黄冈中学2015年理科实验班预录试题数学模拟A卷
黄冈中学2015年自主招生理科实验班预录试题数学模拟B卷附答案
D．
3 55 3 2 4
6 ． 如 图 ， 点 O 在 △ ABC 内 ， 点 P 、 Q 、 R 分 别 在 边 AB 、 BC 、 CA 上 ， 且 OP∥BC ， OQ∥CA ， OR∥AB ， OP=OQ=OR=x ， BC=a ， CA=b ， A B=c，则 x=( ) a 1 bc A． 1 3 1 1 B． a b c 2 C． 1 ca 1 ab a 2 bc b2 c D． 3 3 3 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 7．实数 a、b、x、y 满足 ax+by=3，ax2+by2=7，ax3+by3=16, ax4+by4=42, 那么 ax5+by5= . 8．如图，在边长为的正方形 ABCD 中，E 6 2 是 AB 边上一点，G 是 AD 延长线上一点，BE=DG，连接 EG，CF⊥EG 交 EG 于点 H，交 AD 于点 F，连接 CE，BH．若 BH=8，则 FG= ． ax 9．已知函数的图象与 x 轴相交于 A、B y y x 22 | 2 xx 24 | . 两点，另一条抛物线也过 A、B 两点，则 a= 10.如图，在梯形 ADEB 中，∠D=∠E=90°，△ABC 是等边三角形，且点 C 在 DE 上，如果 AD=7，BE=11，则 S△ABC= .
f(x)
(a、b 是不同的整数)的形式； (2)求的最大值及相应的 x 值.
16.(13 分)设 x 4 3x 2 9 x 4 4 x 2 9 ( x 0 ). (1)将化成 x
2
1
2
f(x)
g ( x)a g ( x)b
f(x)
3
17.(13 分)如图，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点 P 沿线 段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 AP=x． (1)求 AD 的长； (2)点 P 在运动过程中，是否存在以 A、P、D 为 顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形 相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请 说明理由； (3)设△ADP 与△PCB 的外接圆的面积分别为 S1、S2，若 S=S1+S2，求 S 的最小值．
湖北省黄冈中学2015届高三6月适应性考试理科数学试卷高考资料高考复习资料中考资料
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试黄冈中学适应性考试数学（理工类）本试卷共6页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数11z i，（其中i 为虚数单位），则||z （）A ．1BC ．2D ．02．某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即2(100,)(0)X N a a ，试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（）A ．400B ．500C ．600D ．8003．下列判断中正确的是（）A ．命题“若1a b ，则2212a b”是真命题B ．“12a b”是“114a b”的必要不充分条件C ．若非空集合,,A B C 满足A B C ，且B 不是A 的子集，则“x C ”是“x A ”的充分不必要条件D ．命题“2000,12x R x x ”的否定是“2,12x R x x ”4.已知数列 n a 的首项为11a ，且满足对任意的*n N ，都有12nn n a a 成立，则2015a （）A ．201421 B ．201521 C ．201521 D ．2016211C 2C 3C 1B 2B 3B 1P 2P 10P5.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（D ）的立方成正比”，此即3V kD ，欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式3V kD 中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”.类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式3V kD 求体积（在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长）.假设运用此体积公式求得球（直径为a ）、等边圆柱（底面圆的直径为a ）、正方体（棱长为a ）的“玉积率”分别为1k 、2k 、3k ，那么123::k k k （）A .111::46 B .::264C .2:3:2D .::1646.已知结论：“在ABC 中，各边和它所对角的正弦比相等，即sin sin sin a b cA B C”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在三棱锥A BCD 中，侧棱AB 与平面ACD 、平面BCD 所成的角为 、 ，则有（）”A .sin sin BC ADB .sin sin AD BCC .sin sin BCD ACDS SD .sin sin ACD BCDS S7．把函数()sin ([0,2])f x x x 的图像向右平移3个单位后得到函数()g x 的图像，则()f x 与()g x 的图像所围成的面积为（）A ．1BC ．D ．28.设不等式组2210x y y表示的平面区域为M ，不等式组00x ty 表示的平面区域为N .在M 内随机取一个点，这个点在N 内的概率的最大值为（）A .2B .1C .4D .129．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,P P P ，记2(1,2,,10)i i m AB APi，则1210m m m的值为（）A .180B.C .45D .10．已知抛物线:C 24y x ，过定点(2,0)作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M 、N ，若P 为抛物线C 上不同于M 、N 的任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在并记为1k 、2k ，则1211||k k （）A .2B .1C.D.二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11．二项式52x的展开式中的常数项为．12．如下图，如果执行程序框图，输入正整数5,3n m ，那么输出的p 等于．13．棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则yx 11 的最小值为．第12题图第13题图14．设定义域为R 的函数2|lg |,0()2,0x x f x x x x ，若关于x 的函数22[()]2()1y f x bf x 有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是．(二)选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）21y x主视图俯视图左视图15．（选修4—1：几何证明选讲）如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ，垂足为F ，若6AB ，1AE ，则DF DB ________．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为sin cos 3y x ，（ 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(．设P 为曲线1C 上的动点，则点P 到2C 上点的距离的最小值为_________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本题满分12分）已知23sin cos 02f x x x x的最小正周期为T .（Ⅰ）求23f的值；（Ⅱ）在ABC 中，角A B C 、、所对应的边分别为a b c 、、，若有2cos cos a c B b C ，则求角B 的大小以及 f A 的取值范围.18.（本题满分12分）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数12345A a a a a a ，其中A 的各位数字中11a ，(2,3,4,5)k a k 出现0的概率为13，(2,3,4,5)k a k 出现1的概率为23，记12345X a a a a a .当启动仪器一次时，（Ⅰ）求3X 的概率；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及X 的数学期望，并指出当X 为何值时，其概率最大.A19.（本题满分12分）如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直，AB BC ，//,2AF AC AF CE ，G 是线段BF 上一点，2AB AF BC .（Ⅰ）当GB GF 时，求证：//EG 平面ABC ；（Ⅱ）求二面角E BF A 的正弦值；（Ⅲ）是否存在点G 满足BF 平面AEG ？并说明理由.20.（本题满分12分）若数列 n x 满足：111n nd x x （d 为常数，*n N ），则称 n x 为调和数列.已知数列 n a 为调和数列，且11a ，123451111115a a a a a .（Ⅰ）求数列 n a 的通项n a ；（Ⅱ）数列2n n a的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ？若存在，求出n 的取值集合；若不存在，请说明理由.21.（本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b的左右焦点分别为12,F F，点B为短轴的一个端点，260OF B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点2F，且斜率为(0)k k的直线l与椭圆C相交于,D E两点，A为椭圆的右顶点，直线,AE AD分别交直线3x于点,M N，线段MN的中点为P，记直线2PF的斜率为k ．试问k k是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．22.（本题满分14分）定义：若()kf xx在[,)k 上为增函数，则称()f x为“k次比增函数”，其中k N，已知()axf x e.（其中 2.71238e ）（Ⅰ）若()f x是“1次比增函数”，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当12a 时，求函数()()f xg xx在[,1](0)m m m上的最小值；（Ⅲ）求证：72e.。
湖北省黄冈中学2015届高三5月模拟考试理科数学试卷 Word版含答案
(图二)2015届黄冈中学高三下5月模拟考试 数学试题（理）命题：董明秀 审题：汤彩仙 校对：陈思锦一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数122ii+-的共轭复数是 A.35iB.35i -C. iD. i -2.设全集U R =，函数()lg(|1|1)f x x =+-的定义域为A ，集合{|sin 0}B x x π==，则()U C A B 的元素个数为A. 1B. 2C. 3D. 43．下列四种说法中，正确的个数有①命题“x ∀∈R ，均有232x x --≥0”的否定是：“x ∃∈R ，使得2320x x --≤”②“命题p ∨ q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件； ③∃m R ∈，使()22m mf x mx+=是幂函数，且在()0,+∞上是单调递增④若数据123,,x x x ，…，n x 的方差为1，则1232,2,2,,2n x x x x ⋅⋅⋅的方差为2 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知x ，y 满足22y x x y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩，且的最大值是最小值的4倍，则a 的值是A ．34 B ．14 C ．211D ．4 5. 如图所示的茎叶图（图一） 为高三某班50名学生的化学考 试成绩，图（二）的算法框图中 输入的i a 为茎叶图中的学生成绩， 则输出的n m ,分别是A ．12,38==n mB ．26,12m n ==C ． 12,12m n ==D ．24,10m n ==6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．3B ．2C ．433D ．23（图一）7．先后掷一枚质地均匀骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ,y ,设事件A 为“y x +为偶数”， 事件B 为“x ,y 中有偶数且y x≠”，则概率)|(A B P 等于A ．31 B ．21 C ．61 D ．41 8.设函数sin ()11cos xf x x=++的所有正的零点从小到大依次为,.....,,321x x x .设1232015....x x x x α=++++，则cos α的值是A.0B.23-C.23D.1 9. 过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为M ，延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点N ，其中13C C 、有一个共同的焦点，若1MF MN =，则曲线1C 的离心率为B.51-C.51+ 10.已知非零向量,,a b c 满足||||4a b b -==，()()0a c b c -⋅-=，若对每一个确定的b ，||c 的最大值和最小值分别为,m n ，则m n -的值为A.随||a 增大而增大B. 随||a 增大而减小C.是2D. 是4 二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一） 必考题（11—14题）11.若1)nx的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，展开式中的常数项为 ___________（用数字作答）.12．已知等差数列{}n a 满足2420122014032a a a a π+++=⎰，n S 是该数列的前n项的和，则2015S = .13．计算12323nn n n n C C C nC +++⋅⋅⋅+，可以采用以下方法：构造等式： 0122n n n n n n C C x C x C x +++⋅⋅⋅+()1nx =+，两边对x 求导，得()112321231n n n n n n n C C x C x nC x n x --+++⋅⋅⋅+=+，在上式中令1x =，得1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋅⋅⋅+=⋅．类比上述计算方法， 计算12223223nn n n n C C C n C +++⋅⋅⋅+=_________．14.如果)(x f y =的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”. 给出下列命题：①函数x y sin =具有“)(a P 性质”；②若奇函数)(x f y =具有“)2(P 性质”，且1)1(=f ，则(2015)1f =；③若函数)(x f y =具有“(4)P 性质”， 图象关于点(10)，成中心对称，且在(1,0)-上单调递减，则)(x f y =在(2,1)--上单调递减,在(1,2)上单调递增；④若不恒为零的函数)(x f y =同时具有“)0(P 性质”和 “(3)P 性质”，且函数)(x g y =对R x x ∈∀21,，都有1212|()()||()()|f x f x g x g x -≥-成立，则函数)(x g y =是周期函数. 其中正确的是(写出所有正确命题的编号)．(二) 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15.如图，圆A 与圆B 交于C 、D 两点，圆心B 在圆A 上，DE 为圆B 的直径，已知4,1==DE CE ，则圆A 的半径为_______.16．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点P 为直线cos sin 40ρθρθ--=上一点，点Q 为曲线2(14x t t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）上一点，则||PQ 的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）在锐角△ABC 中，222cos()sin cos b a c A C ac A A--+=．（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若2a =，当7sin cos()12B C π+-取得最大值时，求B 和b ． 18．（本小题满分12分） 黄冈市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：申请意向年龄摇号竞价（人数）合计 电动小汽车（人数）非电动小汽车（人数）30岁以下（含30岁） 50 100 50 200 30至50岁（含50岁）50 150 300 500 50岁以上 100 150 50 300 合计2004004001000（Ⅰ）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数； （Ⅱ）在（Ⅰ）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率； （Ⅲ）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19.（本小题满分12分）已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，BA ＝AD ＝DC ＝21BC ＝a ，E 是BC 的中点，将△BAE 沿AE 折起到1B AE ∆的位置，使平面1B AE ⊥平面AECD ，F 为B 1D 的中点.（Ⅰ）证明：B 1E ∥平面ACF ；（Ⅱ）求平面ADB 1与平面ECB 1所成锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足4231-⋅-=++n n n n a S ，*N ∈n ，且42,,321+a S a 成等比数列．（Ⅰ）求1a ，2a ，3a 的值； （Ⅱ）设2n n n a b =，n N *∈，求{}n a 的通项公式．21．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>的离心率为636．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线(,2)x t t R t =∈≠上纵坐标不为0的任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求t 的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当||||PQ TF 最小时，求点T 的坐标．22. （本小题满分14分）已知x eexx g m x a mx x f =--=)(,ln )(( 2.71828)e =，其中a m ,均为实数．（Ⅰ）求)(x g 的极值； （Ⅱ）设1,0m a ,求证:对[]2112122121,3,4(),()()()()ex ex x x x x f x f x g x g x ∀∈≠-<-恒成立；（Ⅲ）设2=a ，若对∀给定的(]e x ,00∈，在区间(]e ,0上总存在)(,2121t t t t ≠使得)()()(021x g t f t f ==成立，求m 的取值范围．答 案15- DCCBB 610- CAADD11.15 12. 4030 13. 2(1)2n n n -+⋅ 14. ①③④ 15. 4 16.32217.18.19（1）连结ED 交AC 于O ，连结OF ，因为AECD 为菱形，OE=OD 所以FO ∥B 1E ， 所以1//B E ACF 面。
全国重点高中黄冈中学2016年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(附答案)(6)
16 ） 5
k 上，此时下列结论不正确的是（ ） x 12 12 B、 AC 边的高为 C、 双曲线为 y = D、 此时点 A 与点 O 距离 5 x
）
最大 10、设 min｛x,y｝表示 x,y 两个数中的最小值，例如 min｛0,2｝=0，min｛12,8｝=8，则关于 x 的函数 y 可以表示为（ A. y
1 2 x 2 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于 C 2
O 第2题 第
B 3
x
题 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 12cm，E 为 CD 边上一点，DE=5cm．以点 A 为中心， cm． 将△ADE 按顺时针方向旋转得△ABF，则点 E 所经过的路径长为 3、 如图，在平面直角坐标系中有一正方形 AOBC,反比例函数过正方形 AOBC 对角线的交点， 半径为( 4 2 2 )的圆内切于△ABC，则 k 的值为________。 4、如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a）(a＞2)，半径为 2，函数 y=x 的图象 被⊙P 割的弦 AB 的长为 2 3 ，则 a 的值是________。 5. 如 图 ， AB 是 ⊙ O 的 直 径 ， 点 D,C 在 ⊙ O 上 ， 连 结 AD 、 BD 、 DC 、 AC ， 如 果 ∠BAD=25°，那么∠C 的度数是 。
14、（本题满分 8 分）某足球学会举办了一次足球联赛，其积分规则及奖励方案如下表： 胜一场 积分 3 平一场 1 负一场 0
奖金（元 /
1500
700
0
人） 当比赛进行到 12 轮结束（每队均需比赛 12 场）时，A 队共积 19 分。请通过计算判断 A 队胜、平、负各几场？
15、 （本题满分 9 分）是 14．（6 分）已知 a、 b、 c 为整数，且满足 3+a2+b2+c2＜ab+3b+2c， 求 的值．
黄冈中学2015年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(C卷)
黄冈中学2014年自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题（C 卷）时间120分钟满分120分一、选择题(本大题共5小题,每小题5分,共25分．每小题恰有一个正确的答案,请将正确答案的代号填入题中相应的括号内）1、已知实数a 、b 、c 满足2|a+3| +4－b=0，c 2+4b －4c －12 =0，则a+b+c 的值为（ ） A ．0 B ．3 C ．6 D ．92、已知关于x 的不等式a x＜6的解也是不等式352a x -＞2a －1的解，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥－116 B ．a ＞－116 C ．－116≤a ＜0 D ．以上都不正确 3、已知点A ),(11y x 、B ),(22y x 均在抛物线)30(422<<++=a ax ax y 上，若21x x <，a x x -=+121，则（ ）A ．21y y >B ．21y y <C ．21y y =D ．1y 与2y 的大小不能确定 4、如图，在四边形ABCD 中，AB=AC ，∠ABD=60°，∠ADB=76°，∠BDC=28°，延长BD 至点E ，使得DE=DC ，连结AE ，则∠DBC 的度数为（ ）A ．18°B ．16°C ．15°D ．14°5、代数式9)12(422+-++x x 的最小值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．11二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将正确答案填在各小题后的横线上）6、已知点A （0，2）、B （4，0），点C 、D 分别在直线1=x 与2=x 上，且CD x //轴，则AC+CD+DB 的最小值为 .7、如图，在等边△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，D 为MN 上任意一点，BD 、CD 的延长线分别交AC 、AB 于点E 、F ，若311=+BFCE ，则S △ABC =__________. 8、已知实数a 、b 、c 满足2|210|)6)(2005(2=-+-++++b b a c b a ，则代数式ab+bc 的值为__________。
2015年黄冈中学理科实验班(自主招生)预录招生数学模拟试题(C卷)
2 ． 设 D 是 △ ABC 的 边 AB 上 的 一 点 ， 作 DE//BC 交 AC 于 点 E ， 作 DF//AC 交 BC 于 点 F ， 已 知 △ADE、△DBF 的面积分别为 m 和 n ，则四边形 DECF 的面积为___ 2 mn ___.
3．如果实数 a, b 满足条件 a 2 b 2 1 ， |1 2a b | 2 a 1 b 2 a 2 ，则 a b __ 1 ____.
3 . 14
B.
3 . 7
C.
1 . 2
D.
4 . 7
A D
5 ． 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 3 ， BC ＝ 2 ，以 BC 为直径在矩形内作半圆，自点 A 作 半圆的切线 AE，则 sin CBE＝ （ D ） A.
6 . 3
B.
2 . 3
C.
1 . 3
D.
10 . 10 n 1909 为完全平方数的 n 的个数是 2009 n
F B
在直角三角形 ABC 中，AC＝3，BC＝4， AB = 又 CD⊥AB，由射影定理可得 A D =
AC2 + BC2 5 .
A
D E I1
I2
16 AC2 9 ，故 BD = AB AD ， 5 AB 5
C
CD = AC 2 AD 2
12 . 5 1 3 (AD CD AC) . 2 5
因为 I1 E 为直角三角形 ACD 的内切圆的半径，所以 I1 E ＝
连接 D I1 、D I 2 ，则 D I1 、D I 2 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线，所以∠ I1 DC＝∠ I1 DA＝∠ I 2 DC＝∠ I 2
2015年湖北省黄冈实验中学中考数学模拟试卷(6月份)
2015年湖北省黄冈实验中学中考数学模拟试卷（6月份）一、选择题（下列个题四个选项中，有且仅有一个是正确的．每小题3分，共21分）1．9的平方根为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．2．下列计算正确的是（）A．x2+x3=2x5B．m8÷m2=m4C．（m﹣n）2=m2﹣n2D．（x2）3=x63．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥1且x≠±2 C．x≠±2 D．x≥1且x≠24．过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示，它的俯视图为（）A．B．C．D．5．点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为3，则k=（）A．3 B．6 C．±3 D．±66．一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的底面半径是（）A．1 B．C．D．7．如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=2，则△A5B5A6的边长为（）A．8 B．16 C．24 D．32二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）8．分解因式：ab2﹣4ab+4a=．9．不等式组的解集为．10．如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是．11．化简÷=．12．已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是．13．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则（1）OA的长为，（2）点C的坐标为．14．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t（s），当△APQ是直角三角形时，t的值为．三、解答题（本大题共10小题，满分共78分）15．解方程组．16．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？17．如图是我市某校八年级学生为贫困山区学生捐款情况抽样调查的条形图和扇形统计图．（1）求本次抽样的学生有多少人；（2）在扇形统计图中，求该样本中捐款15元的人数所占的圆心角度数；（3）若该校八年级学生有800人，据此样本求八年级捐款总数．18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，以AD为斜边在△ABC外作等腰直角三角形AED，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．19．有A、B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2和﹣3．小强从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为a，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为b，这样就确定点Q的一个坐标为（a，b）．（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；（2）求点Q落在直线y=x﹣3上的概率．20．平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣6，0），B（4，0），C（5，3），反比例函数y=的图象经过点C．（1）求此反比例函数的解析式；（2）将平行四边形ABCD沿x轴翻折得到平行四边形AD′C′B，请你通过计算说明点D′在双曲线上；（3）请你画出△AD′C，并求出它的面积．21．如图，AB是⊙O的直径．半径OD垂直弦AC于点E．F是BA延长线上一点，∠CDB=∠BFD．（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明；（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．22．如图，两建筑物的水平距离BC是30m，从A点测得D点的俯角α是35°，测得C点的俯角β为43°，求这两座建筑物的高度．（结果保留整数）23．在黄冈建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．24．如图，已知抛物线y=x2﹣2x+m交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C点，且OB=OC，连接BC，（1）直接写出m的值和B，C两点的坐标；（2）P点在直线BC下方的抛物线上，△BCP的面积为S，求S最大时，P的坐标；（3）抛物线的对称轴交抛物线于D点，交x轴于E点，在抛物线上是否存在点M，过M点作MN ⊥BD于N点，使△DMN与△BDE相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．2015年湖北省黄冈实验中学中考数学模拟试卷（6月份）参考答案与试题解析一、选择题（下列个题四个选项中，有且仅有一个是正确的．每小题3分，共21分）1．9的平方根为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．【考点】平方根．【专题】计算题．【分析】根据平方根的定义求解即可，注意一个正数的平方根有两个．【解答】解：9的平方根有：=±3．故选C．【点评】此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．2．下列计算正确的是（）A．x2+x3=2x5B．m8÷m2=m4C．（m﹣n）2=m2﹣n2D．（x2）3=x6【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【专题】计算题；实数．【分析】A、原式不能合并，错误；B、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断；C、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断；D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式不能合并，错误；B、原式=m6，错误；C、原式=m2﹣2mn+n2，错误；D、原式=x6，正确，故选D【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．3．函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥1且x≠±2 C．x≠±2 D．x≥1且x≠2【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0且x2﹣4≠0，解得x≥1且x≠±2，所以，x≥1且x≠2．故选D．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．4．过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示，它的俯视图为（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】俯视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可作出判断．【解答】解：所给图形的俯视图是B选项所给的图形．故选B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握俯视图是从上向下看得到的视图．5．点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为3，则k=（）A．3 B．6 C．±3 D．±6【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】计算题．【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=3，然后去绝对值即可得到k的值．【解答】解：根据题意得S△AOB=|k|，所以|k|=3，解得k=±6．故选D．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．6．一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的底面半径是（）A．1 B．C．D．【考点】圆锥的计算．【分析】用到的等量关系为：圆锥的弧长=底面周长．【解答】解：设底面半径为R，则底面周长=2Rπ，半圆的弧长=×2π×=2πR，∴R=．故选C．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=2，则△A5B5A6的边长为（）A．8 B．16 C．24 D．32【考点】等边三角形的性质．【专题】规律型．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2得出答案．【解答】解：如图所示：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=2，∴A2B1=2，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=8，A4B4=8B1A2=16，A5B5=16B1A2=32；故选：D．【点评】本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出规律A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2是解题关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）8．分解因式：ab2﹣4ab+4a=a（b﹣2）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．【解答】解：ab2﹣4ab+4a=a（b2﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式）=a（b﹣2）2．﹣﹣（完全平方公式）故答案为：a（b﹣2）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．9．不等式组的解集为x＜1．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x＜1，由②得，x≤2，故此不等式组的解集为：x＜1．故答案为：x＜1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次不等式组应遵循的原则“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”．10．如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是63°．【考点】平行线的性质．【分析】先根据三角形外角性质得∠BFD=∠E+∠D=63°，然后根据平行线的性质得到∠ABE=∠BFD=63°．【解答】解：如图，∵∠BFD=∠E+∠D，而∠D=27°，∠E=36°，∴∠BFD=36°+27°=63°，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BFD=63°．故答案为：63°．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．11．化简÷=1．【考点】分式的乘除法．【分析】首先将分式的分子与分母分解因式，进而利用分式乘除运算法则求出即可．【解答】解：原式=×=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确分解因式是解题关键．12．已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是．【考点】根与系数的关系．【分析】由于已知方程的一根2﹣，并且一次项系数也已知，根据两根之和公式可以求出方程的另一根．【解答】解：设方程的另一根为x1，由x1+2﹣=4，得x1=2+．【点评】根据方程中各系数的已知情况，合理选择根与系数的关系式是解决此类题目的关键．13．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则（1）OA的长为2，（2）点C的坐标为（﹣，1）．【考点】正方形的性质；坐标与图形性质．【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可求出OA的长；（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（1，），∴OA==2，故答案为：2；（2）如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故答案为（﹣，1）．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．14．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t（s），当△APQ是直角三角形时，t的值为3﹣，．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．【专题】动点型．【分析】应分两种情况进行讨论：①当PQ⊥AC时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ABC，可将时间t求出；②当PQ⊥AB时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ACB，可将时间t求出．【解答】解：∵AB是直径，∴∠C=90°，又∵BC=2cm，∠ABC=60°，∴AB=2BC=4，AC=2，则AP=（4﹣2t）cm，AQ=t，∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，∴0＜t≤2，①如图1，当PQ⊥AC时，PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，∴，∴，解得t=3﹣，②如图2，当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB，则，故，解得t=，故答案为：3﹣，．【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的性质、直角三角形的性质等知识的综合应用能力．在求时间t时应分情况进行讨论，防止漏解．三、解答题（本大题共10小题，满分共78分）15．解方程组．【考点】解二元一次方程组．【分析】方程组整理后，利用代入消元法求出解即可．【解答】解：方程组整理得：，由②得：x=5y﹣3③，把③代入①得：25y﹣15﹣11y=﹣1，即y=1，把y=1代入③得：x=2，则方程组的解为【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．16．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？【考点】分式方程的应用．【专题】应用题．【分析】设原来每天制作x件，根据原来用的时间﹣现在用的时间=10，列出方程，求出x的值，再进行检验即可．【解答】解：设原来每天制作x件，根据题意得：﹣=10，解得：x=16，经检验x=16是原方程的解，答：原来每天制作16件．【点评】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，本题的等量关系是原来用的时间﹣现在用的时间=10．17．如图是我市某校八年级学生为贫困山区学生捐款情况抽样调查的条形图和扇形统计图．（1）求本次抽样的学生有多少人；（2）在扇形统计图中，求该样本中捐款15元的人数所占的圆心角度数；（3）若该校八年级学生有800人，据此样本求八年级捐款总数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）用捐款5元的人数除以它所占的百分比即可解答；（2）用样本容量分别减去捐款5元的人数和捐款10元的人数得到捐款15元的人数，于是可计算出捐款15元的人数的百分比，然后用360°乘以这个百分比即可得到捐款15元的人数所占的圆心角的度数；（3）先样本的平均数，根据样本估计总体，用800乘以这个平均数可估计出九年级学生捐款总数．【解答】解：（1）15÷30%=50（人），答：本次抽样的学生有50人；（2）捐款15元的人数=50﹣15﹣25=10（人），360°×=72°，答：该样本中捐款15元的人数所占的圆心角度数为72°；（3）据此信息可估计该校六年级学生每人捐款为：（5×15+10×25+15×10）÷（15+25+10）=720÷50=9.5（元）9.5×800=7600（元）．答：八年级捐款总数为7600元．【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了样本估计总体和扇形统计图．18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，以AD为斜边在△ABC外作等腰直角三角形AED，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】求出AB=DC，∠EAB=∠EDC，根据SAS证△EAB≌△EDC推出∠AEB=∠DEC，EB=EC 即可．【解答】BE=EC，BE⊥EC．证明：∵AC=2AB，点D是AC的中点，∴AB=AD=CD，∵∠EAD=∠EDA=45°，∴∠EAB=∠EDC=135°，∵在△EAB和△EDC中，，∴△EAB≌△EDC（SAS），∴∠AEB=∠DEC，EB=EC，∴∠BEC=∠AED=90°，∴BE=EC，BE⊥EC．【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△EAB≌△EDC．19．有A、B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2和﹣3．小强从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为a，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为b，这样就确定点Q的一个坐标为（a，b）．（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；（2）求点Q落在直线y=x﹣3上的概率．【考点】列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）首先根据题意画树状图，根据树状图可以求得点Q的所有可能坐标；（2）根据（1）中的树状图，求得点Q落在直线y=x﹣3上的情况，根据概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：∴点Q的坐标有（1，﹣1），（1，﹣2），（1，﹣3），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣3）；（2）∵点Q落在直线y=x﹣3上的有（1，﹣2），（2，﹣1），∴“点Q落在直线y=x﹣3上”记为事件A，∴P（A）==，即点Q落在直线y=x﹣3上的概率为．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣6，0），B（4，0），C（5，3），反比例函数y=的图象经过点C．（1）求此反比例函数的解析式；（2）将平行四边形ABCD沿x轴翻折得到平行四边形AD′C′B，请你通过计算说明点D′在双曲线上；（3）请你画出△AD′C，并求出它的面积．【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）根据反比例函数图象点的坐标特征把C点坐标代入y=，求出k的值即可确定反比例函数解析式；（2）先计算出AB=10，再根据平行四边形的性质得CD=10，则可确定D点坐标为（﹣5，3），然后根据关于x轴对称的点的坐标特征得D′的坐标为（﹣5，﹣3）再根据反比例函数图象点的坐标特征判断点D′在双曲线上；（3）由于点C坐标为（5，3），D′的坐标为（﹣5，﹣3），则点C和点D′关于原点中心对称，根据中心对称的性质得点D′、O、C共线，且OC=OD′，然后利用S△AD′C=S△AD′O+S△AOC=2S△AOC进行计算．【解答】解：（1）∵C（5，3）在反比例函数y=的图象上，∴=3，∴k=15，∴反比例函数解析式为y=；（2）∵A（﹣6，0），B（4，0），∴AB=10，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=10，而C点坐标为（5，3），∴D点坐标为（﹣5，3），∵平行四边形ABCD和平行四边形AD′C′B关于x轴对称，∴D′的坐标为（﹣5，﹣3），∵﹣5×（﹣3）=15，∴点D′在双曲线y=上；（3）如图，∵点C坐标为（5，3），D′的坐标为（﹣5，﹣3），∴点C和点D′关于原点中心对称，∴点D′、O、C共线，且OC=OD′，∴S△AD′C=S△AD′O+S△AOC=2S△AOC=2××6×3=18．【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质和轴对称、中心对称的性质；会运用图形与坐标的关系计算线段的长和三角形面积公式．21．如图，AB是⊙O的直径．半径OD垂直弦AC于点E．F是BA延长线上一点，∠CDB=∠BFD．（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明；（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO=90°，进而得出答案；（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．【解答】解：（1）DF与⊙O相切．∵∠CDB=∠CAB，又∵∠CDB=∠BFD，∴∠CAB=∠BFD．∴AC∥DF．∵半径OD垂直于弦AC于点E，∴OD⊥DF．∴DF与⊙O相切．（2）∵半径OD垂直于弦AC于点E，AC=8，∴．∵AB是⊙O的直径，∴．在Rt△AEO中，．∵AC∥DF，∴△OAE∽△OFD．∴．∴．∴．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，得出△OAE∽△OFD是解题关键．22．如图，两建筑物的水平距离BC是30m，从A点测得D点的俯角α是35°，测得C点的俯角β为43°，求这两座建筑物的高度．（结果保留整数）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB，则四边形BCDE为矩形，在Rt△ADE中，∠ADE=35°，DE=30，∴AE=DEtan∠ADE=30×tan35°≈30×0.7≈21；在Rt△ABC中，∠ACB=43°，CB=30，∴AB=BCtanβ=30×tan43°≈30×0.93≈28；则DC=AB﹣AE=28﹣21=7．∴AB=28m，DC=7m．即两座建筑物的高度分别为28m，7m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．23．在黄冈建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）因为25＜28＜30，所以把x=28代入y=40﹣x即可求出该产品的年销售量为多少万件；（2）由（1）中y于x的函数关系式和根据年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本，得到w和x 的二次函数关系，再有x的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利还是亏损，若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？（3）由题目的条件得到w和x在自变量x的不同取值范围的函数关系式，再分别当w≥67.5，求出对应x的范围，结合y于x的关系中的x取值范围即可确定此时销售单价的范围．【解答】解：（1）∵25＜28＜30，y=，∴把x=28代入y=40﹣x得，∴y=12（万件），答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件；（2）①当25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x2+60x﹣925=﹣（x﹣30）2﹣25，故当x=30时，W最大为﹣25，即公司最少亏损25万；②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x2+35x﹣625=﹣（x﹣35）2﹣12.5故当x=35时，W最大为﹣12.5，即公司最少亏损12.5万；对比①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；（3）①当25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x2+61x﹣862.5，令W=67.5，则﹣x2+61x﹣862.5=67.5，化简得：x2﹣61x+930=0，解得：x1=31；x2=30，此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，x=30；②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣0.5x2+35.5x﹣547.5，令W=67.5，则﹣0.5x2+35.5x﹣547.5=67.5，化简得：x2﹣71x+1230=0，解得：x1=30；x2=41，此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30＜x≤35，答：到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是30≤x≤35．【点评】本题主要考查二次函数在实际中应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要弄懂题意，确定变量，建立函数模型解答，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值．24．如图，已知抛物线y=x2﹣2x+m交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C点，且OB=OC，连接BC，（1）直接写出m的值和B，C两点的坐标；（2）P点在直线BC下方的抛物线上，△BCP的面积为S，求S最大时，P的坐标；（3）抛物线的对称轴交抛物线于D点，交x轴于E点，在抛物线上是否存在点M，过M点作MN ⊥BD于N点，使△DMN与△BDE相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用OB=OC进而表示出B点坐标，进而求出即可；（2）首先求出BC的解析式，进而利用配方法求出抛物线的顶点坐标得出答案；（3）分别利用①若M在对称轴左边的抛物线上，②若M在对称轴右边的抛物线上，求出M点坐标即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣2x+m交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C点，且OB=OC，∴CO=﹣m，BO=﹣m，则B点坐标为：（﹣m，0），将B点坐标代入y=x2﹣2x+m得：0=m2+2m+m，解得：m 1=﹣3，m 2=0（不合题意舍去），则B （3，0），C （0，﹣3）；（2）抛物线y=x 2﹣2x ﹣3，设直线BC 的解析式为y=kx +b ，由解得：，∴直线BC 的解析式为y=x ﹣3，设P （x ，y ），则S=×3[（x ﹣3）﹣（x 2﹣2x ﹣3）]=﹣x 2+x ，=﹣（x ﹣）2+，∴y=（）2﹣2×﹣3=﹣，∴P 的坐标为（，﹣）；（3）存在．D （1，﹣4）， ①如图，若M 在对称轴左边的抛物线上，记为M 1，M 1N 1⊥BD 于N 1，当△M 1DN 1∽△DBE 时，∠M 1DN 1=∠DBE延长DM 1交x 轴于G 点，则DG=BG ，设G 点坐标为（x ，0），BG=x +3由勾股定理得DG==，∴x +3=， 解得，x=2，∴G 点坐标为（﹣2，0），可得直线DG 的解析式为：y=﹣x ﹣，由解得，，∴M1的坐标为：（﹣，﹣）；②如图，若M在对称轴右边的抛物线上，记为M2，M2N2⊥BD于N2，当BH⊥x轴于点B，BH=DH，设BH=x，则DH=x，故（4﹣x）2+22=x2，解得：x=，则H（3，﹣），可得直线DH的解析式为：y=x﹣，故，解得：，可得M2的坐标为（，﹣），综上所述：M点的坐标为：（﹣，﹣）或（，﹣）．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想得出M点坐标是解题关键．。
黄冈2015年中考数学模拟试题(6)
EFDB CA DACB黄冈2015年中考数学模拟试题(6）2015。
4.8 一、选择题（每小题3分，共24分）1、设13x =x 的值满足 （ ）A 。
1＜x ＜2B. 2＜x ＜3C. 3＜x ＜4 D 。
4＜x ＜52、下列运算正确的是 ( )A. 235(2)8x x -=-B 。
236x x x ⋅=C. 2233a a -= D. 22(34)(34)916a b a b a b -+=- 3、方程2816x x -=-的根的情况是 ( )A 。
只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根C 。
有两个相等的实数根D 。
没有实数根 4、如图，下列条件中能判断直线a ∥b 的是 ( )A ．∠1=∠2B ．∠1=∠5C ．∠1+∠3=180°D ．∠3=∠55、下列电视台的台标，是中心对称图形的是 ( ）ABCD6、如图,由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的左视图为 （ )ABCD7、圆锥底面圆的半径为3m ,其侧面展开图是半圆,则圆锥母线长为 （ ） A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm8、如图，正方形ABCD 中,AB ＝8cm ，对角线AC ,BD 相交于点O ，点E ， F 分别从B ，C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ， D 时停止运动．设运动时间为t (s )，△OEF 的面积为S （cm 2),则S (cm 2) 与t (s ）的函数关系可用图象表示为( ）二、填空题（每小题3分，共21分）9、据《经济日报》报道,黄冈市2013年累计接待游客1362万人次，旅游总收入达75亿元. 同比增幅双双超过30％，其中数据1362万用科学记数法表示为 . 10、在实数范围内分解因式 318x x -= 。
11、如图,△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，若BF=AC ，那么∠ABC 的大小是 。
黄冈中学理科实验班预录考试数学模拟试题四
黄冈中学理科实验班预录考试数学模拟试题四（时间：120分钟 满分：120分 命题人：金小雷）一、选择题（每小题5分，共25分。
）1、下列图中阴影部分面积与算式2131242-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的结果相同的是………………【 】2、下列命题中正确的个数有……………………………………………………………【 】① 实数不是有理数就是无理数；② a ＜a ＋a ；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内， 非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。
甲旅行社告知：父母买全票，女儿按 半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。
若这两家旅行社每人的原标价相同，那么……………………………………………………………………【 】 A 、甲比乙更优惠 B 、乙比甲更优惠 C 、甲与乙相同 D 、与原标价有关 4、如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为【 】A 、2πB 、πC 、32D 、45、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m 个，最少有n 个，则m n + 等于……………………………………………………………………………【 】 A 、36 B 、37 C 、38 D 、39 二、填空题（每小题5分，共40分）1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过 小时，两人相遇。
2、若化简16812+---x x x 的结果为52-x ，则x 的取值范围是 。
3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。
甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩4、已知点A 是一次函数x y =的图像与反比例函数xy =的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OB OA =（O 为坐标原点），则AOB ∆的面积为 。
湖北省黄冈市初升高初中数学提前录取模拟试题(一)(含解析)【含解析】
2015年湖北省黄冈中学提前录取数学模拟试卷（1）一、选择题1．若a 为实数，则化简的结果是（ ） A ．﹣a B ．aC ．±aD ．|a| 2．如果x 2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．1或﹣1D ．1或﹣33．如图，点A 、B 、C 顺次在直线l 上，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点．若想求出MN 的长度，那么只需条件（ ）A ．AB=12B ．BC=4C ．AM=5D ．CN=24．如图，正方形ABCD 的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）A ．B ．1﹣C ．﹣1D ．1﹣5．已知关于x 的方程（2a+b ）x ﹣1=0无解，那么ab 的值是（ ）A ．负数B ．正数C ．非负数D ．非正数6．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（ ）A ．1.2元B ．1.05元C ．0.95元D ．0.9元7．如图，在线段AE 同侧作两个等边三角形△ABC 和△CDE （∠ACE ＜120°），点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则△CPM 是（ ）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形8．如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜2 B．C．D．9．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM 交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：1010．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B．C．D．二、填空题11．如果不等式组无解，则a的取值范围是．12．若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为．13．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是．14．已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c=0；②acosθ﹣bsinθ+d=0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：．15．函数y=|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|的最小值是．16．如图，在△ABC中，AB=AC=，BC=2，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC两边于点D、E，则△CDE的面积为．17．已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p的取值范围是．18．若直线y=b（b为实数）与函数y=|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是．三、解答题（共4小题，共50分）19．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值．20．如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P．（1）求证：PA•PE=PC•PF；（2）求证：；（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE：EP=3：4：5时，求△PEC与△FAP的面积的比值．21．观察下列各个等式：12=1，12+22=5，12+22+32=14，12+22+32+42=30，…．（1）你能从中推导出计算12+22+32+42+…+n2的公式吗？请写出你的推导过程；（2）请你用（1）中推导出的公式来解决下列问题：已知：如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OAn等分，分点从左到右依次为A1、A2、A3、A4、A5、A6、…、A n﹣1，分别过这n﹣1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点B1、B2、B3、B4、B5、B6、…、B n﹣1，设△OBA1、△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…、△A n﹣1B n﹣1A的面积依次为S1、S2、S3、S4、…、Sn．①当n=2013时，求s1+s2+s3+s4+…+s2013的值；②试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？22．（14分）已知：直角三角形AOB中，∠AOB=90°，OA=3厘米，OB=4厘米．以O为坐标原点如图建立平面直角坐标系．设P、Q分别为AB边，OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，移动的速度都为1厘米每秒．设P、Q运动的时间为t秒（0≤t≤4）．（1）求△OPQ的面积S与（厘米2）与t的函数关系式；并指出当t为何值时S的最大值是多少？（2）当t为何值时，△BPQ和△AOB相似；（3）当t为何值时，△OP Q为直角三角形；（4）①试证明无论t为何值，△OPQ不可能为正三角形；②若点P的移动速度不变，试改变点Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值．2015年湖北省黄冈中学提前录取数学模拟试卷（1）参考答案与试题解析一、选择题1．若a为实数，则化简的结果是（）A．﹣a B．a C．±a D．|a|【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】利用二次根式的性质进行化简计算．【解答】解：∵当a＜0时， =|a|=﹣a．当a＞0时， =|a|=a．故选D．【点评】此题主要考查二次根式的性质和化简，计算时要仔细，是一道基础题．2．如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或﹣3【考点】完全平方式．【专题】计算题．【分析】本题考查完全平方公式的灵活应用，这里首末两项是x和1的平方，那么中间项为加上或减去x和1的乘积的2倍．【解答】解：∵x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，∴﹣（m+1）x=±2×1•x，解得：m=1或m=﹣3．故选D．【点评】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．3．如图，点A、B、C顺次在直线l上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．若想求出MN的长度，那么只需条件（）A．AB=12 B．BC=4 C．AM=5 D．CN=2【考点】比较线段的长短．【专题】计算题．【分析】根据点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，可知：，继而即可得出答案．【解答】解：根据点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，可知：，∴只要已知AB即可．故选A．【点评】本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．4．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣【考点】扇形面积的计算．【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即﹣1=．【解答】解：如图：正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．故选：A．【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．5．已知关于x的方程（2a+b）x﹣1=0无解，那么ab的值是（）A．负数 B．正数 C．非负数D．非正数【考点】一元一次方程的解．【专题】计算题．【分析】根据一元一次方程ax=b无解，则a=0，b≠0，依此可以得出关于x的方程（2a+b）x﹣1=0中2a+b=0，从而得出ab的取值范围．【解答】解：关于x的方程（2a+b）x﹣1=0无解，则2a+b=0．∴有a=b=0或者a、b异号．∴ab的值为非正数．故选D．【点评】本题考查了一元一次方程的解．注意形如ax=b的方程无解，a=0，b≠0．6．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元【考点】三元一次方程组的应用．【分析】设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，建立三元一次方程组，两个方程相减，即可求得x+y+z的值．【解答】解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，根据题意得，②﹣①得x+y+z=1.05（元）．故选：B．【点评】解答此题的关键是根据题意列出方程组，同时还要有整体思想．7．如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】首先根据等边三角形的性质，得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，则∠BCE=∠ACD，从而根据SAS证明△BCE≌△ACD，得∠CBE=∠CAD，BE=AD；再由点P与点M分别是线段BE和AD的中点，得BP=AM，根据SAS证明△BCP≌△ACM，得PC=MC，∠BCP=∠ACM，则∠PCM=∠ACB=60°，从而证明该三角形是等边三角形．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°．∴∠BCE=∠ACD．∴△BCE≌△ACD．∴∠CBE=∠CAD，BE=AD．又点P与点M分别是线段BE和AD的中点，∴BP=AM．∴△BCP≌△ACM．∴PC=MC，∠BCP=∠ACM．∴∠PCM=∠ACB=60°．∴△CPM是等边三角形．故选：C．【点评】三角形中位线性质应用比较广泛，尤其是在三角形、四边形方面起着非常重要作用，本题结合三角形全等的知识，考查了等边三角形的性质．8．如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜2 B．C．D．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】根据方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则方程一定有两个实数根，即△≥0，关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根⇔（1）当方程有两个相等的正根，（2）当方程有两个不相等的根，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，②若方程有两个正根，结合二次方程的根的情况可求．【解答】解：∵△=a2﹣4（a2﹣3）=12﹣3a2（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，若a=2，此时方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合条件，若a=﹣2，此时方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去，（2）当方程有两个根时，△＞0可得﹣2＜a＜2，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤，而a=﹣时不合题意，舍去．所以﹣＜a≤符合条件，②若方程有两个正根，则，解可得 a＞，综上可得，﹣＜a≤2．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程根的应用，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．9．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM 交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】连接EM，根据已知可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，根据相似比从而不难得到答案．【解答】解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选D．【点评】此题主要考查相似三角形的性质的理解及运用．10．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B．C．D．【考点】三角形三边关系．【分析】根据勾股定理可知x的平方取值范围在2与3的平方和与平方差之间．【解答】解：因为32﹣22=5，32+22=13，所以5＜x2＜13，即．故选B．【点评】本题考查了锐角三角形的三边关系定理，有一定的难度．二、填空题11．如果不等式组无解，则a的取值范围是a≤1 ．【考点】解一元一次不等式组．【分析】根据不等式组解集的定义可知，不等式x﹣1＞0的解集与不等式x﹣a＜0的解集无公共部分，从而可得一个关于a的不等式，求出此不等式的解集，即可得出a的取值范围．【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得x＞1，解不等式x﹣a＜0，x＜a．∵不等式组无解，∴a≤1．【点评】本题中由两个一元一次不等式组成的不等式组无解，根据“大大小小无解集”，可知x﹣1＞0的解集不小于不等式x﹣a＜0的解集，尤其要注意不要漏掉a=1．12．若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为（4，33）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题．【分析】把含p的项合并，只有当p的系数为0时，不管p取何值抛物线都通过定点，可求x、y的对应值，确定定点坐标．【解答】解：y=2x2﹣px+4p+1可化为y=2x2﹣p（x﹣4）+1，分析可得：当x=4时，y=33；且与p的取值无关；故不管p取何值时都通过定点（4，33）．【点评】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断．13．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是 4.8 ．【考点】解直角三角形；菱形的性质．【专题】计算题．【分析】设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，解直角△ABE即可求得x 的值，即可求得BE、AE的值，根据AB、PE的值和△ABE的面积，即可求得PE的最小值．【解答】解：设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，因为AE⊥BC于E，所以在Rt△ABE中，cosB=，又cosB=，于是，解得x=10，即AB=10．所以易求BE=8，AE=6，当EP⊥AB时，PE取得最小值．故由三角形面积公式有：AB•PE=BE•AE，求得PE的最小值为4.8．故答案为 4.8．【点评】本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键．14．已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c=0；②acosθ﹣bsinθ+d=0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：a2+b2=c2+d2．【考点】同角三角函数的关系．【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin2θ+cos2θ=1，即可找到这四个数的关系．【解答】解：由①得 asinθ+bcosθ=c，两边平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ=c2③由②得 acosθ﹣bsinθ=﹣d，两边平方，a2cos2θ+b2sin2θ﹣2absinθcosθ=d2④③+④得a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）=c2+d2∴a2+b2=c2+d2．【点评】本题考查了sin2θ+cos2θ=1的应用．15．函数y=|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|的最小值是8 ．【考点】函数值．【专题】计算题；分类讨论．【分析】根据式子特点，分x≤1，1＜x≤2，2＜x≤3，3＜x≤4，x＞4几种情况讨论．【解答】解：①x≤1时，y=1﹣x+2（2﹣x）+3（3﹣x）+4（4﹣x）=30﹣10x，当x=1时，y最小值=30﹣10=20；②1＜x≤2时，y=x﹣1+2（2﹣x）+3（3﹣x）+4（4﹣x）=﹣8x+28，当x=2时，y最小值=28﹣16=12；③2＜x≤3时，y=x﹣1+2（x﹣2）+3（3﹣x）+4（4﹣x）=﹣4x+20，当x=3时，y最小值=20﹣12=8；④3＜x≤4时，y=x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（4﹣x）=2x+2，无最小值；⑤x＞4时，y=x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（x﹣4）=10x﹣30，无最小值．综上所述，原式的最小值为8．【点评】通过分类讨论，将原函数转化为分段函数，再根据x的取值范围求出各段的最小值，取其最小者，即为原函数最小值．16．如图，在△ABC中，AB=AC=，BC=2，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC两边于点D、E，则△CDE的面积为．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理．【分析】连接DE，由∠B+∠ADE=180°，∠ADE+∠EDC=180°得∠B=∠EDC，证△EDC∽△ABC，则再由相似三角形的面积之比等于边长比的平方．【解答】解：连接DE．在⊙O中，∠B+∠ADE=180°，又∠ADE+∠EDC=180°，则∠B=∠EDC，∠ACB=∠ECD，△EDC∽△ABC，由于AB为直径，AB=AC，则AE⊥BC，E为BC中点，EC=1，AE=2则==5．∵S△ABC=×2×2=2，∴S△EDC=．【点评】本题考查了相似三角形的性质，面积之比等于对应边之比的平方．17．已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p的取值范围是p＜﹣1 ．【考点】一元二次方程根的分布．【分析】首先设f（x）=x2+2px+1，由关于x的方程x2+2px+1=0有两个实数根，可得判别式△＞0，则可求得P＞1或P＜﹣1，又由此二次函数的开口向上与两个实数根一个小于1，另一个大于1，可得f（1）＜0，即可求得实数p的取值范围．【解答】解：设f（x）=x2+2px+1，∵关于x的方程x2+2px+1=0有两个实数根，∴△=4p2﹣4＞0，解得：P＞1或P＜﹣1，∵关于x的方程x2+2px+1=0开口向上，∴两个实数根一个大于1，另一个小于1（如草图），∴f（1）=1+2p+1=2p+2＜0，∴P＜﹣1，∴P的范围是：P＜﹣1．【点评】此题考查了一元二次方根的分布，函数的性质与一元二次不等式的解法．此题难度较大，解题的关键是掌握函数思想与数形结合思想的应用，还要注意二次函数的性质的灵活应用．18．若直线y=b（b为实数）与函数y=|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是0＜b≤1 ．【考点】二次函数的性质．【分析】先求x2﹣4x+3=0时x的值，再求x2﹣4x+3＞0和x2﹣4x+3＜0时，自变量的取值范围及对应的函数式，求函数式的取值范围，判断符合条件的b的值的范围．【解答】解：∵当x2﹣4x+3=0时，x=1或x=3，∴当x＜1或x＞3时，x2﹣4x+3＞0，即：y=|x2﹣4x+3|，函数值大于0，当1＜x＜3时，﹣1≤x2﹣4x+3＜0，即：y=|﹣x2+4x﹣3|，函数最大值为1，故符合条件的实数b的取值范围是0＜b≤1．【点评】本题是分段函数的问题，按照绝对值里的数的符号，分段求函数，再求符合条件的b值范围．三、解答题（共4小题，共50分）19．（2015•永春县自主招生）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值．【考点】二次函数的性质；根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．（1）∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2m2﹣10m+10=6∴，∵﹣1≤m＜1，∴；（2）==（﹣1≤m＜1）．∴当m=﹣1时，式子取最大值为10．【点评】本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac来求出m的取值范围；利用根与系数的关系x1+x2=，x1x2=来化简代数式的值．20．（1999•福州）如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P．（1）求证：PA•PE=PC•PF；（2）求证：；（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE： EP=3：4：5时，求△PEC与△FAP的面积的比值．【考点】切线的性质；圆周角定理；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题；压轴题；数形结合．【分析】（1）连接AB，根据弦切角定理和圆周角定理的推论得到∠CAB=∠F，∠CAB=∠E，则∠F=∠E，根据内错角相等，得到AF∥CE，再根据平行线分线段成比例定理进行证明；（2）利用（1）的比例式，两边同平方，再根据切割线定理进行等量代换即可；（3）要求两个三角形的面积比，根据（1）知：两个三角形相似．所以只需求得它们的一组对应边的比，根据所给的线段的比值，结合勾股定理的逆定理发现Rt△PCE，连接AE，AE即是直径．又根据平行线的性质得到∠PAF=90°，则AF是圆的直径．根据勾股定理得到x与y的比值，从而得到三角形的面积比．【解答】（1）证明：连接AB，∵CA切⊙O'于A，∴∠CAB=∠F．∵∠CAB=∠E，∴∠E=∠F．∴AF∥CE．∴．∴PA•PE=PC•PF．（2）证明：∵，∴=．∴．再根据切割线定理，得PA2=PB•PF，∴．（3）解：连接AE，由（1）知△PEC∽△PFA，而P C：CE：EP=3：4：5，∴PA： FA：PF=3：4：5．设PC=3x，CE=4x，EP=5x，PA=3y，FA=4y，PF=5y，∴EP2=PC2+CE2，PF2=PA2+FA2．∴∠C=∠CAF=90°．∴AE为⊙O的直径，AF为⊙O'的直径．∵⊙O与⊙O'等圆，∴AE=AF=4y．∵AC2+CE2=AE2∴（3x+3y）2+（4x）2=（4y）2即25x2+18xy﹣7y2=0，∴（25x﹣7y）（x+y）=0，∴．∴．【点评】此题综合运用了切线的性质、圆周角定理的推论、切割线定理以及相似三角形的性质和判定，难度比较大，综合性比较强．21．（2015•黄冈中学自主招生）观察下列各个等式：12=1，12+22=5，12+22+32=14，12+22+32+42=30，…．（1）你能从中推导出计算12+22+32+42+…+n2的公式吗？请写出你的推导过程；（2）请你用（1）中推导出的公式来解决下列问题：已知：如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B，将线段OAn等分，分点从左到右依次为A1、A2、A3、A4、A5、A6、…、A n﹣1，分别过这n﹣1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点B1、B2、B3、B4、B5、B6、…、B n﹣1，设△OBA1、△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…、△A n﹣1B n﹣1A的面积依次为S1、S2、S3、S4、…、Sn．①当n=2013时，求s1+s2+s3+s4+…+s2013的值；②试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由n3﹣（n﹣1）3=3n2﹣3n+1公式的n的式子相加推导出12+22+32+42+…+n2的公式．（2）①结合抛物线和（1）中推导出的公式求出S1+S2+S3+S4+S5+…+S2013的值；②当n取到无穷无尽时，取极值，求得三角形的面积．【解答】解：（1）∵n3﹣（n﹣1）3=3n2﹣3n+1，∴当式中的n从1、2、3、…依次取到n时，就可得下列n个等式：13﹣03=3×12﹣3×1+1，23﹣13=3×22﹣3×2+1，33﹣23=3×32﹣3×3+1…n3﹣（n﹣1）3=3n2﹣3n+1，将这n个等式的左右两边分别相加得：n3=3（12+22+32+…n2）﹣3（1+2+3+…+n）+n，即12+22+32+…n2==．（2）先求得A、B两点的坐标分别为（3，0），（0，3），∴点A1（，0）A2（，0）A3（，0）A 4（，0）…A n ﹣1（，0），点B 1（，﹣（）2+2（）+3），B 2（，﹣（）2+2（）+3）…B n ﹣1（，﹣[]2+2+3），∴S 1=，S 2=，S 3=…S n =∴S 1+S 2+S 3+…+S n ===．∴①当n=2013时，S 1+S 2+S 3+S 4+…S 2013=；②∵S 1+S 2+S 3+…S n ==+﹣，∴当n 取到无穷无尽时，上式的值等于，即所有三角形的面积和等于．【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）利用立方差公式推导是解题关键，（2）利用等分得出A 点坐标，利用点在函数图象上得出B 点坐标，利用推导公式求出面积的和，计算是解题关键．22．（14分）（2015•黄冈中学自主招生）已知：直角三角形AOB 中，∠AOB=90°，OA=3厘米，OB=4厘米．以O 为坐标原点如图建立平面直角坐标系．设P 、Q 分别为AB 边，OB 边上的动点，它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速运动，移动的速度都为1厘米每秒．设P 、Q 运动的时间为t 秒（0≤t ≤4）．（1）求△OPQ 的面积S 与（厘米2）与t 的函数关系式；并指出当t 为何值时S 的最大值是多少？（2）当t 为何值时，△BPQ 和△AOB 相似；（3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形；（4）①试证明无论t 为何值，△OPQ 不可能为正三角形；②若点P 的移动速度不变，试改变点Q 的运动速度，使△OPQ 为正三角形，求出点Q 的运动速度和此时的t 值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；动点型．【分析】（1）可用t表示出OQ，BP的长，三角形OPQ中，OQ边上的高可用BP的长和∠PBO的正弦值求出，由此可得出关于S，t的函数关系式．（2）本题分两种情况：①∠BQP=∠BOA，此时PQ∥OA，那么BQ=PB•cos∠PBO．由此可求出t的值．②∠BPQ=∠BOA，此时BP=BQ•sin∠PBO．由此可求出t的值．（3）本题中无非是两种情况OQ⊥PQ或OP⊥QP，可分别表示出PO、QO、PQ三条线段的长，然后用勾股定理进行求解即可．（4）①如果三角形OPQ是正三角形那么（3）中表示三条线段长的表达式必然相等，可通过解方程求出此时t的值，如果方程无解则说明三角形OPQ不可能是正三角形．②思路同①，设出Q点的速度，然后表示出三条线段的长，令三条线段的表达式相等，即可求出Q 的速度和t的值．【解答】解：（1）S=﹣0.3t2+当t=时，S最大=．（2）①∠BQP=∠BOA，在直角三角形BQP中，BP=BQ，即5﹣t=（4﹣t），解得t=0．②∠BPQ=∠BOA，在直角三角形BPQ中，BQ=BP，即4﹣t=（5﹣t），解得t=9；因为0≤t≤4，∴t=9不合题意，舍去．因此当t=0时，△BPQ和△AOB相似．（3）作PN⊥OB于N，PM⊥OA于M，若△OPQ为直角三角形，则OQ⊥PQ或OP⊥QP，设QP⊥OQ，则PQ===．PO===．OQ===≠t（t无解）．∴QP不与OQ垂直设OP⊥QP，则△OPQ∽△PNQ∴，∴PQ2=t2，PQ2=OQ2﹣OP2=t2﹣t2+t﹣9=t﹣9t2=t﹣9，解得t=3，t=15（不合题意舍去）∴当t=3是△OPQ是直角三角形．（4）①PO=，OQ=t，PQ=令PO=OQ=PQ，解t无解∴△OPQ不能成为正三角形．②设Q的速度为x，则OQ=xt．OP2=t2﹣t+9，OQ2=x2t2，PQ2=t2﹣t+12令OP2=OQ2=PQ2解得x=，t=舍去负值，则t=因此Q点的速度为，t=．【点评】该题综合运用了三角形相似有关性质和勾股定理，同时运用了分类讨论和假设的数学思想，是道代数几何压轴题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
黄冈中学2014年自主招生（理科实验班）预录考试 数学模拟试题（A卷） 时间120分钟，满分120分
一、选择题（每小题5分，共30分） 1．已知0201252xx，则代数式211223x)(x)(x的值是（ ） A．2013 B．2015 C．2016 D．2017 2．已知201211982119811198011S，则S的的整数部分是（ ）
A．59 B．60 C．61 D．63 3．已知四边形ABCD，下列条件：①AB∥CD；②BC∥AD；③AB=CD；④BC=AD；⑤∠A= ∠C；⑥∠B=∠D. 任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”的概率是（ ）
A．32 B．43 C．53 D．157 4．如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2=6．若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（ ） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 5．如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（ ） A．甲乙丙 B．甲丙乙 C．乙丙甲 D．丙甲乙 6．已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线 BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对 称，AC与BD相交于点G，则（ ） A． 1+tan∠ADB= B．2BC=5CF C．∠AEB+22°=∠DEF D．4cos∠AGB=
二、填空题（每小题5分，共30分） 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交 AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 . 8．如图，边长为n的正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点A1， A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn﹣1为CB的n等分点，
连结A1B1，A2B2，…An﹣1Bn﹣1，分别交曲线y=（x＞0）于点 C1，C2，…，Cn﹣1．若C15B15=16C15A15，则n的值为 ． （n为正整数） 9．设下列三个一元二次方程：,ax)a(x，aaxx0110344222 03222aaxx，其中至少有一个方程有实根，则实数a的取值
范围是 . 10.已知圆O外一点P，P到圆心O的距离是半径的2倍，过点P作圆O 的切线PA、PB，延长AO交PB于E，OP交圆于点C，连接AC交
PB于D，圆O的半径是3，则△PCD的面积是 .
11.正整数a，b，c，d满足a>b>c>d，且201020102222dcbadcba，那么a的可能值共有 个. 三、解答题（共60分） 12.（10分）计算：110099110099132132121121224422442244
.
13.（10分）已知在△ABC中，AD、BE、CF相交于点P，且2013PFCPPDAP，求PFCPPEBPPDAP 的值.
14.（10分）在“全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人． （1）求2014年全校学生人数； （2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数） ①求2012年全校学生人均阅读量； ②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．
15.（15分）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆； 方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆． （1）写出方案一中圆的半径； （2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？ （3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y． ①求y关于x的函数解析式； ②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大． 16.（15分）如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒． （1）当t= 时，△PQR的边QR经过点B； （2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式； （3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值． 参考答案：1.A 2.B 3.C 4.B 5.B 6.A 7. 15 8.17 9. 2321aa或 10. 833 11.501
14.解：（1）由题意，得 2013年全校学生人数为：1000×（1+10%）=1100人， ∴2014年全校学生人数为：1100+100=1200人； （2）①设2012人均阅读量为x本，则2013年的人均阅读量为（x+1）本，由题意，得 1100（x+1）=1000x+1700，解得：x=6． 答：2012年全校学生人均阅读量为6本； ②由题意，得 2012年读书社的人均读书量为：2.5×6=15本， 2014年读书社人均读书量为15（1+a）2本， 2014年全校学生的读书量为6（1+a）本， 80×15（1+a）2=1200×6（1+a）×25% 2（1+a）2=3（1+a），∴a1=﹣1（舍去），a2=0.5． 答：a的值为0.5．
15. 解：（1）方案一中的最大半径为1． 分析如下： 因为长方形的长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1． （2） 如图1，方案二中连接O1，O2，过O1作O1E⊥AB于E， 方案三中，过点O分别作AB，BF的垂线，交于M，N，此时M，N恰为⊙O与AB，BF的切点． 方案二： 设半径为r， 在Rt△O1O2E中， ∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r，
∴（2r）2=22+（3﹣2r）2，解得 r=． 方案三： 设半径为r，
在△AOM和△OFN中，，
∴△AOM∽△OFN，∴， ∴，解得 r=． 比较知，方案三半径较大． （3）方案四： ①∵EC=x， ∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x． 类似（1），所截出圆的直径最大为3﹣x或2+x较小的．
1．当3﹣x＜2+x时，即当x＞时，r=（3﹣x）；
2．当3﹣x=2+x时，即当x=时，r=（3﹣）=； 3．当3﹣x＞2+x时，即当x＜时，r=（2+x）． ②当x＞时，r=（3﹣x）＜（3﹣）=； 当x=时，r=（3﹣）=； 当x＜时，r=（2+x）＜（2+）=， ∴方案四，当x=时，r最大为． ∵1＜＜＜， ∴方案四时可取的圆桌面积最大． 16. 解：（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形， ∴AB=AQ，即3=4﹣t， ∴t=1． 即当t=1秒时，△PQR的边QR经过点B． （2）①当0≤t≤1时，如答图1﹣1所示．
设PR交BC于点G，过点P作PH⊥BC于点H，则CH=OP=2t，GH=PH=3． S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC=8×3﹣（2t+2t+3）×3=﹣6t； ②当1＜t≤2时，如答图1﹣2所示．
设PR交BC于点G，RQ交BC、AB于点S、T． 过点P作PH⊥BC于点H，则CH=OP=2t，GH=PH=3． QD=t，则AQ=AT=4﹣t，∴BT=BS=AB﹣AQ=3﹣（4﹣t）=t﹣1．
S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC﹣S△BST=8×3﹣（2t+2t+3）×3﹣（t﹣1）2=
﹣t2﹣5t+19； ③当2＜t≤4时，如答图1﹣3所示．
设RQ与AB交于点T，则AT=AQ=4﹣t．PQ=12﹣3t，∴PR=RQ=（12﹣3t）． S=S△PQR﹣S△AQT=PR2﹣AQ2=（12﹣3t）2﹣（4﹣t）2=t2﹣14t+28． 综上所述，S关于t的函数关系式为：