偏导数及其应用
第八章-第2节 偏导数及其应用
一、 多元函数的偏导数
三. 多元函数的偏导数
x
y x f y x x f x z x ∆−∆+=∂∂→∆),(),(lim 0
求多元
函数的偏导数相应的一元函数的导数. 实质
上是求忘记了, 请赶快复习
一下.如果一元函数的求
导方法和公式
求偏导数时,只要将 n 个自变量中的某一个看成变量,其余的 n－1个自变量均视为常数, 然后按一元函数的求导方法进行计算即可 .
3xy+
=
x
tan ),( 000β=∂∂=y
y x f x x 平面上在四. 偏导数的几何意义
五. 偏导数存在与连续的关系连续可导连续可导
( ),( 2222≠++=y x y
x xy y x f
该例说明了一个重要问题：
想想是什么问题?
二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿x 轴和y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续.
六高阶偏导数六 高阶偏导数
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
发现求高阶导数与求导顺序有关.
废话! 求出偏导数才能判断连续性, 这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了, 还要定理干什么.
七、偏导数在经济分析中的应用
——交叉弹性(cross elastic)
自学
自学的内容也很重要啊！。
二元函数的偏导数和极值的应用
L40 ，24 2 402 64 40 4 40 24 4 242 32 24 14
1 650. 即该企业生产甲、乙两种商品的产量分别为40和24单位时，利润最大，最大利润为1650单位.
结论:
如果在区域D上的连续函数z f (x，y)，在D去掉边界的开区域D0内偏导数存在，而且
二元函数的偏导数和极值的应用
3.边际需求
设有A、B两种相关的商品，它们的价格分别为p1和p2，而需求量分别为q1和q2. 需求量
q1和q2随着价格p1和p2的变动而变动，因此需求函数可表示为
q1 q1 p1，p2 ，q2 q2 p1，p2
则A、B两种商品的边际需求即为需求量q1和q2关于价格p1和p2的偏导数.
Cx (x，y)
300
1 2
x2
4 xy
3 2
y2
x
x
4 y，
总成本C对产量y的边际成本函数为
Cy (x，y)
300
1 2
x2
4xy
3 2
y
2
y
4x
3y；
二元函数的偏导数和极值的应用
（2）当x 50，y 40时，C(x，y)对x的边际成本为
Cx50 ，40 50 4 40 210.
偏导数Cx (x，y)表示总成本C(x，y)对产量x的边际成本，它近似等于在两种产品的产 量为( x，y )的基础上，再多生产一个单位的A产品所需增加的成本.
偏导数Cy (x，y)表示总成本C(x，y)对产量y的边际成本，它近似等于在两种产品的产 量为( x，y )的基础上，再多生产一个单位的B产品所需增加的成本.
其余的49万元用于电视广告费用时可使收入最大.
经济数学
多元函数的偏导数及其在经济学中的应用
多元函数的偏导数及其在经济学中的应用多元函数的偏导数是微积分中重要的概念之一，对于经济学的研究和应用具有重要意义。
本文将从多元函数的偏导数的定义及性质入手，介绍其在经济学中的应用以及相关实例。
一、多元函数的偏导数的定义及性质1. 偏导数的定义：设函数f(x1, x2, ..., xn)是一个n元函数，对于其中的某一个变量xi，其偏导数表示为∂f/∂xi，表示在其他自变量保持不变的情况下，函数f关于xi的变化率。
2. 偏导数的计算：偏导数的计算与一元函数的导数类似，只需将其他自变量视为常数，对当前需要求导的变量进行求导。
3. 偏导数的性质：和一元函数的导数类似，多元函数的偏导数也具有线性性、乘法法则和链式法则等性质。
二、偏导数在经济学中的应用1. 边际分析：在经济学中，边际分析是一个重要的分析方法，可以用来研究经济决策中的最优选择。
偏导数在边际分析中起到重要作用，可以表示某个变量对于函数结果的边际变化率，帮助经济学家进行最优决策。
2. 生产函数和边际生产力：生产函数是经济学中用来描述产出与投入之间关系的函数。
偏导数可以用来描述生产要素对于产出的边际贡献，即边际生产力。
通过计算偏导数，可以分析各个要素对于产出的贡献程度，帮助企业进行生产要素的最优配置。
3. 需求弹性和供给弹性：偏导数可以用来计算价格对需求和供给的影响，从而得出需求弹性和供给弹性。
需求弹性和供给弹性的计算可以帮助经济学家分析市场的价格变动对于需求和供给的影响程度，揭示市场运行的规律。
4. 对数生产函数：对数生产函数是一种常用的生产函数形式，通过对数转化使其更便于计算和分析。
在对数生产函数中，偏导数可以用来分析各个生产要素对于产出的弹性，帮助经济学家进行生产要素配置的决策。
三、偏导数在经济学中的实例1. 在边际效应理论中，偏导数用来分析边际效应的大小和方向，帮助经济学家决定某决策或政策对经济变量的影响程度，如某个产品价格变动对市场供给量的影响。
经济数学微积分偏导数及其在经济分析中的应用
y 2 u 2(x2( x2 y 2)y 2y )2 2y(x x 2 2 y y 2 2 )2. x 2u 2 y 2u 2(x y 2 2 y x 2 2 )2(x x 2 2 y y 2 2 )20.
四、偏导数在经济分析中的应用 ——交叉弹性(cross elastic)
价格 PA 和其他品牌电视机价格 PB 的函数.
Q AfP A ,P B
P 通过分析其边际
Q A PA
及
着 PA 及 B 变化的规律.
Q P
B B
可知道,
QA 随
进一步分析其弹性,可知这种变化的灵敏度.
QA
Q A
Q A
对
PA
及
PB
亦称为
PB
的
QA
QA
交
PA
PB
叉
弹
性
QA对PA的 弹 性QA对PB的 弹 性
解
z 2x3y; x
z y
3x2y.
z x
x 1 y2
2 1 3 2 8 ,
z 7 .
例2 设 zxy(x0,x1)， 求 证xz 1 z2z. yx lnxy
证
z yxy1,
5. 设u ( x )z ,则 2u __________.
y
zy
二、
求下列函数的偏导数:
1. z (1 xy) y ；
2．u arctan(x y)z.
三、
x2 y2
曲线
z
4
在点(2,4,5)处的切线
y 4
与 x 轴正向所成的倾角是多少?
RT V2
《偏导数的应用》课件
目录
• 偏导数的定义与性质 • 偏导数在几何中的应用 • 偏导数在优化问题中的应用 • 偏导数在经济学中的应用 • 偏导数在物理学中的应用 • 偏导数的实际应用案例分析
01
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
偏导数的定义
对于一个多变量函数，如果一个变量 变化，而其他变量保持不变，则该函 数对变化变量的导数称为偏导数。
电场与磁场
总结词
在电磁学中，偏导数可以用于描述电场和磁场的变化。
详细描述
电场和磁场的变化可以用偏导数来描述，通过求解偏导数方程，可以深入理解电磁场的 特性和规律。这对于电磁波的传播、电磁力的计算以及电磁感应的研究等都具有重要意
义。
06
偏导数的实际应用案例分 析
最优价格策略案例
总结词
通过分析需求函数和成本函数，利用偏 导数确定最优价格策略。
在经济学中，边际分析使用偏导数来计算边际成本、边际收 益和边际利润等，帮助企业做出最优决策。边际成本是生产 成本对产量变化的敏感度，边际收益是销售收入对销量变化 的敏感度，而边际利润则是两者之差。
弹性分析
总结词
弹性分析是偏导数的另一个重要应用，它通过计算因变量对自变量的反应程度，来描述函数在不同自变量值下的 变化规律。
偏导数的求法
通过求极限的方式计算偏导数，具体 方法包括求导法则、链式法则和隐函 数求导法则等。
偏导数的几何意义
01
切线斜率
对于二维平面上的曲线，偏导数 在几何上表示曲线在某点处切线 的斜率。
02
03
梯度
方向导数
对于向量场，偏导数可以组成梯 度，表示函数值增长最快的方向 。
对于高维空间中的曲面或超曲面 ，偏导数可以计算方向导数，表 示函数在给定方向上的变化率。
多元函数的偏导数及其在物理学中的应用
多元函数的偏导数及其在物理学中的应用多元函数的偏导数是微积分学中的重要概念，它在物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍多元函数的偏导数的概念、计算方法以及在物理学中的应用。
一、多元函数的偏导数的概念偏导数是指多元函数中对于一个变量求导时，将其它变量视为常数的导数。
对于一个二元函数f(x, y)，偏导数可以表示为∂f/∂x和∂f/∂y，分别表示对x和y的偏导数。
二、多元函数的偏导数的计算方法1. 对于一个二元函数f(x, y)，求对x的偏导数时，将y视为常数，只对x进行求导。
2. 同样地，求对y的偏导数时，将x视为常数，只对y进行求导。
3. 对于一个更高维度的函数，也可以采用类似的方法求偏导数。
将多元函数中的一个自变量视为常数，只对需要求偏导数的变量进行求导。
三、多元函数偏导数的应用多元函数的偏导数在物理学中有着广泛的应用。
以下是其中几个常见的应用场景：1. 物体运动的速度和加速度在物理学中，描述物体运动的函数通常是关于时间和空间的多元函数。
通过对这个函数的偏导数，可以得到物体在不同时间点的速度和加速度。
2. 热传导方程与温度分布在热传导方程中，温度是关于空间和时间的函数。
通过对热传导方程中的温度函数进行偏导数的计算，可以得到温度在不同位置和时间的变化情况，进而研究热传导的性质。
3. 电场与电势在电磁学中，电场也是关于空间和时间的多元函数。
通过对电场的偏导数计算，可以得到电场在不同位置和时间的变化率。
而电势则是电场的负梯度，也可以通过偏导数的计算得到。
4. 粒子在势场中的运动在量子力学中，描述粒子在势场中的运动通常使用薛定谔方程。
通过对薛定谔方程中的波函数进行偏导数的计算，可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布以及运动性质。
以上仅是多元函数偏导数在物理学中的一些应用示例，实际上多元函数偏导数在物。
多元函数的偏导数计算及其在自然科学中的应用
多元函数的偏导数计算及其在自然科学中的应用多元函数的偏导数计算是研究多个变量对函数的影响程度的重要工具，在自然科学中有广泛的应用。
本文将从理论与实际应用两个方面，介绍多元函数的偏导数计算以及在自然科学中的应用。
一、多元函数的偏导数计算1. 常见的多元函数公式多元函数是含有多个自变量的函数，常见的多元函数公式包括线性函数、多项式函数、指数函数和对数函数等。
对于这些函数，求偏导数可以根据变量的不同分别计算。
2. 偏导数的定义与计算方法偏导数是多元函数在某个变量上的变化率。
对于二元函数，其偏导数可以通过求偏导数的方法计算得到。
具体计算偏导数的方法包括使用偏导数定义、利用链式法则和隐函数求导法等。
3. 高阶偏导数的计算高阶偏导数是指对多元函数的某一偏导数再进行偏导数的操作。
高阶偏导数的计算可以使用迭代的方法，即先求一阶偏导数，再求二阶偏导数，依此类推。
二、多元函数偏导数在自然科学中的应用1. 物理学中的应用多元函数的偏导数在物理学中有着广泛的应用。
以力学为例，质点的速度和加速度可以表示为位置函数对时间的一阶和二阶导数。
此外，在热力学中，温度的梯度可以通过偏导数计算得到。
2. 经济学中的应用多元函数的偏导数在经济学中也有着重要的应用。
例如，在利润函数中，对各个生产要素的偏导数可以解释不同要素对利润的贡献程度。
此外，偏导数还可以用于求最优化问题中的边际效应。
3. 生物学中的应用生物学是研究生命现象的科学，多元函数的偏导数在生物学中也有重要的应用。
例如，种群动态模型中的增长率可以通过计算种群数量对时间的偏导数得到。
另外，在生物化学中，酶催化反应速率可以通过计算物质浓度对时间的偏导数得到。
4. 地理学中的应用多元函数的偏导数在地理学中也具有一定的应用。
例如，在地表变形分析中，地形高程对坐标的偏导数可以揭示地势变化的情况。
此外，气象学中的湿度梯度和气压梯度也可以通过偏导数计算得到。
5. 计算机科学中的应用在计算机科学中，多元函数的偏导数也有一定的应用。
偏导数在医学中的应用
偏导数在医学中的应用
偏导数在医学中常用于分析和解释生理过程和药物代谢等。
以下是一些具体的例子：
1. 生物化学：偏导数可以用于计算一个生物分子的反应速率，比如酶的活性。
2. 药物代谢：药物代谢遵循一个动力学模型，偏导数可以用于计算药物的半衰期和清除速率等参数。
3. 生理学：偏导数可以用于分析生理过程中涉及的物质和动力学关系，比如血糖代谢、心血管功能、神经传导等。
4. 统计学：在基因组学和遗传学中，偏导数可以用于解释基因表达和遗传变异之间的关系，比如甲基化和表观遗传修饰等。
总之，偏导数在医学中具有广泛的应用，在生理学、药理学、生物化学、基因组学等领域都有着重要的作用。
9.5偏导数及其应用
记为
z y ( x
0 , y0 )
f y ( x
,
0 , y0 )
f y ( x0 , y0 )或z y ( x0 , y0 )
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结束
偏导函数: 如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都存在对x
的偏导数，即
f ( x x , y ) f ( x , y ) lim , x 0 x
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若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数， 只需先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点 (x0,y0)处的函数值， 导数.
f x ( x, y ) |( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )
这样就得到了函数z =f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏
9.5
偏导数
一 、偏导数的概念
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后页
结束
1.偏导数的定义
f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y 0 ) 如果极限 lim x 0 x 存在，则称此极限值为函数z=f (x,y)在点(x0,y0)处对x的偏
f 导数.记作 z , , f x ( x0 , y0 )或z x ( x0 , y0 ), x ( x0 , y0 ) x ( x0 , y0 )
f xx (1,1,2) 4, f xyz ( x, y, z ) 0,
f xyz (1,1,1) 0.
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求f(x,y)在原点(0,0)处的偏导数. 解 原点(0,0)处对x的偏导数为
f (0 x ,0) f (0,0) f x (0,0) lim x 0 x ( x ) 0 0 2 ( x ) 0 lim lim 0 0. x 0 x 0 x
偏导数计算与应用
偏导数计算与应用偏导数是微积分中的重要概念，它在求解多元函数的极值、描述函数的局部行为以及解决实际问题中扮演着重要角色。
本文将介绍偏导数的计算方法，并探讨其在不同领域的应用。
一、偏导数的定义和计算方法偏导数是多元函数在某一变量上的导数。
对于函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，其关于变量 xi 的偏导数表示为∂f/∂xi。
偏导数衡量了函数在某一变量上的变化率。
偏导数的计算方法与一元函数的导数计算类似，可以通过求取关于变量 xi 的导数来得到。
对于一元函数 f(x)，其导数表示为 df/dx。
对于多元函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，要计算偏导数，需要将其他变量视为常数进行求导。
举例来说，对于函数 f(x, y) = x² + 2xy + y²，我们可以计算关于 x 的偏导数为∂f/∂x = 2x + 2y，关于 y 的偏导数为∂f/∂y = 2x + 2y。
二、偏导数的几何意义偏导数在几何上有着重要的意义，它们能够描述函数在不同方向上的变化率。
对于函数 f(x, y)，其关于变量 x 的偏导数∂f/∂x 表示函数在x 轴方向上的变化率，而关于变量 y 的偏导数∂f/∂y 表示函数在 y 轴方向上的变化率。
偏导数还可以用于描述函数的切线和法向量。
对于函数 f(x, y)，在点 (a, b) 处，函数的切线的斜率等于∂f/∂x(a, b)。
类似地，函数的法向量可以由∂f/∂x 和∂f/∂y 所确定，即法向量为(∂f/∂x, ∂f/∂y)。
三、偏导数在极值和最优化问题中的应用偏导数在求解多元函数的极值问题中发挥着重要作用。
对于二元函数 f(x, y)，当∂f/∂x = 0 且∂f/∂y = 0 时，可以得到函数的驻点。
通过对二阶偏导数的研究，可以判断驻点的类型，从而确定函数的极值。
除了在数学上的应用外，偏导数也在最优化问题中发挥着重要作用。
在约束最优化问题中，通过求解拉格朗日函数的偏导数方程组，可以找到函数在给定约束条件下的最优解。
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偏导数及其应用
在数学中，偏导数是多元函数的导数在给定坐标轴上的投影。
它衡量了函数在某个特定方向上的变化率。
偏导数的求解方法与普通的导数相似，只需将其他变量视为常数进行求导即可。
偏导数广泛应用于微积分、物理学和经济学等领域中的多元函数分析。
以下列举了偏导数的一些主要应用：
1. 最优化问题：当涉及到找到函数的最大值或最小值时，偏导数是非常有用的。
通过求解偏导数为0的方程组，可以确定这些临界点，从而找到函数的最值点。
2. 条件极值问题：在约束条件下，求解函数的最大值或最小值时，偏导数可以帮助确定临界点。
结合拉格朗日乘数法，可以通过偏导数得到限制条件下的最值。
3. 泰勒展开与线性逼近：偏导数可以用于构建多元函数的一阶和二阶泰勒展开式，从而通过线性逼近近似求解函数的值。
4. 凸函数与凹函数：通过偏导数的符号，可以确定函数是否为凸函数或凹函数。
正定的二阶偏导数是凸函数的重要条件。
5. 线性回归分析：在统计学中，线性回归模型可以使用偏导数来分析自变量对应变量的影响。
偏导数可以量化自变量变化对响应变量的影响程度。
6. 物理学中的梯度和散度：梯度是一个向量，由偏导数组成，表示场在每个坐标轴上的变化率。
散度是一个标量，表示向量场的发散程度。
这些概念允许我们在物理上描述和理解流体力学、电磁学等领域。
7. 经济学中的边际分析：边际分析是经济学中重要的概念，它涉及到某一变量的微小变动对其他相关变量的影响。
通过偏导数，我们可以计算经济学模型中的边际效应，如边际成本、边际收益等。
总结而言，偏导数是研究多元函数变化率的重要工具，广泛应用于最优化问题、微积分、物理学和经济学等领域。
它有助于我们理解和分析函数在特定方向上的行为，把握函数的最值点、函数变化趋势、曲面性质等信息。