两角和与差及二倍角的基础练习
三角函数恒等变换练习题与答案详解
两角和与差的正弦、余弦、正切1. 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换;2•利用三角变换讨论三角函数的图象和性质2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2•灵活使用（正用、逆用、变形用）两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键•知识点回顾1 •两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos( a—0)= cos acos0+ sin ocsin0(C a- 0cos( a+ 0)= cos. acos _ 0—sin__ asin_ 0(C a+ 0sin( a—0 = sin a cos0- cos ocsin(S a—0sin( a+ 0 = sin a cos0+ cos ocsin0(S a+ 0tan a—tan 卩tan( a—® ；(T a—01 + tan atan 卩tan a+ tan 卩tan(%+ ® = (T a + 01 —tan %tan 02 •二倍角公式sin 2 a= 2sin ： cos：；cos 2 a= cos2a—sin2a= 2cos 2a—1 = 1 —2sin2a；2ta n atan 2 a= .1 —tan a3 •在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等•如T a±0可变形为tan a± tan 0= tan( a± 0(1? tan_ %tan_ 0,tan a+ tan 0 tan a—tan 0tan %tan 0= 1 —= —1.tan a+ 0 tan a—04 • 函数f( a= a cos a+ b sin a(a, b 为常数),可以化为f( a = \i a2+ b2sin( a+ 0)或f( %)='：：：［a2+b2cos( a—0),其中0可由a, b的值唯一确定.［难点正本疑点清源］三角变换中的三变”(1) 变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是配凑”.(2) 变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有切化弦”、升幕与降幕”等.(3) 变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有换”、逆用变用公式”、通分约分”、分解与组合”、配方与平方”等.热身训练2 1 tan a1. 已知sin( a+ , sin( a—3 =—-，贝U 的值为 ____________ .3 5 tan 32. 函数f(x)= 2sin x(sin x+ cos x)的单调增区间为________________________3. (2012江苏)设a为锐角，若cos = 4,则I 6丿5sin a+ COS a1则tan 2 a等于( )4. (2012江西)若=sin a一(cos a23344A.—-B.C.—-D._4433n15. (2011 辽宁)设sin(+4B)= 3，则sin 2 B等于( )7117A.—_B. 一—C- D._9999典例分析题型一三角函数式的化简、求值问题【例1】(1)化简:I 1 a、f—tan _ |a 2 | 1 + tan a •⑵求值：［2sin 50 ° + sin 10 3tan (10 +° 摩in 280 °常值代a tan"；2丿变J： i.l兔I在厶ABC中，已知三个内角AA, B, C成等差数列，则tan-2 + tan 值为 _______题型二三角函数的给角求值与给值求角问题【例2]n(1)已知0<仟_<2口r兀、a n,且cos II 2丿1_, sin9求cos（a+ 3的值；1⑵已知a,氏（0, n ）且tan（「沪2，tan A1~,求2 a-卩的值.A C—ta n 一的 2 2题型三三角变换的简单应用f 1 \f 兀、【例 3】 已知 f(x) = 1 + ------ [sin 2x — 2sin x +— !'I tan x 丿 < 4 丿(1)若 tan a = 2,求 f ( a 的值;变式训练2 已知COSa=13 nCOS ( a — ®=，且 0< 仟 ％<一，求(3.14 2n n求f(x)的取值范围⑵若x€五，2变出讣映3已知函数f(x)= J3sin i 2x厂+2sin2「-巨丿x R)-⑴求函数f(x)的最小正周期；⑵求使函数f(x)取得最大值时x的集合.利用三角变换研究三角函数的性质典例：(12分)(2011 •北京)已知函数f(x) = 4cos x - si(x +巴L 1 I 6丿(1)求f(x)的最小正周期；⑵求f(x)在区间，一上的最大值和最小值•II 6 4总结方法与技巧巧用公式变形和差角公式变形：tan x ± tai y = tan （x 土y ） • ?1tan x tan y ）；有-a 2 + b 2>|y |. 3.重视三角函数的 三变”：三变”是指变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名 、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形 式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形 4.已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧 ：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加 减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值 ，可使所求的复杂问题简单化. 5.熟悉三角公式的整体结构，灵活变换.本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构 ，更 要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形 失误与防范1 .运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意1 ”的各种变通.所对应的角 a +卩不是唯一的2 .在(0, n 范围内，Sin( a + (3)=23.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值倍角公式变形：降幕公式cos1 + COS2 a1 — COS2 a2a=, Sin a=配方变形：1 ± sin a =sin2 ± aCOS 2,1 + cos2丿a aa = 2cos 2—, 1 — cos a = 2sin 2—.2 2利用辅助角公式求最值 、单调区间、周期. 由 y = a sin a + b cos a = A / a 2 + b 2sin （ a + 0）（其中 tan 0=_ ）过手训练（时间：25分钟，满分：43分）、选择题（每小题5分，共15分）函数 f (x )= sin x + - 3cos x 的A. 最大值是1 ,最小值是一 11B. 最大值是1 ,最小值是一—2C. 最大值是2,最小值是一 2 D .最大值是2,最小值是一 1、填空题（每小题5分，共15分）已知锐角 a 满足cos 2 a= cos贝U sin 2a = 已知cos —= MU 丿13 a€ 0,-, .4cos 2 a 则― sin（2012山东 ＞若灰一4'2sin 23 A.— 54 B.- 53 D.— 4已知tan （z=5怕…144 '那么tanJIn4等于13 A.— 1813 B.— 223 c.— 221 D7 6n n 当-尹笃时，三、解答题（13分）（2012广东）已知函数f （x ） = 2cos B X +二i （其中o>0 , x € R ）的最小正周期为I 6丿⑴求co 的值；课后习题、选择题（每小题5分，共20分）6.设x €0, 一 i,贝V 函数y = 2si n 2x + 1的最小值为sin 2 x:(5、65 \ 阻0, — ,f 5 a+ — nf 5 (3-_n2< 3丿5< 6丿⑵设a ,16=石，求COS （计®的值. （时间：35分钟, 满分：57分）(2012江西)若tan1°+恳4，则sin 2。
两角和与差的三角函数与二倍角公式习题课.61页PPT
两角和与差的三角函数与二倍角公式 习题课.
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
Hale Waihona Puke 66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
两角和与差、二倍角的公式(二)
05-03 两角和与差、二倍角的公式（二）点一点——明确目标掌握二倍角的三角函数公式，能熟练应用公式进行求值、化简、证明.做一做——热身适应1.若f （tan x ）=sin2x ，则f （－1）的值是 . 解析：f （－1）=f ［tan （－4π）］=－sin 2π=－1. 答案：-12.（2005年春季上海，13）若cos α=53，且α∈（0，2π），则tan 2α=____________. 解析一：由cos α=53，α∈（0，2π），得sin α=α2cos 1-=54， tan 2α=2cos 2sinαα=2cos2sin 22sin 22ααα=ααsin cos 1-=54531-=21. 解析二：tan 2α=ααcos cos 1+1-=531531+-=21. 答案：21 3.（2005年春季北京，11）已知sin 2θ+cos 2θ=332，那么sin θ的值为____________，cos2θ的值为____________.解析：由sin 2θ+cos 2θ=332，得1+sin θ=34，sin θ=31，cos2θ=1－2sin 2θ=1－2·91=97.答案：31 974.下列各式中，值为21的是A.sin15°cos15°B.2cos 212π－1C.230cos 1︒+ D.︒-︒5.22tan 15.22tan 2解析：︒-︒5.22tan 15.22tan 2=21tan45°=21. 答案：D 5.设a =sin14°+cos14°，b =sin16°+cos16°，c =66，则a 、b 、c 的大小关系是 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c解析：a =2sin59°，c =2sin60°，b =2sin61°，∴a ＜c ＜b . 答案：B理一理——疑难要点1.在公式S （α+β）、C （α+β）、T （α+β）中，当α=β时，就可得到公式S 2α、C 2α、T 2α，在公式S 2α、C 2α中角α没有限制在T 2α中，只有当α≠2πk +4π且α≠k π+2π时，公式才成立. 2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2α=cos 2α－sin 2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α.变形公式sin 2α=22cos 1α-，cos 2α=22cos 1α+.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用. 3.要重视对遇到的问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性；三角变换中体现出的每一步化归过程，均应以“合乎情理”为原则.拨一拨——思路方法【例1】 试求函数y =sin x +cos x +2sin x cos x +2的最大值和最小值，若x ∈［0，2π］呢？ 剖析：注意sin x +cos x 与sin x ·cos x 之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解.解：令t =sin x +cos x =2sin （x +4π）∈［－2，2］，则y =t 2+t +1∈［43，3+2］，即最大值为3+2，最小值为43.当x ∈［0，2π］时，则t ∈［1，2］，此时y 的最大值是3+2，而最小值是3.评述：此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围.【例2】 已知sin （x －4π3）cos （x －4π）=－41，求cos4x 的值. 剖析：4x 为2x 的二倍角，2x 为x 的二倍角. 解：由已知得sin （x －2π－4π）cos （x －4π）=－41， ∴cos 2（x －4π）=41. ∴sin2x =cos （2π－2x ）=2cos 2（4π－x ）－1=－87. ∴cos4x =1－2sin 22x =1－6498=－3217.【例3】 已知α为第二象限角，cos 2α+sin2α=－25，求sin 2α－cos 2α和sin2α+cos2α的值.解：由cos 2α+sin2α=－25平方得 1+2sin2αcos2α=45， 即sin α=41，cos α=－415.此时k π+4π＜2α＜k π+2π.∵cos2α+sin2α=－25＜0， sin 2αcos 2α=81＞0， ∴cos 2α＜0，sin2α＜0.∴2α为第三象限角.∴2k π+4π5＜2α＜2k π+2π3，k ∈Z . ∴sin2α＜cos2α， 即sin 2α－cos 2α＜0.∴sin2α－cos2α=－αsin 1-=－23， sin2α+cos2α=2sin αcos α+1－2sin 2α=8157-. 评述：由三角函数值判断2α的范围是关键.【例4】 （2004年东北三校高三第一次联考题）已知a =（cos 23x ，sin 23x ），b =（cos 2x ，－sin2x ），x ∈［0，2π］. （1）求a ·b 及|a +b |；（2）若f （x ）=a ·b －2λ|a +b |的最小值是－23，求λ的值. 解：（1）a ·b =cos23x cos 2x －sin 23x sin 2x=cos2x . |a +b |=222sin 23sin 2cos 23cos）（）（x x x x -++=2x 2cos =2cos x （∵x ∈［0，2π］）. （2）f （x ）=cos2x －4λcos x =2（cos x －λ）2－1－2λ2.∵x ∈［0，2π］，∴cos x ∈［0，1］. ①当λ＜0，cos x =0时，f （x ）min =－1，矛盾. ②当0≤λ≤1，cos x =λ时，f （x ）min =－1－2λ2，由－1－2λ2=－23，得λ=21. ③当λ＞1，cos x =1时，f （x ）min =1－4λ， 由1－4λ=－23，得λ=85＜1，矛盾. 综上，λ=21为所求. 练一练——巩固提高1.若8cos （4π+α）cos （4π－α）=1，则sin 4α+cos 4α=_______. 解析：由已知得8sin （4π－α）cos （4π－α）=1， ∴4sin （2π－2α）=1.∴cos2α=41. sin 4α+cos 4α=（sin 2α+cos 2α）2－2sin 2αcos 2α=1－21sin 22α=1－21（1－cos 22α） =1－21（1－161）=1－21×1615=3217. 答案：32172.若tan x =2，则xx x xcos sin 1sin 2cos 22+--=_______. 解析：原式=x x x x sin cos sin cos +-=x x tan 1tan 1+-=2121+-=1212--）（=22－3.答案：22－33.已知f （x ）=x -1，当θ∈（4π5，2π3）时，f （sin2θ）－f （－sin2θ）可化简为 A.2sin θB.－2cos θC.－2sin θD.2cos θ解析：f （sin2θ）－f （－sin2θ）=θ2sin 1-－θ2sin 1+=｜sin θ－cos θ｜－｜sin θ+cos θ｜.∵θ∈（4π5，2π3）， ∴－1＜sin θ＜－22＜cos θ＜0. ∴cos θ－sin θ＞0，cos θ+sin θ＜0.∴原式=cos θ－sin θ+cos θ+sin θ=2cos θ.答案：D 4.若sin αcos β=21，求cos αsin β的取值范围. 解：令t =cos αsin β，则21t =41sin2αsin2β. ∴t =21sin2αsin2β∈［－21，21］. 5.化简xx x x x 2sin 1cos sin 1cos sin ））（（+--+.解：原式=xxx x x 2sin 12sin 21sin 12sin 21sin 22））（（++---+=xxx xx x x x x cos 2cos 2sin 42sin 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 222））（（+- =xxxx x x x cos 2cos 2sin2sin 2cos 2sin 2cos ⋅+-））（（ =x x x x x cos 2cos 2sin 2sin 2cos 22⋅-）（=xx xx cos 2cos 2sincos ⋅⋅=tan 2x . 6.（2004年江苏，17）已知0＜α＜2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin （α－3π）的值. 解：由已知tan 2α+cot2α=αsin 2=25，得sin α=54. ∵0＜α＜2π，∴cos α=α2sin 1-=53. 从而sin （α－3π）=sin α·cos 3π－cos α·sin 3π=54×21－53×23=101（4－33）.7.已知f （x ）=2a sin 2x －22a sin x +a +b 的定义域是［0，2π］，值域是［－5，1］，求a 、b 的值.解：令sin x =t ，∵x ∈［0，2π］，∴t ∈［0，1］， f （x ）=g （t ）=2at 2－22at +a +b =2a （t －22）2+b .当a ＞0时，则⎩⎨⎧=+-=，，15b a b解之得a =6，b =－5. 当a ＜0时，则⎩⎨⎧-=+=，，51b a b解之得a =－6，b =1.8.（2004年湖北，17）已知6sin 2α+sin αcos α－2cos 2α=0，α∈［2π，π），求 sin （2α+3π）的值. 分析：本题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.解法一：由已知得（3sin α+2cos α）（2sin α－cos α）=0⇔3sin α+2cos α=0或2sin α－cos α=0.由已知条件可知cos α≠0，所以α≠2π，即α∈（2π，π）. 于是tan α＜0，∴tan α=－32. sin （2α+3π）=sin2αcos 3π+cos2αsin 3π =sin αcos α+23（cos 2α－sin 2α） =αααα22sin cos cos sin ++23×αααα2222sin cos sin cos +-=αα2tan tan +1+23×αα22tan tan 1+1-. 将tan α=32代入上式得 sin （2α+3π）=232132）（）（-+-+23×22321321）（）（-+--=－136+3265，即为所求. 解法二：由已知条件可知cos α≠0，则α≠2π， ∴原式可化为6tan 2α+tan α－2=0， 即（3tan α+2）（2tan α－1）=0.又∵α∈（2π，π）.∴tan α＜0，∴tan α=－32. 下同解法一. 想一想——拓展发散将一块圆心角为120°，半径为20 cm 的扇形铁片截成一块矩形，如图，有2种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA 上或让矩形一边与弦AB 平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值.A ABBMMO O 甲乙解：对图甲，设∠MOA =θ，则S 1=200sin2θ. ∴当θ=45°时，（S 1）max =200 cm 2.对图乙，设∠MOA =α， 则S 2=33800［cos （2α－60°）－cos60°］. 当α=30°时，（S 2）max =33400 cm 2. ∵33400＞200，∴用乙种方法好.。
专题 两角和与差及倍角公式
两角和与差及倍角公式【知识梳理】1．基本公式(1)sin(α±β)＝ . (2)cos(α±β)＝. (3)tan(α±β)＝ . (4)sin2α＝ .(5)cos2α＝ ＝ ＝ 。
(6)tan2α＝ . 2．几个有用的公式变形式(1)变形： tan α±tan β＝． (2)降幂：cos 2α＝ ，sin 2α＝ .3. 形如a sin α＋b cos α的化简a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋β)．其中cos β＝ ， sin β＝ ，tan β＝ ，β的终边所在象限由a 、b 的值来确定．【基础练习】1. (2010·福建)计算sin 43°cos 13°－cos 43° sin 13°的结果等于( )A. 12B. 33C. 22D. 322.sin163sin 223sin 253sin313+= ___________．3. (教材改编题)已知cos 2α＝12，其中α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，则sin α的值为( ) A. 12 B. －12 C. 32 D. －324. 下列各式中，值为32的是( ) A. 2sin 15°cos 15° B. cos 215°－sin 215°C. 2sin 215°－1D. sin 215°＋cos 215°5. 1sin 2x x -=___________ 【题型探究】1.求tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°的值；2. 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α、β∈(0，π2)，则cos β＝________.【当堂检测】08.11、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，32 07.9．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为Ａ．Ｂ．12- Ｃ．123. (2010·山东威海模拟)设sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝( ) A. －247 B. －724 C. 247 D. 7244. (2010·聊城模拟)化简2＋cos 2－sin 21的结果是( )A. －cos 1B. cos 1C. 3cos 1D. －3cos 1 5．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为( )A. 2B.22C.12D.326. 函数y ＝sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值和最小值分别为____________ ． 7．已知sin θ＋cos θ＝15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ的值是________． 8．(2008·上海春)化简：cos(π3＋α)＋sin(π6＋α)＝______ 9．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则tan(α＋β)＝________.10.已知α为第二象限角,sin α=53,β为第一象限角, cos β= 135,则tan(α-β)= .。
两角和、差及倍角公式-高考数学复习
π
＋
4
sin β，则（
）
A. tan（α－β）＝1
B. tan（α＋β）＝1
C. tan（α－β）＝－1
D. tan（α＋β）＝－1
目录
高中总复习·数学
解析：由题意得 sin α cos β＋ sin β cos α＋ cos α cos β－ sin α sin β
＝2 2 ×
2
（
2
cos α－ sin α）·sin β，整理，得 sin α·cos β－ sin β
cos α＋ cos α·cos β＋ sin α sin β＝0，即 sin （α－β）＋ cos （α－
β）＝0，所以tan（α－β）＝－1，故选C.
目录
高中总复习·数学
2π
（2）（2024·济宁一模）若α＋β＝ ，则
两角和、差及倍角公式
目录
C O N T E N T S
1
2
考点 分类突破
课时 跟踪检测
课堂演练
考点 分类突破
精选考点 典例研析 技法重悟通
PART
1
目录
高中总复习·数学
公式的直接应用
【例1】 （1）（2021·全国乙卷6题） cos
解析：因为
cos
2 5π ＝
12
5π
cos ＝
12
cos
2 π
【例4】 （2024·舟山模拟）若 cos
＝（
解析：
π
4
（θ＋ ）＝ ，则
6
5
sin
π
（2θ－ ）
6
）
法一
π
（2θ＋ ）＝－
3
sin
二倍角的三角函数练习(包含答案)
一、选择题1．已知cos（α+β）=，cos（a﹣β）=﹣，则cosαcosβ的值为（）A．0B．C．0或D．0或考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先用两角和公式的余弦函数对题设中的等式展开后，两式相加即可求得cosαcosβ的值．解答：解：依题意可知，两式相加得2cosαcosβ=0，∴cosαcosβ=0，故选A．点评：本题主要考查了两角和公式的余弦函数．考查了学生对基础知识的理解和应用．2．如果，那么等于（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：由两角和与差的正弦函数公式化简原式，变形得到一个比例式，然后把所求的式子利用同角三角函数的关系化简后，将变形得到的比例式整体代入可求出值．解答：解：由==，得：nsinαcosβ+ncosαsinβ=msinαcosβ﹣mcosαsinβ移项合并得cosαsinβ（n+m）=sinαcosβ（m﹣n），变形得=，则===．故选A点评：本题的解题思路是运用和与差的正弦函数公式和同角三角函数的基本关系把已知和所求的式子化简后找出其联系点，然后利用整体代入的思想解决数学问题．3．已知α，β，γ均为锐角，且tanα=，tanβ=，，则α，β，γ的和为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：先根据两角和的正切公式利用tanα和tanβ的值求得tan（α+β）的值，进而利用两角和的正切公式求得tan （α+β+γ）的值，进而根据α，β，γ的范围确定α，β，γ的和．解答：解：tan（α+β）==tan（α+β+γ）==1由α，β，γ都为锐角及各自取值，知0＜α，β，γ＜，即α+β+γ也是锐角，故α+β+γ=．故选B点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．4．在△ABC中，C＞90°，E=sinC，F=sinA+sinB，G=cosA+cosB，则E，F，G之间的大小关系为（）A．G＞F＞E B．E＞F＞G C．F＞E＞G D．F＞G＞E考点：三角函数的积化和差公式；同角三角函数基本关系的运用．专题：综合题．分析：把F和G利用三角函数的和差化积公式及诱导公式化简后，做差得到大小；利用正弦定理和三角形的两边之和大于第三边判断F和E的大小，即可得到三者之间的大小关系．解答：解：因为F=sinA+sinB=2sin cos=2cos cos；G=cosA+cosB=2cos cos=2sin cos；由180°＞C＞90°得到45°＜＜90°，根据正弦、余弦函数的图象得到sin＞cos，所以G﹣F=2cos（sin﹣cos）＞0即G＞F；根据正弦定理得到=，因为a+b＞c，所以sinA+sinB＞sinC即F＞E；所以E，F，G之间的大小关系为G＞F＞E故选A点评：解此题的方法是利用正弦定理和做差法比较大小，要求学生灵活运用三角函数的和差化积公式及诱导公式化简求值．5．化简：的值为（）B．t an2x C．﹣tanx D．c otxA．tan考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：把原式的分子和分母根据两角和的正弦、余弦函数公式进行化简后合并，再根据同角三角函数间的基本关系化简可得值．解答：解：原式=═=﹣tanx故选C点评：此题是一道基础题，要求学生掌握两角和与差的正弦、余弦函数的公式，以及会利用同角三角函数间的基本关系．6．若A，B为锐角三角形的两个锐角，则tanAtanB的值（）A．不大于1 B．小于1 C．等于1 D．大于1考点：正切函数的值域．专题：计算题．分析：直接利用锐角三角形的性质，确定sinA＞cosB，利用切化弦化简tanAtanB，即可得到选项．解答：解：因为三角形是锐角三角形，所以A+B＞；即：，所以sinA＞cosB，同理sinB ＞cosA，tanAtanB=＞1故选D点评：本题是基础题，考查锐角三角形的性质，切化弦的应用，考查计算能力，常考题型．二、填空题7．（2008•浙江）若，则cos2θ=．考点：诱导公式的作用；二倍角的余弦．分析：由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．解答：解：由可知，，而．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式及二倍角公式的应用．8．若cosαcosβ=，则sinαsinβ的取值范围是______．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：设x=sinαsinβ，利用两角和与差的正弦函数公式分别化简cos（α+β）与cos（α﹣β），将cosαcosβ的值代入，利用余弦函数的值域列出不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为sinαsinβ的取值范围．解答：解：∵cosαcosβ=，设sinαsinβ=x，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣x，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=+x，∴﹣1≤﹣x≤1，﹣1≤+x≤1，解得：﹣≤x≤，则sinαsinβ的取值范围是[﹣，]．故答案为：[﹣，]点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．三、解答题9．在△ABC中，∠B=60°，且tanAtanC=2+，求角A，C的度数．考点：解三角形．专题：计算题．分析：根据B的值，进而确定A+C的值，进而利用两角和与差的正切函数公式求得tanA+tanC的值，进而联立求得tanA和tanC的值，进而求得A和C．解答：解：∵∠B=60°且A+B+C=180°，∴A+C=120°，∴tan（A+C）=．由tanAtanC=2+，∴tanA+tanC=3+，∴tanA，tanC可看作方程x2﹣（3+）x+（2+）=0的两根．解方程得x1=1，x2=2+．当tanA=1，tanC=2+时，A=45°，C=75°．当tanC=1，tanA=2+时，A=75°，C=45°．点评：本题主要考查了解三角形问题，两角和与差的正切函数．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．10．若已知方程x2﹣（tanθ+cotθ）x+1=0有两个实根，且其中一个根是2﹣，求cos4θ的值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：利用方程的根，结合判别式确定sin22θ≤1，通过两个根求出另一个根，推出sin2θ的值，然后求出cos4θ的值．解答：解：∵方程x2﹣（tanθ+cotθ）2x+1=0有两个实根，∴△=（tanθ+cotθ）2﹣4==，即sin22θ≤1．设另一个根为m，则由根与系数的关系可得，（2﹣）m=1，于是，故tanθ+cotθ=4，即，∴sin2θ=（满足sin22θ≤1）．∴cos4θ=1﹣2sin22θ=．点评：本题考查三角函数的化简求值，考查二次方程根的问题，二倍角公式的应用，考查计算能力．11．已知函数y=，求函数的最大值及对应自变量x的集合．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数y=，然后求出最大值，及其相应的x 值．解答：解：==，y取最大值，只需，即，∴当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．点评：本题考查三角函数的最值，二倍角公式的应用，同时利用两角和的正弦函数化简是本题解题的关键，本题考查计算能力，是基础题．12．如图，在某点B处测得建筑物AE的项点A的仰角为θ，沿B前进30米至C点处测得顶点A的仰角为2θ，再继续前进10米至D点，测得顶点A的仰角为4θ，求θ的大小及建筑物AE的高．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：由题意及仰角的定义画出图形，利用数形结合的思想，利用图形中角与角的联系及三角形求解即可．解答：解：由已知BC=30米，CD=10米，∠ABE=θ，∠ACE=2θ，∠ADE=4θ，在Rt△ABE中，BE=AEcotθ，在Rt△ACE中，CE=AEcot2θ，∴BC=BE﹣CE=AE（cotθ﹣cot2θ）．同理可得：CD=AE（cot2θ﹣cot4θ）．∴即而cotθ﹣cot2θ==．同理可得cot2θ﹣cot4θ=．∴==2cos2θ=∴cos2θ=，结合题意可知：2θ=30°，θ=15°，∴AE=（米）．点评：此题考查了学生会从题意中抽取出图形进而分析问题，还考查了学生们利用三角形解出三角形的边与角，及二倍角的正切公式．。
高一数学周周练14 两角和差、辅助角、二倍角公式
高一数学周周练14 两角和差、辅助角、二倍角公式 2013.3.8 班级__________姓名____________________学号_____________ 一、填空题： 1、sin(27)cos(33)xx+cos(27)sin(33)xx=_______________。
2、若3sincoscossin662，且)2,0(，则______________。 3、已知3cos5，),2(，则cos(2)4=____________。 4、若4sin25，则tancot=_____________。 5、把3cos33sin化成cos(0)AA，的形式为_____________。 6、若1cos()33，则2cos(2)3____________。 7、若4sin()coscos()sin5，则cos2__________。 8、若方程12sin32coskxx有实数解，则k的取值范围是_________________。 9、在ABC中，0120C，23tantan3AB，则tantanAB_________。
10、已知5tan，则22cossin122sin()4_____________。 11、已知tan、)4tan(是方程02qpxx的两正根，且有)4tan(2tan3， 则p__________，q__________。
12、求值：178cos174cos172cos17cos＝_________。 13、在ABC中，若tantan33tantanABAB，则cosC=_________。
14、若)23,(，化简：1111cos22222___________。 15、若sinsinsin0,coscoscos0，则cos=________。 二、选择题 16、将31cossin22化成sin()(0,02)AA其中的形式，以下式子中 正确的是 （ ） （A）4sin3（B）7sin6 （C）1sin3 （D）2sin3 17、在下列式子中，对任意实数,都满足的是 （ ） （A）tantantan1tantan （B）tantantan1tantan （C）2cos22cos1 （D）2sin22sin1 18、已知(,)42，若3sin25，则sincos＝ （ ） （A）105 （B）105 （C）105 （D）25 19、已知θ3sin=25，θ4cos=25，则角θ终边所在象限是 ( ) （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 20、1tan11tan21tan31tan431tan441tan45的值是（ ） （A）452 （B）232 （C）90 （D）46 二、解答题： 21、已知53sin，),2(，21)tan(，求)2tan(的值。 22、已知53)sin(，12sin()413，),43(，),43(，求sin2。 23、已知43，2cot41cossin1cossin1，求tan。 24、是第四象限的角，5cos13，求sin4cos42
两角和与差及二倍角的三角函数公式必修四
2.1两角和与差及二倍角的三角函数公式一、选择题1．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于( )A ．－12 B.12 C ．－ 32 D.322．log 2sin π12＋log 2cos π12的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．23．(2011年辽宁)设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.794．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( ) A.103 B.53 C.23D ．－2 5．(2011年湖北)已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z 二、填空题6．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是______________．7．(2010年全国)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________. 8．(2010年浙江)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－2 2sin 2x 的最小正周期是________． 9．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 三、解答题10．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，1)．(1)当a ⊥b 时，求tan2θ；(2)求|a ＋b |的最大值．11．(2010年天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C .(1)证明：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3的值．1．B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.－2＋1 7.－128.π 9．－566510．解：(1)a ⊥b ⇔3cos θ＋sin θ＝0(cos θ≠0)⇔3＋tan θ＝0⇔tan θ＝－3，∴tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－2 31－(－3)2＝ 3. (2)∵a ＋b ＝(cos θ，sin θ)＋(3，1)＝(cos θ＋3，sin θ＋1)， ∴|a ＋b |＝(cos θ＋3)2＋(sin θ＋1)2＝cos 2θ＋2 3cos θ＋3＋sin 2θ＋2sin θ＋1＝5＋2 3cos θ＋2sin θ ＝5＋4⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ＝5＋4sin (θ＋60°). 当sin(θ＋60°)＝1时，|a ＋b |max ＝5＋4＝3. 11．解：(1)证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得 sin B sin C ＝cos B cos C，于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0. 因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0.所以B ＝C .(2)由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ，故cos2B ＝cos(π－A )＝－cos A ＝13. 又0<2B <π，于是sin2B ＝1－cos 22B ＝2 23. 从而sin4B ＝2sin2B cos2B ＝4 29， cos4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79. 所以sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3＝sin4B cos π3＋cos4B sin π3＝4 2－7 318.。
和差倍角公式练习(含详细答案)
和差倍角公式练习题一、选择题1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( D )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12 2．已知53)2cos(2-=+∈παππα），，（则)4tan(πα+等于( A ) A.17 B ．7 C ．－17 D ．－73．已知sin α－cos α＝43，则sin2α＝( A )A ．－79B ．－29 C.29 D.794．若33)6cos(-=-πα，则=+-απαcos )3cos(( C )A ．－223B ．±223 C ．－1 D ．±15．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C 等于( A )A.π3B.2π3C.π6D.π46.已知π4<α<3π4，54)4sin(=-πα，则cos α＝( B )A.210 B ．－210 C.7210 D ．－25二、填空题7．若]2,4[ππθ∈，sin2θ＝378，则sin θ＝_43_______.8．已知51)45tan(=-πα，则tan α＝___-23_____.9．已知sin α＝cos2α，),2(ππα∈，则tan α＝__33-______.10．若sin(α＋β)＝15，sin(α－β)＝35，则tan αtan β＝__-2______.三、解答题11．已知),2(ππα∈，sin α＝55.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值． 12．已知函数f (x )＝cos 2x ＋)6(cos 2π-x ，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在]4,3[ππ-上的最大值和最小值． 解答过程 2．已知53)2cos(2-=+∈παππα），，（则)4tan(πα+等于( A ) 解答：考察诱导公式，两角和的正切公式，注重基本公式的考察.71tan 11tan )4tan(,54cos .53sin sin 53)2cos(2=-+=+∴-=∴=∴-=-=+∈ααπααααπαππα），，（ 3．已知sin α－cos α＝43，则sin2α＝( A )A ．－79B ．－29 C.29 D.79解答：把sin α－cos α＝43两边平方，得到.972sin ,9162sin -1-=∴=αα 考察二倍角的基本公式，考察平方得基本方法，是高考的重点4．若33)6cos(-=-πα，则=+-απαcos )3cos(( C ) A ．－223 B ．±223 C ．－1 D ．±1解析：方向很重要，先化简再求值，不去化简已知条件1)33(3)6cos(3 )sin 21cos 23(3 sin 23cos 23 cos sin 23cos 21cos )3cos(-=-=-=+=+=++=+-παααααααααπα 5．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C 等于( A ) A.π3 B.2π3 C.π6 D.π4解答：.3323tan tan 1tan tan )tan()1tan (tan 3tan tan ππ=∴=+∴-=-+=+∴-=+C B A B A B A B A B A B A 6.已知π4<α<3π4，54)4sin(=-πα，则cos α＝( B ) A.210 B ．－210 C.7210 D ．－25 解答：两角和差的基本公式，另外拼凑角的技巧是高考的重点。
两角和差公式、二倍角公式复习
( 两角和 差)的余弦公式
cos(α + β ) = cosα cos β sinα s43; sinα sin β
(C (α + β ) )
(C ( α β ) )
两 和 差的 弦 式 角 ( ) 正 公
sin(α + β ) = sinα cos β + cosα sin β sin(α β ) = sinα cos β cosα sin β
π
2
]
3 3 x x a = (cos x, sin x), b = (cos , sin ) 2 2 2 2
(1)求 a b, a + b ) (2)若 f ( x ) = a b 2λ a + b 的最小值为 )
3 的值. ,求λ 的值. 2
例13,a = (1 + cos α , sin α ), b = (1 cos β , sin β ) ,设
= tan 17 + 43 1 tan17 tan43 + 3tan17 tan43
= tan60 1 tan17 tan43 + 3tan17 tan43
(
)(
)
π π 例1.已知A , B ∈ 0 , , 且A + B = , 4 2 求证 : (1 + tan A)(1 + tan B ) = 2
两 和 差的 切 式 角 ( ) 正 公
tanα + tan β tanα tan β tan(α + β ) = tan(α β ) = 1 tanα tan β 1+ tanα tan β
( S (α + β ) )