数学物理方法在物理中的应用

《数学物理方法在物理专业中的应用》

实践报告

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开课时间：2014-2015学年第2 学期

数学物理方法在物理中的应用

数学不但能反映出已知事物的本质联系，而且能做出科学预 见取得重大突破。现代物理的一切重大发现都与数学有着密不可 分的联系。运用数学物理方法可以通过认识事物的量来认识事物 的本质规律，所以数学物理方法对物理学的研究的重要性是不言 而喻的。下面就通过举几个经典的例子来说明数学物理方法在物 理学中的重要性。

例 1 电磁场中的数学物理方法

半径为 a 的无限长空心圆柱体，分成两半，互相绝缘，一半 电势为 ，另一半为- ，求柱体中的电势分布。

解：首先要把这个物理问题表达为定解问题。取空心圆柱的中心 轴为 z 轴，对于“无限长”空心圆柱体，电场强度，电势与z 轴 无关，只需要研究空心圆柱体的横截面上的电势分布就可以了 （如图所示）。

r

取二维极坐标，由于空间无电荷分布，故电势满足△u=0.于是定 解问题为

2 1 r r u 1

u

(r )

0,0 r a ,

r 2 2 r

①

， ，

设 u(r, )=R(r)∅ ( )，代入方程得

∅

∅

，

经过化简可得，

∅ ，

∅

其中 为常数，可得两个常微分方程

∅

， ②

， ③

∅

②式与周期性边界条件

∅

∅

构成本征值问题

∅

， ∅ ∅

∅

，

其本征值与本证函数分别为

，

把本征值代入方程③得

这是欧拉方程，其解为

R rR m R r " '

0,

2 2 C r D r m , 0,

m m r 0 R ( ) C

r m

D ln , 0. 这样分离变量形式的解为

r C

D

r

ln ,

u ( , ) 0

r r A m B m r C m D

m m

sin

),

1,2,

.

u ( , ) ( cos 所有特解叠加得到通解

sin ) ( cos m

m

m m m

m

m

u r

( , )

C

D r r m

B

m

sin ) r m

D

m

sin

)

ln

（A cos m

（C cos m

m m

m m

m 1

又 由 自 然 边 界 条 件 可 得 ， m 1

， 再 考 虑 到 对 称 性

C 0 D

m m

及 ， 可 知 且

r u r C

D

u ( , ) ( , ) ，因此有

u(r, ) -u(r,2 - ) 0 0

A 0 0

r

u （ , ） B r m

m

sin

m

m

1

代入边界条件

V ,

,0 a f u ( , ) ( ) 0

V

2, , 0

可得

m k 0,

2 ,

V 1

2 [1 (1) ]

m B

2

f m d 0

( ) s in

V

4 a

a m

,m 2k

1,

m

m m 0 0

a m

m 故有

V

r

4

1 r 0

sin(2 1)

k u ( , )

( ) 2k

1

例 2 核物理中的数学物理方法

(2k 1) a k 0

在轴块中，除了中子的扩散运动外，还进行着中子的增殖过程， 单位时间内在单位体积的轴块中产生的中子数正比于该处的中 子浓度 u ，因而中子增殖可表示为 （ 是表示增殖快慢的常数）， u 研究厚度为 l 的层状轴块的临界厚度（所谓临界厚度，是指当层 状轴块厚度超过临界厚度是，中子浓度将随时间按指数快速递增， 导致轴块爆炸，释放大量能量，这也是原子弹爆炸的原理）。

解：假设轴块形状为扁平的长方形，如图所示，并假设在轴块表 面中子浓度为零，于是边值问题为

u D u u

x a y

b

z l

,0

,

t

,0 ,0 u

u 0, 0, x 0 y 0 z

x a y b z l

u u 0, 0, 0,

u u

0,

其中 D 为扩散系数，方程右边 表示轴块中有中子源，因此是个

u 有源的定解问题。 令 ，代入方程并分离变量得 ；

x y z t X x Y y Z z T t u ( , , , ) ( ) ( ) ( ) ( )

T'[D( ) - ]T 0

X " 0, X X

X a (0) ( ) 0; Y " 0, Y Y Y b (0) ( ) 0; Z " 0, Z Z

Z l (0) ( ) 0; 解得本征值为

n

( ) , 1,2, , n 2 a n

m

( ) ,m 1,2, ,

2 b m

k

( ) ,k 1,2, .

2 l 要使 T(t)不随时间 t 而增加，必须有

k

n m k

D

[( ) ( ) ( ) ] 2 2 2 a b l

考虑到 a,b>>l(层状轴特点)，可近似认为 a,b → ,于是必须有

（k

)

k 0,

1,2, .

2 l D

取 k=1，必须有

（ )

2 D l

以 表示临界厚度，即有

l c

（ ) 0,

2

D

l

c

D l

c