空间曲线曲率和挠率的介绍ppt课件
《高等数学曲率》课件
曲率与生物形态
在自然界中，许多生物形态都呈现出 曲率的特点。例如，鸟类的飞行轨迹 、河流的流向、植物的生长方式等都 与曲率密切相关。通过研究这些生物 形态的曲率特点，可以更好地理解自 然界的规律和原理。
VS
曲率在生物形态中的应用还体现在仿 生学领域。通过模仿自然界中生物的 形态和运动方式，可以创造出更加高 效、环保和可持续的交通工具、建筑 材料等。例如，仿生学中的“蜂巢” 结构就是利用了曲率的特点，具有很 好的抗压和抗震性能。
曲率与建筑设计
在建筑设计中，曲率也被广泛应用。通过合理利用曲率，可以创造出更加美观、舒适和功能性的建筑。例如，在建筑设计时 可以利用曲率来优化建筑的外观和结构，提高建筑的稳定性和安全性。
曲率还可以用于建筑内部的布局和空间设计。例如，利用曲率可以将建筑的内部空间划分为不同的区域，提高建筑的实用性 和舒适性。
曲率研究展望
曲率与几何拓扑关系
未来研究可以探索曲率与几何拓扑之间的关系，例如研究 曲率在曲面分类中的作用，以及曲率在流形学习等方面的 应用。
高维空间曲率研究
随着高维几何的发展，对高维空间中曲率的研究也日益重 要，未来可以进一步探讨高维空间中曲率的性质和计算方 法。
数值计算与模拟
随着计算机技术的发展，数值计算和模拟已经成为研究曲 率的重要手段，未来可以借助更先进的计算方法和模拟技 术，对曲率进行更精确和深入的研究。
03
曲率应用
曲率在几何学中的应用
曲率在几何学中有着广泛的应用，它描述了曲线在某一点的 弯曲程度。在平面几何中，曲率用于描述曲线在某一点的弯 曲程度，而在球面几何中，曲率则用于描述曲面在某一点的 弯曲程度。
在几何学中，曲率的概念可以帮助我们更好地理解空间中的 几何形状，以及它们之间的相互关系。例如，在研究行星运 动时，曲率的概念可以帮助我们理解行星轨道的形状和大小 。
【微积分讲解】曲线的曲率与挠率
【微积分讲解】曲线的曲率与挠率在微积分学的课程中，我们学到了很多的曲线和曲面之间的关系，其中包括曲率和挠率。
曲率是指在一点处曲线的曲率大小，是表示曲线弯曲程度大小的一种度量方法，而挠率则是曲线在空间内扭动的程度大小。
在本篇文章中，我们将会介绍曲线的曲率和挠率是如何计算的，以及它们之间的关系究竟是怎样的。
一、曲线的曲率曲线的曲率是指曲线在某一个点处的弯曲程度。
在二维空间中的曲线，其曲率是根据曲线长度和弯曲程度的比例来计算的。
假设一个平面曲线被表示为y=f(x)，那么曲线在x=a处的曲率公式可以表示为：$$k = \frac{|f''(a)|}{(1+f'(a)^2)^{3/2}}$$在此公式中，f''(a)是f(x)的二阶导数，f'(a)是f(x)的一阶导数。
可以理解为，曲率大小是曲线在该点附近沿着弧线方向依照曲率半径所构成的圆弧的半径，曲率计量的曲线弯曲程度大小越大，曲率值就越大。
这里就以二维曲线的形态来解释。
在三维空间中的曲线，要计算曲率就更加复杂了。
但是对于一个是参数方程表示的曲线，我们可以使用公式：其中，r(t)是曲线的参数方程表示，r'(t)是曲线在t时刻的一阶导数，r''(t)是曲线在t时刻的二阶导数。
相比于二维平面曲线，这个公式在计算时要用到向量积，稍稍有点麻烦。
在此公式中，f''(a)是f(x)的二阶导数，f'(a)是f(x)的一阶导数，也就是说，挠率用的还是曲线的一阶和二阶导数。
表明了曲面在某一点位置时，其纵向（方向型）与形状（弯曲型）的关系度量，挠率值越大，其形状耐扭曲能力就越弱。
对于三维空间中的曲线，它的挠率比较复杂，可以使用公式：$$t = \frac{(r'(t)\times r''(t))\cdot r'''(t)}{|r'(t)\times r''(t)|^2}$$三、曲率和挠率的关系曲率和挠率都是可以概念化地来度量曲线的性质，但是它们各自的意义是不同的。
曲线的曲率和挠率
曲线的曲率和挠率【原创版】目录一、引言二、曲线的曲率和挠率的定义与概念1.曲率的定义2.挠率的定义三、曲线的曲率和挠率的计算方法1.曲率的计算方法2.挠率的计算方法四、曲线的曲率和挠率在刚体运动下的不变性五、结论正文一、引言曲线是数学和物理学中的一个重要概念，它在许多自然现象和人为构造中都有广泛的应用。
在研究曲线的运动和变形过程中，我们需要了解曲线的一些基本性质，如曲率和挠率。
本文将从这两个方面对曲线进行详细的介绍和讨论。
二、曲线的曲率和挠率的定义与概念1.曲率的定义曲率是描述曲线在某一点处弯曲程度的物理量。
对于平面曲线，曲率可以用以下公式表示：α = (r_x^2 + r_y^2)^(3/2) / (r_x r_y)其中，r_x 和 r_y 分别是曲线在 x 和 y 方向上的曲率半径。
对于空间曲线，曲率的计算公式更为复杂。
曲率越大，表示曲线在某一点处弯曲越剧烈。
2.挠率的定义挠率是描述曲线在某一点处扭曲程度的物理量。
对于平面曲线，挠率可以用以下公式表示：k = |r_x r_y| / (r_x^2 + r_y^2)^(3/2)其中，r_x 和 r_y 分别是曲线在 x 和 y 方向上的曲率半径。
对于空间曲线，挠率的计算公式与曲率类似。
挠率越大，表示曲线在某一点处扭曲越剧烈。
三、曲线的曲率和挠率的计算方法1.曲率的计算方法曲线的曲率可以通过求导曲线的参数方程得到。
设曲线的参数方程为：x = x(t)y = y(t)z = z(t)则曲线在某一点处的曲率为：α = |r_x(t) r_y(t) r_z(t)|^(3/2) / sqrt[(r_x(t)^2 + r_y(t)^2 + r_z(t)^2)^3 - (r_x(t) r_y(t) r_z(t))^6]2.挠率的计算方法曲线的挠率可以通过求导曲线的参数方程得到。
设曲线的参数方程为：x = x(t)y = y(t)z = z(t)则曲线在某一点处的挠率为：k = |r_x(t) r_y(t) r_z(t)| / sqrt[(r_x(t)^2 + r_y(t)^2 +r_z(t)^2)^3 - (r_x(t) r_y(t) r_z(t))^6]四、曲线的曲率和挠率在刚体运动下的不变性在刚体运动中，曲线的曲率和挠率是不变的。
曲率及其曲率半径的计算课件
明确报告收集方式，如电子邮件、在线平台提交 等。
3
报告整理与反馈
强调教师将对学生的自我评价报告进行整理和分 析，并针对普遍存在的问题进行反馈和解答。
下节课预告及作业布置
下节课预告
预告下节课将要学习的内容，为学生做好预习准 备。
作业布置
布置相关作业，要求学生应用本节课所学知识进 行计算和练习，以巩固所学内容。作业难度适中 ，题量适当。
方法选择
根据数据类型和精度要求选择合适的方法 。
结果整理
整理计算结果，包括曲率半径、误差等信 息。
结果展示与误差分析
01
02
03
结果展示
以表格或图形形式展示计 算结果，包括曲率半径、 误差等信息。
误差分析
分析计算结果的误差来源 ，如数据质量、方法精度 等。
改进措施
根据误差分析结果，提出 改进措施，如优化算法、 提高数据质量等。
THANKS
感谢观看
非弧长参数化下曲率公式
非弧长参数化
以其他参数（如时间、角度等）为参数，将曲线进行参数化，得到非弧长参数 化下的曲线方程。
曲率公式推导
在非弧长参数化下，通过引入切向量和法向量等概念，可以推导出曲率公式 k(t)=|dθ(t)/dt|/|dr(t)/dt|，其中t为非弧长参数，θ(t)为切向量与某一固定方向 的夹角，r(t)为非弧长参数化下的曲线方程。
实际应用案例分享与讨论
螺旋线曲率计算
以螺旋线为例，介绍如何应用曲 率计算公式求解其曲率半径，并 分析曲率半径随参数变化的规律
。
曲线设计与优化
讨论如何利用曲率概念进行曲线设 计与优化，例如在道路工程、机械 工程等领域中的应用。
曲线拟合与插值
三节空间曲线
Xx(t0) x,(t0) x,,(t0)
Yy(t0) y,(t0) y,,(t0)
Zz(t0)
z, (t0)r,(t0)r,,(t0)0
0
z,,(t0)
如果曲线是平面曲线，那么它在每一点的密 切平面都是曲线所在的平面。
反之，如果一条曲线的密切平面固定，则曲 线是平面曲线。
现在取[r(s0)； 0， 0， 0]为新坐标系，并取r ( s 0 )
为计算弧长的始点，则有 s 0 0 s s ，如果 , ,
为曲线上点r ( s 0 ) 的临近点的新坐标，则有
s,
r
(
s
0
)
1 2
k0s2,
1 6
k 0 0 s 3 ,
何意义。
3.5空间曲线论的基本定理
曲线的每一点都有确定的曲率和挠率，如果
以弧长为参数，则有 kk(s),(s)
这两个关系式只与曲线本身有关，而与曲
线的刚体运动及空间曲线坐标变换无关。我
们把 kk(s),(s) 称为空间曲线的自
然方程。
空间曲线论的基本定理：
给出闭区间[ s 0 .s 1 ]上的两个连续函数 s0,(s)，则
例：求螺线 x c o s t , y s in t , z t
上点 (1, 0 , 0 ) 的密切平面
例：求曲线 r(t){etcost,etsint,2t}
在点P ( t ) 的密切面
命题： 空间曲线:r r(t)为平面曲线的
充要条件是 (r,,r,,,r,,, ) 0
3.2空间曲线的基本三棱形
的曲率和挠率。
61 空间曲线的弧长与曲率
第61讲 空间曲线的弧长与曲率——曲线弧长概念
例1计算螺旋曲线
【例1解】
所求弧长为
第61讲 空间曲线的弧长与曲率——曲线弧长概念
的弧长.
例2求星形曲线
平面曲线弧长计算公式
的弧长.
第61讲 空间曲线的弧长与曲率——曲线弧长概念
平面曲线的曲率：
→
如果
为单位切向量
→
k 1
k 1
记
，由 的连续性及定积分的定义，有
s lim 0
n
n
| Pk1Pk |
k 1
lim
d 0k 1ຫໍສະໝຸດ r(tk )tkb r(t) d t
a
对空间曲线 ：
,有
s b r(t) d t b x '(t), y '(t), z '(t) d t
a
a
弧长计算公式 s b x '2 (t) y '2 (t) z '2 (t) d t a
第61讲 空间曲线的弧长与曲率——空间曲线曲率及其计算
设光滑空间曲线方程为 ：
，则有
→
例3试将螺旋线 的描述形式 ,并验证
表示成弧长 为参数
第61讲 空间曲线的弧长与曲率——空间曲线曲率及其计算
主单位法向量
设曲线由
确定， 定义曲
线的主单位法向量为
其中 为单位切向量
第61讲 空间曲线的弧长与曲率——主法向量与副法向量
第61讲 空间曲线的弧长与曲率——问题的引入
曲线弧长概念 空间曲线曲率及其计算 主法向量与副法向量
第61讲 空间曲线的弧长与曲率——主要内容
定义1设
为一条空间曲线，在其上依次插入个分点：
高等数学课件3-5曲率
高等数学课件3-5曲率
汇报人：
目录
01 02 03 04 05 06
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曲率的概念
曲率在高等数学中的意义
高等数学课件3-5曲率的讲解重点 如何理解高等数学课件3-5曲率的
意义 如何应用高等数学课件3-5曲率解
决实际问题
01
添加目录项标题
02
曲率的概念
曲率的定义
曲率是描述曲线 弯曲程度的量
曲率越大，曲线 弯曲程度越大
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与该点处曲线的 法线方向之间的 夹角
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与该点处曲线的 法线方向之间的 夹角
曲率的计算方法
曲率公式：k = 1/r，其中k为曲率，r 为半径
曲率圆：曲率半径的圆，曲率中心为 圆心，曲率半径为半径
曲率半径：r = 1/k，其中k为曲率
曲率在曲线和曲面中的应用
曲率是描述曲 线或曲面弯曲
程度的量
曲率越大，曲 线或曲面的弯
曲程度越大
曲率在微分几 何、拓扑学、 物理等领域有
广泛应用
曲率可以帮助 我们理解和分 析曲线和曲面 的性质，如长 度、面积、体
积等
曲率在微积分学中的应用
曲率是描述曲线弯曲程度的重要 参数
曲率在微积分学中用于求解曲线 的弧长、面积等问题
利用曲率进行创新和设计
曲率在工程设计中的应用：如 桥梁、建筑、机械等
曲率在艺术设计中的应用：如 雕塑、绘画、平面设计等
曲率在科学研究中的应用：如 物理、化学、生物等
曲率在商业设计中的应用：如 产品包装、广告设计等
感谢观看
汇报人：
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空间曲线的曲率与挠率理解空间曲线的曲率与挠率的计算方法
空间曲线的曲率与挠率理解空间曲线的曲率与挠率的计算方法空间曲线的曲率与挠率是数学中关于曲线性质的重要概念，它们可以帮助我们理解曲线在不同点上的弯曲程度以及曲线的扭转情况。
本文将介绍空间曲线的曲率与挠率的概念，并讨论它们的计算方法。
一、空间曲线的曲率空间曲线的曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。
具体而言，曲率可以用曲率圆的半径来表示，即在曲线上某一点处，与曲线相切且与曲线处处相切的所有圆中，半径最小的那个圆的半径就是曲率。
曲率的计算方法如下：设空间曲线为C，参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中t表示参数。
为了计算曲线在某一点的曲率，我们需要求得曲率向量k(t)，该向量与切线方向相同，其模长为曲率。
曲率向量的计算公式为：k(t) = | r''(t) | / | r'(t) |其中，r'(t)表示曲线的切向量，r''(t)表示曲线的二阶导数。
通过加减法、乘除法等运算，我们可以得到曲率向量的具体数值。
曲率越大，曲线的弯曲程度就越大；反之，曲率较小则曲线的趋势更为直线。
二、空间曲线的挠率空间曲线的挠率描述了曲线在某一点的扭转情况。
具体而言，挠率是指曲线在某一点的切线方向与曲线法平面法向量的夹角的大小。
挠率的计算方法如下：设空间曲线为C，参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中t表示参数。
为了计算曲线在某一点的挠率，我们需要求得挠率向量v(t)，该向量与法平面法向量相同，其模长为挠率。
挠率向量的计算公式为：v(t) = ( r'(t) × r''(t) ) / | r'(t) |^3其中，×表示叉乘运算，r'(t)表示曲线的切向量，r''(t)表示曲线的二阶导数。
通过叉乘、模长计算等方法，我们可以得到挠率向量的具体数值。
挠率的大小与曲线的扭转程度成正比，挠率越大，曲线的扭转程度就越大。
曲线的曲率PPT课件
y
1 d( y) 1 , x d t a (1 cos t)2
代入曲率中心公式 , 得 y
a (t sin t),
M
a (cost 1).
O
x
O
令t
π
,
π a, 2a,
可得
a ( sin ), a (1 cos ).
( 仍为摆线 )
.
20
三、同步练习
1. 求双曲线 x y 1的曲率半径R, 并分析何处R最小?
.
12
由此可得曲率中心公式
y
D( , )
x y(1 y2) ,
y
y 1 y2 .
CR
T
M(x, y)
y
O
x
当点 M (x, y) 沿曲线 C : y f ( x) 移动时, 相应
的曲率中心的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线, 曲线 C
称为曲线G 的渐伸线 .
.
13
二、典型例题
2.
求椭圆
x a cos t,
y
bsin
t
(0
b
a,
0
t
2π)
上点的曲率最大值与最小值.
3. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮 磨削其内表面以达到要求的光洁度 , 问选择多大的
砂轮比较合适?
.
21
四、同步练习解答
1. 求双曲线 x y 1的曲率半径R, 并分析何处R最小?
解
y 1 , x2
磨削其内表面以达到要求的光洁度 , 问选择多大的
砂轮比较合适?
解
设椭圆方程为
x y
a cos bsin
t, t
(0 x 2 , b a),
曲线的曲率PPT课件
Q
y
2
1 Rl
x2
l 2
R
0,
y 1 x, Rl
1
K y x,
Rl
故缓冲始点的曲率 KO 0,
y 1 x3 6 Rl
l 1 R
缓冲终点的曲率
KA K
xl
1. R
.
19
x a(t 例5 求摆线siynt),a(1 cost) 的渐屈线方程 .
解
y
y sin t , x 1 cost
3
2a
3.
(1 y2 )2 [1 (2ax b)2]2
显然,
当x b 时, 2a
K最大.
又
Q
(
b 2a
,
b2
4ac 4a
)为抛物线的顶点,
抛物线在顶点处的曲率 最大.
.
15
例3 求 y ax 3上任一点的曲率半径 .
解 y 3ax2, y 6ax,
R 1 (1 y2)32
.
12
由此可得曲率中心公式
y
D( , )
x y(1 y2) ,
y
y 1 y2 .
CR
T
M(x, y)
y
O
x
当点 M (x, y) 沿曲线 C : y f ( x) 移动时, 相应
的曲率中心的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线, 曲线 C
称为曲线G 的渐伸线 .
.
13
二、典型例题
y
1 d( y) 1 , x d t a (1 cos t)2
代入曲率中心公式 , 得 y
a (t sin t),
M
a (cost 1).
O
x
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.
说明: 设曲线弧 yf(x) 二阶可导,
y
则曲率计算公式为
(1
y 2
)3 2
d
ds
当y 1时 ,有曲率近似计算公式 y
若曲线由参数方程
x x(t)
y
y(t)
给出, 则
xy xy
( x2 y2)32
若曲线方程为 x(y),
x
则
(1
x
2
)
3 2
若曲线由参数方程
x x(t)
.
微分几何的应用
▪ 理论物理
➢ 广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说， 空间和时间结合在一起由一个流形描述：不同的 参照系给出不同的局部坐标；不同参照系之间的 关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓 Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出 曲率等几何量。
➢ Einstein方程说： 时空的物理量（能量动量张量） 等于时空的几何量（Ricci曲率张量）。
由 0
(
)
(
1
)
(
1
)
((
1
)
1
)
( r 1 r ) [( 1 ) r 1 r ]
( r , r , r )
2
r 6 ( r , r , r )
( r r) 2
r rrrds3
可得 r 挠率(r 公式d d为st2rd d22 st()(• rr, rdr,trd d )2) st3r
.
1.空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架
1) 给称出C2r类 曲dr线为r曲线r（(sC)）得上一单P 位点向的量单位切r向 量dd。rs ，
ds
称
r r
为曲线在 P 点的主法向量,
它垂直于单位切向量。
称 为曲线在 P 点的次法向量。
γ(s)把两两正交Biblioteka 单位向量 ,, 称为法平面
r(s)
曲线在 P 点的伏雷内（Frenet)标架。
密切平面： (R vrv)v0 (R vrv, v,v)0密切平面
法平面： (R vrv)v0
α(s)
从切平面： (R vrv)v0
从切平面
C β(s)
O
而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的 基本三棱形。
.
4）伏雷内（Frenet)公式
由定义可得 (s)
又 ( ) (s ) k (s ) k (s ) (s )
所以该曲线是直线.
.
2)挠率rr 与 曲率 类似有k(s)
lim
s0 s
(ss) (s)
k
(
s
)
,
(ss)
(
)
k
(
s
)
, .( 1 ) / / .
定义 曲线（C）在 P 点的挠率为
γ(s)
, 当 和 异, 向 法平面
(s) , 当 和 同. 向
r(s)
(s s) (s)
lim
MM lim (s s) (s)
s0
s
MM s0
s
(s) (s) (s) r rr
.
例： 空间曲线，rr(s)为直线的充要条件是曲率
证明：并若且为直a线(rs1，)则sa0b其(s中)ar 和 b 都a 是常0向量，
反之, 于是
若
(s)0
rsab
,
则
(s)r 0
定义（C）在 P 点的曲率为 (s) lim
s0 s
s 越小
s
就越接近曲线在P点的弯曲程度,进一步令s 0
则
s
的极限就应该是曲线在P点的弯曲程度。
曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。
曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的
弯曲程度。
.
例. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
于是有 k(s)
k(s) (s)
(s)
这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式。它的系
0 k(s) 0
数组成一反称方阵 k(s) 0 (s) 0 (s) 0 .
2.空间曲线的曲率，挠率
(s) P
1）曲率设空间曲线(C)为 C 3 的，且以 s 为 参(数s 。s)P1 (ss)
密切平面
α(s)
C β(s)
从切平面
.
O
2) 对于曲线（C）的一般参数表示 rr(t),有
r r , r r r r , r 2 r r r (r r r )r
3)由任意两个基本向量所确定的平面
γ(s) 法平面
分别叫做:
r(s)
所以 r r r d d s t r d d 2 s tr d d22 s tr r d d 3 s t,
因此r r r r d 3 s si n kr 3(r 1 ,r r )
dt
r r
由此得到曲率的一般参数的表示式 k r. 3
y
y(t)
xy xy
给出,
则
.
(
x2
y2)
3 2
4）密切园（曲率园）
过曲线（C）上一点 P 的主法线
P1
k
C•
的正侧取线段 PC，使 PC 的长为1/k。以
C 为园心，以1/k为半径在密切平面上确
定一个园，这个园称为曲线在 P 点的密切园或曲率园，园的中 心叫曲率中心，园的半径叫曲率半径。
.
曲率中心轨迹设对应Y=(x,y,z)，则有
Yr(t)
1
(t)
(t)
容易证明C在P点与曲率圆相切，且在P 点的曲率相同
在点P 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
.
例 求圆柱螺线r={a cos t, a sin t, bt}(a>0, b>0均为常数) 的曲率、挠率、曲率中心和曲率圆.
密切平面
挠率的绝对值是曲线的次法向量对于弧长的
α(s)
C β(s)
旋转速度。 挠率恒为零的曲线是平面曲线
从切平面
.
O
3曲率和挠率的一般参数表示式
1）曲率 r 给 r 出 ( t) C,3 类r 的d 曲r 线d （ Cs r ）d ： s d s r
dd stdtdt r ( r ) d d r s t d d 2 2 s td d r d d s 2 s tr d d 2 2 s tr d d 2 s tr d d 2 2 s ,t
解: 如图所示 ,
sR
lim 1
s0 s
R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
.
(s)lim r
s 0 s
(s) P
M
P1
M
(ss)
lim lim 1 lim MM MM
s0 s s0 s
s0 s MM