4.1 因式分解
《4.1因式分解》作业设计方案-初中数学浙教版12七年级下册
《因式分解》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对因式分解概念的理解，掌握因式分解的基本方法和技巧，并能够运用所学知识解决实际问题。
通过本作业的完成，提高学生的数学思维能力和解题能力。
二、作业内容1. 基础练习（1）单项选择题：选取10道关于因式分解的题目，涉及因式分解的概念、方法和应用等。
（2）填空题：设计5道填空题，要求学生根据因式分解的原理填写结果。
（3）计算题：设计3道计算题，要求学生运用因式分解的方法进行计算。
2. 拓展应用（1）设计一道综合题，涉及因式分解在解决实际问题中的应用，如多项式化简、解方程等。
（2）布置一篇小论文作业，要求学生通过查找资料，总结因式分解在数学和其他领域的应用，并举例说明。
三、作业要求1. 完成基础练习部分时，学生应注重理解因式分解的概念和原理，掌握因式分解的基本方法和步骤。
在解题过程中，要注重思考和总结，找出解题规律，提高解题效率。
2. 在拓展应用部分，学生应认真阅读题目，理解题意，运用所学知识进行分析和解答。
综合题要求学生综合运用所学知识，解决实际问题。
小论文作业要求学生查阅相关资料，总结因式分解的应用，并举例说明。
在写作过程中，要注重逻辑性和条理性，语言简练、准确。
3. 学生在完成作业过程中，应注重独立思考和自主探究，遇到问题应积极寻求解决方法。
同时，要认真对待作业，按时完成，保证作业质量。
四、作业评价1. 教师将对学生的作业进行认真批改，评价学生在基础练习部分的掌握情况，以及在拓展应用部分的解题思路和解题能力。
2. 评价标准包括学生对因式分解概念的理解、解题方法的掌握、解题思路的清晰程度、解题过程的规范性等方面。
3. 对于优秀作业，教师将在课堂上进行表扬和展示，鼓励学生继续努力。
对于存在问题的作业，教师将给予指导和帮助，帮助学生改进和提高。
五、作业反馈1. 教师将根据学生的作业情况，对因式分解的教学内容进行反思和总结，及时调整教学方法和策略，提高教学效果。
八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.1《因式分解》课件
1 知识小结
1.因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形 叫做因式分解，也可称为分解因式．
2. 因式分解与整式乘法是一个互逆过程，
即：几个整式相乘 噲垐因整垐式式垐分乘解法垎垐 一个多项式
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
导引：把各选项进行整式乘法的运算，将所得的积与 x2－3xy2对照，能够与x2－3xy2相等的选项必是 正确答案．
总结
知2－讲
四个选项都是乘积的形式，可以利用因式分解 和整式乘法的互逆关系检验所得结果的正确性．
知2－讲
例3 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
因此是因式分解，D正确．
知1－练
1 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为 什么？ (1) (a＋3)(a－3)＝a2－9 ； (2) m2－4＝(m＋2)(m－2)； (3) a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1； (4) 2mR＋2mr＝2m(R＋r).
解：(2)(4)是因式分解．理由：只有(2)(4)是把一个多项 式化成几个整式的积
知1－导
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种 变形叫做因式分解. 例如，a3－a＝ a (a＋1)(a－1)， am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)，x2＋2x＋l＝(x＋1)2都 是因式分解. 因式分解也可称为分解因式.
（来自《教材》）
知1－讲
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D ) A．a2＋1＝a(a＋ 1 ) a B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
A．9a2＋y2
4.1《因式分解》参考教案1
4.1 因式分解教案一、背景介绍因式分解是代数式中的重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切。
因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。
它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。
因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。
二、教学设计【教学内容分析】因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它是因式分解方法的理论基础，也是本章中一个重要概念。
教材在引入中是结合剪纸拼图来阐述这一概念的，也可以与小学数学里因数分解的概念类比予以说明。
在教学时对因式分解这一概念不宜要求学生一次彻底了解，应该在讲授因式分解的三种基本方法时，结合具体例题的分解过程和分解结果，说明这一概念的意义，以达到逐步了解这一概念的教学目的。
【教学目标】1、认知目标：（1）理解因式分解的概念和意义（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
2、能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。
3、情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
【教学重点、难点】重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
【教学准备】实物投影仪、多媒体辅助教学。
【教学过程】㈠、情境导入看谁算得快：（抢答）(1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________；(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；(3)若x=-3,则20x2+60x=____________。
【初一年级学生活波好动，好表现，争强好胜。
情境导入借助抢答的方式进行，引进竞争机制，可以使学生在参与的过程中提高兴趣，并增强竞争意识和探究欲望。
原七年级数学下册4.1因式分解课件(新版)浙教版
3．若x2＋mx－n＝(x－3)(x＋1)，则m，n的值分别(fēnbCié)为( ) A．m＝3，n＝－1 B．m＝－2，n＝－3 C．m＝－2，n＝3 D．m＝2，n＝3 4．下列各式分解因式结果是(a－2)(b＋3)的是( B ) A．ab－3a＋2b－6 B．ab＋3a－2b－6 C．ab＋2a－3b－6 D．ab－2a＋3b－6
第四àn)方法计算： (1)4012－5992； 解：－198000 (2)9982－4. 解：996000
第五页，共10页。
第六页，共10页。
6．已知多项式x2＋(m＋k)x＋k可以分解(fēnjiě)因式为(x＋2)(x＋4)，求m，k的值． 解：x2＋(m＋k)x＋k＝(x＋2)(x＋4)，x2＋(m＋k)x＋k＝x2＋6x＋8，∴k＝8，m＋k ＝6，∴m＝－2，即m＝－2，k＝8
第七页，共10页。
7．若多项式 x2＋x＋m 分解因式为(x＋n)2，求 m，n 的值． 解：m＝41，n＝12
第八页，共10页。
第九页，共10页。
8．已知二次三项式 x2－4x＋m 有一个因式是(x＋3)，求另一个因式 以及 m 的值．
解：设另一个因式为(x＋n)，得 x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，则 x2 －4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，∴nm＋＝33＝n，－4，解得 n＝－7，m＝－21， ∴另一个因式为(x－7)，m 的值为－21
第4章 因式分解(yīn shì fēn jiě)
4．1 因式分解(yīn shì fēn jiě)
第一页，共10页。
第二页，共10页。
知识点 1：因式分解的意义 1．下列式子从左到右的变形是因式分解的是( B ) A．a2＋4a－1＝a(a＋4)－1 B．a2＋4a－12＝(a－2)(a＋6) C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D．a2＋4a－2＝a(a＋4－2a) 2．下列多项式的分解因式，正确的是( B ) A．12xyz－9x2y2＝3xyz(4－3xyz) B．3a2y－3ay＋6y＝3y(a2－a＋2) C．－x2＋xy－xz＝－x(x＋y－z) D．a2b＋5ab－b＝b(a2＋5a)
八年级数学下册 第四章 因式分解 4.1 因式分解课件
A．xy²－x²y＝x（y²－xy）；
B．9xyz－6 x²y²＝3xyz（3－2xy）
C．3 a²x－6bx＋3x＝3x（a²－2b）； D． x y²＋ x²y＝ xy（x＋y）
2021/12/11
第十三页，共十七页。
随堂检测
3．（－2）²ºº¹＋（－2）²ºº²等于（ ） C
A．－2²ºº¹ B．－2²ºº²
解：99³-99
=99 ²×99 －99
=99 ×980 =98 ×99 ×100
所以， 99³-99能被100整除.
2021/12/11
第四页，共十七页。
合作探究
问题1：99³-99能被100整除吗？你是怎么想的？还能被哪些正整数整除？
解：99³-99 =98 ×99 ×100
=2×7×7×3×3×11×2×2×5×5
本节课学习了因式分解的意义， 即把一个(yī ɡè)多项式化成几个整式的积的形式；还知道 了整式乘法与分解因式的关系是互为逆（相反方向）的变形.
2021/12/11
第十五页，共十七页。
再见 (zàijiàn)
2021/12/11
第十六页，共十七页。
内容(nèiróng)总结
No 八年级下册。经历从分解因数到分解因式的类比过程.。问题1：99³-99能被100整除吗。所以(suǒyǐ)， 99³-
C．2x²－6x
D．－2x²－6x
3．若多项式x²＋mx＋n因式分解为(x－3)(x＋1)，则m，n的值分别为( )
A．2，3 B．－2，3 C．2，－3 D．－2，－3
D
2021/12/11
第三页，共十七页。
合作探究
探究点一
问题1：99³-99能被100整除吗？你是怎么(zěn me)想的？还能被哪些正整数整除？
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握因式分解的方法和应用。
因式分解是代数运算的基础，对于提高学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
本节课的内容包括提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，通过这些方法的学习，使学生能够灵活运用因式分解解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法运算，具备了一定的代数基础。
但因式分解较为抽象，对于部分学生来说，理解起来存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习差异，针对不同层次的学生进行教学，提高他们的学习兴趣和自信心。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的方法，能够灵活运用各种方法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法。
2.难点：灵活运用各种方法进行因式分解，解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，培养学生的创新能力。
3.小组合作学习：培养学生团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教案、PPT、教学素材等。
2.准备黑板、粉笔、投影仪等教学用品。
3.提前让学生预习本节课的内容，了解因式分解的基本概念。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用生活实例或趣味数学问题，引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 呈现（10分钟）通过PPT展示因式分解的方法，包括提公因式法、公式法、分组分解法等。
引导学生了解各种方法的特点和应用。
3. 操练（10分钟）对学生进行分组，每组选定一个因式分解问题，运用所学的methods进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
北师大版八年级下册4.1因式分解(教案)
举例：重点讲解提公因式法的步骤，如找出多项式各项的公因数，提取公因数，并对余下的部分进行因式分解。
2.教学难点
-理解因式分解与整式乘法的区别与联系：学生容易混淆这两个概念，需要通过对比讲解，使学生明确它们ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ间的区别和联系。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《因式分解》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在数学学习中是否遇到过多项式难以简化的问题？”例如，当我们面对一个复杂的多项式时，如何将其简化为我们已知的简单形式。这个问题与我们将要学习的因式分解密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索因式分解的奥秘。
3.习题练习：设计不同难度的习题，巩固学生对因式分解的理解和应用能力，提高解题技巧。
4.实践应用：结合生活实际，设计一些实际问题，让学生用因式分解的方法解决，培养学生的实际应用能力。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理和数学抽象能力：通过因式分解的学习，使学生能够理解和掌握数学概念之间的逻辑关系，提高数学抽象思维水平。
最后，我意识到教学反思是非常重要的环节，它可以帮助我及时发现问题，调整教学策略。我会在每节课后都进行深入的反思，以期在下一节课中做得更好，让每个学生都能在数学学习的道路上取得进步。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调提公因式法和平方差公式这两个重点。对于难点部分，如完全平方公式的应用，我会通过具体例题和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与因式分解相关的实际问题，如分解具体的多项式。
北师大版八年级下册4.1因式分解(教案)
-难点在于如何引导学生从多项式中提取公因式，例如在多项式4x² + 5x + 1中找出公因式。
-解释平方差公式和完全平方公式的适用条件，通过具体题目（如将x² - 6x + 9分解为(x - 3)²）来帮助学生识别和运用这些公式。
-在解决综合问题时，如求解含绝对值符号的方程，指导学生如何先进行因式分解，再根据不同情况讨论解的取值。
2.教学难点
-找出多项式的公因式：学生在寻找多项式的公因式时可能存在困难，特别是在多项式项数较多时。
-判断并运用平方差公式和完全平方公式：学生需要理解平方差和完全平方的结构特点，才能准确应用这些公式进行因式分解。
-灵活运用因式分解解决综合问题：学生需要将因式分解与其他数学知识（如方程、不等式等）结合，解决更复杂的数学问题。
2.提高学生的数学运算能力：使学生能够熟练运用提公因式法、平方差公式和完全平方公式进行因式分解，简化数学表达式，提高解题效率。
3.增强学生的数学建模意识：培养学生将现实问题转化为数学问题，通过因式分解解决实际问题的能力，提高数学建模素养。
4.培养学生的合作交流能力：在小组讨论和互动中，使学生学会倾听、表达、交流与合作，提高团队协作能力。
北师大版八年级下册4.1因式分解（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级下册第四章第一节“因式分解”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.因式分解的概念与意义：使学生理解因式分解的定义，掌握因式分解在简化计算、解决方程中的应用。
2.因式分解的方法与步骤：引导学生掌握以下几种因式分解方法：
（1）提公因式法：找出多项式中的公因式，并将其提取出来。
平方差公式和完全平方公式的应用对学生而言也是一个难点。我发现他们在判断何时使用这些公式方面存在困难。在今后的教学中，我可以设计一些更具针对性的练习，让学生在不同的情境中应用这些公式，从而提高他们的识别和应用能力。
4.1因式分解说课稿
- 1 -一、课题介绍本节课是北师大版第四章第一节内容《因式分解》 二、教材分析1、本节在教材中的地位和作用因式分解是代数式的一种重要恒等变形．它是学习分式的基础,又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用．通过本节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为继续学习因式分解作好了充分的准备．因此，它起到了承上启下的作用． 2、目标分析（1）知识与技能：①使学生了解因式分解的意义，理解它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系； ②使学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式； （2）过程与方法：① 培养分工协作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力．② 培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法． （3）情感、态度与价值观：培养学生积极参与的意识，培养学生的观察能力，使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯． 3、教学重点与难点．本节课理解找公因式是学习整个提公因式法分解因式的关键，而学生由整式乘法到因式分解的变形是一个逆向思维．在前面整式乘法的较长时间的学习里，造成思维定势，容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成．因此我将本课的教学重点、难点确定为：教学的重点：提公因式法分解因式． 教学的难点：识别多项式的所有公因式． 三、教法分析建构主义教学理论认为：“知识是不能为教师所传授的，而只能为学习者所构建．”也就是说，教学过程不只是知识的（传）授——（接）受过程，也不是机械的告诉与被告诉的过程，而是一个学习者主动学习的过程．因而，本节通过师生之间的相互探讨和交流进行教学，结合讲练结合法、谈话法等展开教学． 四、学法分析根据新课程标准理念，学生是学习的主体，教师只是学习的帮助者，引导者．我主要引导学生自己观察、归纳，采用自主探究的方法进行学习，并使学生从中体会学习的乐趣． 五、教学过程 （一）复习引入学生的数学学习应当是现实的，有意义的．而问题是数学的心脏，一个好的实际问题的提出，将会激发学生的求知欲，因此在教学开始时提出了两个式子：（1）m （a+b+c ）= （4）ma+mb+mc=（ ）（a+b+c ） （2）x (x+1)= （5）x x +2=（ ）（x+1）（3）a (x-y )= （6）ax-ay=（ ）（x-y ）在上节课我们学过整数乘法如上面的（1）（2）（3）式．利用左边四个式子很快得出答案．同时设疑，既然我们学习了整式乘法，几个整式乘积可以写成一个多项式的形式，那么反过来，一个多项式化为几个整式乘积的形式又叫什么呢？我们给它起个名字，叫做因式分解，也就是我们今天所要学习的内容．目的：引发学生的好奇心，为了使学生能够轻松的进入学习，并为后面的学习做好准备．上面的六个小题不仅引出了因式分解的概念，也为如何找公因式以及如何用提公因式法分解因式作铺垫． （二）新知讲解观察第（5）小题等式左右相互转化的关系，我这样设置的目的是：不但可以使学生加强对概念的理解，还可以总结因式分解与整式乘法的关系如下：考虑到公因式是一个新的概念，所以我首先给出公因式的概念，这样设置便于学生为后面用提公因式法分解因式的学习打下基础．当然，从复习引入中第（4）（5）（6）小题可以得出公因式的概念和提公因式法分解因式的概念．这样设置有利于学生的理解接受．体现了循序渐进的原则，知识注重应用．因而，当这部分知识讲解完后，我将通过两个例题来强化学生对提公因式法分解因式概念的理解． （三）例题讲解例 将下列各式分解因式：（1）323812a b ab c +；（2）2a (b+c ) - 3(b+c ) ． 分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来． 设计说明：例题是如何确定公因式和如何利用提公因式法来分解因式的具体化，根据学生的心理和发展水平，此时学生自己处理问题会比较多，所以我会加强这方面的讲解，同时这也是处理问题的关键．而这两个例题是由简单到复杂的过程设计，体现了变式教学理念． 2(1)x x x x −−−−→++←−−−−因式分解整式乘法内江师范学院数学与信息科学学院2009级试讲说课稿- 4 -经过刚才上面的例题，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤：（“三定法”）．达到学生自主总结的效果．（四）巩固练习根据夸美纽斯的教学巩固性原则，为了培养学生独立解决问题的能力，在例题讲解后，通过抽个别同学上黑板演算，其余同学在草稿本上完成练习的方式来掌握学生的学习情况，从而我设置了如下一个练习：练习 把下列各式分解因式． 2221(1)0.5;5(2)(2)3(2).a b a b x a b y b a ---+- 第（１）题是例题的第（１）题的变式，而这个练习题有小数和分数的结合，提高了一定的难度，达到对所学的知识延伸的效果，而第（2）题是例题的第（2）题德变形，而公因式不同符号的设计能够使学生更加深刻理解公因式的概念．而在练习的过程中我会巡视课堂，达到对课堂记录的管理的作用以及对个别同学的辅导作用． （五）课时小结通过本节课的学习，你学会了哪些知识？我以提问的形式，请学生自主总结本节课所学的知识，对学生的总结不足之处再提出补充，着重学习了四个方面的内容：因式分解的概念、确定公因式的方法、用提公因式法来分解因式的步骤，提公因式法来分解因式应注意的问题．设计意图：充分发挥学生的主体地位，从学习知识、方法等多个方面进行归纳．培养学生归纳、总结的能力． （六）作业布置1、书上p171第2、7题（必做题），9题（选做题）；2249x -、将分解因式.目的：必做题的布置是为了使学生进一步掌握所学知识，提高学生的思维能力，探索能力．选做题的难度更大，而布置的作用是让个别有兴趣的学生思考，达到分层次，同时兼顾学有困难和学有疑虑的学生．思考题的设计是为下一节公式法的学习作铺垫，促使学生有兴趣的去预习下一节内容． 六、板书设计为了使整个板面重点突出，层次分明，我将黑板分为四版：第一是新课的讲解，第二是例题，第三是练习，总之，这节课是本着教师只是学生学习的引导者，知识是由学生自主构建的原则设计的．。
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》是初中数学中的重要内容，它为学生提供了将多项式分解成几个整式乘积的方法，有助于简化代数表达式，培养学生解决问题的能力。
本节课的内容是因式分解的定义、方法和应用，学生需要掌握因式分解的基本技巧，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了整式的乘法，具备了一定的代数基础。
但对于因式分解的概念和方法，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，引导学生通过观察、操作、思考、交流，逐步掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能将多项式正确地分解成几个整式乘积。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和方法。
2.难点：如何引导学生发现因式分解的规律，并将规律应用到实际问题中。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等，充分调动学生的积极性，引导学生主动参与课堂讨论，发现和总结因式分解的方法。
六. 教学准备1.课件：制作因式分解的PPT，内容包括因式分解的定义、方法及应用。
2.学具：为学生准备练习纸、草稿纸等学习用品。
3.教学视频：准备相关的教学视频，以便在课堂上进行演示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用教学视频，介绍因式分解在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
引导学生思考：如何将一个多项式分解成几个整式乘积？2.呈现（10分钟）讲解因式分解的定义和方法，通过PPT展示例题，让学生跟随老师一起解题，体会因式分解的过程。
3.操练（10分钟）让学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
在此过程中，关注学生的解题方法，引导学生发现规律。
4.巩固（10分钟）小组合作学习，讨论如何将多项式正确地分解成几个整式乘积。