抛物线的几何性质(课堂版)
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抛物线的性质ppt课件
x
p
2
P1
l
p
p
端点为
(
, p )
特别地, 当x1 x2 时, AB 2 p, 此时 AB 为抛物线的通径.
2
2
y
y
设P ( x0 , y0 )，
l
P
P1
F
P
O
l
则由抛物线的定义，
|PF| | P1 P | x0
p
2
设P ( x0 , y0 )，
P1
x
O
则由抛物线的定义，
p
y k ( x 1)
联立 2
得k 2 x 2 (2k 2 4) x k 2 0(k 0).
y 4x
4
4
x1 x2 2 2 . PQ PF QF x1 x2 2 4 2 8.
k
k 2 1. k tan [1,0) (0,1].
(1)若直线l的倾斜角为60, 求 AB 的值.
(2)若 AB 9, 求线段AB的中点M到准线的距离.
3
3
解 : (1) F ( ,0), l : y 3 ( x )
2
2
3
9
y 3( x ) 2
联立
2 得x 5 x 0. 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).
F
B
p
AF AA' p AF cos AF (1 cos ) p AF
1 cos
p
BF p BF cos BF
1 cos
上－下+
为直线的倾斜角.
抛物线的简单几何性质课件
生活中的抛物线结构
总结词
在建筑、工程和设计等领域中利用抛物线形状的结构。
详细描述
在现实生活中，抛物线结构被广泛应用于建筑、工程和 设计等领域。例如，在建筑设计中，抛物线形状的屋顶 可以有效地排水并保持适当的角度，以适应当地的气候 条件。在工程领域，抛物线结构可以用于桥梁设计，以 实现最佳的承重能力和稳定性。此外，在艺术和装饰领 域，抛物线结构也被广泛使用，如抛物线形状的雕塑和 装饰品等。
抛物线的简单几何பைடு நூலகம்质课件
目录
• 抛物线的定义 • 抛物线的性质 • 抛物线的应用 • 抛物线的几何性质 • 抛物线的画法
01
抛物线的定义
什么是抛物线
定义1
抛物线是一种二次曲线，它的一 般形式是 y2 = 2px，其中p>0。
定义2
抛物线是指满足y^2=2px(p>0) 形式的曲线。当p>0时，抛物线 开口向右，当p<0时，抛物线开 口向左。
抛物线的标准方程
01
抛物线的标准方程是 y^2 = 2px ，其中 p 是焦准距，x 是自变量 ，y 是因变量。
02
焦准距 p 决定了抛物线的形状和 位置。p 越大，抛物线的开口越 窄，p 越小，抛物线的开口越宽 。
抛物线的焦点与准线
焦点：对于开口向右的抛物线，焦点坐标为 (p, 0)，对于开口向左的抛物 线，焦点坐标为 (-p, 0)。
使用数学软件绘制抛物线
MATLAB
MATLAB 是一种流行的数学软 件，可以轻松地绘制各种图形， 包括抛物线。只需使用 MATLAB 的图形功能，输入抛物线的方程
即可。
GeoGebra
GeoGebra 是一款流行的几何 软件，提供了丰富的几何工具，
抛物线的简单几何性质 课件
解： (1)因为直线 l 的倾斜角为 60°， 所以其斜率 k＝tan 60°＝ 3， 又 F32，0. 所以直线 l 的方程为 y＝ 3x－32.
y2＝6x，
联立 y＝
3x－32，
消去 y 得 x2－5x＋94＝0.
若设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝5， 而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p.
归纳升华 1．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义 在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标 问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
2．焦点弦长． 设 AB 是抛物线 y2＝2px(p＞0)的一条过焦点 F 的弦， A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2 ＋p. 即求抛物线的焦点弦长，通常是利用焦半径，把点点 距转化为点线距(点到准线的距离)来解决，这体现了抛物 线的特殊性，此为求抛物线焦点弦的便捷方法．
y1＋y2＋ p－(y1＋y2)
p
类型 1 求抛物线的标准方程及其几何性质(自主研 析)
[典例 1] 已知顶点在原点，以 x 轴为对称轴，且过 焦点垂直于 x 轴的弦 AB 的长为 8，求出抛物线的方程， 并指出它的焦点坐标和准线方程．
解：当焦点在 x 轴的正半轴上时，设方程为 y2＝2px(p ＞0)．
焦点 Fp2，0 F__－__p2_，__0__ p0，p2 F__0_，__－__p2__
准线 方程 x_＝__－__p2__
x＝p2
__－__p2__
y＝p2
温馨提示 抛物线的性质和椭圆、双曲线的性质比较起来，差别 较大．它的离心率为 1，是一个定值，有一个焦点、一个 顶点、一条准线、一条对称轴，没有中心，学习中要注意 区分、比较记忆．
3.2.2抛物线的简单几何性质-北师大版高中数学选修2-1课件
原点，则这个三角形的面积为 48 3 。
6、 焦半径
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物
线的焦半径。
y
焦半径公式：
p/2 x0 P
|PF|=x0+p/2
OF
x
焦半径及焦半径公式 抛物线上一点到焦点的距离
P(x0，y0)在y2=2px上， P(x0，y0)在y2=-2px上,
PF
PF
x0
p
2
p
2
1、范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线；
2、对称性： 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3、顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 4、离心率：抛物线的离心率是确定的，等于１； 5、通径： 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口
越大. 6、光学性质：从焦点出发的光线，通过抛物线反射就
的直线,则被抛物线截得的弦长为______1__6_
3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,
且|AB|=4 3 ,求直线AB的方程.
X=3
例5.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个点 在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
解：由题可设一个顶点为（ 3a, a)
则由a2 2 p 3a a 2 3 p
例3.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法二:由题意可知,
y
p
2,
p 2
1,
准线l
:
x
1.
A’
A
设A(x1, y1), B(x2, y2 ), A, B到
准线l的距离分别为dA, dB.
6、 焦半径
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物
线的焦半径。
y
焦半径公式：
p/2 x0 P
|PF|=x0+p/2
OF
x
焦半径及焦半径公式 抛物线上一点到焦点的距离
P(x0，y0)在y2=2px上， P(x0，y0)在y2=-2px上,
PF
PF
x0
p
2
p
2
1、范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线；
2、对称性： 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3、顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 4、离心率：抛物线的离心率是确定的，等于１； 5、通径： 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口
越大. 6、光学性质：从焦点出发的光线，通过抛物线反射就
的直线,则被抛物线截得的弦长为______1__6_
3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,
且|AB|=4 3 ,求直线AB的方程.
X=3
例5.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个点 在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
解：由题可设一个顶点为（ 3a, a)
则由a2 2 p 3a a 2 3 p
例3.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法二:由题意可知,
y
p
2,
p 2
1,
准线l
:
x
1.
A’
A
设A(x1, y1), B(x2, y2 ), A, B到
准线l的距离分别为dA, dB.
【课件】抛物线的几何性质课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2 即p2 8p 48 0, 解得p 12或p 4, 当p 12时,抛物线的方程为y2 24x,
它的焦点坐标为6, 0,准线方程为x 6,
当p 4时,抛物线的方程为y2 8x,
它的焦点坐标为2, 0,准线方程为x 2.
标准 方程
图形
y
焦点
准线 范围
对称 顶 轴点
离心 率
oF x
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题1:求证 :| AB | x1 x2 p
解 : AB AF BF
p
p
( x1
2
) ( x2
) 2
x1 x2 p
例3.(抛物线的焦点弦问题)
物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题4 : 求证 : x1
x2
p2 4 , y1
y2 p2 .
解 :由问题2的解法知:y1 y2 p2 ,
x1
y12 2p
,
x2
y22 2p
,
x1x2
( y1 y2 )2 4P2
P2 4
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
(5) AM1 2 M1B 2 AB 2 AF BF 2
AA1 BB1
2
2 MM1
2 4 MM1 2
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛
物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题9 : (1)A,O, B1三点共线;(2)B,O, A1三点共线;
它的焦点坐标为6, 0,准线方程为x 6,
当p 4时,抛物线的方程为y2 8x,
它的焦点坐标为2, 0,准线方程为x 2.
标准 方程
图形
y
焦点
准线 范围
对称 顶 轴点
离心 率
oF x
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题1:求证 :| AB | x1 x2 p
解 : AB AF BF
p
p
( x1
2
) ( x2
) 2
x1 x2 p
例3.(抛物线的焦点弦问题)
物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题4 : 求证 : x1
x2
p2 4 , y1
y2 p2 .
解 :由问题2的解法知:y1 y2 p2 ,
x1
y12 2p
,
x2
y22 2p
,
x1x2
( y1 y2 )2 4P2
P2 4
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
(5) AM1 2 M1B 2 AB 2 AF BF 2
AA1 BB1
2
2 MM1
2 4 MM1 2
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛
物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
问题9 : (1)A,O, B1三点共线;(2)B,O, A1三点共线;
第七节 抛物线 课件(共48张PPT)
(4)|A1F|＋|B1F|＝2p. (5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
题组一 小题自测 1．(人A选修2－1·习题改编)过点P(－2，3)的抛物线 的标准方程是( ) A．y2＝－92x或x2＝43y B．y2＝92x或x2＝43y C．y2＝92x或x2＝－43y D．y2＝－92x或x2＝－43y
考点2 抛物线的标准方程与几何性质
角度 求抛物线方程
[例2] (1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标
原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面
积为4 3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝6x
B．y2＝8x
C．y2＝16x
D．y2＝152π
(2)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C 上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方 程为( )
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)
上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，
则p＝( )
A．2
B．3
C．6 D．9
解析：法一 因为点A到y轴的距离为9，所以可设
点A(9，yA)，
所以y2A＝18p.又点A到焦点p2，0的距离为12，
所以 9－p22＋y2A＝12，所以9－p22＋18p＝122，
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 解析：(1)设M(x，y)，因为|OF|＝p2，|MF|＝4|OF|， 所以|MF|＝2p， 由抛物线定义知x＋p2＝2p，所以x＝32p， 所以y＝± 3p.
又△MFO的面积为4 3，
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第二章 平面解析几何 2.7.2 抛物线的几何性质
变式探究2[人教A版教材习题]过点M(2,0)作斜率为1的直线l,交抛物线
y2=4x于A,B两点,求|AB|.
解 直线l的方程为y-0=1·(x-2),即y=x-2.
与抛物线的方程联立,消去y,得x2-8x+4=0.
设A(xA,yA),B(xB,yB),由根与系数的关系,得xA+xB=8,xAxB=4,
=
3
5
2 2
- 3
+
4
,所
3
4
有最小值 .
3
(方法二)如图,设与直线4x+3y-8=0平行的抛物线的切线方程为4x+3y+m=0,
= - 2 ,
由
4 + 3 + = 0,
消去 y 得 3x
4
-4x-m=0,∴Δ=16+12m=0,∴m=- ,
3
2
故最小距离为
4
3
-8+
5
=
20
3
5
=
4
【例3】 (1)[北师大版教材习题]已知点P在抛物线y2=-4x上,求点P到椭圆
2
16
2
+ =1
15
左顶点的距离最小值.
解 设P(x,y),由已知可得椭圆的左顶点为A(-4,0),所以
|PA|2=(x+4)2+y2=x2+4x+16=(x+2)2+12≥12,当x=-2时,|PA|取得最小值2 √3.
与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解 由题意可知,p=2, =1,焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1.
2
设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B两点到准线的距离分别为dA,dB,由抛物线的定义,可
抛物线的简单几何性质-完整版课件
于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点,求证：
1) x1
x2
p2 4
2) y1y2=-p2.
解：焦 点F（P，0）
2
P lAB:yk(x2)
y
A
OF x
B
代入y2=2px化简得：
k2x(k2p2)p xk2P20
p2
4
x1 x2 4
变式训练
2、过抛物线焦点的直线与抛物线相交于A、B两点,过点A
（0,0）
p 2
y0
p(y1 y2)
应用练习：
已知抛物线 x 2y2，求其焦点
坐标、准线方程.
y
Fo
x 焦点 坐（ 标： 1，0）
l
8
准 线 方 程 x ：1 8
典型例题
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点，与抛物线 相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．
解：方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为 F (1，0)， 所以直线 AB 的方程为 y 0 1 (x 1) ，即 y x 1 ， ①
将方程①代入抛物线方程 y2 4x ，化简得 x2 6x 1 0 ，
解这个方程，得 x1 3 2 2 ， x2 3 2 2 ，
将 x1 3 2 2 ， x2 3 2 2 代入方程①中，
得 y1 2 2 2 ， y2 2 2 2 ，即 A( 3 2 2 ， 2 2 2 )，B( 3 2 2 ， 2 2 2 )， ∴ | AB | (4 2)2 (4 2)2 8 .
抛物线几何性质(1)
e c , (0 e 1) a
x a或x a, y R 关于x, y轴及原点对称
A1(a,0), A2(a,0)
A1A2叫实轴, B1B2叫虚轴