高中数学等差等比数列的练习题
一.选择题
(1)在等差数列{a n }中_=-n m a a ,(用m,n,d 表示)。
(A )0 (B)nd (C)(n-m)d (D)(m-n)d
(2)在等差数列}{a n 中,若1a =1,d=3,n a =298,则项数n=
(A )101 (B )100 (C)99 (D)98
(3)在等差数列}{a n 中,已知1a =91
,4a =3,则该数列的前五项
(A )1± (B )3 (C)1 (D)3±3±
(4).在-1和8之间插入两个数a,b ,使这四个数成等差数列,则
A. a=2,b=5
B. a=-2,b=5
C. a=2,b=-5
D. a=-2,b=-5
(5)首项为24-的等差数列,从第10项开始为正数,则公差d 的取值范围是
( )
A.d >83
B.d >3
C.83≤d <3
D.83
<d ≤3 (6) 等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450 ,则前9项和S 9=
A.1620
B.810
C.900
D.675
(7)已知等比数列}{n a 中1n n a a +>,且37283,2a a a a +=?=,则
117a a =( ) A. 21 B. 23 C. 32
D. 2 (8)已知等比数列}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =225a ,2a =1,则1a = ( ) A. 2
1 B. 2
2 C. 2 D.2 (9)已知等比数列a a S n a n n n 则项和的前,6
12}{1+?=-的值为( ) A .31 B .21 C .—31 D .—2
1 (10)若a ≠b,数列a,x 1,x
2 ,b 和数列a,y 1 ,y 2 , y 3,b 都是等差数列,则
=--1212y y x x ( )
A .32
B .43
C .1
D .3
4
二、填空题:
1、已知等差数列{}n a 中,79416,1a a a +==,则16a 的值是 .
2.数列2,4,6,…,2n,…的前n 项和为
3、在等差数列{}n a 中,37104118,14.a a a a a +-=-=-记123n n S a a a a =++++L ,则13S =_____
4.已知数列1, a 1, a 2, 4成等差数列,1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列,则=+2
21b a a _______. 5. 等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1,216n n n a a a +++=,则{n a }的前4项和4S = 。
6. 在等比数列{}n a 中,12236,12,n a a a a S +=+=为数列{}n a 的前n 项和,则22010log (2)S += .
三、解答题:
1.(1)在等差数列{}n a 中,71,83
d a =-=,求n a 和n S ;
(2)等差数列{}n a 中,4a =14,前10项和18510=S .求n a ;
2.一个首项为正数的等差数列{a n },如果它的前三项之和与前11项之和相等,那么该数列
的前多少项和最大?
3.已知等比数列,8
3,12}{83=
=a a a n 满足记其前n 项和为.n S (1)求数列}{n a 的通项公式n a ;
(2)若.,93n S n 求=
4. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知231,,S S S 成等差数列.
(1)求{}n a 的公比q ;
(2)若331=-a a ,求n S .
高中数学-等差等比数列经典例题以及详细答案
等差等比数列综合应用 【典型例题】 [例1] 一个等比数列共有三项,如果把第二项加上4所得三个数成等差数列,如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列,求原来的三个数。 解:等差数列为d a a d a +-,, ∴ ?????=++--=+?-2 2 )32)(()4()()(a d a d a a d a d a ∴ ?????=-+-+-=-) 2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a ∴ 2 23232168a d a a =-++- 0432=-+d a 代入(1) 16)24(3 1 82+-?-=-d d 0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d ① 8=d 10=a ② 38=d 9 26=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、9 50 [例2] 等差数列}{n a 中,3931-=a ,76832-=+a a ,}{n b 是等比数列,)1,0(∈q ,21=b ,}{n b 所有项和为20,求: (1)求n n b a , (2)解不等式 2211601 b m a a m m -≤++++Λ 解:(1)∵ 768321-=+d a ∴ 6=d ∴ 3996-=n a n 2011=-q b 10 9 =q ∴ 1 )10 9( 2-?=n n b 不等式10 921601) (21 21??-≤++?+m a a m m m
)1(1816)399123936(2 1 +??-≤-+-? m m m m 0)1(181639692≤+??+-m m m 032122≤+-m m 0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m [例3] }{n a 等差,}{n b 等比,011>=b a ,022>=b a ,21a a ≠,求证:)3(≥
高考数学复习专题 等比数列性质(含等差等比数列综合题)
第50炼 等比数列性质 一、基础知识 1、定义:数列{}n a 从第二项开始,后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠,则称{}n a 为等比数列,这个常数q 称为数列的公比 注:非零常数列既可视为等差数列,也可视为1q =的等比数列,而常数列0,0,0,L 只是等差数列 2、等比数列通项公式:11n n a a q -=?,也可以为:n m n m a a q -=? 3、等比中项:若,,a b c 成等比数列,则b 称为,a c 的等比中项 (1)若b 为,a c 的等比中项,则有 2a b b a c b c =?= (2)若{}n a 为等比数列,则n N * ?∈,1n a +均为2,n n a a +的等比中项 (3)若{}n a 为等比数列,则有m n p q m n p q a a a a +=+?= 4、等比数列前n 项和公式:设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时,则{}n a 为常数列,所以1n S na = 当1q ≠时,则()111n n a q S q -= - 可变形为:()1111111 n n n a q a a S q q q q -= = ----,设11a k q =-,可得:n n S k q k =?- 5、由等比数列生成的新等比数列 (1)在等比数列{}n a 中,等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 (2)已知等比数列{}{},n n a b ,则有 ① 数列{}n ka (k 为常数)为等比数列 ② 数列{}n a λ (λ为常数)为等比数列,特别的,当1λ=-时,即1n a ?? ???? 为等比数列 ③ 数列{}n n a b 为等比数列 ④ 数列{} n a 为等比数列
高中数学 等差数列与等比数列 课件
第1讲等差数列与等比数列 高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点,经常以选择题、填空题的形式出现;2.数列的通项也是高考热点,常在解答题中的第(1)问出现,难度中档以下. 真题感悟 1.(2019·全国Ⅰ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则() A.a n=2n-5 B.a n=3n-10 C.S n=2n2-8n D.S n=1 2n 2-2n
2.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音 的频率为( ) A.32f B.3 22f C.1225f D.1227f 3.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,S 3=34,则S 4= ________. 4.(2019·全国Ⅱ卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =log 2a n ,求数列{b n }的前n 项和. 考 点 整 合 1.等差数列 (1)通项公式:a n =a 1+(n -1)d ; (2)求和公式:S n = n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2 d ; (3)性质: ①若m ,n ,p ,q ∈N *,且m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q ; ②a n =a m +(n -m )d ; ③S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…成等差数列. 2.等比数列 (1)通项公式:a n =a 1q n -1(q ≠0); (2)求和公式:q =1,S n =na 1;q ≠1,S n =a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q ; (3)性质: ①若m ,n ,p ,q ∈N *,且m +n =p +q ,则a m ·a n =a p ·a q ; ②a n =a m ·q n -m ; ③S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…(S m ≠0)成等比数列.
高中数学必修5:等差数列与等比数列知识对比表
高中数学必修5:等差数列与等比数列知识比较一览表等差数列等比数列 定义一般地,如果一个数列{} n a从第2项起,每一项与它 的前一项的差等于同一个常数d,那么这个数列就叫 做等差数列.这个常数d叫公差. 等差数列的单调性: 数列{} n a为等差数列,则 当公差0 d>,则为递增等差数列, 当公差0 d<,则为递减等差数列, 当公差0 d=,则为常数列. 一般地,如果一个数列{} n a从第2项起,每一项 与它的前一项的比等于同一个常数q,那么这个数 列就叫等比数列.这个常数q叫公比. 等比数列的单调性: 数列{} n a为等比数列,则 当1 q>时,1 1 0{} 0{} {n n a a a a > < ,则为递增数列 ,则为递减数列; 当1 q< 0<时,1 1 0{} 0{} {n n a a a a > < ,则为递减数列 ,则为递增数列 当q=1时,该数列为常数列,也为等差数列; 当q<0时,该数列为摆动数列. 判定方法等差数列的判定方法 (1)定义法:若d a a n n = - -1 或 d a a n n = - +1 (常数* ∈N n)?{}n a是等差数列. (2)等差中项:数列{}n a是等差数列 )2 ( 2 1 1- ≥ + = ? + n a a a n n n2 1 2 + + + = ? n n n a a a (3)通项公式:b kn a n + =(b k,是常数) ?数列{}n a是等差数列 (4)前n项和公式:数列{}n a是等差数列 ?2 n S An Bn =+,(其中A、B是常数)。 等比数列的判定方法 (1)用定义:对任意n,都有 1 1 (0) n n n n n a a qa q q a a + + ==≠ 或为常数, ?{} n a为等比数列 (2)等比中项:2 11 n n n a a a +- =( 11 n n a a +- ≠0) ?{} n a为等比数列 (3)通项公式:()0 n n a A B A B =??≠ ?{} n a为等比数列 (4)前n项和公式: () '',,',' n n n n S A A B S A B A A B A B =-?=- 或为常数 ?{} n a为等比数列 证明方法等差数列的证明方法:只能依据定义: 定义法:若d a a n n = - -1 或d a a n n = - +1 (常数* ∈N n)?{}n a是等差数列. 等比数列的证明方法:只能依据定义: 若()()* 1 2, n n a q q n n N a - =≠≥∈ 0且或1 n n a qa + = ?{} n a为等比数列 递推关系① 121 n n a a a a + -=-(* n N ∈) ② 1 n n a a d + -=(* n N ∈) ③ 11 n n n n a a a a +- -=-(* 2, n n N ≥∈) ①12 1 n n a a a a +=( * n N ∈) ②1n n a q a +=(* 0, q n N ≠∈) ③1 1 n n n n a a a a + - =(* 2, n n N ≥∈) 通项公式① 11 (1) n a a n d dn a d =+-=+-=b kn+ 推广:()d m n a a m n - + =(m、* n N ∈) 特别的,当m=1时,便得到等差数列的通项公式. 此公式比等差数列的通项公式更具有一般性. m n a a d m n - - =, 1 1 - - = n a a d n,()d n a a n 1 1 - - = ② n a pn q =+(* ,, p q n N ∈ 为常数) 是关于n的一次函数,且斜率为公差d ③由 n S的定义, n a= ? ? ? ≥ - = - )2 ( )1 ( 1 1 n S S n S n n (* n N ∈) ①() 11 1 n n n n a a a q q A B A B q - ===??≠ 推广:m n m n q a a- ? =(m、* n N ∈) 特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式., 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性. n m n m a q a -=, 1 1 a a q n n= -,n n q a a- ? =1 1 ②n n q p a? =(* ,,0,0, p q q p n N ≠≠∈ 是常数) ③由 n S的定义, () () ? ? ? ? ? ≥ = = - 2 1 1 1 n S S n S a n n n (* n N ∈)
高中数学经典的解题技巧和方法等差数列、等比数列
高中数学经典的解题技巧和方法(等差数列、等比数列) 跟踪训练题 一、选择题(本大题共6个小题,每小题6分,总分36分) 1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=1,a 3=3,则S 4=( ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)6 2.设数列{x n }满足log 2x n+1=1+log 2x n ,且x 1+x 2+x 3+…+x 10=10,则x 11+x 12+x 13+…+x 20的值为( ) (A)10×211 (B)10×210 (C)11×211 (D)11×210 3.已知正数组成的等差数列{a n },前20项和为100,则a 7·a 14的最大值是( ) (A)25 (B)50 (C)100 (D)不存在 4.已知{}n a 为等比数列,S n 是它的前n 项和。若2312a a a ?=, 且4a 与27a 的等差中项为5 4,则5S =( ) A .35 B.33 C.31 D.29 5. 设{}n a 是任意等比数列,它的前n 项和,前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ,则下列等式中恒成立 的是( ) A 、2X Z Y += B 、()() Y Y X Z Z X -=- C 、2Y XZ = D 、()() Y Y X X Z X -=- 6.(2010·潍坊模拟)已知数列{a n }是公差为d 的等差数列,S n 是其前n 项和,且有S 9高考数学-等差数列、等比数列与数列求和(教师版)
例如,S n =1002-992+982-972+…+22-12 =(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. 【高考命题】 一般数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和. (1)1n (n +1)=1n -1 n +1 ; (2) 1(2n -1)(2n +1)=12? ?? ??1 2n -1-12n +1; (3) 1n +n +1 =n +1-n (4) {}n a 为等差数列,公差为d ,则 1 1 n n a a += 【小测】 1.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,8a 2+a 5=0,则S 5 S 2 =________. 解析 设等比数列的首项为a 1,公比为q .因为8a 2+a 5=0,所以8a 1q +a 1q 4=0. ∴q 3+8=0,∴q =-2,∴S 5 S 2= a 11-q 51-q · 1-q a 1 1-q 2 =1-q 51-q 2 =1- -25 1-4 =-11. 3.(2012·无锡市第一学期期末考试)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 3,S 9,S 6成等差数列,且a 2+a 5=2a m ,则m =________. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ,显然q ≠1.由2S 9=S 3+S 6得2· a 11-q 91-q = a 11-q 31-q +a 1 1-q 61-q ,所以2q 9 =q 3+q 6,即1+q 3=2q 6.由于a 2+a 5=2a m ,所以a 1q +a 1q 4=2a 1q m -1,即1+q 3=2q m -2,所以m -2=6,所以m =8. 4.数列{a n }是等差数列,若a 11 a 10 <-1,且它的前n 项和S n 有最大值,那么当S n 取得最小正值时,n =________. 解析 由题意,可知数列{a n }的前n 项和S n 有最大值,所以公差小于零,故a 11<a 10,又因为a 11 a 10 <-1,所以a 10>0, a 11<-a 10,由等差数列的性质有a 11+a 10=a 1+a 20<0,a 10+a 10=a 1+a 19>0,所以S n 取得最小正值时n =19.
高中数学讲义微专题52 证明等差等比数列
微专题52 等差等比数列的证明 在数列的解答题中,有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列,既考察了学生证明数列的能力,同时也为后面的问题做好铺垫。 一、基础知识: 1、如何判断一个数列是等差(或等比)数列 (1)定义法(递推公式):1n n a a d +-=(等差), 1 n n a q a +=(等比) (2)通项公式:n a kn m =+(等差),()0n n a k q q =?≠(等比) (3)前n 项和:2n S An Bn =+(等差),n n S kq k =-(等比) (4)等差(等比)中项:数列从第二项开始,每一项均为前后两项的等差(等比)中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列: (1)通常利用定义法,寻找到公差(公比) (2)也可利用等差等比中项来进行证明,即n N * ?∈,均有: 122n n n a a a ++=+ (等差) 2 12n n n a a a ++=? (等比) 二、典型例题: 例1:已知数列{}n a 的首项1133,,521 n n n a a a n N a *+= =∈+. 求证:数列11n a ?? -? ??? 为等比数列 思路一:构造法,按照所给的形式对已知递推公式进行构造,观察发现所证的数列存在 1n a 这样的倒数,所以考虑递推公式两边同取倒数:113121 213n n n n n n a a a a a a +++= ?=+ 即 112133n n a a +=+,在考虑构造“1-”:112111 111333n n n a a a +??-=+-=- ??? 即数列11n a ??-? ??? 是公比为1 3的等比数列 思路二:代入法:将所证数列视为一个整体,用n b 表示:1 1n n b a = -,则只需证明{}n b 是等比数列即可,那么需要关于n b 的条件(首项,递推公式),所以用n b 将n a 表示出来,并代换
高中数学教案等差数列与等比数列
等差数列与等比数列 一、高考考点 1.等差数列或等比数列定义的应用:主要用于证明或判断有关数列为等差(或等比)数列. 2.等差数列的通项公式,前几项和公式及其应用:求;求;解决关于或的问题. 3.等比数列的通项公式,前n项和及其应用:求;求;解决有关或的问题. 4.等差数列与等比数列的(小)综合问题. 5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用:解决有关问题时,提高洞察能力,简化解题过程. 6.数列与函数、方程、不等式以及解析几何等知识相互结合的综合题目:以高中档试题出现,重点考察运用有关知识解决综合问题的能力。 二、知识要点 (一)、等差数列 1.定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差. 认知:{}为等差数列- =d(n∈N※且d为常数) - =d (n 2, n∈N※且d为常数) 此为判断或证明数列{}为等差数列的主要依据. 2.公式(1)通项公式: = +(n-1)d:引申: = +(n-m)d (注意:n=m+(n-m) ) 认知:{}为等差数列为n的一次函数或为常数 =kn+b (n ) (2)前n项和公式: = 或 =n + 认知:{}为等差数列为n的二次函数且常数项为0或 =n = +bn(n ) 3.重要性质 (1){}为递增数列 d>0; {}为递减数列 d<0; {}为常数列 d=0 (2)设m,n,p,q ,则m+n=p+q + = + ; (3)2m=p+q 2 = +.即等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成等差数列. (4)设 , , 分别表示等差数列{}的前n项和,次n项和,再次n项和,…则, , …依次成等差数列. (二)等比数列 1、定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比. 认知:(1){}为等比数列 =q (n∈N※且q为非零常数) =q(n≥2,n∈N※且q为非零常数) (2){}为等比数列(n≥2,且≠0 ) (n ※,且≠0) 2.公式(1)通项公式: = ;引申: = (注意:n=m+(n-m) ) 认知:{}为等比数列 =c (c,q均是不为0的常数,且n ) (2)前n项和公式 认知:{}为等比数列 =A +B (其中n ,且A+B=0). 3.主要性质: (1)设m,n,p,q ,则有m+n=p+q ; (2)2m=p+q
高中数学(北师大版)必修五教案: 等比数列与等差数列概念及性质对比
等比数列与等差数列概念及性质对比 1.数列的定义 顾名思义,数列就是数的序列,严格地说,按一定次序排列的一列数叫做数列. 数列的基本特征是:构成数列的这些数是有序的. 数列和数集虽然是两个不同的概念,但它们既有区别,又有联系.数列又是一类特殊的函数. 2.等差数列的定义 顾名思义,等差数列就是“差相等”的数列.严格地说,从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列,叫做等差数列. 这个定义的要点有两个:一是“从第2项起”,二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”.这两个要点,刻画了等差数列的本质. 3.等差数列的通项公式 等差数列的通项公式是:a n= a1+(n-1)d .① 这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程,又可将a n看作关于变量n 的函数,这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具. 从发展的角度看,将通项公式①进行推广,可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质,并由此揭示等差数列公差的几何意义,同时也可揭示在等差数列中,当某两项的项数和等于另两项的项数和时,这四项之间的关系.4.等差中项 A称作a与b的等差中项是指三数a,A,b成等差数列.其数学表示是: 2b a A + =,或2 A=a+b. 显然A是a和b的算术平均值. 2 A=a+b(或 2b a A + =)是判断三数a,A, b成等差数列的一个依据,并且,2A=a+b(或 2b a A + =)是a,A,b成等差数列的充要条件.由此得,等差数列中从第2项起,每一项(有穷等差数列末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项. 值得指出的是,虽然用2A=a+b(或 2b a A + =)可同时判定A是a与b的等差