六边形与八边形翻板的探讨

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自然界中的对称

自然界中的对称序——自然界各种奇特的对称令人琢磨不透，仿佛万事万物在无形中遵循着某种规律。

最近读了一本德国学者赫尔曼·外尔的《对称》，颇有些感想，所以浅谈些观点，算是个总结吧。

对称性的概念对称有两种含义：1、对称的即意味着是非常匀称和协调的，而对称性则表示结合成的整体的好几部分之间所具有的那种和谐性。

2、天平的形象是我们能自然地联系到对称一词的第二种含义（近代使用这次所指的意思）。

即左和右的对称性。

这里提到左和右，我觉得有必要对左右的实质进行一番阐述。

对于有科学头脑的人来说，左和右之间并没有内在的差异和截然的相反性。

需要有一个人为的选择才能确定什么是左，什么是右。

用莱布尼茨的术语就是——左右是不可区分的。

我们平时所说的向左旋转，那你指的是：你的旋转方向以及在你身上从足到头的朝上的方向两者结合起来组成一个左螺旋。

几种常见的对称性1、双侧对称性一个物体，即一个空间构形，如果在关于平面E的反射下变为其自身，我们就说它是关于E对称的。

去垂直与E的人一直线l以及l上的任意一点p，那么此时在l上（在E的另一侧）就存在一点p′(且只存在一点p′)与E有同样的距离。

仅当p在E上，点p′才与p重合。

如果引入映射概念，p→p′把任意点p变为它关于E的镜像p′。

进一步阐述双侧对称性就要用到自同构的概念，存在这样一个事实：平面中的反射是一个自同构。

讲了这么多理论还是联系一下实际吧。

符合双侧对称性的人体构造是最好的例子：眼睛、耳朵、手、脚等等。

有人会说了，人体有些器官是不对称的啊？所有不对称的出现都是次要的特征，彼且影响内部器官的较为重要的不对称主要是由于肠道表面的必要增加与身体的生长不合比例而造成的，肠道长度的增加就引起了不对称的折叠和回盘。

而且在这种系发生的进化过程中，这些与肠道系统及其附属器官有关的最初的不对称性就带来了其他器官系统的不对称性。

我们必须懂得自然界总的构造具有这种对称性。

但是我们也不那个期望自然界中的任意特定物体都是完美的具有这种对称性。

2019年人教数学二年级下册一课一练第七单元认识五边形、六边形

认识五边形、六边形
一、说出下列图形各是几边形。

（）（）（）（）
二、找一找，描一描。

描出3个长方形。

描出3个正方形。

三、在方格纸上按要求画图。

1．画一个长3厘米、宽2厘米的长方形。

2．画一个边长是4厘米的正方形。

四、用一张长方形纸依次折，每次折的分别是几边形？
（）（）（）（）（）
五、下图是用16根火柴棒拼成的“回”字形。

请你移动其中的四根火柴棒，使原图变成三个正方形，请把移动的图画出来。

第二课时认识五边形、六边形
一、四边形五边形六边形八边形
二、略
三、略
四、五边形五边形六边形六边形四边形
五、移法不唯一，如：。

多边形的内角和教学设计

11.3.2多边形的内角和（教学设计）一、教学目标1、知识与技能：（1）探索并了解多边形的内角和公式。

（2）能对多边形的内角和公式进行应用，解决实际问题。

（3）掌握多边形的外角和定理，并能运用。

2、过程与方法：（1）通过量，拼，分，类比，推理等教学活动，探索多边形的内角和公式，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力。

（2）通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的运用，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。

3、情感态度与价值观：（1）通过师生共同活动，培养学生创新精神，增强学生对数学的好奇心与求知欲。

（2）向学生渗透类比、转化的数学思想，并使学生学会与他人合作。

二、教学重难点重点：多边形内角和定理与外角和定理的推导及运用。

难点：将多边形的内角和转化为三角形的内角和，找出它们之间的关系。

三、教法：启发式、探索式四、学法：自主探索、合作交流五、前置作业：1、做一个不规则四边形学具；2、用尽可能多的方法探究多边形的内角和。

（目的：一是让学生结合自己已有的生活经验，尝试应用更多的方法来探究多边形的内角和。

二是制作一个学具，通过操作学具来触发学生的思考，为重难点的突破打好基础。

）六、教学过程：（一）创设问题情境，导入新课课件出示一组生活中的图片问题1：看完这组图片，你能抽象出哪些几何图形问题2：生活中有如此多几何图形，你对它们有多少了解？设置意图：学生能说出发现了三角形、四边形、五边形、六边形、八边形…进而指出什么是多边形。

老师指出三角形是最简单的多边形，三角形的内角和是180度，那多边形的内角和是多少呢？从而顺利引入新课。

过渡语：我们知道三角形的内角和等于180度，正方形，长方形的内角和等于360度，那么四边形、五边形、六边形呢？今天，老师想和同学们一起走进多边形的家园去揭开多边形的内角和的奥秘。

”（板书课题）二、合作交流、探究新知活动一：探究“任意四边形的内角和”问题1：任意四边形的内角和是多少度？你是怎样得到的？你能找到几种方法？活动任务：用用尽可能多的方法探索四边形的内角和活动要求：1.先自己想，再小组交流。

第24章圆-正多边形与圆的总结拓展课件 22--23学年沪科版九年级下册数学

又∵AF是⊙O的直径
∴∠ADF＝90°
∴ ∠BDF＝∠ADF-∠BDA＝90°- 36°=54°
C
F
D
例3.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，
54° ．
则∠BDF的度数是________
小结：
1.正n边形的每一个内角等于
A
n 2 180
n
B
E
O
；
2.直径所对的圆周角等于90°；
图形.
正三角形
120°
3条
正四边形
90°
4条
正五边形
72°
5条
正n边形有多少条对称轴？ n条
正n边形至少旋转多少度与自身重合？
360
n
正六边形
60°
6条
正七边形
360
7条
7
正八边形
45°
8条
如何画正多边形
3. 如何画正多边形
①用圆规和量角器画正多边形.
360
先任意画出一个圆和一条半径，再计算出该正多边形的中心角的度数，即
1
∴BA= ,
2
2
1
3

根据勾股定理可得：r=a= b 2 b
b
2
2
∴r:b＝ 3：2
1
B 2 bA
T2
3
b
2 r
T1
O
a
b
例5.如图，有一个圆O和两个正六边形1、 2，其中1的六个顶点都在圆周上，2的六条边都
和圆O相切，（我们称1和2，分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
和圆O相切，（我们称1和2，分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．

多边形对角线的条数和边数的关系

多边形对角线的条数和边数的关系1. 多边形基础知识嘿，朋友们，今天我们要聊聊一个有趣的话题——多边形的对角线。

可能你会想，哎，啥是对角线呢？简单来说，对角线就是连接多边形非相邻两个顶点的线段。

想象一下，如果你手里拿着一块披萨，刀从一个角切到对面的角，这条线就是对角线。

听上去挺简单吧？但你知道吗，这些对角线跟边数之间有着非常密切的关系，简直就是亲密无间的老友。

2. 对角线的数量好，我们先来看看对角线的数量。

想象一下，我们有一个n边形，边数就是n。

在这个多边形中，我们可以从每个顶点出发，画出对角线。

每个顶点能连接其他n3个顶点（别忘了减去自己和两个相邻的顶点哦）。

这样一来，整个多边形的对角线总数就变得有趣起来了。

2.1 公式的魅力你们知道吗？数学家们为我们总结出了一个简单的公式来计算对角线的数量。

公式是：对角线数量 = n(n3)/2。

这个公式听起来可能有点复杂，但实际上运用起来相当方便。

只要把n的值代入，咔嚓一下，答案就出来了！例如，如果你有一个五边形，代入公式就是5(53)/2，计算出来竟然有5条对角线！是不是有点小惊喜呢？2.2 直观的理解当然，光有公式还不够，我们还得从直观的角度来理解一下。

想象一个三角形，嘿，没错，三角形就只有三个顶点，连接起来就成了一个三角形，根本没有对角线。

然后再想想四边形，四个角，两个对角线。

这么推下去，你就会发现，随着边数的增加，对角线的数量就像开了挂一样，蹭蹭蹭地往上飙升。

这个变化真的是让人叹为观止啊！3. 边数与对角线的关系接下来，我们深入一下，探讨一下边数和对角线数量之间的关系。

很多时候，边数和对角线的数量就像鱼和水一样，密不可分。

你可能会觉得，边数多了，顶点自然多，对角线也就多，但其实不光如此。

对角线的数量是依赖于边数的平方减去一个线性关系，形成了一个更复杂的变化曲线。

3.1 增长的速度你会发现，随着n的增加，对角线的数量不仅仅是在增加，而是以平方的速度增长。

3.6 多边形的内角和与外角和

A B 2 1 5 E α C 3 D C' B' 4 βO θ δ γ A'
E'
D'
结论：结论：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5的和等于360° 的和等于360° 360
如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做一边与另一边的反向延长线这个多边形的外角。这个多边形的外角。在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这在每个顶点处取这个多边形的一个外角，个多边形的外角和。个多边形的外角和。任意多边形的外角和都等于360° 任意多边形的外角和都等于360° 360 （1）还有什么方法可以推导出多边形的外角和公式？还有什么方法可以推导出多边形的外角和公式？（2）利用多边形外角和的结论，能否推导出多边形内角利用多边形外角和的结论，和的结论？和的结论？
A 探究3 探究3 E B
D C F 180°× 180° 540° 180°× 4 – 180° = 540°
A 探究4 探究4 E
B
C 180° 360° 540° 180°+ 360° = 540°
D
1.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形， 1.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，过某个多边形一个顶点的所有对角线这个多边形是几边形？它的内角和是多少？这个多边形是几边形？它的内角和是多少？ 2.如图：(1)作多边形过顶点A的所有对角线，并分别用字母表达出如图：(1)作多边形过顶点A的所有对角线，作多边形过顶点来。(2)求这个多边形的内角和。 (2)求这个多边形的内角和。求这个多边形的内角和解:(1)过顶点A的对角线共有三条， (1)过顶点A 过顶点分别是AC、AD和分别是AC、AD和AE. AC (2)这个多边形的内角和是： (2)这个多边形的内角和是：这个多边形的内角和是 (6720(度 (6-2) · 180 = 720(度).

2.6 正多边形与圆(2)

例2：如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角 ∠BAC＝36°，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB．求证：五边形AEBCD是正五边形．
才艺展示
1．正十二边形的每一个外角为角是
°，每一个内
°，该图形绕其中心至少旋转
°和本身重合．
才艺展示
2．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，求阴影部分的面积．
请你画一画
拓展思考：如何作正三角形？正十二边形？ D E 作法：（1）在⊙O中任意作一条直径AD． F （2）分别以点A、D为圆心， ⊙O的半径为半径作弧，与
O A B
C
⊙O相交于点B、F和点C、
E．
（3）依次连接A、B、C、D、E、F各点．正六边形ABCDEF就是所求作的正六边形．
点拨纠正
初中数学九年级(上册)
2.6 正多边形与圆(2)
主备人：姜登翠审核人：王媛媛
知识回顾
1．菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？它们是怎样的对称图形？
自主探究
2．下图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称
轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心．
A．
6 10
B．“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨：甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内矩形不一定是正方形．乙同学：我知道，边数为3时，它是正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五边形… 丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形．如图 2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，这样构造的六边形ADBECF不是正六边形．

【最新精选】作圆的内接正方形和正六边形

作圆的内接正方形和正六边形教学目标：1、知识目标：使学生了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而可以作出圆内接正方形和正六边形；使学生会用尺规作圆内接正方形和正六边形。

2、能力目标：通过画图培养学生的画图能力；培养学生观察、抽象、迁移能力。

3、情感目标：通过画图中需减小积累误差的思考与操作，培养学生解决实际问题的能力。

教学重点：(1)用量角器等分圆心角来等分圆，然后作出圆内接正方形和正六边形；(2)用尺规作圆内接正方形和正六边形。

教学难点：准确作图。

教学方法：本节课主要采用启发式教学和引导发现的体验教学法。

教学过程：一、新课引入：前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质、判定，尤其学习了正多边形与圆关系的两个定理，而后我们又学习了正多边形的有关计算，本堂课我们一起学习画正多边形．二、新课讲解：由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一，前面已学习了正多边形和圆的关系的第一个定理，即把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，所以想到只要知道外接，画出圆来，然后n等分圆周就能画出所需的正n边形．圆半径R或内切圆半径rnn等分圆周的方法有两种，一种是量角器法，这一种方法简单易学，它是一种常用的方法．其根据是因为相等的圆心角所对弧相等，所以使用量角器等分圆心角，可以达到把圆任意等分的目的，由于学生已具备使用量角器的能力，所以只要讲明根据，让学生动手操作即可．另一种方法是用尺规等分圆周法，其实质也是等分圆心角，但尺规不能任意等分圆，只适用于一些特殊情况，其中重点是正方形和正六边形的作法，这是因为正八边形、正三角形、正十二边形都是由此作基础而画出来的．由于尺规作图在理论上准确，但在实际操作中有误差积累，如何减少误差使图形趋于准确？这是一个锻炼学生解决问题的好时机，应让学生亲手实验、观察对比，从而得出结论．(三)重点、难点的学习与目标完成过程复习提问：1．哪位同学记得正多边形与圆关系的第一个定理？(安排中下生回答)2．哪位同学记得在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧有什么性质？(安排中下生回答：相等的圆心角所对的弧相等)现在我们要画半径为R的正n边形，从正多边形与圆关系的第一个定理中，你有什么启发？(安排学生相互讨论后，让中等生回答：只要把半径为R的圆n等分，依次连结n个等分点就得正n边形)那么怎样把半径为R的圆n等分呢？从刚才复习的第二问题中，你又受到什么启发？大家相互间讨论．(安排中等生回答：把360°的圆心角n等分)如果要作半径2cm的正九边形，你打算如何作呢？大家互相讨论看看．(安排中等生回答：先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°)，用什么工具可得到40°角呢？(安排中下生回答：量角器)我们本堂课所讲画正多边形的第一种方法就是用量角器等分圆，大家用量角器画出半径为2的内接正九边形．学生在画图实践中必然出现两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个40°的圆心角，然后在圆上依次截取40°圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的9等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正九边形的边长误差较大．对此学生必然迷惑不解，在此教师应肯定作法理论上的正确性，然后讲出图形不够准确的原因是由于误差积累的结果，然后引导学生讨论，研究减小误差积累的二个途径：其一，调整圆规两脚间的距离，使之尽可能准确的等于所画正九边形的边长．其二，若有可能，尽可能减少操作次数，减少产生误差的机会．大家想想如何画一个半径为2cm的正方形呢？(安排中下生回答：先画半径2cm的圆，用量角器作90°的圆心角．)画出∠AOB=90°后，方法1，可依次作90°圆心角；方法2，用圆规依次截取等于AB的弧，大家观察有没有更好的方法？(安排中等生回答：将AO与BO边延长交⊙O于C、D)．正方形一边所对的圆心角是90°角，不用量角器用尺规能不能做出90°的圆心角呢？用尺规如何作半径为2cm的正方形？(安排中上等生回答，先作半径2cm的圆，然后画两条互相垂直的直径)请同学们用尺规画出半径为2cm的正方形．大家想想看，借助这个图形，能否作出⊙O的内接正八边形？同学们互相研究研究，(安排中上生回答：能，过圆心O作正方形各边的垂线与圆相交即得⊙O的八等分点)为什么？根据什么定理？(安排中上等生回答：垂径定理)还有什么方法？(安排中上等生作各直角的角平分线．)请同学们用此二法在图上画出正八边形．照此方法，同学们想想看，你还能画出边数为几的正多边形？(安排中下生回答：16边形等)综上所述及同学们的画图实践可知：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……大家再思考一个问题：如何画半径为2cm的正六边形呢？你都有哪些方法？大家讨论．方法1．画半径2cm的⊙O，然后用量角器画60°的圆心角，依次画下去即六等分圆周．方法2．画半径2cm的⊙O，然后用量角器画出60°的圆心角，如果有同学想到方法3更好，若无则提示学生：前面在研究正多边形的有关计算时，得到正六边形的半径与边长有一种什么样的数量关系？(安排中下生回答：相等)那么哪位同学可不用量角器，仅用尺规作出半径2cm的圆内接正六边形？(安排一名中等生到黑板画图，其余在下面画图)在学生画图完毕后展示两种不同的画法：其一，在⊙O上依次截取AB=BC=CD=DE=EF，由于误差积累AB≠FA，其二，首先画出⊙O的直径AD，然后分别以A、D为圆心，2cm长为半径画弧交⊙O于B、F、C、E．画出图形比较准确．请同学们用第二种方法画半径3cm的圆内接正六边形(安排学生在练习本上画)如果我们沿用由正方形画正八边形的思路同学们想想看，会画正六边形就应会画正多少边形？(安排中下生回答：正十二边形，正二十四边形…)理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画．大家再观察，会画正六边形，除上述正多边形外，还可得到正几边形？(安排中等生回答：正三角形)画半径为2cm的正三角形，尺规作图时必得先画出正六边形吗？哪位同学有好方法？(安排举手同学回答：画出⊙O直径AB，以A为圆心，2cm为半径画弧交⊙O于C、D，连结B、D、C即可)请同学们按此法画半径为2cm的正三角形．请同学们思考一下如何用尺规画半径为2cm的正十二边形？在学生充分讨论研究的多种方案中送出：先作互相垂直的直径，然后分别以直径的四个端点为圆心2cm长为半径画弧，交⊙O的各点即得⊙O的12等分点．引导学生观察∠DOE=∠DOB-∠EOB∠DOB=90°，∠EOB=60°∴∠DOE=30°．∴ DE是⊙O内接正12边形一边．三、课堂小结：这堂课你学了哪些知识？四、布置作业【附加公文一篇，不需要的朋友可以下载后编辑删除，谢谢】关于进一步加快精准扶贫工作意见为认真贯彻落实省委、市委扶贫工作文件精神，根据《关于扎实推进扶贫攻坚工作的实施意见》和《关于进一步加快精准扶贫工作的意见》文件精神，结合我乡实际情况，经乡党委、政府研究确定，特提出如下意见：一、工作目标总体目标：“立下愚公志，打好攻坚战”，从今年起决战三年，实现全乡基本消除农村绝对贫困现象，实现有劳动能力的扶贫对象全面脱贫、无劳动能力的扶贫对象全面保障，不让一个贫困群众在全面建成小康社会进程中掉队。

小学二年级数学上册四边形、五边形和六边形的初步认识

四边形、五边形和六边形的初步认识教学内容:教科书第12-14页例1和“想想做做”。

教学目标1、使学生经历认识多边形的过程，、知道四边形、五边形和六边形，并能正确地识别这些图形。

2.使学生在参与数学活动的过程中，選步增强动手操作能力、语言表达能力和初步的空间观念。

3.使学生在学习活动中不断增强对数学学习的兴趣，培养乐于合作、交流的态度。

教学过程一、引发兴趣谈话:日常生活中，我们经常能看到一些设计精美的古代建筑，请看老师给大家带的一幅图案(出示主题图)。

这是我国古代建筑上一种常见的窗格图案，见过这么漂亮的图案吗?，我国古代劳动人民多了不起、用一个个简单的图形就构成了一幅精美的图案。

你知道怎样从图案中找出图形吗?从这个图案中能找到哪些图形呢?我们今天就来找一找隐藏在窗格图案中的图形。

揭示课题:四边形、五边形、六边形的初步认识。

【设计说明:例题中的窗格图案常见于我国古代建筑(特别是古代国林建筑) 中，它体现了我国古代劳动人民的智慧和审美情趣。

课前谈话的寥寥数语，既点明了窗格的历史、文化价值，又巧妙地把学生的注意力引向从图案中找图形上来。

使学生在感受窗格图案精致、譟亮的同时，产生从数学的角度研究窗格图案的兴趣，进而诱发认识图形的学习动机。

二、自主探索1.描图形。

提问:你能从窗格图案中找出一个自己认识的图形吗?组织交流，注意引导学生指一指找出图形的边。

如三角形，让学生指一指围成三角形的三条边。

启发:要清楚地说明自己找到的是哪个图形，可以像这样用笔把它描出来。

(示范描图形的方法)你能把自己找到的图形描出来吗?学生尝试描图形，并结合反馈和评价，提学生描图形时应该注意的问题。

例如要沿着图形的边描，要把图形的边描直谈话:你能从窗格图案中找出边数相同的图形吗?先找一找，再描一描。

学生活动，教师巡视。

一方面关注学生描图形的情况，了解哪些同学描出的是四边形，哪些同学描出的是五边形、六边形;另一方面注意发现学生中出现的问题，并对有困难的学生给于及时的指导和帮助。

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─ 六邊形與八邊形翻板的探討 ─ 一、研究動機：上課的時候，老師拿出一個八邊形的翻板，讓我們預測八邊形翻板經過翻轉後，箭頭會指向哪個方向。班上的同學經過思考後，推測箭頭所指的方向，同學之間就已經有許多不同的看法與答案，當老師公佈答案之時，所出現的結果竟是出乎多數人預料之外。小小的一個八邊形翻板，竟然會帶來如此的驚奇，引起我極大的興趣，於是找了幾位同學一起來研究。

※ 老師上課所提的問題，您也來試試看！

二、研究目的： 1. 研究正六邊形翻板的兩個箭頭旋轉的規則及公式推導。 2. 研究正八邊形翻板的兩個箭頭旋轉的規則及公式推導。

三、研究設備器材：

電腦、計算機、西卡紙、剪刀、刀片、鉛筆、彩色筆四、研究過程方法、結果與討論：

(一).【正六邊形翻板的公式推導】：【研究過程】： 1.利用電腦繪製正六邊形（邊長約2.5公分）一個，並以所繪製的圖形為模子，分別裁切出六個正六邊形翻板。 2.製作兩箭頭透視夾角分為0°、60°、120°、180°、240°、300°的正六邊形翻板各一個。

3.水平旋轉翻板並記錄箭頭所指的角度。

圖一：翻轉前正面箭頭指向上方圖二：水平翻轉後，翻板的箭頭指向右方圖三：將圖一的翻板依順時針方向旋轉45°後，箭頭指向右上方圖四：將圖三的翻板，經過水平方向翻轉後，請問箭頭會指向哪個方向？

？上下右左右上右下左上左下上下右左右上右下左上左下上下右左右上右下左上左下上下右左右上右下左上

左下

120° 0° 60° 180° 300° 240° ＞以兩箭頭的夾角為120°的翻板推導為例 θ1：翻板正面的箭頭與水平的夾角 θ2：箭頭背面的箭頭與水平的夾角(未翻轉) θ3：箭頭背面的箭頭與水平的夾角(翻轉後)

4.整理以上數據，可得右方所列的表格 5.重複步驟3，依據實際翻轉的觀察結果，分別記錄當兩箭頭的夾角為0°、60°、120°、180°、240°、300°時，θ1、θ2及θ3 的數值為何，並整理出以下的表格。【研究結果】：

實際翻轉的觀察結果：（當θ2＞360°時 θ2＝θ2－360°） (1)當θ2＝θ1＋60° (2)當θ2＝θ1＋120° (3)當θ2＝θ1＋180° (4)當θ2＝θ1＋240° (5)當θ2＝θ1＋300° (6)當θ2＝θ1

【公式推導及討論】：正六邊形翻板的公式推導： θ1：翻板正面的箭頭與水平的夾角 θ2：箭頭背面的箭頭與水平的夾角(未翻轉) θ3：箭頭背面的箭頭與水平的夾角(翻轉後)

由以上的結果發現六邊形翻板 (1) 觀察上列表格發現，θ2與θ3之和皆為360° 公式推導如下：（如右圖） θ2

旋轉軸 θ 旋轉軸

θ3

旋轉180°

正面 θ1 反面翻轉後 θ3 θ2 反面翻轉前透視圖旋轉軸

120° 60° 120° 0° 240° 300° 180° 60° 120° 0° 240° 300° 180° 60° 120° 0° 240° 300° 180° 120° 60° 120° 0° 240° 300° 180° ：翻轉前－翻板背面的箭頭所指的方向：翻轉前－翻板正面的箭頭所指的方向：翻轉後－翻板正面的箭頭所指的方向：翻轉後－翻板背面的箭頭所指的方向水平翻轉前水平翻轉後水平翻轉後水平翻轉前 120° 60° 120° 0° 240° 300° 180° 60° 120°

0° 240° 300° 180°

水平翻轉前水平翻轉後

θ1＝0° θ2＝120° θ3＝240° θ1＝60° θ2＝180° θ3＝180° θ1＝120°θ2＝240°θ3＝120° 120° 60° 120° 0° 240° 300° 180° 60° 120° 0° 240° 300° 180° 水平翻轉前水平翻轉後 θ1＝180°θ2＝300°θ3＝60° 120° 60° 120° 0° 240° 300° 180° 60° 120° 0° 240° 300° 180° 水平翻轉前水平翻轉後 θ1＝240°θ2＝360°θ3＝0° 120° 60° 120° 0° 240° 300° 180° 60° 120° 0° 240° 300° 180°

水平翻轉前水平翻轉後

θ1＝300°θ2＝60°θ3＝300° θ1 θ2 θ3

0° 120° 240°

60° 180° 180° 120° 240° 120° 180° 300° 60° 240° 360° 0° 300° 60° 300°

θ1 θ2 θ3 0° 60° 300° 60° 120° 240° 120° 180° 180° 180° 240° 120° 240° 300° 60° 300° 360° 0° θ1 θ2 θ3 0° 120° 240° 60° 180° 180° 120° 240° 120° 180° 300° 60° 240° 360° 0° 300° 60° 300° θ1 θ2 θ3

0° 180° 180°

60° 240° 120° 120° 300° 60° 180° 360° 0° 240° 60° 300° 300° 120° 240°

θ1 θ2 θ3 0° 240° 120° 60° 300° 60° 120° 360° 0° 180° 60° 300° 240° 120° 240° 300° 180° 180° θ1 θ2 θ3 0° 300° 60° 60° 360° 0° 120° 60° 300° 180° 120° 240° 240° 180° 180° 300° 240° 120° θ1 θ2 θ3

0° 360° 0°

60° 60° 300° 120° 120° 240° 180° 180° 180° 240° 240° 120° 300° 300° 60° 因為 θ2＝θ 且 θ＋θ3＝360° 所以 θ2＋θ3＝360°

(2) 若θ1及θ1與θ2的夾角為已知，套入以下公式即可求出θ2及θ3 θ2＝θ1＋（θ1與θ2的夾角） θ3＝360°－θ2

(1) 當θ2＝θ1＋60° (2) 當θ2＝θ1＋120° (3) 當θ2＝θ1＋180°

(4) 當θ2＝θ1＋240° (5) 當θ2＝θ1＋300° (6) 當θ2＝θ1 分析綜合以上六個表格發現： (1) 當θ2與θ1之角度相差0°、120°、240°時，旋轉後的夾角有0°or 120°or 240°三種。 (2) 當θ2與θ1之角度相差60°、180°、300°時，旋轉後的夾角有60°or 180°or 300°三種。

θ2-θ1（旋轉前之夾角） θ3-θ1（旋轉後之夾角）旋轉後之夾角可能性 0°、120°、240° 0°or 120°or 240° 三種 60°、180°、300° 60°or 180°or 300° 三種 (二).【正八邊形翻板的公式推導】：

【研究過程】： 1. 利用電腦繪製正八邊形（邊長約2.5公分）一個，並以所繪製的圖形為模子，分別裁切出八個正八邊形翻板。 2. 製作兩箭頭透視夾角分為0°、45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的正八邊形翻板各一個。 3. 依據實際翻轉的觀察結果，分別記錄當兩箭頭的夾角為0°、45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°時，θ1、θ2及θ3的數值為何，並整理出以下的表格。【研究結果】：實際翻轉的觀察結果：（當θ2＞360°時 θ2＝θ2－360°） (1)當θ2＝θ1 (2)當θ2＝θ1＋45° (3)當θ2＝θ1＋90° (4)當θ2＝θ1＋135° (5)當θ2＝θ1＋180° (6)當θ2＝θ1＋225°

θ1 θ2 θ3 θ2-θ1 │θ3-θ1│ 0° 60° 300° 60° 300° 60° 120° 240° 60° 180° 120° 180° 180° 60° 60° 180° 240° 120° 60° 60°or 300° 240° 300° 60° 60° 180°or 180° 300° 360° 0° 60° 300°or 60° θ1 θ2 θ3 θ2-θ1 │θ3-θ1│ 0° 120° 240° 120° 240° 60° 180° 180° 120° 120° 120° 240° 120° 120° 0° 180° 300° 60° 120° 120°or 240° 240° 360° 0° 120° 240°or 120° 300° 60° 300° 120° 0° θ1 θ2 θ3 θ2-θ1 │θ3-θ1│

0° 180° 180° 180° 180° 60° 240° 120° 180° 60° 120° 300° 60° 180° 60°or 300° 180° 360° 0° 180° 180° 240° 60° 300° 180° 60° 300° 120° 240° 180° 60°or 300°

θ1 θ2 θ3 θ2-θ1 │θ3-θ1│

0° 240° 120° 240° 120° 60° 300° 60° 240° 0° 120° 360° 0° 240° 120°or 240° 180° 60° 300° 240° 120° 240° 120° 240° 240° 0° 300° 180° 180° 240° 120°or 240°

θ1 θ2 θ3 θ2-θ1 │θ3-θ1│ 0° 300° 60° 300° 60° 60° 360° 0° 300° 60°or 300° 120° 60° 300° 300° 180° 180° 120° 240° 300° 60° 240° 180° 180° 300° 60°or 300° 300° 240° 120° 300° 180° θ1 θ2 θ3 θ2-θ1 │θ3-θ1│

0° 0° 0° 0° 0° 60° 60° 300° 0° 240° 120° 120° 240° 0° 120° 180° 180° 180° 0° 0° 240° 240° 120° 0° 120°or 240° 300° 300° 60° 0° 240°or 120°

θ1 θ2 θ3 0° 0° 360° 45° 45° 315° 90° 90° 270° 135° 135° 225° 180° 180° 180° 225° 225° 135° 270° 270° 90° 315° 315° 45° θ1 θ2 θ3 0° 45° 315° 45° 90° 270° 90° 135° 225° 135° 180° 180° 180° 225° 135° 225° 270° 90° 270° 315° 45° 315° 360° 0° θ1 θ2 θ3