2018-2019学年浙江省嘉兴市高二下学期期末数学试题 解析版

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浙江省嘉兴市2018-2019学年高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知全集{1,3,5,7},{3,5}U A ==，则U C A =

A ．{1}

B ．{7}

C ．{1,7}

D ．{13

57}，，， 【答案】C 【解析】 【分析】

根据补集定义直接求得结果. 【详解】

由补集定义得：{}1,7U C A = 本题正确选项：C 【点睛】

本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.

2．双曲线2

212

x y -=的渐近线方程是

A ．12

y x =±

B ．2

y x =±

C ．2y x =±

D ．y =

【答案】B 【解析】 【分析】

由双曲线方程求得,a b ，由渐近线方程为b

y x a

=±求得结果. 【详解】

由双曲线方程得：a =

1b =

∴渐近线方程为：2

b y x x a =±=±

本题正确选项：B 【点睛】

本题考查双曲线渐近线的求解，属于基础题.

3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A ．8

B ．12

C ．16

D ．24

【答案】A 【解析】 【分析】

根据三视图可知几何体为三棱锥，根据棱锥体积公式求得结果. 【详解】

由三视图可知，几何体为三棱锥

∴三棱锥体积为：111

5 2.448332

V Sh =

=????= 本题正确选项：A 【点睛】

本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图确定几何体为三棱锥，且通过三视图确定三棱锥的底面和高.

4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．//,,αβm αn

β烫，则//m n

B ．//,//m m n α，则//n α

C ．,//,m n m αβα⊥⊥，则//n β

D ．,//m m n α⊥，则n α⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】

根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可.

【详解】

两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知A 错误；

//m α且//m n ，此时//n α或n α?，可知B 错误；

αβ⊥，//m n ，m α⊥，此时n β⊥或n β?，可知C 错误；

两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，D 正确. 本题正确选项：D 【点睛】

本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题.

5．若直线l 经过点(1,2)--，且原点到直线l 的距离为1，则直线l 的方程为 A ．3450x y --=

B ．1x =-

C ．3450x y --=或1y =-

D ．3450x y --=或1x =-

【答案】D 【解析】 【分析】

当直线斜率不存在时，满足题意；当直线斜率存在时，假设直线方程，利用点到直线距离公式构造方程解得结果. 【详解】

当直线l 斜率不存在时，方程为：1x =-，满足题意；

当直线l 斜率存在时，设直线方程为：()21y k x +=+，即：20kx y k -+-=

∴原点到直线l

距离：1d =

=，解得：34

k =

∴直线l 为：

35

044

x y --=，即：3450x y --= 综上所述：直线l 的方程为：1x =-或3450x y --= 本题正确选项：D 【点睛】

本题考查点到直线距离公式的应用，易错点是忽略直线斜率不存在的情况，导致求解错误.

6．设,a b ∈R ，则a b ≥是a b ≥的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】 【分析】

通过分类讨论可证得充分条件成立，通过反例可知必要条件不成立，从而得到结果. 【详解】

若0a b ≥≥，则a a b =≥；若0b a ≤≤，则0a a b =-≥≥；若0a b ≥≥，则

0a a b =≥≥，可知充分条件成立；

当3a =-，2b =-时，则a b ≥，此时a b <，可知必要条件不成立；

a b ∴≥是a b ≥的充分不必要条件

本题正确选项：A 【点睛】

本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题.

7．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是

A ．()21

1

f x x x =

-- B ．()21

1

f x x x =

+- C ．()()

22

1

1f x x x =--

D ．()()

22

1

1f x x x =

+-

【答案】C 【解析】 【分析】

根据()01f =且()20f <，可依次排除,,A B D ，从而得到答案. 【详解】

由图象知，()01f =且()20f <

A 中，()01f =-，不合题意；

B 中，()01f =-，不合题意；

D 中，()21450f =+=>，不合题意；

本题正确选项：C 【点睛】

本题考查函数图象的识别，常用方法是利用排除法得到结果，排除时通常采用特殊位置的符号来进行排除.

8．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线

:430l x y -=与椭圆相交于A 、B 两点.若||||6AF BF +=，点P 到直线l 的距离不

小于

6

5

，则椭圆离心率的取值范围为

A ．9(0,]5

B ．

C ．

D ．1(3 【答案】C 【解析】 【分析】

根据椭圆对称性可证得四边形AFBF '为平行四边形，根据椭圆定义可求得3a =；利用点到直线距离构造不等式可求得2b ≥，根据222a b c =+可求得c 的范围，进而得到离心率的范围. 【详解】

设椭圆的左焦点为F '，P 为短轴的上端点，连接,AF BF ''，如下图所示：

由椭圆的对称性可知，,A B 关于原点对称，则OA OB = 又OF OF '= ∴四边形AFBF '为平行四边形

AF BF '∴=

又26AF BF BF BF a '+=+==，解得：3a =

点P 到直线l 距离：36

55

b d -=

≥，解得：2b ≥2=≥

0c ∴<≤ c e a ?∴=∈ ??

本题正确选项：C 【点睛】

本题考查椭圆离心率的求解，重点考查椭圆几何性质，涉及到椭圆的对称性、椭圆的定义、点到直线距离公式的应用等知识.

9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，定点M 在棱AB 上(不在端点,A B 上)，点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为2a ，则点P 的轨迹所在的曲线为 A ．圆 B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

【答案】D 【解析】 【分析】

作PF AD ⊥，11PE A D ⊥，连接EF ，以A 为原点建立空间直角坐标系，利用勾股定理和两点间距离公式构造222PE PM a -=，整理可得结果. 【详解】

作PF AD ⊥，11PE A D ⊥，垂足分别为,F E 以A 为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：

设()0,,0M t ，(),,0P x y

由正方体特点可知，PF ⊥平面11ADD A

222PE y a ∴=+，()2

22PM x y t =+-

()2

222222PE PM y a x y t a ∴-=+---=，整理得：222x ty t =-

P ∴的轨迹是抛物线

本题正确选项：D 【点睛】

本题考查立体几何中点的轨迹问题，关键是能够通过建立空间直角坐标系，求出动点满足的方程，从而求得轨迹.

10．设a =b =2log 15c =，则下列正确的是 A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a <<

【答案】B 【解析】 【分析】

根据15x

y =得单调性可得a b >；构造函数())2log 0f x x x =>，通过导数可

确定函数的单调性，根据单调性可得()()15160f f >=，得到c a >，进而得到结论. 【详解】

由15x

y =的单调递增可知：1

1321515>> a b ∴>

令())

2log 0f x x x =>，则()()122

0ln 22ln 2

f x x x x '=

=> 令()0f x '=，则2

2ln 2x ??= ?

??

当220,ln 2x ????∈ ? ? ?????时，()0f x '>；当22,ln 2x ??

??∈+∞ ? ? ?????时，()0f x '< 即：()f x 在220,ln 2???? ? ? ????

?上单调递增，在22,ln 2??

??+∞ ? ? ?????上单调递减 2

3

ln 2ln ln e =>=2ln 23> 2

29ln 2??

∴< ???

()()

21516log 160f f ∴>==，即：2log 15> c a ∴>

综上所述：b a c << 本题正确选项：B 【点睛】

本题考查根据函数单调性比较大小的问题，难点在于比较指数与对数大小时，需要构造

函数，利用导数确定函数的单调性；需要注意的是，在得到导函数的零点

2

2

ln2

x

??

= ?

??

后，

需验证零点与15之间的大小关系，从而确定所属的单调区间.

第II 卷（非选择题)

请点击修改第II 卷的文字说明

二、填空题

11．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在前人的基础上写了一部划时代的著作《圆锥曲线论》，该书给出了当时数学家们所研究的六大轨迹问题，其中之一便是“到两个定点的距离之比等于不为1的常数的轨迹是圆”，简称“阿氏圆”．用解析几何方法解决“到

两个定点(00)O ，

，(30)A ，的距离之比为1

2

的动点M 轨迹方程是：22230x y x ++-=”，则该“阿氏圆”的圆心坐标是______，半径是_____．

【答案】(1,0)- 2 【解析】 【分析】

将圆化为标准方程即可求得结果. 【详解】

由2

2

230x y x ++-=得：()2

2:14M x y ++=

∴圆心坐标为：()1,0-，半径为：2

本题正确结果：()1,0-；2 【点睛】

本题考查根据圆的方程求解圆心和半径的问题，属于基础题.

12．已知等比数列{}n a 中，141,8a a ==，则公比q =______；3a =______． 【答案】2 4 【解析】 【分析】

根据等比数列通项公式构造方程求解即可. 【详解】

33418a a q q === 2q ∴= 2314a a q ∴==

本题正确结果：2；4

【点睛】

本题考查等比数列基本量的求解，关键是熟练掌握等比数列通项公式，属于基础题.

13．若实数,x y 满足不等式组,2,36,y x x y y x ≤??

+≥??≥-?

则2x y +的最小值是_____，最大值是

______．

【答案】3 9 【解析】 【分析】

根据约束条件画出可行域，将问题转化为求解2y x z =-+在y 轴截距的最大值和最小值，由图象可知2y x z =-+过B 时，z 最小；过C 时，z 最大，求出,B C 坐标，代入可得结果. 【详解】

由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

令2z x y =+，则求z 的最大值和最小值即为求2y x z =-+在y 轴截距的最大值和最小值

由2y x =-平移可知，当2y x z =-+过B 时，z 最小；过C 时，z 最大

由2y x x y =??+=?得：()1,1B ；由36y x y x =??=-?

得：()3,3C

min 2113z ∴=?+=，max 2339z =?+=

本题正确结果：3；9 【点睛】

本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距的最

值问题的求解，属于常考题型.

14．函数44()cos sin f x x x =-的最小正周期是______，值域是______． 【答案】π [1,1]- 【解析】 【分析】

利用二倍角公式将函数化为()cos2f x x =，根据余弦型函数的周期性和值域得到结果. 【详解】

()()()

44222222cos sin cos sin cos sin cos sin cos 2f x x x x x x x x x x =-=+-=-=

()f x ∴的最小正周期22

T π

π=

=；值域为：[]1,1- 本题正确结果：π；[]1,1- 【点睛】

本题考查余弦型函数的最小正周期和值域的求解，关键是能够将已知函数化为余弦型函数的形式.

15．已知函数11,0,

()1,0,2

x x f x x x ?-++≤?

=?->??则()f x 的最大值是______．

【答案】1 【解析】 【分析】

分别在1x ≤-、10x -≤≤和0x >三种情况下求解()f x 在区间内的最大值，综合即可得到结果. 【详解】

当1x ≤-时，()()112f x x x =---+=+，此时：()()11f x f ≤-= 当10x -≤≤时，()()11f x x x =-++=-，此时：()()11f x f ≤-= 当0x >时，()1

2

f x x =-

，此时：()0f x < 综上所述：()max 1f x = 本题正确结果：1 【点睛】

本题考查分段函数最值的求解，关键是能够通过函数每一段区间上的解析式分别求解出在每一段区间上的最值.

16．已知向量,a b 满足：43a b +=，232a b -=，当7a b -取最大值时，a b

=

______． 【答案】

1

8

【解析】 【分析】

根据向量模的性质可知当23a b -与4r

r a b +反向时，7a b -取最大值，根据模长的比

例关系可得()()

32324a b a b -=-+，整理可求得结果. 【详解】

()()

72342345a b a b a b a b a b -=--+≤-++=

当且仅当23a b -与4r r a b +反向时取等号

又

43

2

23a b

a b

+=

- ()()

323

24a b a b ∴-=-+ 整理得：8a b =

1

8

a

b ∴= 本题正确结果：18

【点睛】

本题考查向量模长的运算性质，关键是能够确定模长取得最大值时，两个向量之间的关系，从而得到两个向量之间的关系. 17．已知1

()42

x

x f x m +=-?，设21

()21

x x g x -=+，若存在不相等的实数,a b 同时满足方

程()()0g a g b +=和()()0f a f b +=，则实数m 的取值范围为______． 【答案】1(,)2

+∞ 【解析】 【分析】

根据奇偶性定义求得()g x 为奇函数，从而可得=-b a 且0a ≠，从而可将

()()0f a f b +=整理为：221

222a a a

a

m --+=-+，通过求解函数()()1

22x h x x x

=

->的值域可得到m 的取值范围. 【详解】

()()21122121

x x

x x g x g x -----===-++ ()g x ∴为R 上的奇函数

又()()0g a g b +=且a b 1 b a ∴=-且0a ≠

()()()()()

1144220a a a a f a f b f a f a m -+-∴+=+-=+-+=

即：(

)

()

2

1122244221

22222222

a a

a

a

a a a a a a a a

m ---+---+-++===-+++ 令()()122x h x x x =

->，则()211

02h x x

'=+> ()h x ∴在()2,+∞上单调递增 ()()11

2122

h x h ∴>=-

= 又222a a -+> (

)

2211

22

2222

a a a a

a a

h ---+∴+=->+ 1,2m ??

∴∈+∞ ???

本题正确结果：1,2??

+∞ ???

【点睛】

本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到奇偶性的判定、单调性的应用，关键是能够

将问题转化为221

222

a a a

a

--+-+的值域的求解问题；易错点是在求解22a a -+的取值范围时，忽略0a ≠的条件，错误求解为222a a -+≥，造成增根.

三、解答题

18．在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222b a c ac =+-. （1）求角B 的大小；

（2）求sin sin A C +的取值范围.

【答案】（1）3

B π

=（2）2

【解析】 【分析】

（1）由已知边的关系配凑出余弦定理的形式，求得cos B ，根据B 的范围求得结果；（2）

利用两角和差正弦公式和辅助角公式将sin sin A C +6A π??

+

??

?

，由2

0,

3A π??∈ ???可求得6A π+的范围，6A π?

?+ ??

?的

值域，从而得到所求范围. 【详解】

（1）由2

2

2

b a

c ac =+-得：2221

22

a c

b a

c +-=，即：1cos 2B =

()0,B π∈ 3

B π

∴=

（2）()sin sin sin sin sin sin cos

cos sin

3

3

A C A A

B A A A π

π

+=++=++

3

sin cos 226A A A π??=+=+ ??

? 20,

3

A π??

∈ ??? 5,666A πππ??∴+∈ ?

??

1s i n ,162A π????

∴+∈ ? ?????

6A π?

?+∈ ????

sin sin A C ∴+的取值范围为：?

【点睛】

本题考查余弦定理解三角形、三角形中取值范围类问题的求解，关键是能利用两角和差公式和辅助角公式将所求式子转变为()sin y A ωx φ=+的形式，利用正弦型函数值域的求解方法求得结果.

19．如图几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且

22PD AD EC ===.

（1）求证：//BE 平面PDA ； （2）求PA 与平面PBD 所成角的大小. 【答案】（1）见解析（2）6

π

【解析】 【分析】

（1）由//BC AD ，//EC PD ，结合面面平行判定定理可证得平面//BEC 平面PDA ，根据面面平行的性质证得结论；（2）连接AC 交BD 于点O ，连接PO ，利用线面垂直的判定定理可证得AO ⊥平面PBD ，从而可知所求角为APO ∠，在Rt APO ?中利用正弦求得结果. 【详解】 （1）

四边形ABCD 为正方形 //BC AD ∴

又AD ?平面PDA //BC ∴平面PDA

又//EC PD ，PD ?平面PDA //EC ∴平面PDA

,EC BC ?平面BEC ，EC BC C = ∴平面//BEC 平面PDA

BE ?平面BEC //BE ∴平面PDA

（2）连接AC 交BD 于点O ，连接PO

PD ⊥平面ABCD ，AO ?平面ABCD AO PD ∴⊥

又四边形ABCD 为正方形 AO BD ∴⊥

,BD PD ?平面PBD ，BD PD D = AO ∴⊥平面PBD

APO ∴∠即为PA 与平面PBD 所成角

2PD AD ==且PD AD ⊥

PA ∴=

又11

22

AO AC =

== 1sin 2AO APO PA ∴∠=

= 6

APO π

∴∠= 即PA 与平面PBD 所成角为：6

π

【点睛】

本题考查线面平行的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质的应用；求解直线与平面所成角的关键是能够通过垂直关系将所求角放入直角三角形中来进行求解.

20．已知函数2()32f x x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n S （*n N ∈）均在函数()f x 的图像上.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13n n n b a a +=

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20

n m

T <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m .

【答案】（1）65n a n =-；（2）10． 【解析】

分析：（1）由已知条件推导出2

32n S n n =-，由此能求出65n a n =-；

（2）由()()133111656126561n n n b a a n n n n +??

=

==- ?-+-+??

，利用裂项求和法求出()11122612

n T n =

-<+，由此能求出满足要求的最小整数. 详解：（1）2

32n S n n =-

当2n ≥时，()()2

2

132312165n n n a S S n n n n n -??=-=-----=-??

当1n =时，111a S ==符合上式

综上，65n a n =- （2）()!3311165)6126561n n n b a a n n n n +??

=

==- ?-+-+??

（ 所以111111111112771365612612

n T n n n ????=-+-+??+-=-< ? ?-++???? 由20n m T <

对所有*n N ∈都成立，所以1220m ≤，得10m ≥, 故最小正整数m 的值为10.

点睛：利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．

21．已知抛物线2

2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与抛物

线交于点()()1122,,,A x y B x y ，且124y y =-． （1）求抛物线的方程；

（2）设直线l 与y 轴交于点D ，试探究：线段AB 与FD 的长度能否相等？如果相等，求直线l 的方程，如果不等，说明理由．

【答案】（1）24y x =（2）当l

的方程为1)y x =±-时有||||AB FD =.

【解析】 【分析】

（1）设直线:2p l y k x ?

?

=-

???

，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到方程，解方程求得p ，从而得到抛物线方程；（2）将(

)():10l y k x k =-≠与抛物线方程联立，利用韦达定理可得(

)212

2

22242k x x k k

++==+

，根据焦点弦长公式可求得244AB k =+，利

用两点间距离公式得DF =利用AB FD =构造方程，解方程求得k ，从而得到直线l 的方程. 【详解】

（1）设直线:2p l y k x ?

?=-

???

，代入抛物线方程得：22

20ky py kp --= 2124y y p ∴=-=-，解得：2p =

∴抛物线方程为：24y x =

（2）由（1）知：()():10l y k x k =-≠

联立()214y k x y x

?=-?=?得：()2222

220k x k x k -++=

此时()

2

24242

416160k k k ?=+-=+>恒成立

(

)2122

22242k x x k k

+∴+=

=+

，12

1=x x

l 过焦点F 122

44AB x x p k ∴=++=+

由()0,D k -，()1,0F D F ∴

由AB FD =244k

=+

，即：()()242

116160k k k +--=

210k +> 4216160k k ∴--=，解得：28k =+28k =-（舍）

k ∴==±

∴当直线l 方程为：)1y x =±-时，AB FD =

【点睛】

本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到抛物线方程的求解、焦点弦长公式的应用等知识；难点在于利用等长关系构造方程后，对于高次方程的求解，解高次方程时，需采用因式分解的方式来进行求解. 22．已知函数11()(,0)f x b a b R a x a x a

=

++∈≠-+且. （1）判断()y f x =的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由；

（2）设()(1)g x b x =+，试讨论()()y f x g x =-的零点个数情况.

【答案】（1）()y f x =的图象是中心对称图形，对称中心为：()0,b ；（2）当0b >或

22b a <-

时，有3个零点；当2

2

0b a

-≤≤时，有1个零点 【解析】 【分析】

（1）设()()h x f x b =-，通过奇偶性的定义可求得()h x 为奇函数，关于原点对称，从而可得()f x 的对称中心，得到结论；（2）()()0y f x g x =-=，可知0x =为一个

解，从而将问题转化为222b x a =-解的个数的讨论，即222

22a b x a b b

+=+=的解的

个数；根据b 的范围，分别讨论不同范围情况下方程解的个数，从而得到零点个数，综合得到结果. 【详解】

（1） 设()()11

h x f x b x a x a

=-=

+

-+ ()h x ∴定义域为：{}x x a ≠± ()()111

1h x h x x a a x x a x a ??-=

+=-+=- ?---+-??

()h x ∴为奇函数，图象关于()0,0对称

()y f x ∴=的图象是中心对称图形，对称中心为：()0,b

（2）令()()11

0y f x g x bx x a x a

=-=

+-=-+ ()()20x b x a x a ??∴-=??-+????

，可知0x =为其中一个解，即0x =为一个零点

只需讨论

22

2

b x a

=-的解的个数即可 ①当0b =时，

22

2

b x a =-无解

()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点

②当0b >时 ，2

2

20x a b =+

> x ∴=222b x a =-的解

()()y f x g x ∴=-有x =0x =共3个零点 ③当0b <时，22

2

22a b

x a b b

+=+=

（i ）若2

20a b +<，即22b a <-时，220a b

b

+>

x ∴=2

22b x a =-的解

()()y f x g x ∴=-有x =0x =共3个零点 （ii ）若220a b +=，即22b a =-

时，

22

2

b x a =-的解为：0x = ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点

（iii ）若2

20a b +>，即220b a -<<时，220a b

b

+<，方程22

2b x a =-无解 ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点

综上所述：当0b >或22b a <-时，有3个零点；当2

2

0b a

-≤≤时，有1个零点 【点睛】

本题考查函数对称性的判断、函数零点个数的讨论.解决本题中零点个数问题的关键是能够将问题转化为方程

22

2

b x a

=-根的个数的讨论，从而根据b 的不同范围得到方程根的个数，进而得到零点个数，属于较难题.