高中数学讲义证明等差等比数列

微专题52 等差等比数列的证明

在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。一、基础知识：

1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列（1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差），

n n

a q a +=（等比）（2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =?≠（等比）

（3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S kq k =-（等比）

（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列：（1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）

（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N *

?∈，均有：

122n n n a a a ++=+ （等差） 2

12n n n a a a ++=? （等比）

二、典型例题：

例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521

n n a a a n N a *+=

=∈+．求证：数列11n a ??

???

为等比数列思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在

a 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121

213n n n n n n

a a a a a a +++=

?=+

即

112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111

111333n n n a a a +??-=+-=- ???

即数列11n a ??-?

???

是公比为1

3的等比数列

思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：1

1n n

b a =

-，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换

到n a 的递推公式中，进而可从n b 的递推公式出发，进行证明解：令11n n b a =

-，则11

n n a b =+ ∴ 递推公式变为：113

1131

1113

211

n n n n n b b b b b +++=?=+++?++

111

3333

n n n n b b b b ++?+=+?=

{}n b ∴是公比为1

3的等比数列。即数列11n a ??-????

为等比数列

小炼有话说：

（1）构造法：在构造的过程中，要寻找所证数列形式的亮点，并以此为突破对递推公式进行变形，如例1中就是抓住所证数列有一个“倒数”的特点，进而对递推公式作取倒数的变换。所以构造法的关键之处在于能够观察到所证数列显著的特点并加以利用

（2）代换法：此方法显得模式化，只需经历“换元→表示→代入→化简”即可，说两点：一是代换1

1n n

b a =

-体现了两个数列{}{},n n a b 的一种对应关系，且这种对应是同序数项的对应（第n 项对应第n 项）；二是经过代换，得到{}n b 的递推公式，而所证n b 是等比数列，那么意味着其递推公式经过化简应当形式非常简单，所以尽管代入之后等式复杂，但坚定地化简下去，通常能够得到一个简单的答案。个人认为，代入法是一个比较“无脑”的方法，只需循规蹈矩按步骤去做即可。

例2：数列{n a }的前n 项和为n S ，213

1(*)22

n n S a n n n N +=-

-+∈（*）

．设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式

思路：本题所给等式,n n S a 混合在一起，可考虑将其转变为只含n a 或只含n S 的等式，题目中

n n b a n =+倾向于项的关系，故考虑消掉n S ，再进行求解

解：213

122n n S a n n +=-

-+ ① ()()()2

11131112,22

n n S a n n n n N --+=----+≥∈ ②

∴ ①- ②可得：112121n n n n a a n a a n ---=--?=--

()()()1112112n n n n a n a n a n a n --∴+=+-?+=

+-???? 即11

n n b b -=

{}n b ∴是公比为1

2的等比数列 111b a =+ 令1n = 代入（*）可得：

11131122S a +=--+=- 112a ∴=- 11

b ∴=

11122n n n b b -??

??∴=?= ?

???

?? 12n

n n a b n n ??

∴=-=- ???

小炼有话说：（1）遇到,n n S a 混合在一起的等式，通常转化为纯n a （项的递推公式）或者纯n S （前n 项和的递推公式），变形的方法如下：

① 消去n S ：向下再写一个关于1n S -的式子（如例2），然后两式相减（注意n 取值范围变化） ② 消去n a ：只需1n n n a S S -=-代换即可（2,n n N ≥∈）

（2）,n n S a 混合在一起的等式可求出1a ，令1n =即可（因为11S a =）

（3）这里体现出n n b a n =+的价值：等差等比数列的通项公式是最好求的：只需一项和公差（公比），构造出等差等比数列也就意味这其通项可求，而通过n n b a n =+也可将n a 的通项公式求出。这里要体会两点：一是回顾依递推求通项时，为什么要构造等差等比数列，在这里

给予了一个解释；二是体会解答题中这一问的价值：一个复杂的递推公式，直接求其通项公式是一件困难的事，而在第一问中，恰好是搭了一座桥梁，告诉你如何去进行构造辅助数列，进而求解原数列的通项公式。所以遇到此类问题不要只停留在证明，而可以顺藤摸瓜将通项一并求出来

例3：已知数列{}n a 满足：1116,690,n n n a a a a n N *

--=-+=∈且2n ≥，求证：13n a ??

??-??

为

等差数列解：设13n n b a =

-，则1

3n n

a b =

+代入11690n n n a a a ---+=可得： 11111336390n n n b b b --??????++-?++= ??? ???????

1111336

91890n n n n n b b b b b ---?

+++--+= 111330n n n n b b b b --?

-+=11

n n b b -?-= {}n b ∴为等差数列，即13n a ????-??

为等差数列

例4：已知曲线:1C xy =，过C 上一点(),n n n A x y 作一斜率为1

n n k x =-

+的直线交曲线C 于另一点()111,n n n A x y +++（1n n x x +≠且0n x ≠，点列{}n A 的横坐标构成数列{}n x ，其中

1117

x =

. （1）求n x 与1n x +的关系式；（2）令11

n n b x =

+-，求证：数列{}n b 是等比数列；解：（1）曲线1

:C y x

()1:2n n n l y y x x x -=--+

()11111

121n n n n n n n n

n y x

y y x x x y x ++++?=??

?∴-=--?+?

?=??

12n n n x x x +∴=+

（2）111

21233

n n n n b x x b =

+?=+--，代入到递推公式中可得：

1111

2222111

333n n n b b b +???? ? ?+?+=++ ? ? ? ?---

???? 11111112211111133422=411133333333

n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b +++++++

????????

?=+?++-+-- ??? ???????????---

()()1111121144

4439339

n n n n n n n n n b b b b b b b b b +++++?+++=-+-++

()()11124

n n n n n b b b b b +++?+=-+ 12n n b b +?=- {}n b ∴是公比为2-的等比数列

小炼有话说：本题（2）用构造法比较复杂，不易构造出n b 的形式，所以考虑用代入法直接求解

例5：已知数列{}n a 满足()()11

46410,21

n n n a n a a a n N n *

++++==

∈+，判断数列221n

a n +??

??+??

是

否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出n a 解：设()2

21221

n n n n a b a n b n +=

?=+-+ 代入到()14641021

n n n a n a n ++++=

+可得：

()()()146212410

23221

n n n n b n n b n +++-++????+-=

()()()()123214222321812410n n n n b n n n b n n +?++--=++--++ ()()()()1232122321n n n n b n n b +?++=++

12n n b b +?=

而112233

a a

b ++=

∴① 2a =-时，10b =，{}n b 不是等比数列

② 2a ≠-时，{}n b 是等比数列，即221n a n +??

?+??

为等比数列 1

1222213

n n a a n -++∴

=?+ ()()1221223n n a n a -++∴=

?- 例6：（2015山东日照3月考）已知数列{}n a 中，111

,1,33,n n n a n n a a a n n +?+?==??-?为奇数

为偶数

，求证：

数列232n a ?

????

是等比数列思路：所证数列为232n a ??

???

，可发现要寻找的是{}n a 偶数项的联系，所以将已知分段递推关系转变为2n a 与()21n a -之间的关系，再进行构造证明即可

证明：由11

,33,n n n a n n a a n n +?+?=??-?为奇数

为偶数

可得：

()2211

213n n a a n -=+- ()2122322n n a a n --=-?-Q

()2221

322213

n n a a n n -∴=--+-???? 2222211

2221133

n n n a a n n a --∴=-++-=+

222223111323232n n n a a a --??∴-

=-=- ???

∴数列232n a ?

?-???

?是公比为13的等比数列

例7：（2015湖北襄阳四中阶段性测试）已知数列{}n a 满足11a =，且对任意非负整数

(),m n m n >均有： ()221

m n m n m n a a m n a a +-++--=

+ （1）求02,a a

（2）求证：数列{}1m m a a +-是等差数列，并求出n a 的通项公式解：（1）令m n =可得：

202011m m a a a a +-=?=

再令0n =可得：

()201

212

m m a m a a +-=

+ 2423m m a a m ∴=+- 21413a a ∴=-= 021,3a a ∴==

（2）思路：考虑证明数列{}1m m a a +-是等差数列，则要寻找1m m a a +-，1m m a a --的关系，即所涉及项为11,,m m m a a a +-，结合已知等式令1n =，利用（1）中的2423m m a a m =+-，将

2m a 代换为m a 即可证明，进而求出通项公式

证明：在()221

m n m n m n a a m n a a +-++--=

+中令1n =得： ()11221

m m m a a m a a +-++-=

+ 11222224m m m a a m a a +-∴++-=+

由（1）得22423,3m m a a m a =+-=代入可得：

11222442m m m a a m a m +-∴++-=+

()()1111222m m m m m m m a a a a a a a +-+-∴+-=?---=

∴ 数列{}1m m a a +-是公差为2的等差数列

()()121212m m a a a a m m +∴-=-+-= ()121m m a a m -∴-=-

()-1222m m a a m --=- M 212a a -=

()()121211m a a m m m ∴-=+++-=-????L

()11m a m m ∴=-+

例8：（2010 安徽，20）设数列12,,,,n a a a L L 中的每一项都不为0，求证：{}n a 是等差数列的充分必要条件是：对n N *

?∈都有

1223111

111n n n n

a a a a a a a a +++++=L 思路：证明充要条件要将两个条件分别作为条件与结论进行证明，首先证明必要性，即已知

等差数列证明恒等式。观察所证等式可联想到求和中的裂项相消。所以考虑

11111111111n n n n n n n n a a a a a a d a a ++++????=-?=- ? ?-????

，然后恒等式左边进行求和即可证明。再证

明充分性，即已知恒等式证明等差数列：恒等式左侧为求和形式，所以考虑向前写一个式子两式相减，进而左边消去大量的项，可得：

121211

11n n n n n n

a a a a a a +++++=-，通过化简可得：

211n n n n a a a a +++-=-，从而利用等差中项完成等差数列的证明

证明：先证必要性：{}n a Q 是等差数列 ∴当0d =时

121n n a a a a -====L ∴左边22211111n a a a =

++=L 右边2

1n a =

当0d ≠时，考虑

11111111111n n n n n n n n a a a a a a d a a ++++????=-?=- ? ?-????

∴左边11

12231111111111111111n n n n n a a d a a a a a a d a a d a a ++++??????????-=

-+-++-=-=???

? ? ? ???????????L 1111

1n n nd n d a a a a ++=

?==右边 ∴所证恒等式成立

再证必要性：

1223111

111n n n n a a a a a a a a +++++=Q

L ① 122311212

11111

n n n n n n a a a a a a a a a a +++++∴

++++=L ② ①-②可得：

121211

11n n n n n n

a a a a a a +++++=-

两边同时乘以112n n a a a ++得：

()1121n n a n a na ++=+- ③

同理：()111n n a na n a +=-- ④

③-④可得：()121222n n n n n n na n a a a a a ++++=+?=+

{}n a ∴为等差数列

小炼有话说：（1）本题证明等差数列所用的是等差中项的方法，此类方法多在数列中存在三项关系时使用（2）在充分性的证明中连续用到了构造新式并相减的方法，这也是变形递推公式的方法之一，当原递推公式难以变形时，可考虑使用这种方法构造出新的递推公式，尤其递推公式的一侧是求和形式时，这种方法可以消去大量的项，达到化简递推公式的目的。

例9：若数列{}n a 的各项均为正数，2

12,n n n n N a a a t *++?∈=+（t 为常数），且3242a a a =+

（1）求

a a a +的值（2）求证：数列{}n a 为等差数列

解：（1）令1n =，则有2

213a a a t =+ ①

令2n =，则有2

324a a a t =+ ②

①-②可得：

()()2222231324224313224313a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=-?+=+?+=+

1324

2a a a a a a ++∴

== （2）思路：所给的递推公式中含有t ，而且原递推公式也很难变形，所以考虑再写一个式子两式相减，构造新的递推公式，仿照（1）进行变形。

解：212n n n a a a t ++=+ ③ 2

213n n n a a a t +++=+④

∴③-④可得：

22221221311322n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++++++-=-?+=+

()()11322n n n n n n a a a a a a +++++?+=+

132

n n n n n n a a a a a a +++++++∴

从而

1321124

213

2n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +++-+++++++=====L

211

22n n n n n n a a a a a a +++++∴

=?+= 1+21n n n n a a a a ++∴-=-

∴ 数列{}n a 为等差数列

例10：在数列{}n a 中，10a =，且对任意k N *

∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d ，

若2k d k =，求证：22122,,k k k a a a ++成等比数列

思路：由21221,,k k k a a a -+的公差为2k d k =，而2121,k k a a -+表示数列中相邻的奇数项，所以可选择它们的关系作为突破口，即21214k k a a k +--=，从而可以求出{}n a 奇数项的通项公式，再利用2121,k k a a -+可求出2k a ，进而22122,,k k k a a a ++均可用含k 的式子表示，再从定义出发即可证明其成等比数列

解：21221,,k k k a a a -+Q 成等差数列且2k d k =

21214k k a a k +-∴-=

()212341k k a a k --∴-=-

M 314a a -=

[]()21141221k a a k k k +∴-=+++=+L

()()211121k a k k a k k +∴=++=+ ()2121k a k k -∴=-

21221,,k k k a a a -+Q 成等差数列

()222121122

k k k a a a k +-∴=

+= ()2

2221k a k +=+ ()2

222122

21222

221

41k k k k k k k a a a a a k k a a +++++∴=?=+?= 22122,,k k k a a a ++∴成等比数列

高中数学等差数列性质总结大全

等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=．从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 . （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． ` （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。？（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.

等差等比数列的证明例举

等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。一、基础知识： 1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列（1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差）， 1 n n a q a +=（等比）（2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =?≠（等比）（3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S k q k =-（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列：（1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N * ?∈，均有： 122n n n a a a ++=+（等差） 2 12n n n a a a ++=?（等比）二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521 n n n a a a n N a *+= =∈+．求证：数列11n a ?? -? ??? 为等比数列思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在 1 n a 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121 213n n n n n n a a a a a a +++= ?=+ 即 1121 33n n a a +=+ ，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +?? -=+-=- ??? 即数列11n a ??-? ??? 是公比为1 3的等比数列

(word完整版)高中数学等差数列练习题

一、过关练习： 1、在等差数列{}n a 中，2,365-==a a ，则1054a a a Λ++= 2、已知数列{}n a 中，() *+∈+==N n a a a n n 3 111,111，则50a = 3、在等差数列{}n a 中，,0,019181=+>a a a 则{}n a 的前n 项和n S 中最大的是 4、设数列{}n a 的通项为()*∈-=N n n a n 72，则1521a a a +++Λ= 二、典例赏析：例1、在等差数列{}n a 中，前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a （1）求通项n a ；（2）若242=n S ，求n 例2、在等差数列 {}n a 中，（1）941,0S S a =>，求n S 取最大值时，n 的值；（2）1241,15S S a ==，求n S 的最大值。例3、已知数列{}n a 满足()22,21 2 1≥-==-n a a a a a a n n ，其中a 是不为零的常数，令a a b n n -=1 （1）求证：数列{}n b 是等差数列（2）求数列{}n a 的通项公式三、强化训练： 1、等差数列{}n a 中，40,19552==+S a a ，则1a = 2、等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则前3m 项和为 3、等差数列{}n a 中，,4,84111073=-=-+a a a a a 记n n a a a S +++=Λ21，则13S 等于 4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10,10010010==S S ，则110S = 。 5、在ABC ?中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan C A C A ++的值作业 A 组： 1、在a 和b 两个数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为 2、已知方程 ()()02222=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则n m -等于 B 组： 3、已知一元二次方程()()()02=-+-+-b a c x a c b x c b a 有两个相等的实根，求证： c b a 1,1,1成等差数列 4、已知数列 {}n a 的通项公式是254-=n a n ，求数列{}n a 的前n 项和

高中数学等差数列教案3篇

高中数学等差数列教案3篇教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。下面是为大家收集等差数列教案，希望你们能喜欢。等差数列教案一【教学目标】 1. 知识与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊

到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重

引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展. 【设计思路】 1.教法 ①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性. ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性. ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点. 2.学法引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法. 【教学过程】一：创设情境，引入新课

证明或判断等差(等比)数列的常用方法

证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省王卫华玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢且听笔者一一道来．一、利用等差（等比）数列的定义在数列 {} n a 中，若 1n n a a d --=（d 为常数）或 1 n n a q a -=（q 为常数），则数列{}n a 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n a 为等差（等比）数更最主要的方法．如：例1．（2005北京卷）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11 214 n n n a n a a n +???=??+??为偶数为奇数，记211 1234 n n b a n -=-=，，，，…．（Ⅰ）求23a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论．解：（Ⅰ）213211111 44228a a a a a a =+=+==+，；（Ⅱ）43113428a a a =+=+，所以54113 2416 a a a ==+，所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ????=- =-=-=-=-=- ? ????? ，，，猜想：{}n b 是公比为 1 2 的等比数列．证明如下：因为121221111111()424242 n n n n n b a a a b n *++-??=-=-=-=∈ ???N ，所以{}n b 是首项为14a - ，公比为1 2 的等比数列．评析：此题并不知道数列{}n b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。

(完整版)高中数学等差数列教案

等差数列教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质教学过程：引入：① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2985，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项a 如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =?-+=1)1(1（1≤n ≤6）数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-?-+=（n ≥1）数列③ ;,1,54 ;53,52;51Λ 5 51)1(51n n a n =?-+=（n ≥1）由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--= 则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n m a a n m -- 如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+= 三、例题讲解例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

高中数学必修等差数列知识点总结和题型归纳

二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用） 1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6 ，2a -5 ， -3a +2 ，则 a A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2．在数列 {a n } 中， a 1=2，2a n+1=2a n +1，则 a 101的值为（） A ．49 B ．50 C ． 51 D ．52 3．等差数列 1，－ 1，－ 3，?，－ 89的项数是（）等差数列一．等差数列知识点：知识点 1、等差数列的定义 : ①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示知识点 2、等差数列的判定方法 : ②定义法：对于数列 a n ，若a n 1 a n d （常数），则数列 a n 是等差数列 ③等差中项：对于数列 a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列 a n 是等差数列知识点 3、等差数列的通项公式 : 的首项是 a 1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为该公式整理后是关于 n 的一次函数 n 项和 : n （n 1） ⑥ S n na 1 d 2 ④如果等差数列 a n a n a 1 （n 1）d 知识点 4、等差数列的前 ⑤ Sn n （a 1 a n ） 2 对于公式 2整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数知识点 5、等差中项 : ⑥如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项即： A a b 或2A a b 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点 6、等差数列的性质 : ⑦等差数列任意两项间的关系：如果且 m n ，公差为 d ，则有 a n a m （n ⑧ 对于等差数列 a n ，若 n m p a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项， m ）d q ，则 a n a m a p a q 也就是： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ⑨若数列 a n 是等差数列，等差数列如下图所示： S n 是其前 n 项的和， k N ，那么 S k ， S 2k S k ， S 3k S 2k 成 S 3k a 1 a 2 a 3 S k a k a k 1 S 2k a 2k S k a 2k 1 S 3k S 2k a 3k ①若项数为 2n n * ，则 S 2n n a n a n 1 ，且 S 偶 S 奇 S 奇 nd ，奇 an ． ②若项数为 2n 1 n S 偶 a n 1 S 奇 n （其中 S 奇 na n ， S 偶 n 1 a n ）． S 偶 n 1 奇等差数列的前 n 项和的性质： 10、，则 S 2n 1 2n 1 a n ，且 S 奇 S 偶 a n ，等于（）

高中数学等差数列教案

课题：2.2 等差数列（一）教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 教学过程：一、复习引入：上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子: 2. 小明目前会100个单词，他打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为： 100，98，96，94，92 ① 3. 小芳只会5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为 5，15，25，35，45 ② 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列二、讲解新课：通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。 (二) 新课探究 1、由引入自然的给出等差数列的概念：如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 来表示。强调： ① “从第二项起”满足条件； ②公差d 一定是由后项减前项所得； ③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：

等差、等比数列证明(补差1)

1. 等差、等比数列证明例 1：已知数列前n 项和n s n n 22 +=，求通项公式n a ，并说明这个数列是否为等差数列。解：1=n 时，32111=+==s a ； 2≥n 时，()()[]121222 1-+--+=-=-n n n n s s a n n n 12+=n 因为1=n 时，31121=+?=a 所以12+=n a n 因为2≥n 时，21=--n n a a 为常数，所以{}n a 为等差数列。例2：设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()*11,24,1N n a S a n n ∈+==+。（1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）设n n n a c 2=，求证：数列{}n c 是等差数列；证明：（1）2≥n 时 11144-++-=-=n n n n n a a S S a ， ()11222-+-=-∴n n n n a a a a ， 12-=∴n n b b 又3232112121=+=-=-=a a S a a b {}n b ∴是首项为3，公比为2的等比数列。（2）,232,23111 -+-?=-∴?=n n n n n a a b (),432321 22122111111 1=??=-=-=-∴-++++++n n n n n n n n n n n a a a a c c 又21 21 1==a c ， {}n c ∴是首项为21，公差为43 的等差数列。

例3：设数列{}n a 的前n 项的和() +∈++=N n n n S n ,422， ⑴写出这个数列的前三项321,,a a a ； ⑵证明：数列{}n a 除去首项后所成的数列 432,,a a a 是等差数列。解：⑴由n s 与n a 的关系 ???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 得到 74121211=+?+==S a 5742222122=-+?+=-=S S a ()75743232233=+-+?+=-=S S a ⑵当2≥n 时， ()()()[] 12412142221+=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n ∴()[](),2121121=+-++=-+n n a a n n 对于任意2≥n 都成立，从而数列 432,,a a a 是等差数列。注：由于212-=-a a ，故21=-+n n a a 不对任意N n ∈成立，因此，数列{}n a 不是等差数列。例4：设数列{}n a 的首项11=a ，前n 项和n s 满足关系()t s t ts n n 33231=+--，求证{}n a 为等比数列。证明如下：3≥n 时： ()t s t ts n n 33231=+-- ()t s t ts n n 332321=+--- 两式相减得：()()()0323211=-+-----n n n n s s t s s t 即：()03231=+--n n a t ta 所以：t t a a n n 3321+=- （这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。）又因为2=n 时： ()t s t ts 332312=+-

等差等比数列练习题(含答案)

一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）（A ）为常数数列（B ）为非零的常数数列（C ）存在且唯一（D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（）（A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为（）（A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ）不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（）（A ）成等差数列不成等比数列（B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列（D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为（）（A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（）（A ）z y x ,,成等差数列（B ）z y x ,,成等比数列（C ） z y x 1,1,1成等差数列（D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为（）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为（）（A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为（）

高中数学等差数列教学设计

等差数列一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。二、学生学习情况分析我所教学的学生是我校高二（2）班的学生，经过一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。三、设计思想 1．教法 ⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。 ⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。 ⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 2．学法引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。四、教学目标通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。五、教学重点与难点

证明数列是等差或等比数列的方法

一、证明或判断数列为等差数列的方法 1.定义法在数列{}n a 中，若d a a n n =--1（d 为常数），则数列{}n a 为等差数列例：已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，3 21=a ，且满足2 11322++=+n n n a S S （*N n ∈）证明：数列{}n a 是等差数列证明：由2 11322++=+n n n a S S 得2 1132)(2++=++n n n n a S a S 整理得12 1234++-=n n n a a S 则n n n a a S 23421-=- 两式相减得n n n n n a a a a a 2233412 2 1+--=++ n n n n a a a a 2233122 1+=-++ 因为{}n a 是正项数列，所以01>++n n a a 所以()231=-+n n a a ，即3 21=-+n n a a 所以{}n a 是首项为32，公差为3 2 的等差数列 2.等差中项法 212{}n n n n a a a a +++=?是等差数列例：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，62=a ，113=a ，且 1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=，，，，，其中A 、B 为常数（1）求A 与B 的值（2）证明数列{}n a 是等差数列解：（1）因为11=a ，62=a ，113=a ，所以1231718S S S ===，，把1=n ，2=n 分别代入()()B An S n S n n n +=+--+25851 得B A +=?-?-1773 B A +=?-?2712182 解得：20-=A ，8-=B （2）由（1）知()()82025851--=+--+n S n S n n n 整理得()82028511--=---++n S S S S n n n n n

等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。一、定义法 01.证明数列是等差数列的充要条件的方法： {}1()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 {}2222()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 02.证明数列是等差数列的充分条件的方法： {}1(2)n n n a a a d n --=≥?是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥?是等差数列 03.证明数列是等比数列的充要条件的方法： {}1 (00)n n n a q q a a +=≠≠?1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法： 1 n n a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ?为等比数列注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有 1 n n a q a -== （常数0≠）；②

n *∈N 时，有 1 n n a q a +== （常数0≠）．例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有 1223111 111n n n n a a a a a a a a +++++= 。证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则当d =0时，显然命题成立当d ≠0时， ∵ 111111n n n n a a d a a ++?? =- ??? 再证充分性： ∵ 122334 111 a a a a a a ++???1111n n n n a a a a ++++= ?? ………① ∴ 122334 111 a a a a a a ++???11212111n n n n n n a a a a a a ++++++++= ??? ………② ②﹣①得： 121211 11n n n n n n a a a a a a +++++=- ??? 两边同以11n n a a a +得：112(1)n n a n a na ++=+- ………③ 同理：11(1)n n a na n a +=-- ………④ ③—④得：122()n n n na n a a ++=+ 即：211n n n n a a a a +++-=- {}n a 为等差数列例2. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试证}{n a 为等差数列的充要条件是

重点高中数学等差数列教案

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课题：3.1 等差数列（一）教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 教学过程：一、复习引入：上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子 1．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5个他决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，… （问：多少天后他的单词量达到3000？） 2．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，… （问：多少天后她那3000个单词全部忘光？）从上面两例中，我们分别得到两个数列 ① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2980，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】

高中数学优质课程《等差数列》教案

高中数学优质课程《等差数列》教案等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。下面就是小编给大家带来的高中数学优质课程《等差数列》教案，希望能帮助到大家! 【教学目标】 1. 知识与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展.

等差、等比数列证明的几种情况

等差、等比数列证明的几种情况在高中数学教材中，对等差，等比数列作了如下的定义：一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于一个常数d ，则这个数列叫等差数列，常数d 称为等差数列的公差。一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于一个常数q ，则这个数列叫等比数列，常数q 称为等比数列的公比。在涉及到用定义来说明一个数列为等差数列或等比数列时，很多时候往往容易忽略定义的完整性，现举一些例子来加以说明。 1、简单的证明例：已知数列前n 项和n s n n 22+=，求通项公式n a ，并说明这个数列是否为等差数列。解：1=n 时，32111=+==s a ； 2≥n 时，()()[]1212221-+--+=-=-n n n n s s a n n n 12+=n 因为1=n 时，31121=+?=a 所以12+=n a n 因为2≥n 时，21=--n n a a 为常数，所以{}n a 为等差数列。 2、数列的通项经过适当的变形后的证明例：设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()*11,24,1N n a S a n n ∈+==+。（1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）设n n n a c 2= ，求证：数列{}n c 是等差数列；

证明：（1）2≥n 时 11144-++-=-=n n n n n a a S S a ， ()11222-+-=-∴n n n n a a a a ， 12-=∴n n b b 又3232112121=+=-=-=a a S a a b {}n b ∴是首项为3，公比为2的等比数列。（2）,232,23111-+-?=-∴?=n n n n n a a b (),432321221221 1 11111=??=-=-= -∴-++++++n n n n n n n n n n n a a a a c c 又2 1 211== a c ， {}n c ∴是首项为21，公差为4 3 的等差数列。 3、证明一个数列的部分是等差（等比）数列例3：设数列{}n a 的前n 项的和()+∈++=N n n n S n ,422， ⑴写出这个数列的前三项321,,a a a ； ⑵证明：数列{}n a 除去首项后所成的数列 432,,a a a 是等差数列。解：⑴由n s 与n a 的关系 ???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 得到 74121211=+?+==S a 5742222122=-+?+=-=S S a ()75743232233=+-+?+=-=S S a ⑵当2≥n 时， ( )()()[] 124121422 21+=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n

高中数学《等差数列》教学设计

《等差数列》教学设计一、教学目标【知识与技能】能够复述等差数列的概念，能够学会等差数列的通项公式的推导过程及蕴含的数学思想。【过程与方法】在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，提高知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习，提高分析问题和解决问题的能力。【情感态度与价值观】通过对等差数列的研究，具备主动探索、勇于发现的求知精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。二、教学重难点【重点】等差数列的概念、等差数列的通项公式的推导过程及应用。【难点】等差数列通项公式的推导。三、教学过程环节一：创设情境、导入新课教师PPT展示几道题目： 1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5一个数，可以得到数列：0，5，15，20，

2.小明目前会100个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为：100，98，96，94，92。 3.2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中交情的4个级别体重组成数列(单位：kg)：48，53，58，63。教师提问学生这几组数有什么特点?学生回答从第二项开始，每一项与前一项的差都等于一个常数，教师引出等差数列。环节二：师生互动、探索新知 1.等差数列的概念学生阅读教材，同桌讨论，类比等比数列总结出等差数列的概念如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。问题1：等差数列的概念中，我们应该注意哪些细节呢? 强调：“从第二项起”满足条件;公差d一定是由后项减前项所得;每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调“同一个常数”);数学表达式：问题2：判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。 (1)9，8，7，6，5，4，……; (2)0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……; (3)0，0，0，0，0，0，……; 引导学生发现第一个数列公差小于0,第二个数列公差大于0，第三个数列公差等于0。由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0。

高中数学讲义 证明等差等比数列