且 EF∥平面 ABC， 则( ) A．EF 与 BC 相交 B．EF∥BC C．EF 与 BC 异面 D．以上均有可能 答案：B
(2)如图，连接 A1C1 交 B1D1 于点 O1，连接 A1C，连接 AO1 与 A1C 交于点 E． 又因为 AO1⊂平面 AB1D1，所以点 E 也在平 面 AB1D1 内，所以点 E 就是 A1C 与平面 AB1D1 的交点； 连接 AC 交 BD 于 O，连接 C1O 与 A1C 交于点 F，则点 F 就 是 A1C 与平面 C1BD 的交点．证明 A1E＝EF＝FC 的过程如 下：
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直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质 2016.5.9
1.在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么（）
A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上
C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外
2.空间中，垂直于同一条直线的两条直线（）
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能
3.对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线
4.已知a∥α，b⊂α，则直线a与直线b的位置关系是（）
A．平行 B．相交或异面 C．异面D．平行或异面
5.下列条件中,能判断两个平面平行的是( )
A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;
B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
6.已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则（）
A．a∥b B．a与b异面 C．a与b相交D．a与b无公共点
7.若直线a不平行于平面α，则下列结论正确的是( )
A．α内所有的直线都与a异面B．直线a与平面α有公共点
C．α内所有的直线都与a相交D．α内不存在与a平行的直线
8.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（）
A．α∥β B．α与β相交
C．α与β重合 D．α∥β或α与β相交
9.下列说法正确的是( )
A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形 D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点10.若直线l∥平面α，直线a⊂α，则l与a的位置关系是（）
A．l∥a B.l与a异面
C．l与a相交 D.l与a平行或异面
11.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l 与A1C1的位置关系是．
12.已知直线b∥平面α，平面α∥平面β，则直线b与β的位置关系为．
13.在下列命题中，所有正确命题的序号是______________．
①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；
②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
③经过两条相交直线，有且只有一个平面；
④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；
⑤四边形确定一个平面．
14.空间垂直于同一直线的两直线的位置关系为
15.已知两条相交直线a ，b ，a ∥平面α，则b 与α的位置关系是 ．
16.已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH ∥FG ．求证：EH ∥BD ．
17.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB=2，C 是⊙O 上一点，且AC=BC ，6=PA ，22=PC ，10=PB ，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点.求证：EF//平面ABC ；
18.如图所示，PA ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∠CBA ＝30°，PA ＝AB ＝2，点E 为线段PB 的中点，点M 在AB 上，且OM ∥AC.
(1)求证：平面MOE ∥平面PAC ；
(2)求证：平面PAC ⊥平面PCB ；。