华南理工大学微积分下

一、二重积分（引例：求平面薄片的质量） 基本计算思路：把二重积分化为二次积分（定积分） 基本计算的两个步骤：1）定限；2）定积分的计算

基本计算方法：1）在直角坐标下的计算方法：x 型区域、y 型区域；2）在极坐标下的计算方法：注意被积函数要乘一个r 。 其他知识点：改变积分的次序

二重积分的应用：曲面():,z f x y ∑=

的面积为D

，其中D

为∑在xoy 面上的投影区域。

例1：()()2

222,:,,00D

y x d D y R x x y R y R σ-≤++≤≥>??

解：原式()()02

2

32

00

0sin cos R x

R

R dx y x dy d r dr π

θθθ+-=-+-????

()330

32

00

1sin 233R R R x dx d r dr π

θθ-??=++- ???

??? 444

14428

R R R ππ??=+-=

??? 例2：交换下列二次积分的次序

()()()2

1

1

3

320

1

,,x x dx f x y dy dx f x y dy -+=

?

?

??

132y -

二、三重积分（引例：求空间立体的质量） 基本计算思路：把三重积分化为三次积分（定积分） 基本计算的两个步骤：1）定限；2）定积分的计算

基本计算方法：1

）投影法；2）切片法；3）柱面坐标下计算法；4）球面坐标下计算法

例3：计算三重积分zdv Ω???，式中Ω为由12

z z ?≥??≤≤??

解：方法一、用截面法：

2

42

3

111544z zdv z dz πππΩ

??===??

?????? 方法二、用球面坐标： 12

02,0,

4

cos cos π

θπ?ρ??

≤≤≤≤

≤≤

2

23

cos 44133

cos 4sin sin sin cos 2cos 4cos zdv d d d d π

π

π

??

??θ?ρ??ρπ???Ω

??

==-

???

??????

? 422

2111152242cos 8cos 484π

πππ??????=-=--+= ??????? 三、关于弧长的曲线积分（引例：求曲线弧状物体的质量） 基本计算思路：把曲线积分化为定积分

基本计算的两个步骤：1）化积分曲线为参数方程并确定参数取值范围，注意定积分的下限总小于上限；2）定积分的计算 注意选取适当的参数以简化定积分的计算。

例4：计算2x ds Γ

?，其中Γ为球面2222x y z a ++=与平面0x y z ++=的交

线。

解：:02x y z θθθθπθθ?

=-???Γ=≤≤??

?=-??

原式2

20

ad π

θθθ?=??

?

33332222

20002cos sin sin 2263a a a d d d ππππθθθθθθ=+=?? 四、关于坐标的曲线积分（引例：变力对沿曲线运动的物体所做的功）

基本计算思路：把曲线积分化为定积分

基本计算的两个步骤：1）化积分曲线为参数方程并确定参数取值范围，注意起点对应的参数是定积分的下限终点对应的参数是定积分上限；2）定积分的计算

注意选取适当的参数以简化定积分的计算。

例5：计算曲线积分()()12cos y y L

xy e dx y xe dy +--?，其中L 为由点

()1,1A -沿抛物线2y x =到点()0,0O ，再沿x 轴到点()2,0B 的弧

段。

解：原式(

)

22

2

32210122cos 21x x x e x x x e dx dx -=+-++??

2

421

3sin 23sin12sin11x x x xe e e -??=-++=-+++=+-?? 其他知识点：格林公式、积分与路径无关（四个等价条件）、势函数、两类曲线积分的联系

例6：求,a b ，使得曲线积分()()23226L

axy y dx x y bxy dy -+-?在整个xoy 面

上与积分路径无关，并计算()()(

)

()

3,423221,26axy y dx x y bxy dy -+-?。

解：2322,6P axy y Q x y bxy =-=- 2223,12P Q

axy y xy by y x

??=-=-?? 所以6,3a b ==

()()(

)

()

()()3,434

232221,21

2

6248549axy y dx x y bxy dy x dx y y dy -+-=-+-???

3

4

223

12128273236x x y y ????=-+-=????

五、关于面积的曲面积分（引例：曲面状物体的质量） 基本计算思路：把曲面积分化为二重积分

基本计算的两个步骤：1）选择适当的投影坐标面，无妨设选择了xoy

面，确定曲面∑在xoy 面上的投影区域为xy D ，曲面∑的方程化为

(),z f x y =，

()(),,,,,xy

D F x y z dS F x y f x y dxdy ∑

=?

??????? 2）二重积分的计算

例7：()??∑

+dS y x 22，其中∑为立体122≤≤+z y x 的边界曲面。 解：原式()()????∑∑+++=1

2

2222dS y x dS y x

其中2221:,1:y x z z +=∑=∑，在xoy

圆盘122≤+y x

上式()212

21

03201

0320+=

+=????π

θθπ

π

dr r d dr r d

六、关于坐标的曲面积分（引例：不可压缩流体流过某曲面∑单位时间的流量）

基本计算思路：把曲面积分化为二重积分

基本计算的两个步骤：1）把曲面∑向指定坐标面投影，无妨设指定了xoy 面，确定曲面∑在xoy 面上的投影区域为xy D ，曲面∑的方程化为

(),z f x y =，注意曲面∑指定的侧

()(),,,,,xy

D P x y z dxdy P x y f x y dxdy ∑

=±?

??????? 2）二重积分的计算

例8：计算曲面积分()2I z x dydz zdxdy ∑

=+-??，其中∑为旋抛物面()2

212

z x y =

+下侧介于平面0z =及2z =之间部分。 解：原式(2

yz

D z dydz =

+

??

(()22

212yz

xy

D D z dydz x y dxdy =-++????

(

(

2

2

22

2

2

22

223

2

2

2

2

12

y y dy z dz dy z dz d r dr πθ--=+-+??????

()2

2

3

22

222

22

1242243y dy z y dy ππ--??=+=-+?????? ()3

2

2422

20116431244416cos 44333422

y dy tdt πππππ-=-+=?+=???+?? 8π

=

这里用换元法计算定积分，（令2sin y t =）及20c o s n t d t π

?的计算公式。

其他知识点：两类曲面积分的关系、高斯公式、斯托克斯公式；了解散度、通量、环流量、旋度的概念。

例9：xdydz ydzdx zdxdy ∑

++??，其中∑是曲线()2

10z y z x ?=≤?

=?绕z 轴旋转所得旋转

面的上侧。

解：此曲面方程为()2

2

1z x y

z =+≤，化为第一型曲面积分计算

2,2x y z x z y ==

∑取定侧对应法向量{}2,2,1n x y =--

,,

n n ??=

原式()22222

21

x y x

y dxdy ∑

+≤=

=

--??

21

30

02

d r dr π

π

θ=

-=-

?

?