第三章 流体流动的基本概念与基本方程

Chapter 3 Basic Concepts and Equations of Fluids in Motion

第三章

流体流动的基本概念与方程 质量守恒定律、牛顿第二定律、能量守恒定律等是物质运动的普遍原理，流体作为一类物质也应该遵循这些原理。这些原理刚体运动的方程式在物理学和理论力学中大家已经学习过，适用于流体运动的方程式将在本章讨论。本章首先介绍描述流体流动的一些基本概念，然后推导出流体流动的基本方程，即连续方程、动量方程、能量方程等。这些基本概念与方程在流体运动学中的研究中是十分重要的。

3.1 描述流体流动的方法 在流体力学的研究中，描述流体的运动一般有两种方法，即拉格朗日法与欧拉法。

3.1.1 拉格朗日法 拉格朗日法着眼于单个流体质点是怎样运动的，以及流体质点的特性是如何随时间变化的。为了区别流体质点，使用某特定质点在某瞬时的坐标(a, b, c)是比较方便的，坐标(a, b, c)描述的只是某一特定的质点。

在任何瞬时质点的位置可表示为

(3.1) 对于一给点的坐标(a, b, c)，上述方程组代表的是一特定流体质点的轨迹。 此时，质点是速度可以通过将质点是位置矢量对时间求导数得到。在笛卡尔坐标系中，质点的速度可表示为

(3.2) 加速度为 Chapter 3 Basic Concepts and Equations of Fluids in Motion

(3.3)

3.1.2欧拉法 流体是由无数流体质点组成的连续介质，充满流动流体的空间称为流场。 表示流体速度的一种方法就是着眼于空间的某一点，观察流经该点的流体质点随时间的运动。这种研究流体质点运动的方法称为欧拉法。在更一般的意义上，欧拉法可以通过以下方面描述整个流场：

(1) 在空间某一点流动参数，如速度、压强等，随时间的变化； (2) 这些参数相对于空间邻近点的变化。

此时，流动参数是空间点的坐标与时间的函数：

(3.4) 或 (3.4a) (3.5) 流体质点随时间将从一点运动到另一点，这意味着流体质点的位置也是时间的函数。 利用多元函数的微分连锁律，可将流体质点在x方向的加速度表示为：

(3.6a) 同样 (3.6b)

(3.6c) 或写成矢量的形式 Chapter 3 Basic Concepts and Equations of Fluids in Motion

(3.7)

式中  称为梯度，或运算符。 方程(3.6)右端包含两种不同类型的两项：速度关于位置的变化与速度关于时间的变化。第一类的项称为迁移加速度，因为它们是与流场位置变化所引起的速度变化有关。方程(3.6)右端的最后三项即迁移加速度。第二类项是由给定点的速度随时间变化而引起的加速度，称为当地加速度。方程(3.6)右端的第一项即为当地加速度。

在欧拉法中，任何物理量导数的一般形式为

d (3.8)

式中称为当地导数，称为迁移导数。例如，密度的导数为

d (3.9)

Example3.1 Suppose the velocity distribution in a flow field is . What is the acceleration at point (3, 1, 2). 例 3.1

设流场中速度分布为，求点(3，1，2)的加速度。 Solution : 解 According to equation (3-6)，we have 由方程（3-6），有

=0+x2y(2xy) +(-3y) x2+0=27 m/s2

=0+x2y0+(-3y)(-3)+2z20=9 m/s2 =0+ x2y0+(-3y) 0+2z24z=64 m/s2 So, the acceleration of point (3,1,2) 因此，点(3，1，2)的加速度为 Chapter 3 Basic Concepts and Equations of Fluids in Motion

3.2 流体流动的分类与基本概念

3.2.1 流体流动的分类 根据分类的观点的不同，流体的流动可分为许多种类，包括：

1. 基于流体的特性 无粘流体是忽略粘性作用的理想流体，没有粘性的流动称为理想流动，反之则称为粘性流动。流动也可以分为不可压缩流动（如液体）或可压缩流动（如气体）。 2. 基于流动状态 根据流动状态的不同，流动可分为：定常流动与非定常流动、均匀流动与非均匀流动、有旋流动与无旋流动、层流与湍流、亚音速、跨音速与超音速流动等。 3.基于空间变量的数目 根据流动参数所依赖于空间变量的个数，流体流动可分为一维流动、二维流动与三维流动。这种分类适用于所有的坐标系。

3.2.2 流体流动的基本概念

1. 迹线 迹线是在流场空间所作的一条曲线，其确定了给定的流体质点所经过的轨迹。换句话说，迹线是给定流体质点在一段时间间隔内留下的踪迹，迹线显示在不同的瞬间同一质点速度的方向。它是与拉格朗日法相关的概念。

2. 流线 某一瞬时的流线是这样一条曲线，在该曲线上各点的速度矢量与曲线相切，如图3-1所示。 流线显示了在同一时刻不同流体 质点的速度方向，它是一个与欧拉法相关的概念。

Fig. 3-1 Streamline 在定常流中，迹线与流线重合，但在非定常流中迹线与流线一般不重合。由于流场中任何一点的速度是唯一确定的，两条不同的流线不可能相交于一点。

流线是速度场的几何表示。如果流场的速度分布是已知的，则可以通过流线的微分方程求出流线方程。流线微分方程的推导 如下：

设图3-2中的曲线s为一条流线，曲线上任一点的流体质点速度为Chapter 3 Basic Concepts and Equations of Fluids in Motion v，然后在A点取微元流线ds，根据流线的定义，

必须满足ds∥v，即 dsv=0 (3.10) Fig. 3-2 Streamline Differential Equation

由于ds 和 v的方向相同，它们在x、y及 z轴上的分量对应成比例，因此

dx (3.11) 方程 (3.10 )或 (3.11)就称为流线的微分方程。 Example 3.2 Assume velocity field is known as v, find the streamline equation which passes through point A(-1, 1) while t=0. 例3.2

已知速度场v，求t=0时通过点A（-1,1）的流线方程。 Solution: According to equation (3.11), the differential equation of streamline in the problem is 由方程（3.11），本题的流线微分方程为

d where time t should be regarded as constant. By integrating the above equation

式中时间应被看为常数。积分上式得

namely 即 This equation is a streamline aggregation at any instant, conventionally it is referred to as streamline family or streamline pattern. When t=0, the streamline pattern is 该方程式任意瞬时的流线的集合，通常称为流线族或流线谱。t=0 时的流线族为 xy=C Substitute the coordinates at point A(-1, 1) into Fig.3-3 Example 3.2 the above equation, get C= -1. Thus 将A点的坐标（-1，1）代入上述方程，得C= -1，所以

xy= -1 Chapter 3 Basic Concepts and Equations of Fluids in Motion This is the desired streamline equation, as shown in Fig.3-3. 这即为所求的流线方程，如图3-3所示。

3. 流管 在流场中过任一非流线的封闭曲线上的每一点作流线，这些流线将形成一个管状表面，称为流管。流管内部的流体称为流束，如图3-4所示。由于流线上流体质点的速度总是与流线相切，垂直于流线的速度分量为零，所以流体不能穿过流管流入或流出。对于非定常流动，流出内各点的速度是变化的，流管的形状也是变化的；对于定常流动，流出内各点的速度保持不变，流管的形状也保持不变，流管就像真正的管子那样，将流体限制在其边界 Fig.3-4 Stream Tube 流管 内流动。

截面为无限小的流管称为微元流管，其极限就是流线。 4. 流量与平均流速 流量被定义为单位时间内通过一点的流体量，通常用符号q表示。流量可以表示为体积流量qv，m3/s，或质量流量qm，kg/s。在处理不可压流体时通常用体积流量，而可压流体用质量流量较方便。

通过微元面积dA的体积流量为 (3.12) 总体积流量可以对上式在整个流动面积A上积分得到 (3.13) 从方程(3.13)可以看出，只有与断面垂直的法向速度分量对通过所考虑断面的流量有影响。 在许多计算中，如管道的一维流动，已知流量，需要求断面的平均流速而不关心速度的实际分布情况。根据定义，平均流速等于流量除以横截面总面积A

(3.14）

5. 系统与控制体 在流体力学中，系统被定义为一团可以与外界相互作