函数奇偶性与三角函数奇偶性

目前我们了解的几种函数：

(1)正比例函数：如f(x)＝2x ； (2)反比例函数：如f(x)＝1

x ； (3)一次函数：如f(x)＝x ＋1；

(4)二次函数：如f(x)＝x 2

－2；

(5)常数函数：如f(x)＝2；

(6)分段函数：如f(x)＝

|x|。

研究内容：函数图像的对称美

1、关于y 轴对称的轴对称函数图像：(4)、(5)、(6)

2、关于原点对称的中心对称函数图像：(1)、(2)

研究结论：图像关于y 轴对称的函数具有以下特征：对于函数f(x)定义域D 内的任意实数x ，都有f(－x)＝f(x)。此类

函数y ＝f(x)叫做偶函数。 研读定义：

(1) f(x)与f (－x)均存在，则x ∈D 且－x ∈D ，得定义域关于原点对称。

(2) 判断一个函数是偶函数时，用任意性进行证明；判断一个函数不是偶函数时，只需要举出一个反例即可。

[例1] 判断下列函数是否为偶函数？

(1)f(x)＝2x 4

－3x 2

； (2) f(x)＝2x (x 1)

x 1

－－； (3) f(x)＝1x

反思：判断函数是否偶函数，先看定义域是否关于原点对称，再研究f(－x)与f(x)关系。

研究结论：图像关于原点对称的函数具有以下特征：对于函数f(x)定义域D 内的任意实数x ，都有f(－x)＝－f(x)。此

类函数y ＝f(x)叫做奇函数。 研读定义：

(1) f(x)与f (－x)均存在，则x ∈D 时必有－x ∈D ，得定义域关于原点对称。

(2) 判断一个函数是奇函数时，用任意性进行证明；判断一个函数不是奇函数时，只需要举出一个反例即可。 小结：函数的上述两个性质，称为函数的奇偶性。

[例2] 判断下列函数的奇偶性。

(1)f(x)＝x ＋1x ； (2) f(x)＝x 2＋1

x ； (3) f(x)＝|x ＋1|－|x －1|； (4) f(x)＝2

变式1：f(x)＝0 —— 既是奇函数，又是偶函数。 变式2：f(x)＝ax 2，a ∈R

解：(1) 当a ＝0时，f(x)＝0，x ∈(－∞，＋∞)，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

(2) 当a ≠0时，f(x)＝ax 2，x ∈(－∞，＋∞)，则f(x)是偶函数。

y y y

y y y

思考1：既是奇函数，又是偶函数的函数有多少个？

——无数个(表达式唯一即f(x)＝0，但定义域可以不一样) 。 思考2：两个奇函数的和是不是一定是奇函数？

——不一定。和函数可能不存在；若和函数存在，则一定是。 思考3：知道了函数的奇偶性，可以派什么用处？ 作用一：利用函数的奇偶性可以作函数图像。

[例3]已知函数y ＝f(x)是偶函数，且知道x ≥0时的图像，请作出另一半图像。

由偶函数图像关于y 轴对称，可以作出函数的另一半图像。

作用二：利用函数的奇偶性可以求函数解析式。

[例4]已知函数y ＝f(x)是奇函数，且x ＞0时，f(x)＝x 2＋2，求x ＜0时函数f(x)的解析式。 解：x ＜0时，－x ＞0 ∴f(－x)＝(－x)2＋2＝x 2＋2

∵y ＝f(x)是奇函数 ∴f(－x)＝－f(x)

即x ＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－(x 2＋2)＝－x 2－2 ——可以作图进行验证 思考：若告诉你f(x)在x ＝0上有定义，能否知道f(0)的值？

∵f(－0)＝－f(0) 即f(0)＝－f(0) ∴2f(0)＝0 则f(0)＝0 ——可以用图进行说明

y

y

高一数学函数的奇偶性练习

1、下列函数是否具有奇偶性.

(1) ; (2) ;

(3) ; (4)

(5)

2、函数

在 上是减函数,求

的取值集合 。

3、若函数f(x)=ax 73

++bx ,有f(5)=3则f (－5)= 。

4、设f(x)是R 上的偶函数，且在[ 0, + ∞ )上递增，则f(--2) 、f(--π) 、f(3)的大小顺序是 。

5、f(x)是[－2，2]上的奇函数，若在[0，2]上f(x)有最大值5，则f(x)在[－2，0]上有最 值 。

6、已知函数f(x)=ax 2

+bx+3a+b 为偶函数，其定义域为 [ a —1, 2a ],则函数的值域为 。 7、若二次函数f(x)=ax 2

+bx+c 是偶函数，则g(x)=ax 3

+bx 2

+cx 是 函数。 8、已知定义在（-∞，∞）上的奇函数f(x)，当x > 0 时f(x)=3 x – 1,求f(x)的解析式。

8、若函数 在 上是奇函数,试确定

的解析式

9、奇函数f(x)在定义域（－1，1）上是减函数，且f ( a )+ f ( a 2

) < 0,求实数a 的取值范围。

10、偶函数f(x)在定义域为R ，且在（-∞，0]上单调递减，求满足f (322

++x x )> f (1432

--x x ) 的x 的集合。

11、设函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f ( x )+ g (x)=3

3

+x ,求f(x)，g(x) 12、设函数f(x)=2

1x b ax ++是定义在（－1，1）上的奇函数，且f(21)=52

，（1）确定函数f(x)的解析式；（2）用定义证

明f(x)在（－1，1）上是增函数；（3）解不等式f ( t －1)+ f (t)