专题2-4指数与指数函数

专题2-4 指数与指数函数

指数与指数幂的运算

内容

指数幂的含义、有理数指数幂，幂运算 知识点

1、根式的性质

(1) (n

a )n =a

(2) ??? n 为奇数，n a n =a n 为偶数，n a n

=|a|=?

???? a (a ≥0)-a (a < 0) (3) 负数的偶次方根无意义 (4)

n

0 =0

(5) a 0=1 (a≠0)

2、有理指数幂

(1) 分数指数幂

?

?? a >0，m 、n ∈N*且n >1????? a m/n =n a m a -m/n =1a m/n =1

n a m

0的指数幂：指数大于0时为0，指数小于0时无意义

(2) 有理数指数幂的运算性质 ?

???? a r ·a s = a r+s (a r )s = a rs (ab )r = a r ·b r

易错点

指数幂运算时结果用分指数幂的形式表示，不能有混合形式

例1 化简15

3

113

6

2

2

2

1()(3)()3a b a b ab -÷=(

)

A 6a

B -a

C -9a

D -a 2 【答案】 C

【分析】指数幂乘除运算，全部转化为乘法运算，并且指数用分数形式，勿与根号形式混用 【详解】

15

3113

62

2

2

153

11-

-1

3

6

22211531

1

23622

1()(3)()

3

=()(3)(3)=99a b a b ab a b a b a b a b

a

+-+--÷--=-

【考核】指数幂的运算 例2

计算13

2

103

410.027

()25631)7

-----+-+

【答案】 19

【分析】应用指数幂运算的性质 【详解】

13

2

10

3

41333

2

813

4

16110.027()25631)7

(310)7(2)311034923134964119

----

------+-+=?-+-+=?-+-+=-++=

【考核】指数幂运算性质

总结

指数幂的运算转化为同底有理数(分数)指数幂形式进行乘除运算，注意结合运算性质

指数函数图像与性质

内容

指数函数模型、概念、单调性、图像特点 知识点

(0,+∞)

过定点(0,1)

例1 函数sin ()()x

f x e

x ππ=-≤≤大致图像( )

A

B

C D

【答案】 D

【分析】求大致图像问题：应用特殊值法，如：-π、-π2 、0、π

2 、π

【详解】sin ()x

f x e

=对应特殊点的函数值为：1、1

e 、1、e 、1

【考核】函数图像

例2 函数22,0

()(),0x x f x g x x -?-<=?>?

为奇函数，则((2))f g =______

A -2

B 2

C -1

D 1

【答案】 B

【分析】函数奇偶性将待求自变量转化到已知解析式的区间里，求值 【详解】(2)(2)f g =，而2

(2)(2)(22)2f f =--=--=-

2((2))(2)222f g f =-=-=

【考核】奇偶性、复合函数

例3 函数|2|

()x a f x e

+=(a 为常数)，若()f x 在[1,+∞)上递增，则a 的取值范围_____

【答案】 a ≥-2

【分析】确定原函数图像及单调区间，再讨论复合函数的单调区间，求参 【详解】||

()x f x e =在[0,+∞)递增

则原函数递增区间，有2x+a ≥0，即x ≥- a

2

∴ - a

2

≤1，即a ≥-2

【考核】指数函数单调性、复合函数

例4 若实数x 、y 满足1

|1|ln

0x y

--=，则y 关于x 的函数图像大致是( ) A B C D

【答案】 B

【分析】原方程转化为函数形式|1|

x y e --=，特殊点及单调性确定图像 【详解】x =1，y=1；x >1，单调减 【考核】指数函数图像

例5 关于x 的方程2|ln |x

e

x -+=的两个实数解为x 1、x 2(x 1

A 0 < x 1x 2 < e -1

B e -1 < x 1x 2 < 1

C x 1x 2 = e -1

D 以上都不对

【答案】 B

【分析】数形结合：2x

e -+与|ln |x 交点在2 < y < 3 【详解】

12

122|ln |2|ln |x x e x e x --?+=??+=???12

12

2ln 2ln x x e x e x --?+=-??+=???212112ln ln ln()0x x

x x x x e e --+==-< 且2

11

x x e

e --->-

【考核】指数函数图像性质、单调性

例6 ()f x 在R 上是奇函数，当x > 0时，()12x

f x -=-，则不等式1

()2

f x <-

的解集是( ) A (-∞,-1) B (-∞,-1] C (1,+∞) D [1,+∞) 【答案】 A

【分析】x > 0时1102x ->，即1

()2

f x <-不成立；根据奇函数得到x < 0时()f x 解析式

解不等式

【详解】x < 0时f(x ) = -f(-x ) = -(1-2x ) = 2x -1<- 1

2 ，解得：x < -1

【考核】奇偶性得到解析式、解不等式

例7 函数()x

x

f x ka a -=-(a > 0且a ≠ 1，k ∈R)，()f x 定义在R 上的奇函数

(1) 求k 的值

(2) 若f(1) = 32 ，函数22()4()x x

g x a a f x -=+-，x ∈[1,2]，求()g x 的值域

【答案】 (1) 1；(2) [-2,17

16

]

【分析】(1)奇函数得到方程，根据系数相等求k 值；(2) 【详解】

(1) ()()x

x x x f x f x ka a a ka ---=-?-=-，k=1【f(0)=0解方程】

(2) 1

3(1)2

f a a

-=-=

，a=2 (a=-1

2 舍去)

∴ g(x )=22x +2-2x -4(2x -2-x )=(2x -2-x )2-4(2x -2-x )2+2，x ∈[1,2]有2x -2-x ∈[32 ,15

4 ]

g(x )∈[-2,17

16 ]

【考核】

例8 函数121

()2x x f x m

+-+=+在R 上是奇函数

(1) 求m 的值

(2) 解不等式()(1)0f x f x ++> 【答案】 (1) 2；(2) x <-1

2

【分析】(1)奇函数列方程求m 值；(2)换元法，注意定义域范围 【详解】

(1) f(-x )=-f(x )：-2-x +121-x +m =2x -1

2x +1+m

在R 上恒成立，m=2

(2) 112()22x x f x +-=+，122(1)422

x

x

f x -+=+，令t=2x 11202242

t t t t --+>++?t 2<12 ∴ x <-12 【考核】奇偶性定义、解不等式、含指数形式换元法

例9 在R 上的函数()f x 满足()()f m x f m x +=-(x ∈R)，且x ≥1时2()2x n

f x -+=，图

像所示，则满足()2

n m

f x -≥

的实数x 的取值范围( )

A [-1,3]

B [12 ,32

] C [0,2]

D [12 ,52

]

【答案】 B

【分析】对称性、特殊点求出m 、n 值，再求解不等式

【详解】由图知，函数图像关于x =1对称，m=1；f(1)=2n

4 =1，n=2 ∴1()22

n m f x -≥=

x ≥1时，22-2x ≥12 ，即2-2x ≥-1?x ≤32 ，结合图像中函数的对称性、单调性知：12 ≤x ≤3

2

【考核】函数的对称性、单调性，解含指数形式的不等式

例10 函数4

()12x

f x a a =-

+(a > 0且a ≠ 1)是定义在R 上的奇函数

(1) 求a 的值及()f x 的值域

(2) 当x ∈(0,1]时，()22x

tf x ≥-恒成立，求t 的取值范围

【答案】 (1) a=2，-1≤f(x)≤1；(2) t ≥0

【分析】(1)f(0)=0求a 得到解析式，再求值域；(2)不等式恒成立：大于最大值，小于最小

值

【详解】

(1) f(0)=1－4

2+a =0，a=2；2()121

x f x =-+知：-1≤f(x)≤1

(2) x ∈(0,1]时，21()2221x x x tf x t -=≥-+恒成立；令m=2x ∈(1,2]，1

21

m t m m -≥-+恒成立 ∴ 2

1

t m m ≥-

-在m ∈(1,2]上恒成立，t 大于右边函数的最大值即可，故有t ≥0

【考核】奇函数、求值域、特殊函数x - 1

x 函数图像、不等式恒成立

例11 函数()x

f x a =(a > 0且a ≠ 1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2

，则a 的值为____

【答案】 a=12 或a=3

2

【分析】根据底数a 不同讨论指数函数单调性，不同单调性下最大与最小差为a

2 求a 值

【详解】

1、0 < a <1时，单调减：a - a2 = a

2，a=

1

2

2、a >1时，单调增：a2- a= a

2，a=

3

2

【考核】指数函数底数不同，单调性也不同

总结

1、指数函数y=a x图像及应用

(1)特殊点：(1,a)，(0,1)，(-1,1 a)

(2)一般指数函数：通过平移、对称、翻转等变换得到

(3)方程、不等式恒成立：利用指数函数图像，数形结合

2、y=a x指数函数的性质及应用

(1)指数幂大小比较：化同底或同指的形式，化同底--根据函数单调性判断

大小；化同指--根据图像确定大小

(2)指数不等式：注意底数的取值，结合图像、性质求解

(3)含指数形式的多项式函数或分式函数：利用换元法并注意定义域变化

(4)与指数函数有关复合函数单调性：弄清基本初等函数的形式--“同增异

减”