向量的线性运算经典测试题

向量的线性运算经典测试题

一、选择题

1．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．

①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有()

m a b ma mb -=-r r r r

②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r

③若ma mb =r

r

（m 是实数）时，则有a b =r

r

④若ma na =r r

（m 、n 是实数，0a ≠r

r

），则有m n = A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C 【解析】 【分析】

根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】

①对于实数m 和向量a r

、b r ，恒有()

m a b ma mb -=-r r r r ，正确；

②对于实数m 、n 和向量a r

，恒有()m n a ma na -=-r r r ，正确；

③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =，正确；

故选C. 【点睛】

本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．

2．在中，已知是

边上一点，

，则( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A 【解析】 【分析】

根据A ，B ，D 三点共线得出入的值,即可完成解答. 【详解】

解：在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2

，

，

则，

∴

，故选A.

【点睛】

本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.

3．如图，已知△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G ，设，

，则向量

关于

、的分解式表示正确的为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】 【分析】

由△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G 可知，，求出的值即可解答.

【详解】 ∵ ∴ ∵

∴

故本题答案选B. 【点睛】

本题考查向量的减法运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．

4．如图，已知向量a r

，b r

，c r

,那么下列结论正确的是（ ）

A ．a b c +=r r r

B ．b c a +=r r r

C ．a c b +=r r r

D ．a c b +=-r r r

【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】

由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r

， 即a c b +=-r r r

故选D ．

5．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r 3BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuu

r +AC u u u r ） 的长度为（ ）

A ．2

B ．4

C 31

D 31

【答案】B 【解析】 【分析】

先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r

，利用勾股定理即可计算出向量

（AB u u u r +BC uuu

r +AC u u u r ）的长度为

【详解】

22||3,||1||(3)122|||2|224

AB BC AC AC AB BC

AB BC AC AC AB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==?=∴u u u r u u u r Q u u u r

u u u r u u u r u u u r

Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

故选：B. 【点睛】

考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.

6．下列说法正确的是（ ）． A ．一个向量与零相乘，乘积为零 B ．向量不能与无理数相乘

C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短

D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反 【答案】D 【解析】 【分析】

根据平面向量的定义和性质进行判断． 【详解】

解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误； B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；

C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；

D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确.

故答案是：D. 【点睛】

考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．

7．已知5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，()

3CD a b =-u u u r r r ，则（ ）．

A ．A 、

B 、D 三点共线 B ．A 、B 、

C 三点共线 C ．B 、C 、

D 三点共线 D ．A 、C 、D 三点共线

【答案】A 【解析】 【分析】

根据共线向量定理逐一判断即可. 【详解】

解：∵28BC a b =-+u u u r r r ，()

3CD a b =-u u u r r r ，5AB a b =+u u u r r r

∴()

2835BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r

， ∴AB u u u r 、BD u u u r

是共线向量

∴A 、B 、D 三点共线，故A 正确； ∵5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r

∴不存在实数λ，使AB BC λ=u u u r u u u r ，即AB u u u r 、BC uuu

r 不是共线向量

∴A 、B 、C 三点共线，故B 错误；

∵28BC a b =-+u u u r r r ，

()

3CD a b =-u u u r r r ∴不存在实数λ，使BC CD λ=u u u r u u u r ，即BC uuu r 、CD uuu

r 不是共线向量

∴B 、C 、D 三点共线，故C 错误；

∵5AB a b =+u u u r r r ，28BC a b =-+u u u r r r ，()

3CD a b =-u u u r r r ，

∴()

52813AC AB BC a b a b a b =+=++-+=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r r

∴不存在实数λ，使AC CD λ=u u u r u u u r ，即AC u u u r 、CD uuu

r 不是共线向量

∴A 、C 、D 三点共线，故D 错误； 故选A. 【点睛】

此题考查的是共线向量的判定，掌握共线向量的定理是解决此题的关键.

8．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）． ①0m <，0a ≠r

r

时，ma r 与a r

的方向一定相反； ②0m ≠，0a ≠r

r

时，ma r 与a r

是平行向量； ③0mn >，0a ≠r

r

时，ma r 与na r

的方向一定相同；

④0mn <，0a ≠r

r

时，ma r 与na r

的方向一定相反． A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】D 【解析】 【分析】

根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】

解：①因为0m <，1＞0，0a ≠r

r

，所以ma r 与a r

的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠r

r

，所以ma r 与a r

是平行向量，故②正确；

③因为0mn >，0a ≠r r ，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r 的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠r r ，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r 的方向一定相反，故④正确．

故选D. 【点睛】

此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.

9．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( ) A ．｜2｜＞｜-2｜ B ．｜2｜＜｜-2｜ C ．｜2｜＞｜2-｜ D ．｜2｜＜｜2-｜

【答案】A 【解析】 【分析】

对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A 、C 满足；

当两向量不共线，构造三角形，从而排除C ，进而解答本题. 【详解】

解：若两向量共线，则由于是非零向量，且

，则必有

；代入可知

只有A 、C 满足；

若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， 故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC ； 令，

，则

，

∴且；

又BA+BC>AC ∴

∴. 故选A. 【点睛】

本题考查了非零向量的模，针对向量是否共线和构造三角形是解答本题的关键.

10．化简OP QP PS SP -++u u u r u u u r u u u r u u r

的结果等于（ ）．

A ．QP uuu r

B ．OQ uuu r

C ．SP u u r

D ．SQ u u u r

【答案】B 【解析】 【分析】

利用向量的加减法的法则化简即可. 【详解】

解：原式=+Q OP P PS SP ++u u u r u u u r u u u r u u r

=Q O uuu r ，

故选B.

【点睛】

本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大.

11．已知a r

、b r

、c r

都是非零向量，下列条件中，不能判断//a b r

r

的是（ ）

A ．a b =r r

B ．3a b =r

r

C ．//a c r r

，//b c r r

D ．2,2a c b c ==-r

r

r r

【答案】A 【解析】 【分析】

根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案． 【详解】

解：A 、||||a b =r r

只能说明a r 与b r 的模相等，不能判定a r ∥b r

，故本选项符合题意;

B 、3a b =r r 说明a r 与b r 的方向相同，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意;

C 、a r ∥c r ，b r ∥c r ，能判定a r ∥b r

，故本选项不符合题意;

D 、2a c =r r ，2b c =-r r 说明a r 与b r 的方向相反，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意．

故选：A ． 【点睛】

此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．

12．下列各式不正确的是（ ）．

A ．0a a -=r r r

B ．a b b a +=+r r r r

C ．如果()0a k b k =?≠r r ，那么b r 与a r 平行

D ．如果a b =r r ，那么a b =r r

【答案】D 【解析】 【分析】

根据向量的定义是规定了方向和大小的量，向量的运算法则及实数与向量乘积的意义判断

各选项即可． 【详解】

A.任意向量与它的相反向量的和都等于零向量，所以选项A 正确；

B.向量的加法符合交换律，即a b b a +=+r r r r

，所以选项B 正确；

C.如果()0a k b k =≠r r g ，根据实数与向量乘积的意义可知：a r ∥b r ，所以选项C 正确；

D.两个向量相等必须满足两个条件：长度相等且方向相同，如果a b =r r ，但a r 与b r

方向不

同，则a b ≠r r

，所以D 选项错误. 故选D. 【点睛】

本题考查了向量的定义、运算及运算法则、实数与向量乘积的意义，明确定义及法则是解题的关键.

13．已知非零向量a r 、b r 、c r ，在下列条件中，不能判定a r //b r

的是（ ）

A ．a r //c r ，b r //c r

B ．2a c =r r ，3b c =r

r C ．5a b =-r r

D ．||2||a b =r r

【答案】D 【解析】

分析：根据平面向量的性质即可判断． 详解：A ．

∵a r ∥c b r r ，∥c r

，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；

B ．

∵a r =2c b r r ，=3c r

，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；

C ．

∵a r

=﹣5b r ，∴a b P u u r r

，故本选项，不符合题意； D ．

∵|a r

|=2|b r |，不能判断a b P u u r r

，故本选项，符合题意． 故选D ．

点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．

14．下列关于向量的运算中，正确的是

A ．a b b a -=-r r r r ；

B ．2()22a b a b --=-+r r r r ；

C ．()0a a +-=r r

；

D ．0a a +=r r

．

【答案】B 【解析】 【分析】

根据向量的运算法则进行计算.

【详解】

A. ()

,a b b a A ---v

v v v ＝所以错误；

B. (

)

222a b a b B ---v v

v v ＝＋，所以正确； C. ()0a a -r

v v ＋＝，C 所以错误;

D.向量与数字不能相加，所以D 错误． 故选B. 【点睛】

本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键.

15．在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么OD uuu r

等于（ ）

A ．1122a b +r r

B ．1122a b --r r

C ．1122a b -r r

D ．1122

a b -+r r

【答案】D 【解析】 【分析】

由四边形ABCD 是平行四边形，可得12

OD BD =u u u r u u u r ，，又由BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r

，即可求得

OD uuu r

的值．

【详解】

解：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴OB=OD=

1

2

BD ， ∴12OD BD =u u u r u u u r ，

∵BD BA AD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ， ∴12OD BD =u u u r u u u r =111()222

a b a b -+=-+r r r r

故选：D ． 【点睛】

此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．

16．在下列关于向量的等式中，正确的是（ ）

A ．A

B B

C CA =+u u u r u u u r u u u r

B ．AB B

C AC =-u u u r u u u r u u u r C ．AB CA BC =-u u u r u u u r u u u r

D ．0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r

【答案】D 【解析】 【分析】

根据平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】

AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r

，故A 选项错误； AB AC BC =-u u u r u u u r u u u r

，故B 、C 选项错误； 0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r

，故D 选正确. 故选：D. 【点睛】

本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.

17．如图，向量OA u u u r 与OB uuu r 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n r =OA u u u r +OB uuu r

，则||n v

=（ ）

A ．1

B 2

C 3

D ．2

【答案】B 【解析】

根据向量的运算法则可得: n v

(

)

22

2OA OB +=u u u v u u u v 故选B.

18．已知a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，用a r

表示b r 向量为（ ） A ．35b a =r r B ．53b a =r r C ．35b a =-r r D ．53

b a =-r r

【答案】D 【解析】 【分析】

根据a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，即可用a r 表示b r 向量.

【详解】

a r

=3，b r =5，

b r =53a r ,

b r 与a r

的方向相反, ∴5.3

b a =-r r

故选：D. 【点睛】

考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.

19．已知e r 是一个单位向量，a r 、b r

是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）

A ．a e a v v v =

B ．e b b =v v v

C ．1a e a

=v v v

D ．11a b a b

=v v v v 【答案】B 【解析】 【分析】

长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】

A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；

B. 符合向量的长度及方向，正确；

C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；

D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】

本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.

20．已知在ABC ?中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =u u u r r

，AD b =u u u r r ，那么向量AC u u u r 用向量a r 、b r

表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b r r - C ．12a b -+r r D ．12a b --r r

【答案】A 【解析】

试题分析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点，

＝12

a b +r

r ．故选A ．

考点：平面向量，等腰三角形的三线合一．