高考数学规律方法专练专题11 在转化中证明空间垂直关系

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高考数学总复习---空间中的平行与垂直关系知识点总结及真题训练.doc

空间中的平行与垂直关系知识点总结及真题训练【知识图解】【知识梳理】一、平行1、平行公理2、构造三角形：3、构造平行四边形:4、线面平行性质：5、面面平行性质:6、线面平行判定:7、面面平行的性质：8、面面平行的判定1：9、面面平行的判定2：【典型例题】例1、正方体ABCD_A、B\GD\屮，E,F分别是的屮点，求ffi: EF〃面ABCD.变式:如图，两个全等的正方形ABCD和M3EF所在的平面相交于AB, M eAC, Nw FB 且AM = FN，求证：MN〃平面BCE.例2、如图，以垂直于矩形ABCD所在的平面，PA=AD f E、F分别是AB、PD 的中点。

(1)求证：AF〃平面PCE；*(2)求证：平面PCE丄平面PCD。

/ \\(1) 求证:BC 】//平面CAD(2) 求证：平面CAJ)丄平面AAiBiBo例3、浙江理20.(本题满分15分)如图，平面PAC 丄平面ABC, \ABCPB, AC 的中点，AC = 16, PA = PC = 10.(I) 设G 是0C 的中点，证明：FG//平面BOE ；(II) 证明：在AABO 内存在一点M ，使FM 丄平面BOE, 并求点M 到Q4, 03的距离.练习：1、(浙江卷文)(本题满分14分)如图，DC 丄平面ABC , EB//DCAC = BC = EB = 2DC = 2 , ZACB = 120 ,只Q 分别为AE.AB 的中点.（I ）证明：PQII 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE Wr 成角的.正弦值.2、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1屮，AC=BC,点D 是AB 的屮点。

是以4C 为斜边的等腰直角三角形，匕£0分别为必,（第20（2）求二面角B-FC!-C 的余眩值。

. Ei D L-.-.♦ E / ■<C 3、如图，在四面体ABCD 中，截而EFGH 是平行四边形•求证：AB 〃平面EFGH.安徽理（19）如图，圆锥定点为P,底面圆心为O,其母线与底而所成的角为22.5°, AB 和 CD 是底面圆0上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°-（1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面;（2）求 cosZCOD4、点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，E,F 分别是PA,BD 上的点，且 PE:EA=BF ・・FD,求证：EF//面PBC.5、（山东卷理）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD ・A]B]C]D]中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD, AB=4, BC=CD=2, AA ）=2, E 、E“ F 分别是棱 AD 、AA 【、AB 的中点。

专题29 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法-备战2016高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(原卷版)

【高考地位】立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题.【方法点评】方法一几何法使用情景：转化的直线或平面比较容易找到解题模板：第一步按照线线垂直得到线面垂直，进而得出面面垂直的思路分析解答；第二步找到关键的直线或平面；第三步得出结论.例1．如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥．（Ⅰ）证明：平面1AB C ⊥平面11A BC ；（Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//A B 平面1B CD ，求11:A D DC 的值.【变式演练1】如图，已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=错误！未找到引用源。

，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且.(1)求证：不论为何值，总有平面BEF ⊥ABC ；(2)当为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？【变式演练2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ；(2)平面BEF ⊥平面PAD .方法二空间向量法使用情景：转化的直线或平面不容易找到，而一直条件方便建立空间直角坐标比较容易写出解题模板：第一步建立适当的空间直角坐标系；第二步分别写出各点的坐标，求出直线方向向量；第三步利用向量的关系得到直线和平面的关系即可.例2.在如图所示的几何体中，EA ⊥错误！未找到引用源。

平面ABC ，DB ⊥错误！未找到引用源。

平面ABC ，AC BC ⊥ 错误！未找到引用源。

，2AC BC BD AE ===, 错误！未找到引用源。

M 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：CM EM ⊥错误！未找到引用源。

高考数学专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法黄金解题模板

专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法【高考地位】立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题. 【方法点评】方法一几何法使用情景：转化的直线或平面比较容易找到解题模板：第一步按照线线垂直得到线面垂直，进而得出面面垂直的思路分析解答；第二步找到关键的直线或平面；第三步得出结论.例1、【2018广西桂林市第十八中模拟】如图，在三棱锥P ABC -中， ,44CBA AB π∠===，,D E 分别为线段,AB BC 的中点， ,PD AC PE BC ⊥⊥.（1）求证： CD ⊥平面PAB ；（2）若F 为PA 上的点，且2,3C PEF PF FA V -==P 平面ABC 的距离.又∵,PD AC BC AC C ⊥⋂=，∴PD ⊥面ABC ， ∵CD ⊂面ABC ∴PD CD ⊥在ABC ∆中D 是AB 的中点， AC BC =，∴CD AB ⊥ ∵PD AB D ⋂=， ,PD AB ⊂面PAB ，∴CD ⊥平面PAB （2）由（1）知P 到面ABC 的距离为PD 由等体积知： 2233C PEF F PEC A PEC P AEC V V V V ----===∵3C PEF V -=2P AEC V -=∴123AEC PD S ∆⨯⨯⨯=∵122AEC S AC AE ∆=⨯⨯=， 1223PD ⨯⨯⨯=， ∴98PD =. 例2、如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，E 为PD 中点，PA ⊥平面ABCD ，//,,24AD BC AC BD AD BC ⊥==．证明：平面EBD ⊥平面PAC ；【答案】详见解析线线垂直PA BD ⊥.试题解析：因为PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又因为,AC BD PA AC A ⊥=，所以BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面PAC ．考点：面面垂直判定定理【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【变式演练1】如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP . 设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由。

2019年高考数学专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法黄金解题模板

2019年高考数学专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法黄金解题模板【高考地位】立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题.【方法点评】方法一几何法使用情景：转化的直线或平面比较容易找到解题模板：第一步按照线线垂直得到线面垂直，进而得出面面垂直的思路分析解答；第二步找到关键的直线或平面；第三步得出结论.例1、【2018广西桂林市第十八中模拟】如图，在三棱锥P ABC -中， ,44CBA AB π∠===，,D E 分别为线段,AB BC 的中点， ,PD AC PE BC ⊥⊥.（1）求证： CD ⊥平面PAB ；（2）若F 为PA 上的点，且2,3C PEF PF FA V -==P 平面ABC 的距离.又∵,PD AC BC AC C ⊥⋂=，∴PD ⊥面ABC ，∵CD ⊂面ABC ∴PD CD ⊥在ABC ∆中D 是AB 的中点， AC BC =，∴CD AB ⊥∵PD AB D ⋂=， ,PD AB ⊂面PAB ，∴CD ⊥平面PAB（2）由（1）知P 到面ABC 的距离为PD由等体积知： 2233C PEF F PEC A PEC P AEC V V V V ----===∵3C PEF V -=2P AEC V -=∴123AEC PD S ∆⨯⨯⨯=∵122AEC S AC AE ∆=⨯⨯=， 1223PD ⨯⨯⨯=， ∴98PD =. 例2、如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，E 为PD 中点，PA ⊥平面ABCD ，//,,24AD BC AC BD AD BC ⊥==．证明：平面EBD ⊥平面PAC ；【答案】详见解析线线垂直PA BD ⊥.试题解析：因为PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又因为,AC BD PA AC A ⊥=，所以BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面PAC ．考点：面面垂直判定定理【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【变式演练1】如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD 平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP . 设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由。

高考数学《利用空间向量证明平行与垂直关系》复习

(4)线面垂直
l a a＝kμ a1＝ka3，b1＝kb3，c＝kc3 ．
(5)面面平行
v ＝kv a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4．
(6)面面垂直
v ·v＝0 a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.
解题技巧
利用空间向量证明平行与垂直的方法与步骤 (1) 坐标运算法：一般步骤：①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系； ②建立空间图形与空间向量之间的关系，用向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素； ③通过空间向量的运算研究平行、垂直关系； ④根据运算结果解释相关问题．
解题技巧
4．利用空间向量求点到平面距离的方法如图，设 A 为平面内的一点，B 为平面外的一点，n 为平面的法向量，
AB n
则 B 到平面的距离 d＝
．
n
1.如图，某圆锥 SO 的轴截面 SAC 是等边三角形，点 B 是底面圆周上的一点，且 BOC 60 ，
点 M 是 SA 的中点，则异面直线 AB 与 CM 所成角的余弦值是( )
(4)点到平面的距离的向量求法
如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，
AB n
则点 B 到平面 α 的距离 d＝
．
n
2.模、夹角和距离公式
(1) 设 a＝(a1，a2，a3 )，b＝(b1，b2，b3 ) ，则 a ＝ a·a a12a22a32 ， b ＝ b·b b12b22b32 ，
B.3
ห้องสมุดไป่ตู้
√C.4
D.6
由直棱柱的性质,知直线 A1B1 到平面 ABO 的距离为棱柱的高,不妨设为 t t 0 .以 O 为坐标原
点, OA,OB,OO1 所在的直线分别为 x, y, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 O(0,0,0), B(0,6,0), A1(2,0,t) , B1(0,6,t) ,则 D(1,3,t) .所以 A1B (2, 6, t),OD (1,3,t) 所以 A1B OD 2 18 t2 0 ,所以 t 4 ,故选 C.

2013-2019年高考文科数学分类汇编：证明空间中直线、平面的垂直关系(附答案)

BB 1C 1D 1A 1PADCD CBAFP2013-2019年高考文科数学分类汇编第八章立体几何第五节直线、平面垂直的判定与性质题型97 证明空间中直线、平面的垂直关系2013年1. （2013四川文19）如图，在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，122AB AC AA ===，，120BAC ∠=，1D D ，分别是线段11BC B C ，的中点，P 是线段AD 上异于端点的点.（1）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（2）设（1）中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥11-A QC D 的体积.（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）. 2. （2013山东文19）如图，四棱锥P -ABCD 中，AB AC ⊥，AB PA ⊥，AB CD ∥， AB CD ＝2，E F G M N ，，，，分别为PB AB BC PD PC ，，，，的中点．（1）求证：CE ∥平面PAD ；（2）求证：平面EFG ⊥平面EMN ．3. (2013重庆文19）如图，四棱锥-P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA =，2BC CD ==，π3ACB ACD ∠=∠=. （1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =，求三棱锥-P BDF 的体积.P MDCGEFBAN2014年1.（2014辽宁文4）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥2.（2014浙江文6）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面（）. A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥ B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥C ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥3.（2014广东文9）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,//,l l l l l l ⊥⊥，则下列结论一定正确的是（）.A ．14l l ⊥ B. 14//l l C. 14,l l 既不垂直也不平行 D. 14,l l 的位置关系不确定 4.（2014北京文17）（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱111ABC ABC -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =，E ，F 分别为11A C ，BC 的中点. （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE ；（3）求三棱锥E ABC -的体积.C 1B 1A 1FE CBA。

高考理科数学第2讲空间中的平行与垂直(大题细做)

核心知识突破热点高考押题限时规范训练
大二轮复习数学（理）
热点一空间平行与垂直关系的证明
——转化关系，证依定理如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD， AB⊥AD，CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD， E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
大二轮复习数学（理）
解：(1)证明：证法一：由已知可得， ∠BAC＝90°，所以 BA⊥AC，又因为 BA⊥AD，AD∩AC＝A，所以 AB⊥平面 ACD. 因为 AB⊂平面 ABC，所以平面 ACD⊥平面 ABC.
核心知识突破热点高考押题限时规范训练
大二轮复习数学（理）
证法二：由已知可得，因为∠ACM＝90°，所以 CM⊥AC. 又因为 BA⊥AD，CM∥AB，所以 CM⊥AD，且 AD∩AC＝A，所以 CM⊥平面 ACD. 因为 CM⊂平面 ABC，所以平面 ACD⊥平面 ABC.
核心知识突破热点高考押题限时规范训练
大二轮复习数学（理）
(3)∵AB⊥AD，而且 ABED 为平行四边形． ∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知 PA⊥底面 ABCD，且 CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD，且 PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面 PAD， ∴CD⊥平面 PAD，又 PD⊂平面 PAD， ∴CD⊥PD. ∵E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点， ∴PD∥EF.
核心知识突破热点高考押题限时规范训练
大二轮复习数学（理）
(2)因为 AB＝BC，E 为 AC 的中点，所以 BE⊥AC. 因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以 C1C⊥平面 ABC. 又因为 BE⊂平面 ABC，所以 C1C⊥BE. 因为 C1C⊂平面 A1ACC1，AC⊂平面 A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以 BE⊥平面 A1ACC1. 因为 C1E⊂平面 A1ACC1，所以 BE⊥C1E.

高二数学空间中的垂直关系知识精讲

高二数学空间中的垂直关系【本讲主要内容】空间中的垂直关系直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直【知识掌握】【知识点精析】1. a ⊥α，b a b ⊥⇒α⊂2. b a //b a ⊥⇒αα⊥，3. 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

4. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

5. α⊥⇒⊥⊥=α⊂α⊂c b c a c A b a b a ，，，，6. α⊥⇒α⊥a b b //a ，7. α⊥⇒⊥β⊂=βαβ⊥αa a a l l ，，， 8. α⊥⇒αββ⊥a //a ，9. γ⊥⇒γ⊥βγ⊥α=βαl l ，， 10. β⊥α⇒β⊥α⊂a a ， 11. β⊥α⇒γβγ⊥α//， 12. β⊥α⇒βα⊥//a a ，【解题方法指导】垂直关系的证明可划分为直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三种类型。

这三种类型的垂直关系之间存在着较为紧密的联系，相互转化的特征十分明显。

因此，在解决垂直关系的证明问题时，可以分类逐一研究，但更要注意它们之间的相互联系与相互转化。

1. 直线与直线垂直的证明方法：证明直线与直线垂直，常从以下四个方面进行考虑。

（1）如果直线a 与直线b 是异面直线，可考虑使用异面直线所成角的方法进行，由勾股逆定理算出这个角为90°。

（2）可以转化为直线和平面垂直来考虑，将两条直线中的一条放在某个平面α内，只要能证出另一条与平面α垂直即可。

（3）如果存在两条直线的平行关系，若有直线c 平行于直线a ，又能证出直线b ⊥c ，则有b ⊥a 。

（4）三垂线定理及其逆定理是证明直线与直线垂直的重要定理，在使用的过程中，关键是寻找另一条直线c ，使得c 与b 在同一个平面α内，且b ⊥c ，又c 是直线a 在平面α内的射影，由三垂线定理得出b ⊥a 。

2021版高三数学解题万能解题模板33空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法(解析版)

专题 33 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法【高考地位】立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题.方法一几何法万能模板内容使用场景转化的直线或平面比较容易找到解题模板第一步按照线线垂直得到线面垂直，进而得出面面垂直的思路分析解答；第二步找到关键的直线或平面；第三步得出结论.例 1、【广东省湛江市 2021 届高三上学期高中毕业班调研测试】如图，三棱柱是边长为的等边三角形，侧面的中点．为菱形，且平面平面，中，底面，为棱（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】（1）设的中点为，与的交点为，连接，，，根据线面垂直的判定定理，可1 / 45得平面；再证明，得到平面，推出，可得线面垂直；，从而（2）先由（1）可得，，，两两相互垂直，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，分别以，为轴和轴的正方向，建立空间直角坐标系法向量，由向量夹角公式，即可求出结果.，分别求出平面和的【详解】（1）证明：设的中点为，与的交点为，连接，，，如图所示．由为的中点可得平面．，又平面平面，平面平面，故又为的中点．所以且．又且，所以且，因此四边形为平行四边形，所以且，所以平面，故，又四边形为菱形，所以，又，平面，平面，所以平面；2 / 45（2）由（1）可知，，两两相互垂直，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，分别以，为轴和轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，设为平面的一个法向量，则即可取，由（1）可知，为平面的一个法向量，所以．所以二面角的余弦值为．例 2、【河南省焦作市 2020—2021 学年高三年级第一次模拟考试数学（文）】如图，在三棱锥，，，分别为，的中点.中，3 / 45（1）求证：平面平面；（2）若，是面积为的等边三角形，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2） .【分析】（1）利用等腰三角形三线合一、勾股定理可证得，，由线面垂直判定可证得平面，由面面垂直判定定理可证得结论；（2）由面面垂直的性质可证得平面，即为所求四棱锥的高，利用棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1），为的中点，，.，，又，，.，平面，平面，平面，平面平面 .（2），，又平面平面，平面平面，平面 .是面积为的等边三角形，，可得：.【点睛】.4 / 45思路点睛：证明面面垂直或线面垂直的关键是找到线线垂直关系，证明线线垂直的常用方法有：（1）线面垂直的性质定理；（2）等腰三角形三线合一性质；（3）勾股定理证垂直；（4）菱形、正方形等图形中的特殊垂直关系.【变式演练 1】【河南省焦作市 2020—2021 学年高三年级第一次模拟考试数学（理）】如图，四边形为菱形，，四边形为矩形，平面平面，点在上，.（1）证明：平面；（2）若与平面所成角为 60°，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） .【分析】（1）由平面平面，得平面，得.再由已知.得，从而可证得线面垂直；（2）由线面角的定义得，设，则，.连接，以和的交点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.用空间向量法求得二面角余弦．【详解】（1）因为，，所以.因为平面平面，，平面平面，所以平面，所以.又因为，所以平面 .5 / 45（2）由（1）知平面，所以为与平面所成的角，所以，.由平面，知.设，则，.连接，以和的交点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，.所以设，，为平面的一个法向量，则,可取.由（1）可知为平面的一个法向量.所以，6 / 45结合图可知二面角的余弦值为 .【变式演练 2】【江苏省南通市海安市 2020-2021 学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图，四边形与均为菱形，，且.（1）求证：平面（2）求直线与平面；所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） .【分析】（1）设与相交于点 O，连接，说明（2）连接，建立如图所示的空间直角坐标系【详解】（1）设与相交于点 O，连接，和即可证明；，利用向量法求解即可.7 / 45∵四边形为菱形，∵，且 O 为中点，∵，∵，又，∵平面（2）连接，∵四边形为菱形，且，∵为等边三角形，∵O 为中点，∵，又，∵平面.∵ ，，两两垂直，∵建立空间直角坐标系，如图所示，设，四边形为菱形，，8 / 45∵，.∵为等边三角形，∵，，，∵，∵，，.设平面的法向量为，则，取，得.设直线与平面所成角为 θ，则.方法二空间向量法万能模板内容使用场景转化的直线或平面不容易找到，而一直条件方便建立空间直角坐标比较容易写出解题模板第一步建立适当的空间直角坐标系；第二步分别写出各点的坐标，求出直线方向向量；第三步利用向量的关系得到直线和平面的关系即可.例 3【、云南师范大学附属中学 2020 届高三适应性月考】如图，四边形为正方形，平面，，.9 / 45（1）证明：平面平面；（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） .【分析】（1）以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算，得线线垂直，从而有线面垂直；（2）求出平面和平面的法向量，由法向量夹角余弦得二面角余弦（注意正负）．【详解】（1）证明：如图，以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴，射线，为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系依题意有，10 / 45则，所以，即故平面.又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）有设是平面的法向量，，，则即，取，则，.设平面的法向量为，则即，取，则，，所以，故平面和平面所成锐二面角的余弦值为 .【变式演练 3】【天津市第四中学 2020-2021 学年高三上学期学情调查】如图，在三棱柱平面，点 D，E 分别在棱和棱上，且，M 为棱的中点.中，11 / 45（1）求证：；（2）求平面与平面的夹角余弦值；（3）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） .【分析】首先根据题意建立适当的空间直角坐标系，写出各相关点的坐标. （1）利用直线的方向向量的数量积为零即可证明；（2）先求得两平面的一组法向量的坐标，利用两平面的法向量所成的角的余弦值公式求得，注意平面与平面所成的角的概念，得到两平面所成的角的余弦值；（3）利用直线的方向向量与平面的法向量所成的角的余弦的绝对值即为线面所成角的正弦值求得．【详解】解：依题意，以为原点，分别以的方向为轴，建系如图，12 / 45得，，，，，，，，．（1）证明：依题意，，，从而，所以．（2）解：依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则，即，取．因此有，13 / 45所求平面与平面的夹角余弦值为．（3）解：依题意，．由（２）知为平面的一个法向量，于是．所以，与平面所成角的正弦值为．【变式演练 4】【广西名校 2021 届高三上学期第一次高考模拟】如图 1，矩形 ABCD 中，2AB=BC，将矩形 ABCD 折起，使点 A 与点 C 重合，折痕为 EF.连接 AF、CE，以 AF 和 EF 为折痕，将四边形 ABFE 折起，使点 B 落在线段 FC 上，将△CDE 向上折起，使平面 DEC△平面 FEC，如图 2.（1）证明：平面 ABE△平面 EFC; （2）连接 BE、BD，求锐二面角 A-BE-D 的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）设 AB=a，则 BC=2a，设 BF=x，在中，由，解得 x，再根据点 B 落在线段FC 上，得到的长度，然后以为 x 轴，以为原点，建立空间直角坐标系，设，由求得 A 坐标，易知 B 的坐标，从而得到向量的坐标即可.14 / 45（2）根据平面 DEC∵平面 FEC，先求得 D 的坐标，再分别求得平面 ABE 的一个法向量：，平面 BDE 的一个法向量：，由求解.【详解】（1）在平面 ABCD 中，AF=FC，BF+FC=2AB，设 AB=a，则 BC=2a，设 BF=x，在中，，解得，则，因为点 B 落在线段 FC 上，所以，以为 x 轴，以为原点，作 y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，15 / 45设，则，解得，所以 AB 平面 EFC，又 AB 平面 AEB 中，所以平面 ABE∵平面 EFC;（2）由（1）知：，在中，D 到 EC 的距离为，因为平面 DEC∵平面 FEC，所以，则，所以设平面 ABE 的一个法向量为：则解得，所以，设平面 BDE 的一个法向量为：，，，16 / 45则，所以所以，，所以.【高考再现】1. 【2017 课标 3，文 10】在正方体中，E 为棱 CD 的中点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若那么，很显然不成立；B.若，那么，显然不成立；C.若么，成立，反过来，显然不成立，故选 C. 【考点】线线位置关系时，也能推出,所以 C 成立，D.若【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 2．（2019 北京理 12）已知 l，m 是平面 a 外的两条不同直线．给出下列三个论断：，，那，则17 / 45∵；∵；∵以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ______．【答案】若，则或，则．【解析】由 l，m 是平面 α 外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若，则．由线面平行、垂直的性质定理得，则．3．（2018•新课标∵，文 18）如图，在平行四边形中，，折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；，以为折痕将（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．【解析】（1）证明：在平行四边形又．且，中，，，面，面，平面平面；（2），，，，由（1）得，又，面，18 / 45三棱锥的体积．4．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数 19】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，正三角形，为上一点，．是底面的内接（1）证明：平面∵平面；（2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【思路导引】（1）根据已知可得，进而有，可得，即，从而证得平面，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论．【解析】（1）为圆锥顶点，为底面圆心，平面，在上，，是圆内接正三角形，，，，即，19 / 45平面平面，平面（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为平面；，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱锥的体积为．【专家解读】本题的特点是注重空间线、面位置关系的判断，空间基本计算，本题考查了面面垂直的证明，考查锥体的体积公式，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确进行空间垂直间的相互转化．5．【2020 年高考全国Ⅲ卷文数 19】如图，在长方体且．证明：中，点分别在棱上，（1）当时，；20 / 45（2）证明：点在平面内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【思路导引】（1）根据正方形性质得，根据长方体性质得即得结果；（2）只需证明证明即可．即可，在上取点使得【解析】，进而可证平面，，再通过平行四边形性质进行（1）因为长方体，所以平面，因为长方体，所以四边形为正方形，因为平面，因此平面，因为平面，所以．21 / 45（2）在上取点使得，连，因为，因为在平面内．，所以所以四边形所以四边形为平行四边形，为平行四边形，，因此【专家解读】本题的特点是注重空间线、面位置关系的判断，空间基本计算，本题考查了线线垂直的证明，考查点与平面位置关系的证明，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是灵活掌握线面垂直判定定理、线线平行判定定理等．6．【2020 年高考江苏卷 15】在三棱柱的中点．中，，平面，分别是，（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．【答案】见解析【解析】（1）∵ 分别是，的中点，∵，∵平面，平面，∵平面．（2）∵平面，面，∵，22 / 45又∵，，面，面，∵面，∵面，∵平面平面．【专家解读】本题的特点是注重空间线、面位置关系的判断，本题考查了线面平行、面面垂直的证明，考查直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是空间线线、线面、面面平行（垂直）的相互转化．【反馈练习】1．【2021 届四川省双流中学高三高考热身训练】已知点是正方体给出以下结论：的棱的中点，△；△；△；△平面其中正确命题的序号是（）A．△B．△【答案】C【分析】C．△D．△23 / 45建立空间直角坐标系,根据空间中两个向量垂直则数量积为 0 逐个判定即可. 【详解】设正方体边长为 2,建立如图空间直角坐标系.则.对∵,,因为,故∵错误.对∵,,因为,故∵错误.对∵,,因为,故∵正确.对∵,由∵有不成立,故平面不成立.故∵错误.故选：C2．【内蒙古赤峰市 2020 届高三（5 月份）高考数学（理科）模拟】如图，一张纸的长、宽分别为，，四条边的中点分别是，，，，现将其沿图中虚线折起，使得，，，四点重合为一点，从而得到一个多面体，关于该多面体有下述四个结论：△该多面体是六面体；△点到棱的距离为；△平面；24 / 45△该多面体外接球的直径为，其中所有正确结论的序号是（）A．△△B．△△C．△△D．△△△【答案】D【分析】利用图形翻折，结合勾股定理，确定该多面体是以，，，为顶点的三棱锥，利用线面垂直，判定面面垂直，即可得出结论.【详解】解：结论∵中，长、宽分别为，，，，，分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，，，，，四点重合为一点，从而得到一个多面体，如图，以，，，为顶点的三棱锥，25 / 45故∵错误；结论∵中，，，三角形是等腰直角三角形，所以点到棱的距离为，故∵正确；结论∵中，，，，所以平面，故∵正确；结论∵中，三棱锥扩展为长方体，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体的外接球直径是长方体的体对角线.设长方体的三边为：，，，可得，相加可得，该多面体外接球的直径为所有正确结论的序号是：∵∵∵.，故∵正确.26 / 45故选：D.3．（多选）【海南省 2021 届高三年级第一次模拟考试】如图所示，在三棱锥，为线段的中点.则（）中，，且A．与垂直B．与平行C．点到点，，，的距离相等D．与平面，与平面所成的角可能相等【答案】AC【分析】由题设可证底面，作中点，由中位线定理可证，易证，再由为外心得到三点距离相等，为外心，可证点到点，，，的距离相等；结合正切定义可证与平面，与平面所成的角不相等【详解】过点作，垂足为，连接，可得为的中点.因为，所以，所以平面，所以，从而 A 正确；由条件可知，而与有交点，因而与不平行，B 错误；27 / 45点是的外心，所以到，，的距离相等，根据条件可知平面，从而平面，又因为是的外心，所以点到，，的距离相等，所以点到，，，四点的距离都相等，C 正确；与平面所成的角即，与平面所成的角即，，，所以两个角不可能相等，D 错误.故选：AC【点睛】方法点睛：本题考查锥体基本性质的应用，线线垂直的证明，两直线平行的判断，锥体外接球球心的判断，线面角大小的判断，综合性强，需掌握以下方法：（1）能利用线面垂直的性质和判定定理证明线线垂直；（2）要证两直线不平行只需证明两直线或对应的平行直线相交即可；（3）寻找锥体外接球球心关键在于先寻找底面三角形外接圆圆心，在垂直于底面外接圆圆心的线段上，再寻找跟顶点与底面任意一顶点相等的点.4．（多选）【山东省实验中学 2020-2021 学年高三第一次诊断考试（10 月）】已知是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）是两个不重合的平面，A．若，则B．若，则28 / 45C．若相等，则D．若【答案】BCD【分析】根据线、面的位置关系，逐一进行判断.【详解】，则与所成的角和与所成的角选项 A：若，则或，又，并不能得到这一结论，故选项 A 错误；选项 B：若，则由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理可得，故选项 B 正确；选项 C：若，则有面面平行的性质定理可知，故选项 C 正确；选项 D：若，则由线面角的定义和等角定理知，与所成的角和与所成的角相等，故选项 D 正确.故选：BCD.5．【陕西省部分学校 2020-2021 学年高三上学期摸底检测文科】已知．a，b，c 是三条不同的直线，是一个平面，给出下列命题：△若，则；△若，则；△若，则；△若，则．其中所有真命题的序号是_____．【答案】∵∵ 【分析】29 / 45根据线线，线面的位置关系分别判断选项，∵显然成立；∵将线线的位置关系放在正方体中研究问题；∵不满足线面垂直的判断定理；∵根据线面垂直的性质定理判断选项.【详解】因为，所以，所以∵是真命题．如图，在正方体中，令，平面为平面，满足，但此时 a 与 c 相交，所以∵是假命题．满足，但直线，所以∵是假命题．，若过直线 b 作一个平面与相交，且交线为 l，则，因为所有真命题的序号是∵∵．，所以，又，所以，故∵是真命题．综上可知，故答案为：∵∵6．【广西北海市 2021 届高三第一次模拟考试数学（文）】如图，在三棱锥 P-ABC 中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为棱、的中点.（1）求证：平面平面；30 / 45（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2） .【分析】（1）利用面面垂直的性质定理推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；（2）计算出的面积以及的长，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积.【详解】（1）因为，O 为中点，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）因为且，分别为的中点，所以，，，又平面，所以.【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理. 在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，31 / 45组织论据证明即可.7．【2021 届全国著名重点中学新高考冲刺】如图 1，扇形的圆心角为 60°，半径为 3，点，分别在线段，上，且，将沿折起到的位置，如图 2 所示.（1）求证：；（2）若，求平面与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据，，利用余弦定理，可得，根据勾股定理，可得，根据翻折前后的关系，利用线面垂直判定定理，可得平面，即可得证.（2）过点作平面，如图建系，分别求得平面、的法向量，利用向量法求得两个平面夹角的余弦值，即可求得答案.【详解】（1）在中，，，，由余弦定理，，即，所以所以，即，，，即，，32 / 45所以平面，又平面，所以（2）如图，过点作平面，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，由题意可得，，，，则，.设平面的法向量为，则令，则一条法向量.易知为平面的一个法向量，所以，所以，，33 / 45所以平面与平面所成角的正弦值为.8．【江西省鹰潭市 2021 届高三第二次模拟考理科】如图所示，底面为菱形的直四棱柱被过三点中点．的平面截去一个三棱锥(图一)得几何体(图二)，E 为的(1)点 F 为棱上的动点，试问平面与平面是否垂直?请说明理由；(2)设，当点 F 为中点时，求锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【分析】(1)利用直四棱柱的几何特征可知∵B1D1∵平面 CEA1，从而平面平面CEA1 ∵(2) 分别以所在直线为轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面与平面 F 的法向量，代入公式即可得到锐二面角的余弦值．【详解】（1）平面平面，证明如下：连接 AC，BD 相交于点 O，因为底面 ABCD 为菱形，所以 AC∵BD，34 / 45又因为直四棱柱上下底面全等，所以由 AC∵BD 得，又因为 CB=CD，，所以 CB1=CD1.因为 E 为 B1D1 的中点，所以，又，所以 B1D1∵平面 CEA1，又因为平面，所以平面平面 CEA1.（2）连接 OE，易知 OE∵平面 ABCD，所以 OB，OC，OE 两两互相垂直，所以分别以所在直线为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则 O（0，0，0），设平面的法向量为，则.（7 分），35 / 45令所以.同理设平面 F 的法向量为令所以所以. ，，则，,所以所求的锐二面角的余弦值为【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.9．【广东省 2021 届高三上学期新高考适应性测试（一）】如图，E 是以 AB 为直径的半圆 O 上异于 A、B 的点，矩形 ABCD 所在的平面垂直于半圆 O 所在的平面，且 AB=2AD=2.36 / 45（1）求证：；（2）若异面直线 AE 和 DC 所成的角为，求平面 DCE 与平面 AEB 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） .【分析】(1) 由面面垂直的性质可证得.再线面垂直的判定定理和性质定理可得证；(2)以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系 .由二面角的向量求解方法可求得平面 DCE 与平面 AEB 所成的锐二面角的余弦值.【详解】(1) ∵平面垂直于圆所在的平面，两平面的交线为平面，∵ 垂直于圆所在的平面.又在圆所在的平面内，∵.∵是直角，∵，又，∵平面，∵.(2)如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.37 / 45由异面直线和所成的角为，，知，∵，∵，由题设可知，，∵，.设平面的一个法向量为，由，即得，，取，得.∵.又平面的一个法向量为，∵.平面与平面所成的锐二面角的余弦值 .38 / 4510．【广西南宁三中 2020 届高三数学（理科）】如图 1，在直角中，平面，，分别为，的中点，连结并延长交于点，将平面，如图 2 所示.，，沿折起，使（1）求证：（2）求平面；与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2） .【分析】∵1∵根据条件证明平面即可；∵2∵建立空间直角坐标系，写出坐标，利用公式计算二面角余弦值即可.【详解】（1）证明：由条件可知，而为的中点，∵，又平面平面，平面平面，且平面，∵平面，又因为平面，∵.（2）由（1）可知，，，两两相互垂直，39 / 45如图建立空间直角坐标系，则，，，，，易知面的法向量为设平面的法向量为，则：，即令，则，，设平面与平面所成锐二面角为，则.11．【湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高中等湘豫名校 2020 届高三（5 月份）数学（理科）模拟】如图△四边形为矩形，、分别为、边的三等分点，其中，，以为折痕把四边形折起如图△，使面面．40 / 45图△ （1）证明：图△中（2）求二面角图△ ；的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2） .【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质以及判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）连接∵，，，∵，∵．∵面面，面∵面面，∵∵，，∵面面∵．面面，面41 / 45（2）以，分别为，轴建立如图坐标系．则，，，，中点∵，∵∵，，设面的法向量为，∵令，，，∵．设面的法向量为，∵令，，，∵∵由图可知，二面角为钝角∵二面角的余弦值为42 / 4512．【河南省许昌市、济源市、平顶山市 2020 届高三数学（理科）第三次质检】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，.（1）求证：；（2）当直线与平面所成角为时，求二面角平面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2） .【分析】（1）取的中点，连接、、，推导出，，可证得直线平面，进而可证得；（2）证明出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用直线与平面所成的角为求出，然后利用空间向量法可求得二面角的平面角的大小.【详解】（1）取的中点，连接、、，43 / 45，为的中点，.四边形是菱形，且，是正三角形，则.又，平面.又平面，；（2），平面平面，交线为，平面.又平面，，、、两两互相垂直.以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，面，即为与面所成角，在正三角形中，，假设，则.、、、.，，.设面的法向量为，则不妨取，则.， ..44 / 45同理，设面的法向量为，则不妨取，则，平面.平面，二面角. 平面角为 .45 / 45。

空间垂直关系的证明

第64题空间垂直关系的证明考向1 空间直线与直线垂直【例1】【2017四川省遂宁市联考】如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形， 1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）证明： 1B C AB ⊥；（2）若11,3AC AB CBB π⊥∠=， 1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．【例2】．【2018临海市级联考】如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1CC ⊥底面,3,4,5ABC AC BC AB ===, 点D 是AB 的中点.(Ⅰ) 求证1AC BC ⊥; (Ⅱ) 求证1//AC 平面1CDB .【例3】【遵义市2018届高三联考】如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形， 60BAD ∠=︒.已知2PB PD ==， PA =（Ⅰ）证明： PC BD ⊥；、2.【2017昆明一中高考仿真】如图所示的三棱柱A BE D CF ''-中，A B A F ''=， 2BE EF ==．（Ⅰ）证明：A E '⊥BF ；（Ⅱ）若60BEF ∠=，2A E B ''==，求三棱柱A BE D FC ''-的体积．3.【2017届四川省资阳市高三上学期期末】如图，矩形ACEF 和等边三角形ABC 中， 2,1AC CE ==，平面ABC ⊥平面ACEF ． M 是线段EF 上的一个动点．（1）若BM AC ⊥，确定M 的位置，并说明理由；（2）求三棱锥C ABM -的体积．考向2 空间直线与平面垂直【例1】【2017武汉部分学校上期起点考】如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，22BC AD ==，△PAB 与△PAD 都是等边三角形．（1）证明：CD ⊥平面PBD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积．【例2】【2018福建省厦门市高三质检】如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ， PA PB =， 24CD AB ==， CD AB ， 90BPA BAD ∠=∠=︒.（1）求证： PB ⊥平面PAD ；（2）若三棱锥C PBD -的体积为2，求PAD ∆的面积.1.【2017福建泉州市高三5月质检】如图, 三棱锥A BCD -中,,AB AD BC CD =⊥, 平面ABD ⊥平面BCD ,点,E F 分别是,BD CD 的中点.（1）求证：CD ⊥平面AEF ；（2）已知4,2,AB BC CD ===求三棱锥B AEF -的高.2．【2018辽宁省沈阳市联考】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，， 090BAD ∠=， PA 垂直于底面ABCD ， 26PA AD AB BC ====， ,M N 分别为棱,PC PB 的中点.（1）求证： PB ⊥平面ANMD ；（2）求截面ANMD 的面积.3．【2018黑龙江省哈尔滨市模拟】如图1，已知知矩形ABCD 中，点E 是边BC 上的点，AE 与BD 相交于点H ,且BE AB BC ===ABD ∆沿BD 折起，如图2,点A 的位置记为A '，此时A E '=（1）求证： BD ⊥面A HE '；（2）求三棱锥D A EH -'的体积.考向3 空间平面与平面垂直【例1】【2017届陕西黄陵中学二模】如图，在四棱锥E ABCD -中，ADE ∆是等边三角形，侧面ADE ⊥底面ABCD ，其中//AB DC ，24BD DC ==，3AD =，5AB =.（Ⅰ）F 是EC 上一点，求证：平面BDF ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求三棱锥C BDE -的体积.【例2】【2017安徽名校阶段性测试】如图所示，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在平面相交于CD ，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在平面，垂足E 是圆O 上异于C ，D 的点，AE ＝3，圆O 的直径CE ＝9.(1)求证：平面ABE ⊥平面ADE ；(2)求五面体ABCDE 的体积．1.【2017河南省天一大联考上期段测】如图，已知等边ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，M 为EF 的中点，N 为BC 边上一点，且14CN BC =，将AEF ∆沿EF 折到'A EF ∆的位置，使平面'A EF ⊥平面EFCB .（Ⅰ）求证：平面'A MN ⊥平面'A BF ；（Ⅱ）设BF MN G ⋂=，求三棱锥'A BGN -的体积.2．【北京市昌平区2018届高三期末】如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，PAB ∆为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD . E ，M 分别为线段AB ，PD 的中点.（I ）求证：PE ⊥平面ABCD ；（II ）求证：PB //平面ACM ；（III ）在棱CD 上是否存在点G ，使平面GAM ⊥平面ABCD ，请说明理由．3.【2017届甘肃省兰州第一中学高三冲刺模拟】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 3AB =， AD = 45ABC ∠=︒， P 点在底面ABCD 内的射影E 在线段AB 上，且2PE =， 2BE EA =，M 在线段CD 上，且23CM CD =．（Ⅰ）证明：CE ⊥平面PAB ；（Ⅱ）在线段AD 上确定一点F ，使得平面PMF ⊥平面PAB ，并求三棱锥P AFM -的体积．4．【辽宁省沈阳市2017-2018高三月考】如图，已知在正四棱锥P ABCD -中， M 为侧棱PD 的中点，连接AC BD 、相交于点O 。

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在转化中证明空间垂直关系
空间中的各种垂直关系是高中数学的重要内容．在高考中着重考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的
证明，这就需要利用线面垂直、面面垂直的判定定理及其性质，运用三者之间的转化关系．
1．证明线面垂直
证明线面垂直通常有两种方法：一是利用线面垂直的判定定理，由线线垂直得到线面垂直；二是利用面
面垂直的性质定理，由面面垂直得到线面垂直．
例1 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为点
N.求证：AN⊥平面PBM.

【解析】因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BM.
因为M是圆周上一点，
所以BM⊥AM.
又因为PA∩AM＝A，
所以BM⊥平面PAM.
所以BM⊥AN.
又因为AN⊥PM，PM∩BM＝M，
所以AN⊥平面PBM.
【评注】本题是考查线面垂直很好的载体，它融合了初中所学的圆的特征，在求解时要注意线线、线
面垂直关系的转化．
2．证明面面垂直
证明面面垂直一般有两种方法：一是利用面面垂直的定义，通过求二面角的平面角为直角而得到，这种
方法在证明面面垂直时应用较少；二是利用面面垂直的判定定理由线面垂直得到面面垂直．
例2 如图，△ABC为等边三角形，EC⊥平面ABC，BD∥EC，且EC＝CA＝2BD，M是EA的中点．
(1)求证：DE＝DA；
(2)求证：平面BDM⊥平面ECA.
【解析】 (1)如图，取EC的中点F，连接DF，易知DF∥BC.

因为EC⊥BC，所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，因为EF＝
1
2
EC＝BD，FD＝BC＝AB，

所以Rt△EFD≌Rt△DBA.
所以DE＝DA.
(2)如图，取CA的中点N，连接MN，BN，则MN∥EC，且MN＝12EC.
又EC∥BD，且BD＝
1
2
EC，

所以MN∥BD，且MN＝BD.所以四边形BDMN是平行四边形．
所以点N在平面BDM内．
因为EC⊥平面ABC，
所以EC⊥BN.
又CA⊥BN，EC∩CA＝C，
所以BN⊥平面ECA
因为BN⊂平面MNBD，所以平面BDM⊥平面ECA.
【评注】在证明面面垂直时通常转化为证明线面垂直的问题．
3．证明线线垂直
证明线线垂直，往往根据线面垂直的性质，即如果一条直线垂直于一个平面，那么它和这个平面内的任
意一条直线垂直．
例3 如图，已知平面α∩平面β＝CD，EA⊥α，EB⊥β，垂足分别为A，B，求证：CD⊥AB

【解析】因为EA⊥α，CD⊂α，所以CD⊥EA.又因为EB⊥β，CD⊂β，所以EB⊥CD.
又因为EA∩EB＝E，所以CD⊥平面ABE.
因为AB⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，
所以CD⊥AB.
【评注】证明空间中的垂直关系的问题时，经常要用到化归与转化的数学思想，主要体现在线线垂直、
线面垂直、面面垂直证明的相互转化过程之中．其转化关系如下：