随机变量及其分布习题

密度函数表示为 其密度函数表示为
ϕ ( x) =
1 2π
x2 − e 2
, −∞ < x < +∞ .
分布函数表示为ห้องสมุดไป่ตู้
Φ ( x ) = P{ X ≤ x} =
1 2π
∫
x
−∞
e
t2 − 2
dt ,−∞ < x < +∞
一般的概率统计教科书均附有标准正态分布 表供读者查阅Φ 的值 的值。 表供读者查阅Φ(x)的值。 注：(1) Φ(x)＝1－ Φ(－x)； (2) 若X～N(µ, σ2)，则
X
1
0
pk
p
1− p
2.定义 设将试验独立重复进行n次，每次试验中， 定义 每次试验中， 事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝 努里试验. 努里试验. 若以X表示n 贝努里试验事件A发生的次数， 若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数， 则称X服从参数为n,p的二项分布。 n,p的二项分布 则称X服从参数为n,p的二项分布。 记作X~B X~B（ 记作X~B（n, p) 其分布律为： 其分布律为：
解 F ( x )＝ P { X ≤ x }
0
1
2
0.1 0.6 0.3
0, x < 1 0 . 1, 0 ≤ x < 1 ＝ 0 . 7 ,1 ≤ x < 2 1, x ≥ 2
F(x)
1
0
1
2
x
区间随机抛一质点， 例2 向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐 区间随机抛一质点 表示质点坐 假定质点落在 标.假定质点落在 假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概 区间内任一子区间内的概 率与区间长成正比， 率与区间长成正比，求X的分布函数 的分布函数 解： F(x)=P{X≤x} 当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1 当0≤x≤1时,
一般地， 一般地，对离散型随机变量 X～P{X= xk}＝pk, k＝1, 2, … ～ ＝ ＝ 其分布函数为
F ( x) = P{X ≤ x} =
k:xk ≤ x
∑p
X P
k
设随机变量X具分布律 具分布律如右表 例1 设随机变量 具分布律如右表 试求出X的分布函数 试求出 的分布函数。 的分布函数
密度函数的几何意义为 密度函数的几何意义为 几何意义
P ( a < X ≤ b )＝ ∫ f ( u ) du
a
b
2. 密度函数的性质 (p34) (1) 非负性 f(x)≥0，(-∞<x<∞)； ≥ ， ∞ ∞； (2)归一性 归一性
∫
+∞
−∞
f ( x ) dx＝1 .
性质(1)、(2)是密度函数的充要性质； 是密度函数的充要性质； 性质 、 是密度函数的充要性质
a b
例2.3.2.已知随机变量X的概率密度为 2.3.2.已知随机变量X 已知随机变量
0 ≤ x <1 x f ( x ) = 2 − x 1 ≤ x < 2 0 其他
1)求 的分布函数F(x), 1)求X的分布函数F(x), 2)求P{X∈ 2)求P{X∈(0.5,1.5)}
一般地
X Pk Y=g(X)
x1 p1
x2 ⋅ ⋅ ⋅ xk ⋅ ⋅ ⋅ p2 ⋅ ⋅ ⋅ p k ⋅ ⋅ ⋅
g ( x1 ) g ( x2 ) ⋅ ⋅ ⋅ g ( xk ) ⋅ ⋅ ⋅
a
b
p{a < X ≤ b} = ?
连续型随机变量
1. 定义 对于随机变量 ，若存在非负函数 对于随机变量X， f(x)，(-∞<x<+∞)，使对任意实数 ，都有 ， ∞ ∞ ，使对任意实数x，
F ( x )＝ P ( X ≤ x )＝ ∫
x
−∞
f ( u ) du
则称X为连续型随机变量， 则称 为连续型随机变量， f(x)为X的概率 为连续型随机变量 为 的 密度函数，简称概率密度或密度函数. 密度函数，简称概率密度或密度函数 常记为 X～ f(x) , (-∞<x<+∞) ～ ∞ ∞
F ( x ) = P{ X ≤ x} = Φ (
x − µ
σ
).
三、一维随机变量函数的分布
）、离散型随机变量函数的分布律 （一）、离散型随机变量函数的分布律 一个随机变量， 设X一个随机变量，分布律为 一个随机变量 X～P{X＝ }＝ X～P{X＝xk}＝pk, k＝1, 2, … k＝ 是一元单值实函数， 若y＝g(x)是一元单值实函数，则Y＝g(X)也是一个 是一元单值实函数 ＝ 也是一个 随机变量。求Y的分布律 随机变量。 的分布律. 的分布律
一、随机变量的概念
定义. S={e}是试验的样本空间 是试验的样本空间， 定义. 设S={e}是试验的样本空间，如 果量X是定义在S 果量X是定义在S上的一个单值实值函数 即对于每一个e 有一实数X=X(e) X=X(e)与 即对于每一个e∈S，有一实数X=X(e)与 之对应，则称X 随机变量。 之对应，则称X为随机变量。 随机变量常用 常用X 随机变量常用X、Y、Z 或 ξ、η、ζ等表 示。
F ( x) = P{0 ≤ X ≤ x} = kx
x
0
F(x)
特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1
x<0 0, ∴ F ( x)＝P( X ≤ x)＝ x, 0 ≤ x ≤ 1 1, x >1
用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
二、随机变量的分布函数
定义 设X是随机变量，对任意实数 ，事件 是随机变量，对任意实数x， {X≤x}的概率 的概率P{X≤x}称为随机变量 的分布函数。 称为随机变量X的分布函数。 ≤ 的概率 ≤ 称为随机变量 记为F(x)，即 记为 ， F(x)＝ F(x)＝P {X≤x}. ≤ 易知，对任意实数a, 易知，对任意实数 b (a<b), P {a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝ F(b)－F(a). ≤ ＝ ≤ － ≤ ＝ －
随机变量的特点: 随机变量的特点
1. X的全部可能取值是互斥且完备的 2 . X的部分可能取值描述随机事件
随机变量的分类：
离散型随机变量 离散型随机变量 随机变量 连续型随机变量
离散型随机变量 若随机变量X取值 取值x 定义 若随机变量 取值 1, x2, …, xn, … 且 取这些值的概率依次为p 则称X 取这些值的概率依次为 1, p2, …, pn, …, 则称 为离散型随机变量， 为离散型随机变量，而称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) X的分布律或概率分布 或概率分布。 为X的分布律或概率分布。可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )， ～ ， 或…
X X~ Pk p1 p2 … pk … x1 x2 … xK …
2. 分布律的性质 (1) pk ≥ 0, k＝1, 2, … ; (2)
∑ p ＝1 .
k ≥1 k
·几个常用的离散型分布 几个常用的离散型分布 （一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布 1. (0-1)分布 分布 若以X表示进行一次试验事件 发生的次数 若以 表示进行一次试验事件A发生的次数，则称 表示进行一次试验事件 发生的次数， X服从 －1)分布 两点分布 服从(0－ 分布 两点分布) 分布(两点分布 服从 X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1 ～ ＝ ＝ － － ＝ ， 或
设随机变量X的概率密度为
(3) 若x是f(x)的连续点，则 是 的连续点， 的连续点
dF ( x ) = f (x) dx
f(x)， （4） 对任意实数b，若X～ f(x)， (-∞<x<∞)，则P{X=b}＝0。 <x<∞ 于是
P{a < X < b} P{a ≤ X < b} ＝ ＝P{a ≤ X ≤ b} ∫ f (x)dx ＝
（二）几个常用的连续型分布
f(x)
1. 均匀分布
1 ,a < x < b 2. 若X～f(x)＝ b − a 0，其它
。
0
。
b
a
x
则称X在 内服从均匀分布 则称 在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b) 内服从均匀分布。 对任意实数c, 对任意实数 d (a<c<d<b)，都有 ，
P{X = k} = Cn p (1− p) , (k = 0,1,...,n)
k k
n−k
泊松(Poisson)分布 λ） 分布P(λ （二. ） 泊松 分布
k
λ − λ , k＝0, 1, 2, … X～P{X＝k}＝ ～ ＝ ＝ ＝ e k! (λ> λ>0) λ>
泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 定理表明 很大， 很小时 很小时， 当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 很大 看成是参数λ=np的泊松分布 看成是参数λ 的
3、右连续性：对任意实数 ， 右连续性：对任意实数x， 右连续性
F(x0 + 0) = limF(x) = F(x0 ). +
x→x0
反之，具有上述三个性质的实函数， 反之，具有上述三个性质的实函数，必是 某个随机变量的分布函数。 某个随机变量的分布函数。故该三个性质是 分布函数的充分必要性质。 分布函数的充分必要性质
习题课
第二、 第二、三章 随机变量及其概率分布
内 容