平面向量基本定理(公开课)

顶点D的坐标为（ 2， 2）
平面向量共线的坐标表示

a// b b 0 a b
问题: 如果向量 a ， b 共线（其中 b≠ 0）， 那么 a ， b 满足什么关系？
a b
思考: 设 a =(x1，y1), b =(x2，y2)，若向 量 a ，b 共线（其中 b ≠ 0 ），则这两个向 量的坐标应满足什么关系？
把不共线的向量 基底
a 1 e1 2 e2
一
叫做表示这一平面内所有向量的一组
ee
1
性
2
２.平面向量基本定理的几点说明 ⑴ 若 a 0, 则有且只有 1 2 0,
若
使a 1e1 2 e2
使a 1e1 2 e2
a
与 e1 (e2 ) 共线，则 2 0(1 0),
若两个不共线向量互相垂直时
λ2 a2
a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
λ1a1
F1 G
F2
正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基 底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
b y 5 4 3 2 j1 A2 a A A1
解： 由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,
a=(2,3) 同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
-4 -3 -2 -1O -1 -2 c -3 -4 -5
i1 2 3 4 x d
d=2i-3j=(2,-3)
例1.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
M
பைடு நூலகம்
解：（1）
y P P1
1 OP (OP 1 OP 2) 2 x1 x2 y1 y2 ( , ) 2 2
(2)定理的代数表达形式：若 则

1
a且

e e ,不共线， 1e1 2e 2 ae1 be 2
1 2
2
=b
1e1 2 e2 0
（3）
设
ee,
1 2
是平面内的一组基底，当
恒有1 2 0,
2015年5月9日星期六
思考1 平面内用来表示一个向量的基底有 多少组? （有无数组）
b 2i 3 j ( 2, 3)
b
y 5 4 3 2 1
-2 -1
O
B
AB 2i 3 j (2,3)
a
A
j
-4 -3 c 2i 3 j
( 2, 3)
-1 -2
i1
2
3
4
x
c
d
d 2i 3 j (2, 3)
a的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。
平面向量基本定理
汤阴一中南校：刘千霞
2015年5月9日星期六
一、课前准备： 复习1: 共线向量定理: （思考：为什么限定 a 0 向量a (a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个
实数 , 使b a.
？）
(若a 0,当b 0时，不唯一；当b 0时，不存在） 复习2 : 给定平面内任意两个向量e1 , e2 , 我们能
OB b ,则AOB
叫做向量
特别的： O

B
b

a和 b
A
O A a 注意:两向量必须 的夹角． 是同起点的
a
B A
b
a

0
b B
B b
180
O


O
a
a 与 b 同向
夹角的范围：00 ,1800

a 与 b 反向

90
A

记作 a b a 与 b 垂直，
y yj j O i a
xi
分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、j作为基底. 任作一个向量a,由平面向量基本 x 定理知,有且只有一对实数x、 y, 使得 a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的坐标，记作 a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫 做a在y轴上的坐标
a = ( x, y )
y
i= ( 1, 0 ) j= ( 0, 1 ) 0= ( 0, 0 )
yj j O i
a x
xi
y
a
A (x,y)
如图，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a唯一确定。
y
j O i
设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标； x
结论: 设 a =(x1，y1), b =(x2，y2),（其 中 b 0）,当且仅当
x1y2 -x2y1 = 0
a 向量
与向量 b 共线。
即： a / /b(b 0) x1 y2 x2 y1 0
探究：
1. 消去时能不能两式相除 ?
不能两式相除， 又b 0, y1 , y2有可能为 0， x2 , y2中至少有一个不为 0
∴ x-2 2 = 0
∴ x= 4
1. 已知向量a = (2,1), b = ( x, - 1), m = a + 2b, u = 2a - b, 且m // u , 求x的值.
x= - 2
tan a = 4 3
2. 已知向量a = (3, 4), b = (cos a ,sin a ), 且a // b, 求 tan a的值.
∵ka－b与a+3b平行
这两个向量是反向。
例7.已知A(-1， -1)，Ｂ(1，3)，C(2，5)，试 判断A, B, C三点之间的位置关系.
解法1:
y
●C ●
∵ AB = （1（ -1），3（ -1）） = （2，4） AC = （2（ -1），5（ -1）） = （3，6） 2× 6-3× 4 = 0， 又 ∴ AB∥ AC ∵直线AB、直线AC有公共点A， ∴ A、B、C三点共线。 x
y1 y2 2. 能不能写成 ? x1 x2
不能, x1, x2有可能为 0 .
例6.
解： ∵ a//b ∴ 4y-2× 6 = 0 ∴ y =3
练习：
已知a//b, 且a=(4, 2), b=(6, y), 求y的值;
已知a//b, 且a=(x, 2), b=(2, 1), 求x的值.
解： ∵a//b
例2．已知a=（2，1），b=（-3，4）， 求a+b，a-b，3a+4b的坐标．
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
例3． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求 顶点D的坐标．
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。 C
C
'
120
A
0
60

B
本节小结
平面向量的正交分解 及坐标表示
新课引入
F1 G F2
G = F G与 F F ? 1+F2 1, 2有什么关系 G=F1+F2叫做重力G的分解
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的 任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2
学生活动：
OC OM ON 1OA 2 OB
即
a 1 e1 2 e2
M
e1
A
e1
a
C
e2
向 量 的 分 解
O
N
e2
B
2015年5月9日星期六
知识点一
平面向量基本定理
1. 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面的任意向量 a,
有且只有 一对实数 1 , 2 ,使 存 唯 在 性
B
M
B
M
a
e1
a
A
x
O
O
e2
y
A
思考2、若基底选取不同, 则表示同一向量
2015年5月9日星期六
的实数1, 2是否相同? 可以相同,也可以不同
B M B M
a
e1
x
A
a
O e2
m O
y n
A
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
a 3m 2n
知识小结：
(1).基底的选择是不唯一的； (2).同一向量在选定基底后， 1, 2 是唯一存在的 可能相同也可能不同
同理可得 a - b ( x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差的坐标分别等于 这两向量相应坐标的和与差
2 、 已知a = ( x, y)和实数 λ, 求λa的坐标
a (x , y )
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的 向量的相应坐标．
2．已知 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ) ．求 AB
解： AB = OB - OA