《应用离散数学》方景龙版群的性质循环群

习题4.3

1. 设>*<，

G 是群，若G x ∈?有e x =2，证明>*<，G 为交换群。 解 略

2. 设>*<，

G 是群，证明G 是交换群的充分必要条件是G b a ∈?，有222)(b a b a *=*。

解 必要性：如果G 是交换群， G b a ∈?，有222)(b a b a *=*是显然的。

充分性：根据222)(b a b a *=*得b b a a b a b a ***=***，再由消去律得b a a b *=*，即交换律成立，所以G 是交换群。

3. 设>*<，G 是群，并且对任意的G b a ∈，都有3

33)(b a b a *=*，555)(b a b a *=*，证明G 是交换群。

解 略

4. 设>*<，

G 是有限半群，且满足消去律，证明G 是群。 解 对于G a ∈?，考虑集合

},,,,,{32 m a a a a a G =

由封闭性可知G G a ?。又由于G 是有限集，所以a G 也是有限集。故

必有0,>k n ，使得

k n n a a += 所以G b ∈?有

b a b a k n n *=*+ 由消去律可得

b a b k *= 这表明k a 是左单位元，同理可证它是右单位元，所以k

a 是单位元。又因为 e a a a a a k k k ==*=*--11

所以，a 有逆元1-k a 。因此，>*<，

G 是群。

5. 设>*<，

G 是群，G c b a ∈，，，证明 ||||||b a c a c b c b a **=**=**

解 略

6. 设>*<，G 是群，G b a ∈，且a b b a *=*。如果m b n a ==||||，

且n 与m 互质，证明m n b a ?=*||。

解 略

7. 证明循环群一定是交换群，举例说明交换群不一定是循环群。

解 略

8. 证明由1的n 次复根的全体所组成的集合在复数乘法下构成一个n 阶循环群。

解 由代数的知识可知，1的n 次复根的全体所组成的集合为

}1,,2,1,0|{2-==n k e

G i n k π }1,,2,1,0{,,,22-∈∈?n q p G e e i n q i n p ππ，有i n q p i n q i n p e e e

πππ)(222+=?。若n q p <+，

则G e i n q p ∈+π)(2；若n q p >=+，则存在}1,,2,1,0{-∈n k ，使得k n q p +=+，而

G e

e e i n k i n k n i n q p ∈==++πππ2)(2)(2。因此G 关于数的乘法是封闭的。故>?<,G 是代数系统。

数的乘法运算满足结合律。故>?<,G 是半群。 因为G e

i n k ∈?π2，有i n k i n k i n k i n k e e e e ππππ2)0(22211==?=?+，所以i n e π??=021是G 的么元。故>?<,G 是有幺半群。 G e

i n k ∈?π2，存在G e i n k n ∈-π)(2，使得 122)(2)(22==?=?--i i n k i n k n i n k n i n k e e

e e e

πππππ，所以i n k e π2的逆元存在。故>?<,G 是群。 因为k i n i n k e e

][22ππ=，故i n e π2是群G 的一个生成元，因此G 是循环群。

9. 阶数为5、6、14、15的循环群的生成元分别有多少个？

解 设a 是阶数为5的循环群的生成元，因在比5小的正整数中有且仅有2，3，4与5

互质，所以432,,a a a 也是生成元，因此生成元个数为4。

设a 是阶数为6的循环群的生成元，因在比6小的正整数中有且仅有5与6互质，所以5a 也是生成元，因此生成元个数为2。

设a 是阶数为14的循环群的生成元，因在比14小的正整数中有且仅有3，5，9，11，

13与14互质，所以1311953,,a a a a a 也是生成元，因此生成元个数为6。

设a 是阶数为15的循环群的生成元，因在比15小的正整数中有且仅有2，4，8，11，13，14与15互质，所以

141311842,,a a a a a a 也是生成元，因此生成元个数为7。 10. 设}11751{，，，=G ，对于G 上的二元运算“模12乘法12?”：

)12)(mod (12j i j i ?=?

（1）证明>?<12，G 构成群。 （2）求G 中每个元素的次数。

（3）>?<12，

G 是循环群吗？