中值定理及导数应用习题课
第三章微分中值定理与导数的应用习题
第三章 微分中值定理与导数的应用习题专业、班级： 学号： 姓名：一、选择题1.罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ ）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件2.下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ ）A.x e x f =)(B.||)(x x f =C.21)(x x f -=D.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10 ,1sin )(x x xx x f3.在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ ） A.x x x sin lim 20→ B.x x x tan 0)1(lim +→C. x xx x sin lim +∞→ D.x nx e x +∞→lim4.设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ ）A. )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的B. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凹的C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的D. )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的5.下列函数中，在指定区间内单调减少的函数是（ ）A.x y -=2 ),(∞+-∞B.x y e = )0,(-∞C.x y ln = ),0(∞+D.x y sin = ),0(π6.若)(x f 在0x 至少二阶可导，且1)()()(lim 2000-=--→x x x f x f x x ，则函数)(x f 在0x处（ ）A.取得极大值B.取得极小值C.无极值D.不一定有极值二、填空题1. 设函数)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 个实根，分别位于 区间 中．2. 函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a ．3. 函数x y sin ln =在[65 ,6 ππ]上的罗尔中值点ξ= ． 4. 若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a ，=b ．5. 求函数2824+-=x x y 在区间]3,1[-上的最大值为 ，最小值为 ．6. 函数)1ln(+-=x x y 在区间 内单调减少，在区间 内单调增加．7. 曲线8 2x ey -=的凸区间是 ．三、计算题1.求下列极限 （1）n n m m a x a x a x --→lim （2）20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→（3）)1 ln 1(lim 1--→x x x x （4）x x x e e x x x sin 2lim 0----→2.求函数133+-=x xy 在区间[-2，0]上的最大值和最小值．3.求函数12-+=x x x y 的拐点及凹或凸的区间．4.求函数496 23-+-=x x x y 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．四、证明题1.求证当0>x 时， )1ln(212x x x +<-．2.求证当1>x 时，1)1(2ln +->x x x ．。
辽宁工业大学高数习题课(3)
ln sin x 【例2】计算 lim 2 x ( 2 x )
2
分析 当 x 0 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算. 解：
ln sin x lim 2 x ( 2 x )
2
0 0
（ 0 型）
0
cos x lim x sin x [ 4( 2 x )]
1
【例4】计算 lim x 2 e x
x 0
2
分析 当 x 0 时, 函数式为 0 型,
1
0 将其化为 0
或
型.
解：
lim x 2 e x ( 0 型)
2
x 0
1
ex l im x0 1 x2
1
2
(
型)
e lim
x 0
x2
2 3 1 x x2 lime . 2 x 0 3 x
拉格朗日型余项 佩亚诺型余项
Rn ( x) 0[( x x0 )n ]
2．麦克劳林公式
f (0) f ( n ) ( 0) 2 f ( x ) f (0) f (0)( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
所以
f (1) 8, f (1) 5, f ( 1) 0,
f ( 1) 6.
f ( ) ( x 1) 2 一阶泰勒公式为 f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) 2!
8 5( x 1) 3( 1)( x 1)
0 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
拉格朗日中值定理背景下的导数压轴题课件(人教版)
典型例题讲授：
例题2.已知函数 f x x2 2 a ln x(x 0), f x 的导函数是 f ' x ，对任意两个不相等的正
x
x1 , x 2 ，证明：当 a 4 时， f ' x 1 f ' x 2 x 1x 2 .
拉格朗日中值定理背景下的 导数压轴题
高中数学教师欧阳文丰
拉格朗日中值定理的简介
• 一．拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理：若函数 f 满足如下条件： （i） f 在闭区间[a,b]上连续； （ii） f 在开区间 (a,b) 内可导；
则在 a,b 内至少存在一点 ，使得 f ' f b f a .
如果对任意x1, x2 0, , 都有 f (x1) f (x2 ) 4 x1 x2 ,
求实数a的取值范围。
变式练习：
• 变式练习5.
已知函数(x) a , a为正实数。若g(x) ln x (x),
x 1
且对任意x1, x2
0,
2,
x1
x2 , 都有
g(x2 ) x2
g(x1〈) 1， x1
注：本讲只讨论这一形式的题目，即拉格朗日中值定理在高中命题中的应用。下面通 过例题具体分析.
此类题型，通过同构函数法，利用函数的单调性定义，转化为导数 大于0或小于0的含参数不等式的恒成立的问题。
典型例题讲授
【例 1】设函数 f(x)=xex，g(x) =
，设对于任意的 x1、x2∈[1,e]，都有
恒成立，求实数 m 的取值范围.
解:有 即等价于
等价于 g(x1) - g(x2) >
，
令 h(x)=g(x)+
同济大学数学系《高等数学》(第6版)上册笔记和课后习题(含考研真题)详解-微分中值定理与导数的应用(
在带有佩亚诺型余项的泰勒公式中，如果取 x0＝0，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林 公式：
。 如 果 存 在 正 实数 M 使得 区 间 （ -r， r ） 里 的任意 x 都 有
，如果当 n 趋向于无穷大时，
，则
，那么 。
可得近似公式：
。
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四、函数的单调性 微分中值定理，强调了函数值与导数之间的关系。这部分主要介绍如何通过函数的导数 来判定函数的单调性或凹凸性等性质。 1．单调性的判定 【定理】设函数 y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。 （1）如果在（a，b）内 f＇（x）＞0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调增加； （2）如果在（a，b）内 f＇（x）＜0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调减少； 如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立。 这是函数单调性判定的一个最基本也是最重要的法则。
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那么在（a，b）内至少有一点 ε，使等式
成立。
拉格朗日中值公式是柯西中值公式的特殊形式。
二、洛必达法则 洛必达法则在求函数极限过程中，有重要作用，在考研试题中也经常出现。一般，洛必 达法则针对 或 形式的极限公式。下面我们主要介绍相关定理及引入一些例题，方便读 者更进一步理解洛必达法则的应用。 1．x→a 【定理】设 （1）当 x→a 时，函数 f（x）及 F（x）都趋于零； （2）在点 a 的某去心邻域内，f＇（x）及 F＇（x）都存在且 F＇（x）≠0；
（3）Biblioteka 存在（或为无穷大），那么
。
同济大学《高等数学》(第四版)第三章习题课
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求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在 该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
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(3) 最大值、最小值问题 最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
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定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如 果 x 取 极 值 有f '(x) < 0， f (x)在 0处 得 大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如 果 x 取 极 值 有f '(x) > 0， f (x)在 0处 得 小 . 则 x (3)如 当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符 如 果 , (x x 无 值 号 同则f (x)在 0处 极 . 相 ,则 定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 x 具 二 导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那 末 f ''(x0 ) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 , 数 当 '' x 取 极 值 (2)当f (x0) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . , 数 当
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第三章 微分中值定理与导数的应用【圣才出
有且仅有三个实根，它们分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）
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6．证明恒等式： 证：取函数 f(x)＝arcsinx＋arccosx，x∈[－1，1]．因
所以 f(x)≡C．取 x＝0，得
．因此
7．若方程 正根 x＝x0，证明方程
即
，所以
（2）取函数
，因为函数 f(t)在[1，x]上连续，在（1，x）内可导，则由
拉格朗日中值定理知，至少存在一点 ξ∈（1，x），使
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即
．又 1＜ξ＜x，所以 eξ＞e，因此
即
ex＞x·e．
12．证明方程 x5＋x－1＝0 只有一个正根． 证：取函数 f(x)＝x5＋x－1，f(x)在[0，1]上连续，
的正根． 证：取函
有一个 必有一个小于 x0
数
．f(x)在[0，x0]
上连续，在（0，x0）内可导，且 f(0)＝f（x0）＝0，由罗尔定理知至少存在一点
ξ∈（0，x0），使
，即方程
正根．
必有一个小于 x0 的
8．若函数 f(x)在（a，b）内具有二阶导数，且 f（x1）＝f（x2）＝f（x3），其中
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a＜x1＜x2＜x3＜b．证明：在（x1，x3）内至少有一点 ξ，使得
．
证：根据题意知函数 f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]上连续，在（x1，x2），（x2，x3）内可导
且
，所以由罗尔定理知至少存在点 ξ1∈（x1，x2），
经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值定理
经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值定理本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。
当前页有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。
1.不用求出函数的导数，分析方程有几个实根？()A．0B．1C．2D．3答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析：2.=？（）A．0B．1C．-1D．2答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：B问题解析：3.=？，（）A．0B．1C．-1D．2答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析：4.求不能使用洛必塔法则。
（）答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：元微积分·第四章导数的应用·第二节函数单调性、极值和渐近线本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。
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1.下面关于函数的描述，那两句话是正确的？（）上单调递减上单调递增上单调递减上单调递增A．函数在B．函数在C．函数在D．函数在答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：AC问题解析：2.在上是单调递增的。
（）答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：3.函数的极大值就是函数的最大值。
（）答题：对.错.（已提交）参考答案：某问题解析：4.如果函数在点。
（）处二阶可导，且=0，若，则在点处取得极小值答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第三节经济中的优化模型本次练习有2题，你已做2题，已提交2题，其中答对2题。
当前页有2题，你已做2题，已提交2题，其中答对2题。
1.某厂生产某产品，每批生产台得费用为，得到的收入为，则利润为？（）A．B．C．D．答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析：2.在上题中，请问生产多少台才能使得利润最大？（）A．220B．230C．240D．250答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第四节函数的作图本次练习有1题，你已做1题，已提交1题，其中答对1题。
第三章 微分中值定理和导数的应用习题66道
第三章 微分中值定理和导数的应用3．1 验证罗尔定理对函数21x y -=在区间]1,1[-上的正确性。
3．2 验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性。
3．3 不用求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明0)(/=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。
3．4 试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。
3．5 验证担格朗日定理对于函数x x f arctan )(=在区间[0，1]上的正确性。
3．6 对函数3)(x x f =及1)(2+=x x g 在区间[1，2]上验证柯西中值定理的正确性。
3．7 对函数x x f sin )(=，x x g cos )(=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π验证柯西中值定理的正确性。
3．8 对函数2)(x x f =，x x g =)(在区间[1，4]上验证柯西中值定理的正确性。
3．9 试证当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππx 时，|tan |||x x ≤（等号只有在0=x 时成立）。
3．10 证明下列不等式：（1）b a b a -≤-arctan arctan ；（2）y x y x -≤-sin sin ；（3）)()(11y x nx y x y x ny n n n n -<-<--- （y x n >>,1）；（4）如果20παβ<≤<，试证：αβαβαββα22cos tan tan cos -≤-≤-； （5）设0>n ，试证：1111arctan 1arctan 1)1(122+<+-<++n n n n 。
3．11 试证：21arctan arcsin xx x -= （11<<-x ）。
3．12 若k x f =)(/，k 为常数，试证：b kx x f +=)(。
高等数学3.1----微分中值定理习题带答案
37第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理一、填空题1.函数221y x x =-+在[1,1]-上满足拉格朗日中值定理的ξ=0.2.函数32()29123f x x x x =-+-的驻点为121,2x x ==.3.在曲线33(11)y x x x =--≤≤上，平行于连接曲线弧两端点的弦的切线方程为提示：曲线的两端点分别为(1,2),(1,2)--，从而切线斜率为2-，又 233y x '=-，2332x ∴-=-即33x =±，∴切点33,,33⎛⎛-⎝⎝∴切线方程为22y x y x +=+=-.二、单项选择题1.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是A .A．256,y x x=-+[2,3]B.e ,xy x -=[0,1]C.y =[0,2]D.1,51,5x x y x +<⎧=⎨≥⎩，[0,5]提示：选项C 在点1x =不连续，选项D 在点5x =不连续，选项B 中使e (1)xy x -'=-为零的点为1(0,1)∉.2.函数3y x =在[1,2]-上满足拉格朗日中值定理的ξ=B .A.0B.1C.12D.323.设1,0,()a b ab f x x<<=，则a x b <<时，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立的ξC .38A .只有一点B.只有两点C.不存在D.是否存在与,a b 取值有关三、解答题1.已知()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)1,(1)0f f ==.求证：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξξ'=-.证明：令()()F x xf x =，则()F x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()()00,00,F f ==()()110F f ==，即()()01F F =；由罗尔定理可得，在()0,1内至少存在一点ξ，使得()0F ξ'=；故()()0f f ξξξ'+=，即()()f f ξξξ'=-．2.证明恒等式πarctan arccot 2x x +=.证明：令()arctan arccot f x x x =+，则()2211011f x x x'=-=++，故(),f x C =()x -∞<<+∞．令0x =得π2C =，所以πarctan arccot 2x x +=．3.试用拉格朗日中值定理证明：当1x >时，不等式e e xx >成立.证明：令()e xf x =，则()f x 在区间[]1,x 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理可得，至少存在一点(1,)x ξ∈，使得e e e (1)xx ξ-=-，由于1ξ>，所以e e ξ>，从而e e e (1)e(1)x x x ξ-=->-，即e e xx >．4.证明方程510x x +-=只有一个正实根.证明：令()51f x x x =+-，则()()01,11f f =-=；由零点定理得，函数()f x 在()0,1内至少有一个零点．故方程510x x +-=至少有一正实根．下面证明唯一性（反证法）．假设有两个正实根()1212,x x x x <，则()()120f x f x ==．又()f x 在[]12,x x 上连续，在()12,x x 内可导，由罗尔定理可得，至少存在一点()12,x x ξ∈，39使得()0f ξ'=，即4510ξ+=，不成立，从而假设不成立，所以方程510x x +-=只有一个正实根.。
《高等数学》第三章-微分中值定理与导数的应用的习题库(201511)
第三章 微分中值定理与导数的应用一、判断题1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（ ）2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（ ）3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（ ） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。
（ ） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使'()0f ξ=。
（ ） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。
（ ） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。
（ ） 8. arcsin arccos ,[1,1]2x x x π+=∈-。
（ ） 9. arctan arctan ,(,)2x x x π+=∈-∞+∞。
（ ） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。
（ ） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。
（ ） 12. ''222(2)lim lim21(21)x x x x x x →→=--（ ）13. 22'0011limlim()sin sin x x x x e e x x→→--= （ ） 14. 若'()0f x >则()0f x >。