第24章圆总复习

C第24章圆总复习一、【复习目标】12二、【复习导学】1（1）圆是轴对称图形，经过的直线都是对称轴；又是中心对称图形，对称中心是．（2）连结___________的________叫做弦．经过______的____叫做直径．并且直径是同一圆中_____的弦．（3）圆上_________的部分叫做圆弧，简称______，以A，B为端点的弧记作______，读作_____或_____．（4）圆的的两个端点把圆分成两条弧，每________都叫做半圆．（5）在一个圆中_____________叫做优弧；_____________叫做劣弧．（6）半径相等的两个圆叫做____________．在同圆和等圆中，能够完全重合的弧叫．（7）顶点在的角叫做圆心角．（8）顶点在，并且两边都和圆的角叫做圆周角．（9）经过圆的外一点作圆的切线，的长叫做这点到圆的切线长．（10）三角形的三个顶点可以确定一个圆，这个圆叫做，外接圆的圆心叫做三角形的，它到三角形都相等，是的交点．（11）和三角形三边都的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的；它到三角形都相等，是的交点．（12）多边形的各个顶点都在圆上，这个多边形叫做圆的，这个圆叫做多边形的．2、位置关系（1（3、重要定理（1）垂径定理：垂直于弦的直径 弦且平分弦所对的 ． （2）垂径定理的推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 以上共2个定理，可简称2推3定理：此定理中共5个结论中，2个可推出其它3个结 即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE =④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD（3）圆心角定理：在同圆或圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等，所对应的 弦心距相等． 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =（4）圆周角定理即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角（5）圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角 ；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴推论2:即：在⊙O 中，∵AB 是直径 ∴ 90C ∠=︒ ．推论3即：在△ABC 中，∵OC OA OB == ∴△ABC （6）圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角 ．即：在⊙O 中， ∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴∠（7）切线的性质与判定定理 ①切线的判定定理：过半径 且 于半径的直线是圆的切线； 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线②性质定理：切线垂直于过 点的半径（如右图）（8）切线长定理：从圆外一点引圆的 条切线，它们的切线长 这点和圆心的连线 两条切线的夹角． 即：∵PA 、PB 是的两条切线∴ PA= ，PO 平分 .（9）正多边形的计算 ①正三角形：计算在Rt BOD ∆中进行， OD=1则AB=______， OB= ．②正四边形：计算在Rt OAE ∆中进行， AD=2则OE=______，OA=______． ③正六边形：计算在Rt OAB ∆中进行， AB=2则OA=______，OB=_______． （10）扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式①扇形：①弧长公式：180n Rl π= ；②扇形面积公式： 213602n R S lR π== , 213602n R S lR π== ,②圆柱： 2S S S =+侧表底=___________ ③圆锥侧面展开图 S S S =+侧表底=_________lOC 1D 1CA AD 图B A （三）圆易错点：1．注意考虑点的位置（在解决点与圆的问题时，应注意对点的位置进行分类，如点在圆内圆外、点在优弧劣弧等）例1．点P 到⊙O 上的最近距离为cm 3，最远距离为cm 5，则⊙O 的半径为 cm ． 例2．BC 是⊙O 的一条弦， ︒=∠120BOC ，点A 是⊙O 上的一点（不与B 、C 重合），则BAC ∠的度数为（解决与弦有关的问题时，应对两条的位置进行分类，即注意位于圆心同侧和异侧的分类．）例3．在半径cm 5为的圆中，有两条平行的弦，分别长cm 8和cm 6，则这两条平行弦的距离是 ． 例4．AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的两条弦，且︒=∠30BAC ，︒=∠45BAD ，则CAD ∠的AD= ．3．注意公共点的个数（在涉及直线与圆的位置关系时，应注意有公共点和有唯一公共点的区别．）例7．⊙O 的半径为cm 3，点P 在直线l 上，且cm OP 3=，则⊙O 和直线l 的位置关系为 ． 4．注意两圆相切中的分类（在解决两圆相切的问题时，应注意对内切、外切以及两圆大小进行分类） 例8．已知⊙O 1和⊙O 2相切，两圆的圆心距为9cm ，⊙O 1的半径为4cm ，则⊙O 2的半径为（ ）． A ．cm 5 B ．cm 13 C ．cm 9或cm 13 D ．cm 5 或cm 13 （四）考点归纳：考点1：基本概念和性质 例1．（2010兰州）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）． A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个考点2：圆心角与圆周角的关系 例2．（2010连云港）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AB ∥CD ，∠B ＝22°， 则∠A ＝________°．考点3：垂径定理． 例3．（2010芜湖）如图，在⊙O 中，有折线OABC ，其中8=OA ， 12=AB ，︒=∠=∠60B A ，则弦BC 的长为（ ）． A ．19 B ．16 C ．18 D ．20考点1-3练习： 1．如图1，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠BAC=35°，则∠ADC=_____．(1) (2) (3) (4) 2．如图2，在⊙O 中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC 的周长为______．3．如图3，AB 是⊙O 的弦，圆心O 到AB 的距离OD=1，AB=4，则该圆的半径是________． 4．如图4，⊙O 的直径AB=8cm ，C 为⊙O 上的一点，∠BAC=30°，则BC=_____cm ．（5） （6） （7） （8）5．我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，人们定义了点与点的距离，点到直线的距离．类似地，如图5，若P 是⊙O 外一点，直线PO 交⊙O 于A 、B 两点，PC 切⊙O 于点C ，则点P 到⊙O 的距离是（ ）A ．线段PO 的长度B ．线段PA 的长度C ．线段PB 的长度D ．线段PC 的长度 6．如图6，AB 是⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC=CD=DA ，则∠BCD=（ ） A ．100° B ．110° C ．120° D ．135°7．如图7，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD=40°，则∠DCF 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．20° 8．图8中∠BOD 的度数是（ ）A ．55°B ．110°C ．125°D ．150°考点4：直线与圆的位置关系（中考热点：切线的判断和性质） 1．已知∠ABC=60°，点O 在∠ABC 的平分线上，OB=5cm ，以O 为圆心，3cm 为半径作圆，则⊙O 与BC 的位置关系是________．2．如图1，AB 是⊙O 的切线，OB=2OA ，则∠B 的度数是_______．（1） （2） （3） 3．如图2，已知直线CD 与⊙O 相切于点C ，AB 为直径，若∠BCD=40°，则∠ABC 的大小等于_____． 4．如图3，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，连结PO 交⊙O 于点A ，PA=2，PO=5，则PB 的长为（ ） A ．4 B ．10 C ．26 D ．435．如右图，AB 与⊙O 切于点B ，AO=6cm ，AB=4cm ，则⊙O 的半径为（ ）A ．45cmB ．25cmC ．213cmD ．13cm 6．如右图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，那么∠P 等于（ ） A ．15° B ．20° C ．25° D ．30° 7．⊙O 的半径为4，圆心O 到直线L 的距离为3， 则直线L 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定 8．如图，A 是⊙O 外一点，B 是⊙O 上一点，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ，∠C=22．5°，∠A=45°．求证：直线AB 是⊙O 的切线． 9．如图，⊙O 的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=43，D 是线段BC 的中点． （1）试判断点D 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，求证直线DE 是⊙O 的切线．10．已知：△ABC 是边长为4的等边三角形，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB ，BC 相交于点D ，E ，EF ⊥AC ，垂足为F. （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线；（2）当直线DF 与⊙O 相切时，求⊙O 的半径.考点5：弧长扇形面积的计算考查形式：考查运用弧长公式（_____________=l ）以及 扇形面积公式（_________=S和________=S ）进行有关的计算，常以填空题或选择题的形式进行考查．例5．（2010巴中）如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆， 则图中阴影部分的面积为 ．考点6：圆锥的侧面展开问题考查形式：考查圆锥的侧面展开图的有关知识以及空间想象能力，常以选择题或填空题的形式出现． 例6．（2010年眉山）已知圆锥的底面半径为4cm ，高为3cm ，则这个圆锥的侧面积为__________cm 2．考点7：正多边形的计算例7．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）A ．2B ．3 CD．考点5-7：练习1．已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm ，则扇形的弧长为 cm （结果保留π）．2．如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处 不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）A ．6cm B． C ．8cm D． 3．如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成如图所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r ， 扇形的半径为R ，则圆的半径与扇形半径之间的关系为（ ）A ． 160°B ． 150°C ． 140°D ． 120°剪去2. （ 2014•广西贺州，第11题3分）如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，且AC =2，AE =，CE =1．则弧BD 的长是（ ） A ． B ．C ．D ．） A ．35° B ． 45° C ． 55° D ． 65°第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 第7题图 3的最大扇形ABC ，则：（1）AB 的长为 米；（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为 米． 8．（2014•四川自贡，第14题4分）一个边长为4cm 的等边三角形ABC 与⊙O 等高， 如图放置，⊙O 与BC 相切于点C ，⊙O 与AC 相交于点E ，则CE 的长为 cm ．9. （2014年江苏南京）如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ， 连接BC ，若AB =2cm ，∠BCD =22°30′，则⊙O 的半径为 cm ． （Ⅰ）如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB =6上两点，且=，连，求⊙。