数学物理方法在物理中的应用
球谐函数ylm
球谐函数ylm1. 什么是球谐函数球谐函数（Spherical Harmonics）是描述在球面上的物理和数学问题的一组函数。
球谐函数可以用于描述轴对称的空间分布，例如电荷分布、电磁场等。
球谐函数是平面波的三维推广，它描述了球对称下的波函数形式。
它在物理学、数学和计算机图形学等领域有广泛的应用。
球谐函数通常用Ylm(θ, φ)表示，其中θ是极角，φ是方位角。
2. 球谐函数的性质球谐函数具有以下一些重要的性质：2.1 正交性球谐函数在单位球面上是正交的，即不同的球谐函数之间的内积为零。
这个性质在解决物理和数学问题的时候是非常有用的，可以用来展开复杂的函数。
2.2 归一性球谐函数在单位球面上是归一的，即其平方的积分等于1。
这个性质保证了球谐函数在描述物理问题时的准确性，可以确保物理量的总能量是保持不变的。
2.3 奇偶性球谐函数具有奇偶性。
对于函数Ylm(θ, φ)，当l为偶数时，其函数值是关于θ对称的；当l为奇数时，其函数值是关于θ反对称的。
2.4 旋转对称性球谐函数具有旋转对称性，即在球面上进行旋转变换后，球谐函数的形式不变。
这个性质保证了球谐函数在描述旋转对称系统时的准确性，如原子轨道和电磁场分布。
3. 球谐函数的计算球谐函数的计算可以通过递推关系或者数值方法来进行。
3.1 递推关系球谐函数Ylm(θ, φ)可以通过递推关系来计算，公式为：Ylm(θ, φ) = (-1)^m sqrt((2l+1) / (4π) (l-m) / (l+m)) Pnm(cosθ) e^(imφ)其中，Pnm(x)是勒让德多项式，可以通过递推关系Pnm(x) = (2n-1) * x * Pn-1m(x) - (n+m-1) * Pn-2m(x)来计算。
3.2 数值方法除了递推关系，还可以使用数值方法来计算球谐函数。
常用的数值方法包括插值法和数值积分法，可以根据具体问题的要求来选择合适的方法进行计算。
4. 球谐函数的应用球谐函数广泛应用于物理学、数学和计算机图形学等领域。
数学物理方法1-137页PPT文档
u u(x,t) u
T'
采用微元法来建立位移u满足的方程：
M'
'
把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然 后再考虑小弧段趋于零的极限情况。
ds
M
gds
在弦上任取一弧段 M M ，' 其长度为ds， T
弧段两端所受张力为 T 和 T '
N
N'
O
x
x dx
x
是弦的线密度
由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的 切线方向。
13
现在考虑弧段 M M ' 在t时刻的受力和运动情况。
根据牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的
质量乘以该方向上的运动加速度。
u
T'
在x方向弧段 M M ' 受力总和为
M'
'
TcosT'cos'
ds
M
由于弦只做横向运动，所以
gds
T
T c o s T 'c o s' 0 O
1
教材与参考书
教材：《数学物理方法——理论、历史与计算机》，郭玉 翠，大连理工大学出版社
《数学物理方法》第二版，谷超豪、李大潜、陈恕行等， 高教出版社，2019年
《实用偏微分方程》英文版第四版，（美）理查德.哈伯 曼，机械工业出版社，2019年
学时
32学时
2
对大家的要求
按时上课 课上记笔记，做标记 独立完成作业
4
主要内容
第一章 数学物理方程及其定解条件 §1.1 基本方程的建立 §1.2 定解条件 §1.3 定解问题的提法 §1.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简
数学物理方法复变函数
数学物理方法复变函数
复变函数是指定义在复平面上的函数。
复数既有实部又有虚部，因此复变函数能够描述空间中的各种复杂形状，如曲线、曲面和复平面上的多重曲线。
数学物理中，复变函数是一个十分重要的数学工具，它广泛地应用于物理学、工程学和数学学科中，尤其是在解决微积分、傅里叶分析、微分方程和复杂积分等方面的问题时非常有用。
复变函数的解析理论在数学物理中有广泛的应用。
一种重要的应用是将一个实函数扩展到一个复函数，使得它的值域更加广泛。
这样的拓扑结构提供了许多新的计算方法和更深刻的数学理解。
同时在物理学中，复变函数非常有用，可以用来描述电路和电子学、声学和光学学科等领域中的一些复杂现象，如震荡、波动和衍射等。
在解决常微分方程和偏微分方程时，复变函数也经常被用来对问题进行求解和化简。
比如在广义函数理论中，复变函数可以揭示微积分和线性代数之间的联系。
它可以使得高维线性空间的求解变得更加简单，并且极大地方便了复杂流体和结构等问题的求解。
总之，复变函数是物理学和工程学领域中不可或缺的数学工具，对于解决各种复杂问题和理解极其复杂的物理现象有着重要的意义。
数学物理方法期末考试试题
数学物理方法期末考试试题# 数学物理方法期末考试试题## 第一部分：选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是数学物理中的常用方法？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 泰勒级数展开D. 牛顿迭代法2. 求解偏微分方程时，分离变量法的基本思想是什么？A. 将偏微分方程转化为常微分方程B. 将偏微分方程分解为几个独立的方程C. 将偏微分方程转化为线性方程D. 将偏微分方程转化为积分方程3. 在数学物理中，格林函数通常用于解决什么问题？A. 线性代数问题B. 非线性偏微分方程C. 边界值问题D. 初始值问题4. 以下哪个是求解波动方程的典型方法？A. 特征线法B. 有限差分法C. 有限元法D. 蒙特卡洛方法5. 拉普拉斯方程在数学物理中通常描述了什么类型的物理现象？A. 波动现象B. 热传导现象C. 流体动力学问题D. 电磁场问题## 第二部分：简答题（每题10分，共30分）6. 简述傅里叶变换在数学物理中的应用。
7. 解释什么是边界层理论，并说明它在流体力学中的重要性。
8. 描述格林函数在求解偏微分方程中的作用。
## 第三部分：计算题（每题25分，共50分）9. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，使用泰勒级数展开在\( x = 1 \) 处展开 \( f(x) \) 并求出展开式。
10. 考虑一个无限长直导体，在 \( x \) 轴上，导体的电势 \( V(x) \) 满足泊松方程 \( \nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0 \)，其中\( \rho \) 是电荷密度，\( \varepsilon_0 \) 是真空电容率。
假设\( \rho \) 是常数，求解 \( V(x) \)。
## 第四部分：论述题（共30分）11. 论述数学物理方法在解决实际物理问题中的应用，并给出至少两个具体的例子。
请注意，以上内容仅为示例，实际的数学物理方法期末考试试题可能会包含不同的问题和要求。
大气科学对数学物理的要求
大气科学对数学物理的要求引言：大气科学是一门综合性学科，涉及到大气的物理、化学、动力学等多个领域。
在研究大气现象和气候变化时，数学物理是不可或缺的工具。
本文将探讨大气科学对数学物理的要求，并重点介绍数学物理在大气科学中的应用。
一、大气科学中的数学要求1.微积分：大气科学中的许多问题需要使用微积分方法进行建模和分析。
例如，气象学中的气候模型和天气预报模型都需要使用微积分来描述大气的运动和变化规律。
2.偏微分方程：由于大气是一个连续介质，其运动和变化可以用偏微分方程来描述。
大气科学中常用的偏微分方程包括热传导方程、动量守恒方程和能量守恒方程等。
3.概率统计：气象学中的天气预报和气候模拟都需要考虑不确定性，因此概率统计方法在大气科学中有广泛的应用。
例如，通过统计分析历史气象数据，可以预测未来某个地区的气温和降水量等。
二、大气科学中的物理要求1.热力学：大气科学研究中的热力学概念是基础，例如，气象学中的气候变化和气候系统都与能量的传递和转化相关。
2.流体力学：大气是一个流体，因此流体力学是大气科学中不可或缺的一部分。
了解流体的运动规律和特性对于研究大气运动和天气现象具有重要意义。
3.电磁学：大气中的电磁辐射和电荷分布对于气候和天气的形成和变化有着重要影响。
电磁学的知识帮助我们理解大气中的闪电、雷暴等现象。
三、数学物理在大气科学中的应用1.数值模拟：数学物理方法在大气科学中广泛应用于数值模拟。
通过建立数学模型和求解相应的方程，可以模拟大气的运动和变化过程，从而提供天气预报和气候预测等重要信息。
2.数据处理和分析：大气科学中产生的观测数据庞大且复杂，需要使用数学物理方法进行数据处理和分析。
例如，使用统计方法对观测数据进行分析，从而得出气候变化的趋势和规律。
3.模式验证和改进：大气科学中的模型需要通过实际观测数据进行验证和改进。
数学物理方法可以帮助我们分析模型的误差来源和改进方向，从而提高模型的准确性和可靠性。
数学物理方法教案模板范文
一、课程名称《数学物理方法》二、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握数学物理方法的基本概念、基本原理和基本方法，提高学生运用数学工具解决物理问题的能力。
2. 过程与方法：通过实例分析和课堂讨论，培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和创新能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学物理方法的兴趣，培养学生严谨求实的科学态度和团队合作精神。
三、教学内容1. 课程概述（1）数学物理方法的基本概念（2）数学物理方法的发展历程（3）数学物理方法的应用领域2. 常微分方程（1）常微分方程的基本概念（2）常微分方程的解法（3）常微分方程的应用3. 偏微分方程（1）偏微分方程的基本概念（2）偏微分方程的解法（3）偏微分方程的应用4. 变分法（1）变分法的基本概念（2）变分法的应用5. 线性代数（1）线性代数的基本概念（2）线性代数在物理中的应用6. 复变函数（1）复变函数的基本概念（2）复变函数在物理中的应用四、教学过程1. 导入新课（1）回顾所学知识，激发学生学习兴趣。
（2）提出问题，引导学生思考。
2. 讲授新课（1）讲解数学物理方法的基本概念、基本原理和基本方法。
（2）结合实例，讲解数学物理方法的应用。
3. 课堂讨论（1）分组讨论，解决实际问题。
（2）分享讨论成果，互相学习。
4. 练习与巩固（1）布置课后作业，巩固所学知识。
（2）检查作业完成情况，解答学生疑问。
5. 总结与反思（1）总结本节课所学内容。
（2）反思学习过程，提出改进措施。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、发言积极性等。
2. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量。
3. 考试成绩：通过考试评估学生对数学物理方法的掌握程度。
六、教学资源1. 教材：《数学物理方法》2. 辅助教材：《高等数学》、《线性代数》等3. 教学课件4. 在线资源：相关网站、学术论文等注：本教案模板仅供参考，具体教学内容和教学方法可根据实际情况进行调整。
《数学物理方法》课程介绍.
《数学物理方法》与《高等数学》是分不开 的，它涉及一元和多元微积分学、幂级数、付 里叶级数、微分方程、场论、线性代数等。因 此，在学习《数学物理方法》的各章节时，应 该回忆或复习《高等数学》中有关知识，只有 这样，才能把这门课程学好，当学完《数学物 理方法》以后，你会发现，你的数学分析水平 将有大幅提高。当然，《数学物理方法》还与 物理学有关，如果大家普通物理学得好，也会 给这门课程的学习带来方便。
二、《数学物理方法》课程介绍
《数学物理方法》既不同于数学系的《数学物理 方程》又不同于物理专业的物理课，是既具有数学 类型又具有物理类型的二重性课程。按照物理专业 课程的设制，《数学物理方法》课程主要包括四大 部分内容：复变函数、数学物理方程、积分变换和 特殊函数。这四大部分在物理学中都有着广泛的应 用。物理学与数学具有不可分割的联系，而《数学 物理方法》正是物理学与数学联系的桥梁，学好这 门课程不仅对学习物理专业的后继课程是必不可少 的，而且对掌握物理学的基本理论并应用于实际也 是必要的。
如何学习《数学物理方法》这门课？对学物理的人 来说，学数学主要是要遵循从“特殊到一般”的学习 和研究方法。例如，从物理上归结出数学问题时，往 往得到一个特殊的方程式，首先总是问：“怎么求 解？”而不会首先去关心如何证明这个方程的解是否 “存在”或“唯一”，后一问题主要依靠数学家去解 决。因为一般说来，我们不具备这种能力。因此，对 我们来说，学习《数学物理方法》，主要是在掌握 《数学物理方法》的基本概念和基本理论的基础上， 如何学习和掌握各种具体的计算方法，逐步培养利用 数学物理方法的知识解决物理问题的能力，对于定理 的严格证明不作过多要求。
课程介绍
一、 如何学习数学物理方法
二、《数学物理方法》课程介绍
数学物理方法—理论和应用
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35
例5. 指数函数
f(z)=ez = ex+iy=excosy+iexsiny
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例6. f(z)=sin(10z)=u(x,y)+iv(x,y)
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第二篇 数学物理方程 (37学时)
第七章 数学物理定解伺题 (4学时) 基本要求： 1. 掌握数学物理方程导出的步骤。会把一些物理问 题翻译成数学问题。 2．掌握有关力学、热学及电学问题的初始及边界条件。 内 容：几个方程的导出(均匀弦的微小横振动，扩散方程，热传 导方程，稳定浓度分布，稳定温度分布方程)，定解条件 ( 初始条件和边界条件，没有初始条件的问题，没有边界条件的 问题)。
1
z
1
• Z(x,y)
x
12
o
全体复数与平面上的点一一对应 复平面 向量表示，x, y为分量
13Biblioteka x 2 y 2 , 2) 极坐标表示 1 y , t g 利用坐标变换: x
x cos , y sin ,
z cos i sin , 三角式 e ，
| z |
i
指数式
Arg z
模：
, 辐角：
总起来, 复数z可有三种表示:
代数式： 三角式： 指数式：
z x iy,
z cos i sin ,
ze ，
i
14
3. 辐角主值: 满足
0 Arg z 2
arg z,
的特定值称为主值： 记为
=Argz=argz+2k， (k=0, 1, 2,….)
z x x y y x y x y 1 1 2 1 2 2 1 1 2 除法： 2 2 i 2 2 z2 x2 y 2 x2 y 2
案例教学法在数学物理方法中的应用
【 项 目基金 】 重庆文理学院第二批特 色 教 学资助项 目 《 复变函 数与积分变换实践教 学 探 索》 。 【 中图分类号 】 Ｇ ６ ４ 【 文献标识码】 Ａ 【 文章编号】 ２ ０ ９ ５ — ３ ０ ８ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５ — ０ ０ ５ ３ — ０ ２
上世纪 ９ Ｏ 年代推行 高等教育改革 以来 ， “ 大众化 ” 教 育成 为 高等教育的主流模式 ． 标志着我国“ 科教兴国” 的教育指导方针得 到进 一 步 实施 。众 多的地 方性 本 科 院校 逐 步转 型 ， 以适 应 社会 经 济发展 ， 培养应用型人才为教育教 学宗旨。因此， 大规模、 深层 次 的教学改革在各地方性本科院校推行 ， 旨在为每一 门课程探 索出 套科学的教学内容和方法。 本文根据《 数学物理方法》 课程特 点 和 多年的一线执教经验 ， 提 出了以案例教学法改革该课程 ， 培养
一
学 生分析 问题 、 解 决 问题 的能 力 。 １ ． 数学 物 理方 法 课程
《 数 学物理方 法》 是 以分析 问题 、 建立模 型和求解方程为主 要 内容 的理 工科 专 业基 础课 程 ． 该课 程 的 主要 任 务是 教 会 学 生如 何 简化 问题模型 ， 并将 实际问题采 用数 学语 言进行描述 ． 引导 学
力有重要作用。本文根据课程性质和多年教 学经验， 在地方性本科院校 中推行案例教学法改革该课程 ， 用贴近生活、 工程应 用的小课 题构建典型教学案例 ， 进而改革传统教学方法 ， 使教 学内容 由浅入深， 教 学过程深入 浅出， 教 学气氛欢快活跃。 对提 高教学效果和教 学 质量、 提升学生分析 问题和解决问题的能力、 实现应用型人才培养 目标有较好的促进作用。 【 关键词 】 应用型人才培养 数学物理方法 案例教学法 教 学实践
函数延拓在数学物理方法中的应用
21图（1-1） 函数延拓在数学物理方法中的应用王建颖摘 要 在解决数学物理方法中的一些问题时，有时我们可以解出具体的公式或者给出解决问题的具体方法和步骤；但这些公式或者方法步骤有时适应面又很窄，文章拟总结、深化这些方法，充分利用这些资源，用函数延拓法解更多的问题．关键词 解析延拓 直接延拓 定义域 应用 函数的延拓也就是函数定义域的扩可分为直接延拓和解析延拓．直接延拓就是根据边界条件的性质将初始条件进行奇延拓或者进行偶延拓，或者根据某种对称性进行延拓，把函数的定义域进行扩大，使问题变得容易解决或者可以遵从一定的方法解决.解析延拓是复变函数论中的一个概念，在我们教材中此部分内容讲述的比较少．鉴于这部分内容在很多地方有重要的应用，因而需进一步探讨，本文在此方面谈一些粗浅的想法．解析延拓实际上是已知某区域上的解析函数，通过延拓把这函数的定义域和解析范围推广到更大的范围或者全平面上（除去个别奇点）．1．解析延拓及应用1.1解析延拓的定义我们所说的解析是若函数()f z 在点0z 点及其邻域上处处可导则称()f z 在0z 点解析，若函数()f z 在区域B 上每一点都解析，则称()f z 是区域B 上的解析函数．解析延拓是若已知函数1()f z 在区域1B 内解析，如果在一个和1B 有公共部分12B 的区域2B 内存在一个解析的函数2()f z ，且在12B 中21f f (z)≡(z)则2()f z 称为1()f z 在2B 中的解析延拓．反之1()f z 称为2()f z 在1B 解析延拓．通俗的说解析延拓就是将解析函数的定义域扩大．1.2解析延拓的意义解析延拓的关键在于，我们无论采取什么方法进行延拓结果都不会变；解析延拓将解析函数的定义域或解析范围扩大，或将实变函数的定义域在数轴上扩展到整个复平面，或经过变换将一个平面上的实变函数变为另一复平面上的解析函数，这样在处理某些具体问题时，通过解析延拓使结果至其他区域，得到更加广泛的结果．1.3解析延拓的应用解析延拓在数学物理方法中有广泛的应用，典型的应用是用留数定理计算某些实变函数定积分和在Γ函数中的应用．1.3.1 在计算实变函数定积分中的应用在实变函数中对()f x 的积分一般是a b →即()ba f x dx ⎰，我们要想利用留数定理，需要设法把实变定积分与复变回路积分联系起来．要点如下[1]：定积分()baf x dx ⎰的积分区间[,]a b 可以看作是复数平面上的实轴上的一段1l ，于是或是利用自变数的变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B 如图（1-2）．把()f x 解析延拓到区域B （这个延拓往往只不过是把()f x 改为()f z 而已）．并拿它沿着l 积分⎰ldz z f )(12()()l l f x dx f z dz =+⎰⎰ （1.3.1）上式左边可以应用留数定理，右边第一个积分就是所求的定积分，如果右边第二个积分较易算出（往往是证明为零），或可以用第一个定积分表出 ，这样问题就解决了．下列就三种类型进行讨论．1.3.1.1 类型一是有理三角函数的积分 ()20sin ,cos I R x x dx π=⎰其中(sin ,cos )R x x 表示关于 sin x ，cos x 的有理函数．作变换ix z e =，在实变函数x 从0变到2π的过程中，复变数ix z e =从1z =出发沿单位圆1z =逆时针走一圈又回到1z =，实变定积分变为复变回路积分，就可以应用留数定理．经过这样变换[1][9]1sin 2z z x i --=，1cos 2z z x -+=，1dx dz iz = （1.3.2）将原积分化为 izdzi z z z z R I z )2,2(111-=--+=⎰ ． （1.3.3） 例如计算()220I 0112cos dxx πεεε=<<-+⎰解：我们按照（1.3.3），将实变积分()f x 化为复变回路积分dz z z i z z iz dz I z z ⎰⎰==---=++-=1121))(1()(1εεεε， 这个回路积分的被积函数有两个单极点：01z ε=和0z ε=，前者1>，在积分回路1z =之外，因而不必考虑．单极点0z ε=在1z =之内，必须考虑． 运用单极点留数的求法[1][9]0Re ()sf z =()00lim ()z z z z f z →-⎡⎤⎣⎦计算在0z ε=的留数()()()02lim lim 111z z z i i iz z z z εεεεεε→→⎡⎤-==⎢⎥----⎣⎦． 于是，由留数定理得222211i I iππεε==--．如图（1-3）1.3.1.2 类型二是无穷积分 ()I f x dx ∞-∞=⎰条件：①积分区间时(),-∞+∞；()f z 实轴上无奇点， 上半平面内只有有限个奇点；②在实轴和上半平面内一致地lim ()0z zf z →∞=．（“一致地”表示()lim Ree 0i i Rf R ϕϕ→∞=与ϕ无关）[3]如果()f x 是有理分式()()x x ϕψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至少高于()x ϕ两次[1]．这一积分通常理解为下列极限2112lim()R R R R I f x dx →∞-→∞=⎰（1.3.4）若极限存在的话，这一极限便为反常积分()f x dx ∞-∞⎰的值．而当12R R =→∞时极限存在的话，该极限便称为积分()f x dx ∞-∞⎰的主值，记作()lim ()RRR pf x dx f x dx ∞-→∞-∞=⎰⎰（1.3.5）这里要计算类型二的积分主值考虑图(1-3)的半圆回路l ，⎰ldz z f )(()()RRRC f x dx f z dz -=+⎰⎰ （1.3.6）根据留数定理，上式即{}2()()()RRRC i f z l f x dx f z dz π-=+⎰⎰在所围半圆各奇点的留数和．令R →∞.上式左边趋于{}2()i f z π在上半平面所有奇点的留数之和，右边第一个积分 趋于所求的定积分()f x dx +∞-∞⎰，第二个积分可证明是趋于零的：()()()RRR C C C dz dzf z dz zf z zf z z z=≤⎰⎰⎰()max ()0Rzf z zf z Rππ=⋅→≤max ，式中max ()zf z 指的是()zf z 在R C 上的最大值．于是得到结论：{}()2()f x dx i f z π∞-∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和[1] (1.3.7)例如计算21dxx ∞-∞+⎰[1]解：本例()()211()1f z z z i z i ==+-+，它具有单极点i ±，其中i +在上半平面，而 ()11Re ()lim ()lim2z iz isf i z i f z z i i→→+=-==⎡⎤⎣⎦+ 应用(1.3.7)得212{}12dx i x iππ∞-∞==+⎰． 1.3.1.3 类型三是含三角函数的无穷积分()cos F x mxdx ∞⎰，0()sin G x mxdx ∞⎰.积分区间是[)0,+∞；偶函数()F z 和奇函数()G z 在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面或实轴上→∞时，()F z 和()G z 一致地0→．经过变换后利用约当引理，得到结论[1]0()cos {()}imz F x xdx i F z e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和, （1.3.8） 0()sin {()}imz G x mxdx G z e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和. （1.3.9）例如计算22cos mx dx x a∞+⎰解：本例221()imzimz F z e e z a=+由两个单极点ai ±，其中ai +在上半平面，而)22imze za +在单极点ai +的留数为()22lim lim 2imz imz ma z ai z ai e e e z ai z a z ai ai-→→⎡⎤⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦. 应用(1.3.8)22cos 22ma mamx e dx i e x a ai aππ-∞-==+⎰． 例如计算()222sin x mxdx xa ∞+⎰解：本例()222()imzimz zG z ee za =+，有两个二阶极点ai ±，其中ai +在上半平面．而()222imzzez a +在ai +的留数()()22221Re ()lim 1!4imz ma z ai d z m s ai z ai e e dz a z a -→⎡⎤⎢⎥+=-=⎢⎥+⎣⎦. 应用（1.3.9）222sin ()44ma ma x mx m m dx e e x a a aππ∞--⎛⎫== ⎪+⎝⎭⎰． 1.3.2 在Γ函数中的应用[2]实变量Γ函数定义为下述反常积分：()10()0x t x t e dtx ∞--Γ=>⎰ （1.3.10）它在0x >时收敛，并且有以下递推公式：()1()x x x Γ+=Γ (1.3.11）将（1.3.10）中的x 改为复变量z 就得到()10().Re 0z t z t e dt z ∞--Γ=>⎰ （1.3.12）和证明（1.3.10）的收敛性类似，可以证明（1.3.12）中的积分在Rez 0>半平面中代表一个解析的函数（证明略去）.它满足类似于（1.3.11）的递推公式：()1()z z z Γ+=Γ （1.3.13）证明如下：()100(1)()R 00z tz tz t z t e dt t e z t e dt z z ez ∞∞----∞Γ+==-+=Γ>⎰⎰，因为最后一步中用到了（1.3.12），所以上式限制在Re 0z >的右半平面．现在来进行解析延拓，为此利用（1.3.13）式，将它改为(1)()z z zΓ+Γ=. （1.3.14） 此式左边只在Re 0z >的区域内有意义，而右边在一个更大的区域()Re 10z z >-=除都有意义，因此可以将它作为等式左边()z Γ在Re 1z >-区域中的解析延拓．这样定义的()z Γ除了0z =有极点外，在Re 1z >-的半平面解析．现在()z Γ已在Re 1z >-区域中有定义，因而(1)z Γ+在Re 2z >-的区域中有定义．再利用（1.3.14）就得到Re 2z >-区域中的解析延拓;在这一区域中，()z Γ有两个极点0,1z =-，这样继续下去，反复利用（1.3.14）可以()z Γ延拓到整个复平面，在整个复平面，()z Γ除了有极点0,1,2z =--……外，处处解析． 计算无穷积分可以证明：(1)10t te dt e ∞--∞Γ==-=⎰, （1.3.15）12001()22t t e t dt e ∞∞---Γ===⎰⎰. （1.3.16）根据（1.3.13）式和上面两个积分，容易求得z 取整数和半整数值时，Γ函数的值：()1!n n Γ+=, （1.3.17）12n ⎛⎫Γ+= ⎪⎝⎭. （1.3.18）2．直接延拓及应用2.1直接延拓的定义设函数()f x 定义在区间(0,)l 并且满足收敛定理的条件，我们在开区间(),0l -内补充函数()f x 的定义，使它成为以2l 为周期的周期函数()F x ，并在(0,)l 上()()F x f x ≡，然后以2l 为周期延拓到整个数轴使之成为奇函数或偶函数，按这种方式拓展函数定义域的过程称为奇延拓或偶延拓，然后将奇延拓或偶延拓后的函数展开成傅里叶级数；或者()f x 定义在区间(0,)∞并且满足收敛定理的条件，我们在区间(),0-∞内补充函数()f x 的定义 使它在整个空间成为奇函数或偶函数，这种展开方式也称为奇延拓或偶延拓．我们将这两种延拓方法叫直接延拓．2.2延拓的方法周期函数应用于数学物理问题时，对函数()f x 在边界条件有一定的限制，满足第一类齐次边界条件时(0)()0f f l ==，这时应延拓为奇的周期函数，进行奇延拓，然后再进行傅里叶级数展开， 像这样102()sin;22()sin n n l n n f x B x l n B f x xdxl l ππ∞===∑⎰ （2.2.1）若满足第二类齐次边界条件时'(0)'()0f f l ==，这时应延拓为偶函数的周期函数，进行偶延拓，然后在进行傅里叶级数展开，像这样010002()cos ;122(),()cos n n ll n n f x A A x l n A f x dx A f x xdxl l lππ∞==+==∑⎰⎰ （2.2.2）如果函数()f x 定义在(0,)∞内，若需满足第一类齐次边界条件，我们作奇延拓()(0)()()(0)o f x x F x f x x <<∞⎧=⎨---∞<<⎩；若需满足第二类齐次边界条件，我们作偶延拓()(0)()()(0)e f x x F x f x x <<∞⎧=⎨--∞<<⎩.2.3直接延拓的应用在数学物理方法中为解决半无限长、有限长振动及热传导问题，对初始值是非周期函数或非对称函数的问题使用上面所讨论的延拓方法比较方便．2.3.1 在半无界空间的函数中的应用[1][3][9]2.3.1.1下面是端点固定需要奇延拓的例子 例题1 定解问题20tt xx u a u -=， (0)x <<∞ （2.3.1）(),(),t tt u x u x ϕψ==⎧=⎪⎨=⎪⎩ ()0x ≤<∞ （2.3.2）0x u==. （2.3.3）（2.3.2）里()x ϕ和()x ψ必须宗量0x ≥才有意义，这是因为在0x <的区域上弦并不存在，也就谈不上初始条件．这样，对于较迟的时间()t x a >，达朗贝尔公式的()x at ϕ-和()x atd ϕξξ-⎰失去意义，公式也就不能应用．我们把这根半无限长弦当作某根无限长弦的0x ≥的部分，按照（2.3.3），这无限长弦的振动过程中，点0x =必须保持不动．这是说，无限长弦的位移(,)u x t 应当是奇函数，因而无限长弦的初始位移()x Φ和初始速度()x ψ都应当是奇函数，即()()(),()();x x x x x ϕϕ⎧⎪Φ=⎨--<⎪⎩≥00()()(),()().x x x x x ψψ⎧⎪ψ=⎨--<⎪⎩≥00 （2.3.4）这就是用了延拓法，（2.3.4）说成“把()x ϕ和()x ψ从半无界区间0x ≥奇延拓到整个无界区间，分别成为()x Φ和()x ψ．”这样就可以应用达朗贝尔公式()11(,)[()]()22x at x atu x t x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰ （2.3.5） 求解无限长弦的自由振动,它的0x ≥的部分正是我们所考察的半无限长弦．根据（2.3.5）()11(,)[()]()22x atx atu x t x at x at d a ξξ+-=Φ++Φ-+ψ⎰ （2.3.6）把（2.3.4）代入上式，()()11[()](),22(,)11[()](),22x at x at x at at x x x at x at d t a a u x t x x at at x d t a a ϕϕψξξϕϕψξξ+-+-⎧⎛⎫++-+≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+--+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩⎰⎰ （2.3.7） 2.3.1.2 端点自由需要偶延拓的例子，这个定解问题20tt xx u a u -=，()0x <<∞， （2.3.8）0(),(),t tt ux u x ϕψ==⎧=⎪⎨=⎪⎩()0x ≤<∞ （2.3.9）0xx u ==. （2.3.10）同样，不妨把这根半无限长杆当作某根无限长杆的0x ≥的部分，按照（2.3.10）这无限长杆的振动过程中，在点0x =的相对伸长x u 必须保持为零．这是说，无限长杆的位移(),u x t 应当是偶函数，因而无限长杆的初始位移()x Φ和初始速度()x ψ都应当是偶函数，即()()(),()();x x x x x ϕϕ⎧⎪Φ=⎨-<⎪⎩≥00()()(),()().x x x x x ψψ⎧⎪ψ=⎨-<⎪⎩≥00 （2.3.11）这就是“把()x ϕ和()x ψ从半无界区间0x ≥偶延拓到整个无界区间分别成为()x Φ和()x ψ”．现在，就可以根据达朗贝尔公式（2.3.5）求解无限长杆的自由振动， ()11(,)[()]()22x atx atu x t x at x at d a ξξ+-=Φ++Φ-+ψ⎰ （2.3.12）把（2.3.11）代入上式．()()001[()]21(),2(,)1[()]211()().22x at x at x at at x x at x at x d t a a u x t x at at x x d d t aa a ϕϕψξξϕϕψξξψξξ+-+-⎧++-⎪⎪⎛⎫⎪+≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪++-⎪⎪⎛⎫⎪++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩⎰⎰⎰ （2.3.13）2.3.2 在半无界杆的热传导问题中的应用例题：定解问题为[2]：20t xx u a u -= ()0x <<∞， （2.3.14） 00x u== (0)t > （2.3.15） 0()t ux ϕ== (0)x <<∞ （2.3.16）注意初始条件中的()x ϕ只在0x <<∞内有意义，因此不能直接利用无界空间上得出的结果，我们应用延拓法来解此问题，即将初始函数延拓到0x -∞<<的区间上，这相当于把半无界杆设想为无界杆的0x ≥部分，但保持中点0x =的温度为零，因而无限长杆的初始温度分布必须是奇函数．这样就把半无界问题转化为无界问题：20t xx u a u -= ()x -∞<<∞, （2.3.17）()()(),().t x x ux x ϕϕ=⎧⎪=⎨--<⎪⎩≥00 （2.3.18）再利用（11—3—22）[2]和（11—3—15）[2]我们就得到问题的解为()()(,),0,;u x t u G x t d ξξξ∞-∞=⎰00()(,;)()(,;)G x t d G x t d ϕξξξϕξξξ∞-∞=--+⎰⎰[(,;)(,;)()G x t G x t d ξξϕξξ∞=--⎰()()2222440]()x x a ta teed ξξϕξξ-+--∞=-⎰. （2.3.19）2.3.3 在有界弦的自由振动中的应用[1][2][10]利用直接延拓也可以解有界区域的定解问题，为简单起见，我们考虑两端固定，长为l 的弦的自由振动．这个问题的泛定方程及定解条件为20tt xx u a u -= ()0x l <<, （2.3.20）00x x lu u ==⎧=⎪⎨=⎪⎩ , （2.3.21） 0()()t tt u x u x ϕψ==⎧=⎪⎨=⎪⎩. （2.3.22）通过分离变数法，得到分离变数形式的解(,)(cossin )sin ,(1,2,3)n n n n at n at n xu x t A B n l l lπππ=+=本征解的线性叠加是1(,)(cossin )sinn n n n at n at n xu x t A B l l lπππ∞==+∑, （2.3.23） 仍然满足方程（2.3.20）和边界条件（2.3.22）这就是满足方程（2.3.20）和边界条件（2.3.21）的一般解，其中n A 和n B 为任意常数．这里还没考虑初始条件（2.3.22）．系数n A 和n B 应有初始条件（2.3.22）确定．以（2.3.23）代入（2.3.22），11sin (),sin ().nn n n n x A x l n a n x B x l l πϕππψ∞=∞=⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑ ()0x l << （2.3.24） (2.3.24)左边是傅里叶正弦级数,我们需要将()x ϕ和()x ψ在区间[]0,l 之外延拓为周期2l 的奇函数，他们满足的条件是：()()c c x x ϕϕ=--，()()c c x x ψψ=--； ()(2)c c x x l ϕϕ=+，()(2)c c x x l ψψ=+.()c x ϕ和()c x ψ在x -∞<<∞内都有定义，而在区间0x l <<就是()x ϕ和()x ψ，我们将()x ϕ和()x ψ延拓后，然后把它们的右边展开为傅里叶正弦级数，最后比较系数就可确定n A 和n B002()sin ,2()sin .l n n l n n n A d l ll n B d n a n a l πξψϕξξπξψψξξππ⎧==⎪⎪⎨⎪=⋅=⎪⎩⎰⎰傅立叶系数傅立叶系数 （2.3.25） 至此，定解问题（2.3.20）～（2.3.22）已经解出．3．结束语从上面讨论可见，函数延拓能明显的简化结果和大大减少运算工作量，显示出函数延拓极大的优越性．因而在傅里叶1822年发表了《热的解析理论》一书后，这本书奠定了利用三角函数系展开的基础，在泰勒级数外又找到了一个研究函数的工具，立即被广泛应用到物理学各个领域中去，成为人们研究非周期性函数不可缺少的数学工具．参考文献[1] 梁昆淼.数学物理方法[M] 高等教育出版社.(第三版)1998 [2] 刘连寿王正清 数学物理方法[M]高等教育出版社.1990 [3] 周季生 数学物理方法纲要[M]河北师范大学教材科 [4] 刘继军 数学物理方法.学习指导预习题辅导[5] [苏]B.M.布达克A.A 沙玛尔斯基吉洪诺夫 科学技术出版设重庆分社 [6] R.柯朗D.布尔伯特.科学出版社.1981[7] 郭敦仁.数学物理方法[M].人民教育出版社.1965[8] 周治宁，关崇试，钟毓澍．数学物理方法习题指导[M]北京大学出版社.2004 [9] 黄大奎，舒慕曾.数学物理方法.高等教育出版社，施普林格出版社.2001 [10] 陈才生.数学物理方程.东南大学出版社.2002[11] S. Mandelbrojt ,Analytic continuation and infinitely differentiable functions ,Bull.Am. Math. Soc. 54,1948The application of function extension method in mathematical methods for physicsWuxiaojuan Directed by Prof. tianguangzhiAbstract While solving some problems in the way of Methods of mathematical physics ,Sometimes,We can work out specific formulas or show the concrete methods or steps to solve the problems,But these formulas,methods or steps have the narrow sides.This thesis intends to summarize and deepen these methods,and make full use of these resources,then usefunction extension method to solve more problems.Key words Analytic exetension direct extension domain applicatiion。
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《数学物理方法在物理专业中的应用》
实践报告
专业班级：
团队成员：
任课教师：
开课时间：2014-2015学年 第 2 学期
数学物理方法在物理中的应用
数学不但能反映出已知事物的本质联系，而且能做出科学预
见取得重大突破。现代物理的一切重大发现都与数学有着密不可
分的联系。运用数学物理方法可以通过认识事物的量来认识事物
的本质规律，所以数学物理方法对物理学的研究的重要性是不言
而喻的。下面就通过举几个经典的例子来说明数学物理方法在物
理学中的重要性。
例 1 电磁场中的数学物理方法
半径为 a 的无限长空心圆柱体，分成两半，互相绝缘，一半
电势为 ，另一半为- ，求柱体中的电势分布。
解：首先要把这个物理问题表达为定解问题。取空心圆柱的中心
轴为 z 轴，对于“无限长”空心圆柱体，电场强度，电势与z 轴
无关，只需要研究空心圆柱体的横截面上的电势分布就可以了
（如图所示）。
r
取二维极坐标，由于空间无电荷分布，故电势满足△u=0.于是定
解问题为
2
1 r r u 1 u
(r ) 0,0 r a,
r 2 2
r
①
，
，
设 u(r, )=R(r)∅ ( )，代入方程得
∅
∅
，
经过化简可得，
∅
，
∅
其中 为常数，可得两个常微分方程
∅ ， ②
， ③
∅
②式与周期性边界条件
∅
∅
构成本征值问题
∅ ，
∅
∅ ∅ ，
其本征值与本证函数分别为
，
把本征值代入方程③得
这是欧拉方程，其解为
R rR m R
r " ' 0,
2 2
Cr D r m
, 0,
m
m
r
0
R( )
C r m
D ln , 0.
这样分离变量形式的解为
r
C D r
ln ,
u ( , )
0 0 0
r r A m B m r C m D m m
sin ), 1,2, .
u ( , ) ( cos 所有特解叠加得到通解 sin ) ( cos
m m
m m m m m
u r ( , ) C D r r m B m sin ) r m D m
sin )
ln
（A cos m （C cos
m
0 0
m m m m
m 1 又 由 自 然 边 界 条 件 可 得 ， m
1
， 再 考 虑 到 对 称 性
C 0
D
m m
及 ， 可 知 且
r u r
C D
u( , ) ( , ) ，因此有 u(r, ) -u(r,2 - )
0
0 0
A 0
0
r u（ , ） B r m m
sin
m
m
1
代入边界条件
V
,
,0
a f
u( , ) ( )
0
V
2,
,
0
可得
m k
0, 2 ,
V
1
2 [1 (1) ]
m
B
2
f md
0
( ) sin
V
4
a a m
,
m
2k 1,
m
m m
0
0
a m
m
故有
V
r
4
1
r
0
sin(2 1)
k
u( , )
( )
2k 1
例 2 核物理中的数学物理方法
(2k 1)
a
k
0
在轴块中，除了中子的扩散运动外，还进行着中子的增殖过程，
单位时间内在单位体积的轴块中产生的中子数正比于该处的中
子浓度 u，因而中子增殖可表示为 （ 是表示增殖快慢的常数），
u
研究厚度为 l 的层状轴块的临界厚度（所谓临界厚度，是指当层
状轴块厚度超过临界厚度是，中子浓度将随时间按指数快速递增，
导致轴块爆炸，释放大量能量，这也是原子弹爆炸的原理）。
解：假设轴块形状为扁平的长方形，如图所示，并假设在轴块表
面中子浓度为零，于是边值问题为
u D u u x a y b z l
,0 ,
t
,0 ,0
u u
0, 0,
x 0 y 0 z 0 x a
y b
z l
u u
0, 0,
0,
u u
0,
其中 D 为扩散系数，方程右边 表示轴块中有中子源，因此是个
u
有源的定解问题。
令
，代入方程并分离变量得
；
x y z t X x Y y Z z T t
u( , , , ) ( ) ( ) ( ) ( )
T'[D( ) - ]T 0
X" 0,
X
X X a
(0) ( ) 0;
Y" 0,
Y
Y Y b
(0) ( ) 0;
Z" 0,
Z
Z Z l
(0) ( ) 0;
解得本征值为
n
(
) , 1,2, ,
n
2
a
n
m
( ) ,m 1,2, ,
2
b
m
k
( ) ,k 1,2, .
2
l
要使 T(t)不随时间 t 而增加，必须有
k
n m k
D
0
[( ) ( ) ( ) ]
2 2 2
a b l
考虑到 a,b>>l(层状轴特点)，可近似认为 a,b→ ,于是必须有
（
k
) k 0, 1,2, .
2
l D
取 k=1，必须有
（ ) 0
2
D
l
以 表示临界厚度，即有
l
c
（ ) 0,
2
D
l
c
D
l
c
总结
数学物理方法在物理学中的应用十分的广泛，我们要熟练
掌握数学物理方法的解题方法和严谨的思考方法，这对我们今后
的学习发展有很大的帮助。