2021中考数学重难点专练规律探究问题含解析

一、选择题1、下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（）A．上方B．右方C．下方D．左方【答案】C【解析】如图所示：每旋转4次一周，2019÷4＝504…3，则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方．故选：C．2、对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对【答案】B【解析】甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14；乙的思路与计算都正确；乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选：B．3、如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3【答案】D【解析】△△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，△A1B1△A2B2△A3B3△…△A n B n，B1A2△B2A3△B3A4△…△B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，△直线y＝x与x轴的成角△B1OA1＝30°，△OA1B1＝120°，△△OB1A1＝30°，△OA1＝A1B1，△A1（1，0），△A1B1＝1，同理△OB2A2＝30°，…，△OB n A n＝30°，△B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，易得△OB1A2＝90°，…，△OB n A n+1＝90°，△B1B2＝，B2B3＝2，…，B n B n+1＝2n，△S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，S n＝×2n﹣1×2n＝；故选：D．4、如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120︒的AB多次复制并首尾连接而成．现有一点P从(A A为坐标原点）出发，以每秒23π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为()A．2-B．1-C．0D．1【答案】B【解析】点运动一个AB用时为120222 1803ππ⨯÷=秒．如图，作CD AB⊥于D，与AB交于点E．在Rt ACD ∆中，90ADC ∠=︒，1602ACD ACB ∠=∠=︒，30CAD ∴∠=︒，112122CD AC ∴==⨯=， 211DE CE CD ∴=-=-=，∴第1秒时点P 运动到点E ，纵坐标为1；第2秒时点P 运动到点B ，纵坐标为0； 第3秒时点P 运动到点F ，纵坐标为1-； 第4秒时点P 运动到点G ，纵坐标为0； 第5秒时点P 运动到点H ，纵坐标为1；⋯，∴点P 的纵坐标以1，0，1-，0四个数为一个周期依次循环，201945043÷=⋯，∴第2019秒时点P 的纵坐标为是1-．故选：B ．5、如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形OA 2019B 2019C 2019，那么点A 2019的坐标是（ ）A ．（，﹣）B ．（1，0）C ．（﹣，﹣） D ．（0，﹣1）【答案】A【解析】△四边形OABC是正方形，且OA＝1，△A（0，1），△将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，△A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252 (3)△点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．6、在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是（）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）【答案】C【解析】A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，2019÷4＝504…3，所以A2019的坐标为（504×2+1，0），则A2019的坐标是（1009，0）．故选：C．7、按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（）A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1B．（﹣1）n x2n﹣1C．（﹣1）n﹣1x2n+1D．（﹣1）n x2n+1【答案】A【解析】△x3＝（﹣1）1﹣1x2×1+1，﹣x5＝（﹣1）2﹣1x2×2+1，x7＝（﹣1）3﹣1x2×3+1，﹣x9＝（﹣1）4﹣1x2×4+1，x11＝（﹣1）5﹣1x2×5+1，……由上可知，第n个单项式是：（﹣1）n﹣1x2n+1，故选：A．8、如图，过点A0（0，1）作y轴的垂线交直线l：y＝x于点A1，过点A1作直线l的垂线，交y轴于点A2，过点A2作y轴的垂线交直线l于点A3，…，这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A546，…，其面积分别记为S1，S2，S3，…，则S100为（）A．（）100B．（3）100C．3×4199D．3×2395【答案】D【解析】△点A0的坐标是（0，1），△OA0＝1，△点A1在直线y＝x上，△OA1＝2，A0A1＝，△OA2＝4，△OA3＝8，△OA4＝16，得出OA n＝2n，△A n A n+1＝2n•，△OA198＝2198，A198A199＝2198•，△S1＝（4﹣1）•＝，△A2A1△A200A199，△△A0A1A2△△A198A199A200，△＝（）2，△S＝2396•＝3×2395故选：D．9、如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）【答案】D【解析】△A（﹣3，4），B（3，4），△AB＝3+3＝6，△四边形ABCD为正方形，△AD＝AB＝6，△D（﹣3，10），△70＝4×17+2，△每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，△点D的坐标为（3，﹣10）．故选：D．10、如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：△将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；△在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）A．22019B．C．D．【答案】C【解析】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，第一次：余下面积，第二次：余下面积，第三次：余下面积，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为，故选：C．二、填空题11、在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．【答案】（2n﹣1）【解析】由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，△OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，△前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，则2S﹣S＝2n﹣1，△S＝2n﹣1，△1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，△前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：（2n﹣1），12、如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）【答案】（n、2n+1 ）【解析】连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，△A1P1＝＝＝，同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……，△P1的坐标为（1，），P2的坐标为（2，），P3的坐标为（3，），……，…按照此规律可得点P n的坐标是（n，），即（n，2n+1 ）故答案为：（n，2n+1 ）．13、如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。

（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则OBOA的值为．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推，…，摆放第a个“7”字图形得顶点F n-1，…，则顶点F2019的坐标为．【答案】（1)12（2）【解析】(1)依题意可得，CD=1，CB=2 △△BDC+△DBC=90° ，△OBA+△DBC=90° △△BDC=△OBA 又△DCB=△BOA=90° △△DCB △ △ BOA △DC CB =OB OA =12根据题意标好字母，如图所示依题意可得CD=1，CB=2，BA=1△BD= 5 由（1）知DC CB =OB OA =12 ，△OB=55 、OA=255易得△OAB △ △ GFA △ △ HCB△BH=455 ，CH=255 ，AG=355 ，FG=655△OH=455 +55 = 5 ，OG=355 +255 = 5△C （255 ， 5 ）．F （ 5 ，655）△由点C 到点F 横坐标增加了355 ，纵坐标增加了55 ，……△，F n ( 5 +355 n 、 655 +55n)△F 2019（ 5 +355 ×2019、 655 +55 ×2019)即F 2019（606255、 405 5 ) 14、如图，在矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，一发光电子开始置于AB 边的点P 处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR 方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45︒，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与AB 边的碰撞次数是 ．【答案】672 【解析】如图，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点(6,0)，且每次循环它与AB 边的碰撞有2次， 201963363÷=⋯，当点P 第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P 的坐标为(6,4) ∴它与AB 边的碰撞次数是3362672=⨯=次，故答案为67215、正方形1112A B C A ，2223A B C A ，3334A B C A ，⋯按如图所示的方式放置，点1A ，2A ，3A ，⋯和点1B ，2B ，3B ，⋯分别在直线(0)y kx b k =+>和x 轴上．已知点1(0,1)A ，点1(1,0)B ，则5C 的坐标是 ．【答案】(47、16)【解析】由题意可知1A 纵坐标为1，2A 的纵坐标为2，3A 的纵坐标为4，4A 的纵坐标为8，⋯，1A 和1C ，2A 和2C ，3A 和3C ，4A 和4C 的纵坐标相同，1C ∴，2C ，3C ，4C ，5C 的纵坐标分别为1，2，4，8，16，⋯∴根据图象得出1(2,1)C ，2(5,2)C ，3(11,4)C ，∴直线12C C 的解析式为1133y x =+， 5A 的纵坐标为16，5C ∴的纵坐标为16，把16y =代入1133y x =+，解得47x =，5C 的坐标是(47,16)，故答案为(47,16)．三、解答题 16、（1）阅读理解如图，点A ，B 在反比例函数y ＝的图象上，连接AB ，取线段AB 的中点C ．分别过点A ，C ，B 作x 轴的垂线，垂足为E ，F ，G ，CF 交反比例函数y ＝的图象于点D ．点E ，F ，G 的横坐标分别为n ﹣1，n ，n +1（n ＞1）．小红通过观察反比例函数y ＝的图象，并运用几何知识得出结论：AE +BG ＝2CF ，CF ＞DF 由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：若n ＞1，则 ．（2）证明命题小东认为：可以通过“若a ﹣b ≥0，则a ≥b ”的思路证明上述命题． 小晴认为：可以通过“若a ＞0，b ＞0，且a ÷b ≥1，则a ≥b ”的思路证明上述命题． 请你选择一种方法证明（1）中的命题．【解析】（1）△AE+BG＝2CF，CF＞DF，AE＝，BG＝，DF＝，△+＞．故答案为：+＞．（2）方法一：△+﹣＝＝，△n＞1，△n（n﹣1）（n+1）＞0，△+﹣＞0，△+＞．方法二：△＝＞1，△+＞．17、（1）方法选择如图△，四边形ABCD是△O的内接四边形，连接AC，BD，AB＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD．小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…请你选择一种方法证明．（2）类比探究探究1如图△，四边形ABCD是△O的内接四边形，连接AC，BD，BC是△O的直径，AB＝AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，井证明你的结论．探究2如图△，四边形ABCD是△O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是△O的直径，△ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图△，四边形ABCD是△O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是△O的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．【解析】（1）方法选择：△AB＝BC＝AC，△△ACB＝△ABC＝60°，如图△，在BD上截取DEMAD，连接AM，△△ADB＝△ACB＝60°，△△ADM是等边三角形，△AM＝AD，△△ABM＝△ACD，△△AMB＝△ADC＝120°，△△ABM△△ACD（AAS），△BM＝CD，△BD＝BM+DM＝CD+AD；（2）类比探究：如图△，△BC是△O的直径，△△BAC＝90°，△AB＝AC，△△ABC＝△ACB＝45°，过A作AM△AD交BD于M，△△ADB＝△ACB＝45°，△△ADM是等腰直角三角形，△AM＝AD，△AMD＝45°，△DM＝AD，△△AMB＝△ADC＝135°，△△ABM＝△ACD，△△ABM△△ACD（AAS），△BM＝CD，△BD＝BM+DM＝CD+AD；探究2如图△，△若BC是△O的直径，△ABC＝30°，△△BAC＝90°，△ACB＝60°，过A作AM△AD交BD于M，△△ADB＝△ACB＝60°，△△AMD＝30°，△MD＝2AD，△△ABD＝△ACD，△AMB＝△ADC＝150°，△△ABM△△ACD，△＝，△BM＝CD，△BD＝BM+DM＝CD+2AD；故答案为：BD＝CD+2AD；（3）拓展猜想：BD＝BM+DM＝CD+AD；理由：如图△，△若BC是△O的直径，△△BAC＝90°，过A作AM△AD交BD于M，△△MAD＝90°，△△BAM＝△DAC，△△ABM△△ACD，△＝，△BM＝CD，△△ADB＝△ACB，△BAC＝△NAD＝90°，△△ADM△△ACB，△＝＝，△DM＝AD，△BD＝BM+DM＝CD+AD．故答案为：BD＝CD+AD18、（1）如图1，在平行四边形ABCD中，30AB=，8AD=，将平行四边形ABCD分割成两部∠=︒，6A分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图21-所示的矩形，则m的值是多少？-所示剪开，恰好能拼成如图22（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35)，若把它按如图31-所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图32-所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36)．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．【解析】（1）如图所示：（2）依题意有 111mm m -=+，解得1m =2m =，经检验，1m =故m（3）73724≠+，∴直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上， 故重新拼成的图形的面积会增加．。