(优选)无理根式的不定积分
有理函数——精选推荐
本单元的重点与难点
1.重点：有理函数的部分分式分解方法． 2难点：将三角函数的有理函数，简单无理根式化为有 理函数的方法． 教学时数 3-4学时．
一、有理函数的不定积分
1.有理函数的部分分式分解方法
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具
有如下形式的函数：
( ) P x ( ) Q x
=
a0 xn b0 xm
⎟⎟⎠
⎥ ⎥ ⎦
t
=
x
+
p,a 2
=
q− p2 4
dt t2 +a2 n
而
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) In−1 =
( ) dt
t2 + a2
n −1
=
t t2 + a2
n−1 + 2
n −1
t2 t 2 + a2 n dt
( ) ∫ ( ) ( ) =
t t2 + a2
n−1 + 2(n − 1)
⎠
= a2 + b2 (sinϕsin x + cosϕcos x)
= a2 + b2 cos( x −ϕ)
其中ϕ = arctan a , 则
b
∫
a sin
dx x+b
cos
x
=
1 a2 +
b2
∫
cos
(
1 x
−
ϕ
)dx
= 1 ln sec( x − ϕ ) + tan ( x − ϕ ) + C
N
−
Mp ⎞ 2 ⎟⎠
dx
⎡⎢⎣⎢⎛⎝⎜
x
+
数学分析(第8.3节有理函数和可化为有理函数的不定积分)
而
(
x
1 1)2
1
dx
arctan(
x
1)
C1 ,
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[(
x
2
x 1)2
1
1]2
dx
2( [( x
x
1) 1 1)2 1]2
dx
tx1
(t
2
2t 1)2
dt
dt (t 2 1)2
1 t2 1
dt (t 2 1)2 .
1
dt
x2 2x 2 (t 2 1)2 .
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(3)真分式总可以唯一地分解为部分分式(最简真分式) 之和.
分母中若有因子 ( x a)k : 分解式中含有因子
A1 A2 ( x a) ( x a)2
L
Ak ( x a)k
其中 A1 , A2 , , Ak都是待定的常数.
分母中若有因子 ( x2 px q)k ( p2 4q 0) :
第8章 不定积分
• 不定积分概念与基本积分公式 • 换元积分法与分部积分法 • 有理函数和可化为有理函数的不定积分
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第8.3节 有理函数和可化为 有理函数的不定积分
• 有理函数的不定积分 • 三角函数有理式的不定积分 • 某些无理根式的不定积分
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一、有理函数的不定积分
dx
1 5
1
1 x2
dx
2 ln
1
2x
1
ln(1
x2 )
1 arctan
x
C
5
5
5
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例4
求
(
x
2
x
不定积分公式
不定积分公式不定积分是微积分中的重要概念，用于求函数的原函数。
求不定积分的过程称为积分计算或积分求解。
在积分计算中，不定积分公式是一种关键工具，它们可以帮助我们简化和加速积分的过程。
下面将介绍一些常用的不定积分公式。
1. 一次幂函数的积分当函数为幂函数时，我们可以使用下列公式来求不定积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数，n≠-1。
2. 反比例函数的积分反比例函数的积分可以使用以下公式来计算：∫(1/x) dx = ln|x| + C，其中C为常数。
3. 导数是经典函数的积分对于一些经典函数的导数，我们可以通过回推原函数的求导法则来进行积分，即导数与原函数相互逆运算。
例如：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数。
∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为常数。
∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为常数。
4. 三角函数的积分三角函数的积分可以使用以下公式来计算：∫sec^2(x) dx = tan(x) + C，其中C为常数。
∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C，其中C为常数。
∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C，其中C为常数。
∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C，其中C为常数。
5. 对数函数的积分对数函数的积分可以使用以下公式来计算：∫1/x dx = ln|x| + C，其中C为常数。
∫ln(x) dx = xln|x| - x + C，其中C为常数。
6. 指数函数的积分指数函数的积分可以使用以下公式来计算：∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C，其中C为常数。
7. 根式函数的积分根式函数的积分可以使用换元法或者变换成有理函数的形式来求解。
8. 有理函数的积分有理函数（即多项式与根式函数的组合）的积分可以使用分部积分法、有理函数的分解式或者部分分式分解法来求解。
无理函数积分的一些方法[权威资料]
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最新最全的学术论文期刊文献年终总结年终报告工作总结个人总结述职报告实习报告单位总结【摘要】给出无理函数积分的几种方法，对提高学生解题能力、发展学生思维能力有一定意义.【关键词】无理函数；积分；方法对于无理函数的积分，一般高等数学教材中只介绍了变量替换法和求被积函数中含有简单根式x2〒a2和nax+bcx+d 等情形.但实际遇到的有些无理函数积分问题，利用变量代换计算往往比较复杂，有些甚至还无法计算，虽然利用积分表可以查到结果，但从培养学生思维能力的角度讲并无益处.现把无理函数的积分归纳为以下几种方法，对提高学生解题能力、发展学生思维能力有一定意义.一、凑微分法例1 求 ∫x+3x2+6x+4dx.解∫x+3x2+6x+4dx=12∫d（x2+6x+4）x2+6x+4=x2+6x+4+C.例2 求∫dxx+x2 .∫dxx+x2=∫1x+1xdx=∫1x+1x+11x+x+1dx=2∫1x+x+1d （x+x+1）=2lnx+x+1+C.二、分项积分法例3 求∫x2x2+1dx.解∫x2x2+1dx=∫x2+1-1x2+1dx=∫x2+1dx-∫1x2+1dx=12[xx2+1-ln|x+x2+1|]+C.三、分部积分法例4 求∫x+x2dx.∫x+x2dx=xx+x2-∫（1+2x）x2x+x2dx=xx+x2+12∫xx+x2dx-∫x+x2dx.∫x+x2dx=12xx+x2+14∫xx+x2dx=14x+x2（2x+1）-18lnx+12+x+x2+C.四、换元法例5 求∫31+4xxdx.设t=31+4x，所以 x=（t3-1）4dx=12t2（t3-1）3dt.∫31+4xxdx=12∫（t6-t3）dt=127t7-3t4+C=127（1+4[]x）73-3（1+4[]x）43+C.五、欧拉代换法例6 求∫x31+x2dx.令1+x2=xu-1，则x=2uu2-1 dx=-2u2+2（u2-1）2du.∫x31+x2dx=-16∫u3（u2-1）4du=-8∫u2-1+1（u2-1）4d（u2-1）=4（u2-1）2+83（u2-1）3+C=x4（1+1+x2）2+x63（1+1+x2）3+C.虽然无理函数的积分比较复杂，但通过典型题目的训练，认真分析、总结，是可以达到熟练掌握无理函数积分的教学要求的.从被积函数的特点出发寻找不同的处理方法，从中去探索、发现数学规律，充分调动学生学习的主动性，培养学生的创新能力.在高等数学教学过程中渗透创新能力的培养，这是素质教育的要求，数学创新教育主要是发展学生的思维能力，使他们在数学问题的探索中有新的发现，在数学方法上有所创新，在思维层次上有新的提高.阅读相关文档:技巧在中学数学中的应用 Kuratowski十四集定理若干问题的代数思考一道中考压轴题解题方法的课堂探究从“草船借箭”的典故中看构造法在数学解题中的应用一类非线性SEIR模型平衡点的存在性浅谈数学期望在经济生活中的应用初中数学教学生活化策略探析由江浙两省高考圆锥曲线试题看命题的变化趋势关于“求与已知直线夹角为定值的直线方程的定理”一文的疑惑素数分布——素数硬币的抛掷运动对一道数学高考题的多角度思考课时津贴计算中数学模型的建立与应用论析三角函数典型错解问题高中复习课教学研究*本文若侵犯了您的权益，请留言。
不定积分总结
不定积分一、原函数定义1 如果对任一I x ∈，都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。
例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。
2211)1ln([xx x +='++，即)1ln(2x x ++是211x+的原函数。
原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。
注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。
设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。
注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即C x G x F =-)()(（C 为常数）注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。
二、不定积分定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为⎰dx x f )(。
如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则 C x F dx x f +=⎰)()(，（C 为任意常数）三、不定积分的几何意义图 5—1设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x F y =在平面上表示一条曲线，称它为)(x f 的一条积分曲线．于是)(x f 的不定积分表示一族积分曲线，它们是由)(x f 的某一条积分曲线沿着y 轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x 的点处有互相平行的切线，其斜率都等于)(x f ．在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式C x F y +=)(，再从中确定一个满足条件 00)(y x y = (称为初始条件)的原函数)(x y y =．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点),(00y x 的积分曲线．四、不定积分的性质（线性性质）[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰()() kf x dx k f x dx =⎰⎰k （为非零常数）五、基本积分表∫ a dx = ax + C，a和C都是常数∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠ -1∫ 1/x dx = ln|x| + C∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠ 1∫ e^x dx = e^x + C∫ cosx dx = sinx + C∫ sinx dx = - cosx + C∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C= - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C= - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C∫ sec^2(x) dx = tanx + C∫ csc^2(x) dx = - cotx + C∫ sec xtanx dx = secx + C∫ cscxcotx dx = - cscx + C∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C ∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C ∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C ∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C六、第一换元法（凑微分）设)(u F 为)(u f 的原函数，即)()(u f u F =' 或 ⎰+=C u F du u f )()(如果 )(x u ϕ=，且)(x ϕ可微，则)()]([)()()()()]([x x f x u f x u F x F dxdϕϕϕϕϕ'='=''= 即)]([x F ϕ为)()]([x x f ϕϕ'的原函数，或)()(])([])([)]([)()]([x u x u du u f C u F C x F dx x x f ϕϕϕϕϕ==⎰⎰=+=+='因此有定理1 设)(u F 为)(u f 的原函数，)(x u ϕ=可微，则)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=' (2-1)公式(2-1)称为第一类换元积分公式。
不定积分第二换元积分法根式换元
不定积分第二换元积分法根式换元不定积分第二换元积分法根式换元一、引言在微积分学习中，不定积分是一个重要的概念，而其中的第二换元积分法和根式换元是比较常见的技巧。
在本文中，我将结合实例，深入探讨不定积分第二换元积分法和根式换元的相关知识，希望能够为大家对这些概念的理解提供一些帮助。
二、不定积分第二换元积分法不定积分第二换元积分法是在进行积分运算时，为了将被积函数进行合适的分解，从而使得积分的计算变得简单起来。
具体来说，通过对积分式进行适当的变量变换，可以将原积分转化为一个更容易求解的形式，这就是不定积分第二换元积分法的基本思想。
下面我们通过一个例子来展示不定积分第二换元积分法的具体应用。
例：计算不定积分∫(x+2)sin(x^2+2x+1)dx。
解：我们对被积函数sin(x^2+2x+1)进行展开，得到sin[(x+1)^2]。
接下来，我们可以将x+1定义为t，这样原积分可以被变换为∫sin(t^2)dt，这在形式上更加简单。
进一步，我们通过对sin(t^2)的泰勒级数展开，可以将其表示为t^2-t^6/3!+t^10/5!-…，于是原积分可以进一步转化为∫(t^2-t^6/3!+t^10/5!-…)dt。
我们可以通过对每一项的积分计算，得到最后的结果。
这个例子展示了不定积分第二换元积分法的基本思路和应用过程。
三、根式换元根式换元是在进行积分运算时，为了简化被积函数的形式，我们会尝试将根式部分通过变量变换的形式进行消除。
具体来说，我们可以选择一个合适的变量代换，使得原积分式中的根式部分能够被简化或消除。
下面，我们通过一个实例来展示根式换元的具体应用。
例：计算不定积分∫x*sqrt(4x^2+5)dx。
解：我们可以选择根式4x^2+5的部分进行变量代换。
取u=4x^2+5，那么对u求导得du=8xdx。
可以发现，被积函数中的x部分很好地与du的一部分相吻合，于是我们可以将被积函数导数的一部分与du相互匹配，从而将根式部分消除。
不定积分求解方法
不定积分求解方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1探讨不定积分的解题方法班级学号姓名51 杨洁珊摘要在数学分析中，不定积分占有非常重要的地位，是高等数学教学的难点和重点．具有很高的灵活性，可以开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三、触类旁通的教学效果。
为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。
研究不定积分要重在提高自己的逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想运算能力以及应用能力。
求解不定积分的过程对学生的科学思维和文化素质的培养所起的作用极为明显。
求解不定积分的方法主要有直接积分法（即直接利用积分公式求解）、换元积分法（第一换元积分法、第二换元积分法）、分部积分法。
关键词不定积分、直接积分法、换元积分法、分部积分法、分解积分法。
前言正如假发有逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法。
我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，相反：求一个未知函数使其导函数恰好是某一已知函数。
提出这个逆问题，首先是因为它出现在许多实际问题之中，如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的，求曲线方程等等这些都是积分在生活中的应用，特别是在物理学中的应用，变力做功，质点做变速直线运动的路程以及引力问题。
所以掌握不定积分的求法，在我们的数学物理科学研究工作中显得尤为重要。
标题一、直接积分法我们已经知道积分法是微分的逆运算，即直接积分法就是利用最基本的积分公式求解积分。
要掌握这一方法首先就应该熟记，并懂得灵活运用。
下面的基本积分表就必须掌握1.0dx c=⎰2adx ax c =+⎰3. ()10,01a axx dx c a x a +=+≠>+⎰ 4()1ln ||0dx x c x x=+≠⎰5.x xe e c =+⎰6.(0,1)ln x x aa dx c a a x=+>≠⎰17.cos sin axdx ax c a=+⎰()18sin cos 0axdx ax c a a=-+≠⎰()29sec tan 0xdx x c a =+≠⎰210.csc tan xdx x c =+⎰ 11.sec tan sec x xdx x c =+⎰12.csc cot csc x xdx x c =-+⎰13.arcsin arccos 'dx x c x c =+=-+⎰214.arctan cot '1dx dx x c arc x c x=+=-++⎰ 22115.ln ||2dx x a c x a a x a-=+-+⎰ 16.sec ln |sec tan |xdx x x c =++⎰在实际计算中最重要的是要把复杂的运算转化为熟悉的积分公式，如下几种情况 (1).假分式化为真分式方法：分母不改变，对分子进行拼凑，转化为真分式。
第4节 有理函数的不定积分
Mx + N ; 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 2 x + px + q
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 将有理函数化为部分分式之和后， 现三类情况： 现三类情况：
A Mx + N (1) 多项式； ( 2) 多项式； ; ( 3) ; n 2 n ( x − a) ( x + px + q ) Mx + N dx , 讨论积分∫ 2 n ( x + px + q )
2x3 + 5x 2x2 + 5 解 原式 = ∫ x4 + 5x2 + 4dx + ∫ x4 + 5x2 + 4dx
1 d( x4 + 5x2 + 5) ( x2 +1) + ( x2 + 4) = ∫ 4 dx +∫ 2 2 2 2 x + 5x + 4 ( x +1)( x + 4)
1 1 1 4 2 + 2 )dx = ln x + 5x + 4 + ∫ ( 2 x +1 x + 4 2
1 = ln x4 + 5x2 + 4 + arctanx + 1arctan x + C. 2 2 2
注意 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 例6 求积分 解
2u+1+ u2 −1− u2 2u du du = 原式 = 2 2 (1+ u)(1+ u ) (1 + u)(1 + u )
(2021年整理)不定积分解题方法及技巧总结
不定积分解题方法及技巧总结(推荐完整)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（不定积分解题方法及技巧总结(推荐完整)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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⎰不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。
然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”.本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结. 关键词：不定积分;总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言.本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用,具体情况仍需要具体分析。
1.利用基本公式。
(这就不多说了~)2.第一类换元法.(凑微分）设f(μ）具有原函数F （μ）。
则C x F x d x f dx x x f +==⋅⎰⎰)]([)()]([)(')]([ϕϕϕϕϕ其中)(x ϕ可微。
不定积分方法总结
不定积分方法总结不定积分是微积分中的重要概念，用于求解函数的原函数。
不同函数的不定积分方法各不相同，下面将对常见的不定积分方法进行总结。
1.常规的幂函数积分：对于形如$x^n$的函数，其中$n$为常数，其不定积分可以按照以下公式进行求解：$$\int x^n dx = \frac{{x^{n+1}}}{n+1} + C$$其中C为常数。
2.指数函数的积分：对于形如$e^x$的函数，其不定积分可以直接求得：$$\int e^x dx = e^x + C$$其中C为常数。
3.对数函数的积分：对于形如$\ln(x)$的函数，其不定积分可以直接求得：$$\int \ln(x) dx = x(\ln(x) - 1) + C$$其中C为常数。
4.三角函数的积分：对于常见的三角函数，其不定积分方法如下：- 正弦函数：$$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$$- 余弦函数：$$\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$$- 正切函数：$$\int \tan(x) dx = -\ln，\cos(x)， + C$$- 余切函数：$$\int \cot(x) dx = \ln，\sin(x)， + C$$5.常见的三角函数幂函数积分：- $$\int \sin^n(x) dx$$：当$n$为奇数时，可以采用递归法进行求解，当$n$为偶数时，可以采用倍角公式和减角公式进行化简。
- $$\int \cos^n(x) dx$$：当$n$为奇数时，可以采用递归法进行求解，当$n$为偶数时，可以采用倍角公式和减角公式进行化简。
6.有理函数的积分：对于形如$\frac{P(x)}{Q(x)}$的有理函数，其中$P(x)$和$Q(x)$分别为多项式函数，可以采用分部积分法、配凑法、偏分式分解等方法进行求解。
7.常见的代换法：- 令$x=\sin(t)$或$x=\cos(t)$：用于处理含有平方根的积分；- 令$x=\tan(t)$或$x=\cot(t)$：用于处理含有平方差的积分；-令$t=g(x)$：用于处理含有根式的积分。
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（2）
Mx N ( x2 px q )k dx;
对于 (1)
ln x a C ,
(
x
dx a
)k
1
k
1
x
a k1
C
,
k 1, k 1.
Mx N
( 2 ) ( x2 px q )k dx;
x2
px q x
p 2 q
p2 ,
2
4
令 x pt记 2
x2 px q t 2 r 2 ,
于是，按同幂项系数必定相等，得到一
组关于待定系数的线性方程，这组方程的
解就是需要确定的系数．
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x
2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
1 x( x 1)2
1 x
(x
1 1)2
1. x1
例3
(1
1 2x)(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
A 2B 0,
B 2C 0, A C 1,
第一步 对分母 Qx 在实系数内作标准分解：
Q x x a1 1 x as s x2 p1x q1 1
x2 pt x qt t
其中b0 1,i, j i 1,2, ,t 均为自然数，而且
s
t
i 2
j
m;
p
2 j
4q j
0,
j
1,2,, t .
i 1
j 1
第二步 根据分母的各个因式分别写出与之 相应的部分分式：
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多 项式和一个真分式之和.
例
x3 x 1 x2 1
x
1
x2
. 1
有理真分式必定可以表示成若干个部分分
式之和(称为部分分式分解)
有理函数化为部分分式之和的一般步骤：
a
20 k 1,
(
Mx x2 px
N q
)k
dx
Mt dt ( t 2 r 2 )k
b ( t 2 r 2 )k dt
(t2
t r2)k
dt
2(1
1 k)(t 2
r 2 )k1
c
令
Ik
dt 1 (t2 r2)k r2
(t 2 (t
r 2
2)t r 2 )k
2
dt
1 r2
1 e2 e3 e6
x
解 令 t e 6 x 6ln t,
dx 6 dt,
t
1
x
e2
1
x
e3
x
e6
dx
1
t3
1
t2
t
6 dt t
6
t(1
t
1 )(1
t
2
dt )
6 t
1
3
t
3t 3 1 t2
dt
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
6ln t 3ln 1 t 3
Mx N Mt b,
则 r2 q p2 , 4
b N Mp , 2
(
Mx x2 px
N q
)k
dx
Mt dt ( t 2 r 2 )k
b ( t 2 r 2 )k dt
10 k 1,
Mx N x2 px
q
dx
M
ln(
x2
px
q)
b arctan
x
p 2
C;
2
a
1
(1 2x)(1
A x2 )
1
4, B 5 4
5 2x
2,C 5
2x1 55 1 x2
1 5
.
,
例4
求积分
1 x( x 1)2dx.
解
1 x(x
1)2dx
1 x
(x
1 1)2
1 x
1
dx
1
1
1
dx x
(
x
1)2
dx
x
dx 1
ln x 1 ln x 1 C. x 1
（1）分母中若有因式 ( x a)k ，则分解后为
(x
A1 a)k
(x
A2 a)k1
Ak , xa
其中A1 , A2 ,, Ak 都是常数.
特殊地：k 1, 分解后为
A; xa
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ，其中
p2 4q 0 则分解后为
M1x ( x2 px
N1 q)k
Ik 1
1 r2
t2 (t 2 r 2 )k dt
1
1
1
r 2 Ik1 2r 2 (k 1) td ((t 2 r 2 )k1 )
1 r2
I k 1
1 2r2 (k
1)
(t
2
t r 2 )k1
Ik1
1
例5 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
解
1
(1
2 x )(1
x2
dx )
4
2x1
1
5 2
x
dx
5 1
x2
5dx
2 ln 5
1
2x
1 5
1
2
x x
2
dx
1 5
1
1 x
2
dx
2 ln 1 2x 1 ln(1 x2 ) 1 arctan x C.
5
5
5
例6 求积分
1
x
ห้องสมุดไป่ตู้
x
x dx.
2
d
(1 t 2 1 t2
)
3
1
1 t
2
dt
6ln t 3ln 1 t 3 ln(1 t 2 ) 3arctan t C 2
x
3ln(1
x
e6
)
3 ln(1
e
x 3
)
x
3arctan(e 6
)
C.
2
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只 出现两类情况：
(1)
A dx; ( x a )k
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
例2
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
（优选）无理根式的不定 积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称之为有理 函数.其一般形式为
P( Q(
x) x)
a0 xn b0 xm
a1 xn1 b1 xm1
an1 x bm1 x
an bm
（1）
其中m、n都是非负整数；a0 ,a1 ,,an及 b0 ,b1 ,,bm都是实数，并且a0 0，b0 0.
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中 Mi , Ni都是常数(i 1,2,, k).
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx 2
N px
q
;
第三步 确定待定系数 。一般方法是将
所有部分分式通分相加，所得分式的分母即
为 原 分 母 Q x ， 而 其 分 子 亦 应 与 原 分 子 P x 恒等．