西北工业大学高数(上)期中学考试试精彩试题及问题详解

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西北工业大学考试试题（卷）

2005-2006学年第一学期期中

开课学院 理学院 课程 高等数学(上) 学时 90 考试日期 2005/11/17 考试时间 2 小时 考试形式（闭）（A ）卷 一、填空题(每小题4分, 共32分)答案写在答题纸上, 写在题后无效 1.设1

lim ()3x g x →=, 1

lim ()3x h x →=, 且()()()g x f x h x ≤≤, 则21

lim[34()]x x f x →+=

.

2.1

lim (39)x

x x

x →+∞

+=

.

3.已知0sin lim

(cos )5x x x

x b e a

→-=-, 则a =

,b =.

4.设(2)cos n y x x -=, 则2

()n x y π

==

. 5.若

2d 11

()d f x x x

=, 则()f x '=.

6.设函数()y y x =由方程ln ln y x x y =确定, 则22(,)

d e e y

=

.

7.设函数1

()(1)x f x x

=+, 则(1)f '=

.

8. 设周期函数()f x 在(,)-∞+∞可导, 周期为4, 又0

(1)(1)

lim

12x f f x x

→--=-, 则曲线

()y f x =在点(5,(5))f 处的切线斜率为.

2. 命题教师和审题教师应在试卷存档时填写。 共7页 第 1页

成绩

(5,7)(6,

, 3

x=,

x=, 5

, 3

x=,

x=, 5

则以上结论正确的是( )

①、②;

②、③;

高等数学05-06学年第一学期期中考试试卷评分标准

一、填空题(每小题4分, 共32分) 1. 15

; 2.

9; 3. 1, 4-; 4. 2-;

5.

12x

-

; 6. d x ; 7. 2ln 21-; 8.

2-.

二、选择题(每小题4分, 共32分)

1. ( B ) ;

2. ( D ) ;

3. ( C ) ;

4. ( B ) ;

5. ( D ) ;

6. ( B ) ;

7. ( B ) ;

8. ( C ).

三、计算(6分?2=12分)

1. 求极限 011

lim()1sin x x x e x

-→+--;

解 011

lim()1sin x x x e x

-→+--

0sin (1)(1)lim sin (1)x x x x x e x e --→+--=-.............................1分 20sin (1)1lim x x x x e x

-→+-+=..............................2分

0cos (1)sin lim 2x

x x x x e x -→++-=...........................4分 0sin (1)cos cos lim 2x x x x x x e -→-++++=....................5分 3

2

=

................................................6分 2. 设 21,cos .x t y t ?=+?=? 求22d d y

x .

解

2d (cos )sin d (1)2y t t x t t

'-=='+...................................2分 2

2

2sin (

)d 2d (1)t

y

t x t -'

='

+.........................................4分 3

sin cos 4t t t

t

-=

.....................................6分 四、(8分) 设2,0,

()sin ,0.

x e b x f x ax x ?+≤=?>?

(1) ,a b 为何值时, ()f x 在0x =处可导?

(2) 若另有()F x 在0x =处可导, 讨论[()]F f x 在0x =处的可导性.

解 (1) (0)1f b =+, 20

(00)lim()1x x f e b b -→-=+=+, 0

(00)lim sin 0x f ax +

→+==, ()f x 在0x =处可导, 则必连续, 故

10,b += 即1b =-...................................2分

又 220002(0)lim lim 201x x x x e b e f x ---→→+-'===-, 0sin 0

(0)lim 0

x ax f a x +

+→-'==-, 要使()f x 在0x =处可导,必有

2a =.......................................3分

即当2a =,1b =-时, ()f x 在0x =处可导, 且(0)2f '=; (2) 0

(())((0))

((0))lim

x F f x F f F f x →-'=-...................................4分

(())((0))()(0)

lim

()(0)0

x F f x F f f x f f x f x →--=?--........................7分

00()(0)()(0)

lim

lim (0)(0)2(0)00

y x F y F f x f F f F y x →→--'''=?=?=--........8分

故[()]F f x 在0x =处可导.

五、(8分) 在圆弧224x y +=(0,0)x y >>上找一点, 使该点的切线与圆弧及两坐标

轴所围成的图形的面积最小,并求最小面积. 解 设切点坐标为00(,)x y 00(0,0)x y >>, 切线方程为 0

000

()x y y x x y -=-

-...........................2分 令0x =, 有04y y =, 令0y =, 有0

4

x x =,.............................3分

目标函数为

8S xy ππ=

-=-.............................5分

由23

222

16(2)()0(4)

x S x x x --'=

=-,

得唯一驻点x =分

由于驻点唯一, 依实际意义,

当00x y ==时, 最小面积4S π=-...........8分 六、(8分) 设()f x 在闭区间[0,1]上连续, 在开区间(0,1)可导, (0)(1)0f f ==,

122()1lim 11()

2

x f x x →

-=-, 证明: (1) 存在1

(,1)2

η∈, 使得()f ηη=;

(2) 对任意的R λ∈, 必存在(0,)ξη∈, 使得()[()]1f f ξλξξ'--=; (3) ()f x 在[0,1]上的最大值大于1.

证明 (1)作 ()()g x f x x =-, ...............................1分

(1)(1)1010g f =-=-<, 又122

()1

lim

11()2

x f x x →

-=-, 故12

lim (()1)0x f x →

-=, 1()12f =, 故

1111

()()102222

g f =-=->.............................................2分 由于()g x 在1[,1]2上连续, 且1()(1)02g g ?<, 由零点定理, 在1

(,1)2

至少存在一

点η, 使()0g η=, 即

()f ηη=............................3分

(2) 作 ()[()]x F x e f x x λ-=-,...........................4分 由于()F x 在[0,]η上连续, 在(0,)η可导, 由拉格朗日中值定理, 在(0,)η至少存在一点ξ, 使得

()(0)

()0

F F F ηξη-'=-, .........................5分

即 ()[()]1f f ξλξξ'--=........................6分 (3) 由极限的局部保号性, 102δ?

>>, 1(,)2x U δ?∈, 2()101()2

f x x ->-, 故

()1f x >,.........................7分

又 ()f x 在闭区间[0,1]上连续, 一定存在最大值M , 故1M >..............8分