第9讲 统计概率(学生版)

统计与统计案例

一. 基础知识回顾

1．在频率分布直方图中，纵轴表示__________________，数据落在各小组内的频率用________________表示，所有长方形面积之和________．

2．作频率分布直方图的步骤：(1)求极差(即一组数据中________与________的差)；(2)决定________与________；(3)将数据________；(4)列________________；(5)画________________．

3．当样本数据较少时，茎叶图表示数据的效果较好，一是统计图上没有原始数据丢失，二是方便记录与表示，但茎叶图一般只便于表示两位有效数字的数据． 4．众数、中位数、平均数

(1)在一组数据中，出现次数________的数据叫做这组数据的众数． (2)将一组数据按大小依次排列，把处在________位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．

(3)如果有n 个数x 1，x 2，……，x n ，那么x ＝____________叫做这n 个数的平均数． 5．标准差和方差：(1)标准差是样本数据到平均数的一种____________．2)标准差：s ＝

________________________.(3)方差：s 2

＝________________________________(x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数

6．回归分析：(1)回归直线一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，

其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计分别为a ^

＝________，b ^

＝_________，其中x ＝____，y ＝________，________称为样本点的中心．(2)相关系数r①r ＝

∑n i ＝1 x i －x y i －y ∑n i ＝1

x i －x 2

∑n i ＝1

y i －y 2

；②当r>0时，表明两个变量________；当r<0时，表明

两个变量________．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性__________；r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间________________________________．通常，当r 的绝对值大于________时认为两个变量有很强的线性相关关系．

7．独立性检验(1)列联表：列出的两个分类变量的________，称为列联表．

(2)2×2列联表：假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为

2×2列联表构造一个随机变量2

χ＝___________________，其中n ＝_____为样本容量．(3)独立性检验利用随机变量________来判断“两个分类变量________”的方法称为独立

性检验．（4）得到2

χ常与以下几个临界值加以比较：如果2

χ ，就有0090的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系；如果2

χ 就有0095的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系；如果2

χ 就有0099的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系；如果2

χ ，就认为没有充分的证据说明变量X 和Y 是有关系． 二．典例精析

探究点一：频率分布直方图

例1：如图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4 000，请根据该图提供的信息解答下列问题：(图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))

(1)求样本中月收入在[2 500,3 500)的人数；

(2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分

层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1 500,2 000)的这段应抽多少人？ (3)试估计样本数据的中位数．

变式迁移1：为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a ，b 值分别为( )

A ．0.27,78

B ．0.27,83

C ．2.7,78

D ．2.7,83

探究点二：用茎叶图分析数据

例2：随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm )，获得身高数据的茎叶图如图．

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差；

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．

变式迁移2：某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：

甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538 乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531 (1)用茎叶图表示两学生的成绩；

(2)分别求两学生成绩的中位数和平均分．

探究点三：线性回归分析

例3： 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得

∑=101

i i

x =80 ∑=101

i i

y =20 ∑=10

1

2i i

x

=720

i

i i y x ∑=10

1

=184 (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程 y=bx+a

(2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关

(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄

（附：线性回归方程y=bx+a 中b=

∑∑=-=-

---n

i i

n

i i

i

x

n x

y x n y

x 1

2

21,a =---x b y 其中-x ，-

y 为样本平均值）

变式迁移3：一台机器使用时间较长，但还可以使用．它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果： (1)对变量y 与x 进行相关性检验；

(2)如果y 与x 有线性相关关系，求回归直线方程．

探究点四：统计与统计案例综合应用

例4：为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的试验结果．(疱疹面积单位：mm 2) 表1：注射药物A

表2：注射药物

完成下面2×2药物B 后的疱疹面积有差异”．

表3：

附：K 2

＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

.

变式训练4：某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，

90)，[90，100]分别加以统计，得到如图1－4所示的频率分布直方图． (1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率； (2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 附：χ2

＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋·n 2＋·n ＋1·n ＋2

三．方法规律总结

1．几种表示频率分布的方法的优点与不足：(1)频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势不太方便．(2)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式．但从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．(3)频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线．(4)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展示数据的分布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了．

2．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．

3．回归方程只适用于我们所研究的样本的总体，而且一般都有时间性．样本的取值范围一般不能超过回归方程的适用范围，否则没有实用价值．

4．利用图形来判断两个变量之间是否有关系，可以画出二维条形图，但从图形上只可以粗略地估计两个分类变量的关系，还要结合所求的数值来进行比较．作图应注意单位统一、图形准确，但它不能给出我们两个分类变量有关或无关的精确的可信程度，若要作出精确的判断，可以作独立性检验的有关计算．

四．课后作业练习

1．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和

x B ，样本标准差分别为

s A 和s B ，则( )

A .x A >x

B ，s A >s B B .x A s B

C .x A >x B ，s A

D .x A

2．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( ) A . 91和91.5 B ．91.5和92 C ． 91.5和91.5 D ．92和92

3．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形

的面积和的1

4，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )

A ．32

B ．0.2

C ．40

D ．0.25

4．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )

A . 65

B .65

C . 2

D ．2

5．设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )

A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率

B ．x 和y 的相关系数在0到1之间

C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同

D ．直线l 过点(x ，y )

6

根据上表可得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )

A ．63.6万元

B ．65.5万元

C ．67.7万元

D ．72.0万元

7．下列说法中正确的有：①若r>0，则x 增大时，y 也相应增大；②若r<0，则x 增大时，y 也相应增大；③若r ＝1或r ＝－1，则x 与y 的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个点均在一条直线上( )

A ．①②

B ．②③

C ．①③

D ．①②③

8．有两个分类变量x ，y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表如下：则两个分类变量x 和y 有关系的可信度为( C ) A ．95% B ．97.5% C ．99% D ．99.5% 9．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有30根棉花纤维的长度小于20 mm . 10．将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n= ．

11．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝ ..

12．下列关系中，①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．是相关关系的为 ．(填序号)

13．已知回归直线的斜率的估计值是0.73，样本点的中心为(12.5,8.25)，则回归直线的回归方程是 ．

14．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别有关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P(K 2≥3.841)≈0.05，P(K 2≥5.024)≈0.025.

根据表中数据，得到K 2

＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30

≈4.844. 则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为

15．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设

有一个回归方程y ^

＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方

程y ^

＝b ^

x ＋a ^

必过点(x ，y )；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.其中错误．．的命题是 ．

16．某种产品的宣传费支出x 与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据： (1)画出散点图；

(2)求回归直线方程； (3)试预测宣传费支出为10万元时，销售额多大？

17．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

(1)(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．

附：K 2

＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

18．某市2010年4月1日－4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61, 76, 70, 56, 81, 91, 92, 91, 75, 81, 88, 67, 101, 103, 95，

91, 77, 86, 81, 83, 82, 82, 64, 79, 86, 85, 75, 71, 49, 45.

(1)完成频率分布表．(2)作出频率分布直方图．

(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150

之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．