多元函数可微性的判定12
浅谈多元函数的持续及可微
浅析多元函数的持续及可微
摘要：在学习多元函数以前，咱们关于一元函数的熟悉都是超级熟悉的，对一元函数持续、可微之间的关系也都超级清楚.而多元函数是一元函数的推行，它具有比一元函数更复杂的性质.就一样的二元函数来讲，学习数学分析以后，咱们明白当二元函数的两个偏导数都持续时，函数可微.第一证明了当二元函数的一个偏导数存在，另一个偏导数持续时，函数可微.然后考虑了一样的多元函数的情形，取得了当多元函数的某个偏导数持续，而其余偏导数存在时，函数可微.由此可见可微性与偏导存在性间的关系是复杂的.本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的进行分析讨论，要紧研究二元函数的持续性，偏导存在性，可微性等概念和它们之间因果关系.在了解本文以后，读者会对多元函数有更深刻的熟悉！
关键词：可微; 偏导数; 持续。
多元函数在某点可微的充要条件
多元函数在某点可微的充要条件多元函数在某点可微可是个挺有趣的事儿呢！咱们就像唠嗑一样来聊聊它的充要条件哈。
咱先从一个角度看，要是一个多元函数在某点可微呢，那它在这个点肯定是连续的呀。
你想啊，就好比一个小珠子在一个光滑的曲面上滚动，如果这个曲面在某点突然断开或者有个大坑（不连续了），那小珠子就没法很顺畅地在这个点按照原来的那种很和谐的方式运动啦，所以连续是个很重要的基础呢。
还有哦，多元函数在某点的偏导数得存在。
这偏导数就像是从不同方向去看这个函数的变化情况。
比如说你站在一个大广场的中间，你要看看你往左走和往右走这个广场地面的高度变化，这就有点像多元函数里不同方向的偏导数啦。
如果在这个点，这些不同方向的变化情况都没法确定（偏导数不存在），那这个函数在这个点可微就没门儿啦。
而且呀，这些偏导数还不能是那种调皮捣蛋的，得满足一定的关系才行呢。
具体来说就是函数在这个点的全增量和由偏导数表示的线性主部之间得有某种近似关系。
就好比你想知道从你家到学校的总路程变化（全增量），这个总路程变化得和你先往东走一段（一个偏导数相关的部分）再往北走一段（另一个偏导数相关的部分）这些路程变化有个合理的近似关系，如果这个关系乱套了，那可微就不成立啦。
再换个角度说，我们可以想象多元函数是一幅很复杂的画，可微就意味着这幅画在这个点的局部是可以用一种很简单的线性方式去近似描绘的。
如果不满足上面说的那些条件，就像这幅画在这个点突然变得奇形怪状，没法用简单的线条（线性关系）去勾勒出个大概了。
咱们再把这个事儿说得更直白一点。
假设你在做一个很复杂的蛋糕（多元函数），这个蛋糕在某一个小块的地方（某点）如果要可微，那就得这个小块的地方是比较规则的（连续），你从不同方向切这个小块蛋糕（偏导数）能切得动而且切的方式得符合一定的道理，如果这些都不满足，那这个小块蛋糕就不是那种可以用简单方式描述（可微）的啦。
还有哦，在多元函数的世界里，各个变量之间的关系就像一群小伙伴在玩游戏。
一元函数与多元函数连续可微的区别和关系
多元函数连续，可导，可微之间的关系1、一元函数涉及的是两维曲线，多元函数涉及到的是至少是三维的曲面。
一元函数的可导可微只要从左右两侧考虑；多元函数的可导可微，必须从各个角度，各个方向，各个侧面，进行前后、左右、上下、侧斜等等方向的左右两侧考虑。
2、一元函数，只要曲线光滑--没有尖点、没有断点，切线垂直于x轴就行，也就是不能斜率为无穷大；多元函数的要求就是一方面曲面光滑--没有裂缝、没有皱褶。
同样没有垂直于各个坐标的垂直切线。
3、一元函数的求导，就是简单的沿着x轴考虑曲线变化率，考虑曲线的连续性、可导性、凹凸性等等；多元函数要考虑在某一个方向的特殊导数--方向导数。
方向导数取得最大值的方向，就是梯度的方向，而它的反方向一定存在一个力，整体存在一个力场。
例如温度增加得最快的方向，其反方向就是热流的方向；如电势增加得最快的方向，反方向就是电场力的方向。
这样的例子举不胜举。
4、一元函数的可导可微没有什么惊人区别，工程上的误差计算：Δy = (dy/dx)Δx, dy/dx 利用的是可导，Δx, Δy 运用的就是可微。
无论是牛顿的近似计算，还是用麦克劳琳级数计算，还是用泰勒技术计算，也都是运用的可导性与可微性。
在多元函数中，就不一样了，u = f(x,y,z), 随便写出du/dx, du/dy,dy/dz 都是错误的。
我们可以有三种写法：du = (∂u/∂x)dx + (∂u/∂y)dy + (∂u/∂z)dzdu/dt = (∂u/∂x)dx/dt + (∂u/∂y)dy/dt + (∂u/∂z)dz/dtgrad u = (∂u/∂x)i + (∂u/∂y)j + (∂u/∂z)k (i，j, k 是单位矢量)5、一元函数可微就是可导，可导就可微；多元函数可导就含糊了，沿100万个方向可偏导，只要一个方向不可偏导，就不可微，只要可微，就表示沿各个方向可偏导；多元函数，在任何方向的导数都是偏导。
没有全导的概念，只有偏导、偏微、全微的概念。
《数学分析》第十七章 多元函数微分学
第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 )一． 可微性与全微分：1． 可微性：由一元函数引入.))()((22y x ∆+∆ο亦可写为y x ∆+∆βα,→∆∆) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (.2． 全微分:例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. [1]P 105 E1二. 偏导数:1. 偏导数的定义、记法:2. 偏导数的几何意义: [1]P 109 图案17—1.3. 求偏导数:例2 , 3 , 4 . [1]P 142—143 E2 , 3 , 4 .例5 设 . 0, 0, 0 ,),(22222223⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=y x y x y x y x y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f .证ρθθρρρθρθρ)sin cos (lim ),(lim2320sin ,cos )0,0(),(+===========→==→y x y x y x f=)0,0(0)sin cos (lim 230f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 .) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim300==-→→x x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f ||lim )0,0(),0(lim 200y y y yf y f y y →→=-= 不存在 .Ex [1]P 116—117 1⑴—⑼，2 — 4 .三. 可微条件:1. 必要条件:Th 1 设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点.),(y x f 在点) , (00y x 可微⇒) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在, 且==),(00),(00y x df dfy x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆. (证)由于dy y dx x =∆=∆ , ,微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分.例6 考查函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f 在原点的可微性. [1]P 110 E5 .2. 充分条件:Th 2 若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在, 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微. (证) [1]P 111 Th 3 若),(y x f y 在点) , (00y x 处连续, ),(y x f x 点) , (00y x 存在,则函数f 在点) , (00y x 可微.证 f y y x x f -∆+∆+) , (00) , (00y x[][]) , () , () , () , (00000000y x f y x x f y x x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+= 0 1,0 ),() , (0000→<<∆+∆+∆∆+∆+=αθαθx x y x f y y y x x f x y []x x y x f y y x f x y ∆+∆+∆+=αβ),(),(0000 0→β y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=βα) , () , (0000.即f 在点) , (00y x 可微 .要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .例7 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=.0 , 0, 0 ,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f验证函数),(y x f 在点) 0 , 0 (可微, 但x f 和y f 在点) 0 , 0 (处不连续 . 证).0 , 0(),( , 01sin),(2222→→++=y x yx y x y x f ρ因此)(),(ρο=y x f ,即 )(00)0,0(),(ρο+∆+∆=-y x f y x f ,f 在点)0 , 0(可微,0)0,0( , 0)0,0(==y x f f . 但≠),(y x ) 0 , 0 (时, 有2222221cos1sin2),(yx y x x yx x y x f x ++-+=,沿方向,kx y = 2221||limlimkx xy x x x x +=+→→不存在, ⇒沿方向,kx y = 极限22221cos limyx y x x x ++→不存在; 又→),(y x ) 0 , 0 (时, 01sin222→+yx x ,因此,),(lim)0,0(),(y x f x y x →不存在, x f 在点) 0 , 0 (处不连续.由f 关于x 和y 对称,y f 也在点) 0 , 0 (处不连续 .四. 中值定理:Th 4 设函数f 在点) , (00y x 的某邻域内存在偏导数. 若),(y x 属于该邻域, 则存在)(010x x x -+=θξ和)(020y y y -+=θη, 10 , 1021<<<<θθ, 使得))( , ())( , (),(),(00000y y x f x x y f y x f y x f y x -+-=-ηξ. ( 证 ) 例8 设在区域D 内0==y x f f . 证明在D 内c x f ≡)(.五. 连续、偏导数存在及可微之间的关系：六.可微性的几何意义与应用：1． 可微性的几何意义： 切平面的定义. [1]P 115.Th 5 曲面),(y x f z =在点)) , ( , , (0000y x f y x P 存在不平行于Z 轴的切平面的充要条件是函数),(y x f 在点),(000y x P 可微 . (证略) 2. 切平面的求法: 设函数),(y x f 在点),(000y x P 可微，则曲面),(y x f z =在点)) , ( , , (0000y x f y x P 处的切平面方程为 (其中),(000y x f z =)))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-， 法线方向数为()1 , ),( , ),( 0000-±y x f y x f y x ， 法线方程为1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x . 例9试求抛物面 22by ax z +=在点),,(000z y x M 处的切平面方程和法线方程 .[1] P 115 E63.作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理.例10 求96.308.1的近似值. [1] P 115 E7例11 应用公式C ab S sin 21=计算某三角形面积.现测得50.12=a , 30 , 30.8==C b . 若测量b a , 的误差为C , 01.0±的误差为1.0± . 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. [1] P 116 E8 Ex [1]P 116—117 5—14 ；§ 2复合函数微分法 （ 5 时 ）简介二元复合函数 : ),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===. 以下列三种情况介绍复合线路图: 参阅[4] P 327—328 . ),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===;, ),,(z y x f u =),( , ),( t s y t s x ψφ==, ),(t s z η=;, ),,(z y x f u = ),,( , ),,( z t s y z t s x ψφ==.一. 链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数),( , ),( t s y t s x ψφ==在点∈),(t s D 可微, 函数),(y x f z =在点=),(y x ()),( , ),(t s t s ψφ可微 , 则复合函数f z =()),( , ),(t s t s ψφ在点),(t s 可微, 且),(),(),(),(),(t s y x t s y x t s s y y z s x x z s z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂,),(),(),(),(),(t s y x t s y x t s ty yz tx xz tz ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. ( 证 ) [1] P 155称这一公式为链导公式. 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”（或“并联加，串联乘”）来概括.对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数. 但对外函数的可微性假设不能减弱. 如[1] P 156的例.对外m 元),,,(21m u u u f , 内n 元),,,(21n i k x x x u φ= ) , , 2 , 1(m k =, 有∑=∂∂∂∂=∂∂mk ikk i x u u f x f 1 ， n i , , 2 , 1 =. 外n 元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数. 例1 y x v e u v u z y x +==+=+22 , , )ln(2. 求x z ∂∂和y z∂∂. [1] P 157 E1 例2 22uv v u z -=, y x v y x u sin , cos ==. 求x z ∂∂和yz ∂∂. 例3 ())3(222y x yx z ++=, 求x z ∂∂和yz ∂∂. 例4 设函数),,(w v u f 可微 . ),,(),,(xyz xy x f z y x F =. 求x F 、y F 和z F . 例5 用链导公式计算下列一元函数的导数 :ⅰ> xx y = ; ⅱ> xx xx y cos sin ln )1(2++= . [1] P 158 E4例6 设函数),(y x u u =可微. 在极坐标变换θθsin , cos r y r x ==下 , 证明222221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y u x u u r r u θ. [1] P 157 E2 例7 设函数)(u f 可微 , )(22y x yf z -=. 求证xz yzxy x z y=∂∂+∂∂2. 二. 复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 .例8 )sin(y x e z xy+=. 利用全微分形式不变性求dz , 并由此导出x z ∂∂和yz∂∂. [1] P 160 E5Ex [1]P 160—161 1—5.三. 高阶偏导数:1. 高阶偏导数的定义、记法： 例9 ,2yx ez += 求二阶偏导数和23xy z∂∂∂. [1]P 167 E1 例10 xyarctgz =. 求二阶偏导数. [1]P 167 E2 2. 关于混合偏导数: [1]P 167—170.3. 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式 , [1]P 171例11 ) , (y xx f z =. 求22xz ∂∂和y x z ∂∂∂2. [1]P 171 E34. 验证或化简偏微分方程:例12 22ln y x z +=. 证明22x z ∂∂ + 22y z∂∂0=. ( Laplace 方程 )例13 将方程0=∂∂-∂∂xu y y u x变为极坐标形式. 解 xyarctgy x r r y r x =+=⇒==θθθ , .sin , cos 22.r xy x x xr =+=∂∂22, r y y r =∂∂ , 2ry x -=∂∂θ ,2r x y =∂∂θ. θθθ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ur y r u r x x u x r r u x u 2, θθθ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u r x r u r y y u y r r u y u 2; 因此, θθθθ∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂uu ry x u r y r u r xy u r x r u r xy x u y y u x 2222222 . 方程化简为0=∂∂θu. 例14 试确定a 和b , 利用线性变换 by x t ay x s +=+= , 将方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yu y x u x u 化为02=∂∂∂ts u. 解tus u x t t u x s s u x u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ , t u b s u a y t t u y s s u y u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 22x u ∂∂=x∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂x s ∂∂+t s u ∂∂∂2x t ∂∂+s t u ∂∂∂2x s ∂∂+22t u ∂∂xt∂∂= =22s u∂∂+2t s u ∂∂∂2+22t u ∂∂.y x u ∂∂∂2=y∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂y s ∂∂+t s u ∂∂∂2y t ∂∂+s t u ∂∂∂2y s ∂∂+22t u ∂∂yt∂∂= =22s ua ∂∂+)(b a +t s u ∂∂∂2+b 22tu ∂∂.22y u ∂∂=y ∂∂==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ t u b s u a 222s u a ∂∂+ab 2t s u ∂∂∂2+2b 22t u ∂∂. 因此 , =∂∂+∂∂∂+∂∂2222234yuy x u x u)341(2a a ++=22s u ∂∂ + ()6442ab b a +++t s u ∂∂∂2 + )341(2b b ++22t u ∂∂. 令 03412=++a a , 1 , 31 , 03412-=-=⇒=++b a b b 或31 , 1-=-=b a 或 ……, 此时方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yuy x u x u 化简为02=∂∂∂t s u .Ex [1]P 183 1，2 .§3 方向导数和梯度 （ 3 时 ）一． 方向导数：1． 方向导数的定义：定义 设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域)(0P ⊂3R 内有定义.l 为从点0P 出发的射线.),,(z y x P 为l 上且含于)(0P 内的任一点,以ρ表示P 与0P 两点间的距离.若极限 ρρρρfP f P f l ∆=-++→→000lim )()(lim存在,则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数,记为P lf ∂∂或)(0P f l 、),,(000z y x f l .对二元函数),(y x f z =在点),(000y x P , 可仿此定义方向导数. 易见,x f ∂∂、y f ∂∂ 和 zf ∂∂是三元函数f 在点0P 分别沿X 轴正向、Y 轴正向和Z 轴正向的方向导数 .例1 ),,(z y x f =32z y x ++. 求f 在点0P ) 1 , 1 , 1 (处沿l 方向的方向导数,其中ⅰ> l 为方向) 1 , 2 , 2 (-; ⅱ> l 为从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向.解 ⅰ> l 为方向的射线为令===-=--=-112121z y x )0 ( >t . 即)0 ( , 1 , 12 , 12≥+=+-=+=t t z t y t x .3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f ,37) 1 () 12 () 12 ( ) 1 , 12 , 12 ()(2332+++=+++-++=++-+=t t t t t t t t t f P ft t t t z y x 3)2()2()1()1()1(222222=+-+=-+-+-=ρ.因此 ,.3137lim )()(lim 23000=++=-=∂∂++→→t t t t P f P f lft P ρρ ⅱ> 从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向l 的方向数为), 0 , 3 , 1 (-l 方向的 射线为 ) 0 ( , 1 , 13 , 1≥=+-=+=t z t y t x .359) 1 , 13 , 1()(2+-=+-+=t t t t f P f , 3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f ;t t t z y x 10)3()1()1()1(22222=-+=-+-+-=ρ.因此 ,.1051059lim )()(lim 2000-=-=-=∂∂++→→tt t P f P f lft P ρρ2. 方向导数的计算:Th 若函数f 在点),,(0000z y x P 可微, 则f 在点0P 处沿任一方向l 的方向导数都存在, 且 =)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos ,其中αcos 、βcos 和γcos 为l 的方向余弦. ( 证 ) [1]P 163对二元函数),(y x f , =)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos , 其中α和β是l 的方向角.注：由=)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos=()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z )(⋅αcos , βcos , γcos ),可见, )(0P f l 为向量()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z )在方向l 上的投影.例2 ( 上述例1 )解 ⅰ> l 的方向余弦为αcos =321)2(22222=+-+, βcos =32-, γcos =31.)(0P f x =1 , )(0P f y =221==y y , )(0P f z =3312==z z .因此 ,l f ∂∂=)(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos =31313) 32(232=⋅+-⋅+. ⅱ> l 的方向余弦为αcos =101)11()12()12(12222=-+--+--, βcos =103-, γcos =0 .因此 ,l f∂∂=10510321011-=⋅-⋅.可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 .例3 [1]P 164 E2 .二. 梯度 ( 陡度 ):1. 梯度的定义: =gradf ()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z ) .||gradf =()()()202020)()()(P f P f P f z y x ++.易见, 对可微函数f , 方向导数是梯度在该方向上的投影.2. 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为=)(0P f l =⋅l gradf ||)(0P gradf θcos .其中θ是l 与)(0P gradf 夹角. 可见0=θ时)(0P f l 取最大值 , 在l 的反方向取最小值 . 3. 梯度的运算:ⅰ> grad =+)(c u grad u .ⅱ> grad (αu +βv ) = αgrad u +βgrad v .ⅲ> grad (u v ) = u grad v +v grad u .ⅳ> grad 2uvgradu ugradv u v -=. ⅴ> grad f (u ) = gradu u f )('.证ⅳ> 2u v u uv u v x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛ , 2u v u uv u v y y y-=⎪⎭⎫ ⎝⎛. grad =--=) , (12v u uv v u uv uu v y y x x []=-=) , ( ) , (12v u v u v u uv uy x y x []=-=) , () , (12y x y x u u v v v u u 2u vgradu ugradv -.Ex [1]P 165 1，2 ，3 ，6 .§4 Taylor 公式和极值问题 （ 4 时 ）一． 中值定理： 凸区域 . Th 1 设二元函数f 在凸区域D 2R ⊂上连续, 在D 的所有内点处可微. 则对D 内任意两点int ) , ( , ),(∈++k b h a Q b a P D , 存在) 10 ( <<θθ, 使k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f x ) , () , (),() , (θθθθ+++++=-++. 证 令 , ) , ()(tk b th a f t ++=Φ.在闭凸区域上的情况: [1]P 173—174.推论 若函数f 在区域D 上存在偏导数 , 且x f ≡y f ≡0, 则f 是D 上的常值函数.二. Taylor 公式:Th 2 (Taylor 公式) 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P 内有直到1+n 阶连续偏导数, 则对)(0P 内任一点) , (00k y h x ++,存在相应的) 1 , 0(∈θ, 使∑=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=++ni n i k y h x f y k x h n y x f y k x h i k y h x f 00010000). , ()!1(1),(!1 ) , (θθ 证 [1]P 175 例1 求函数y x y x f =),(在点) 4 , 1 (的Taylor 公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算.) 08.1 (96.3 [1]P 175—176 E4 .三. 极值问题:1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.例2 [1]P 176 E5Ex [1]P 183 5，6，7⑴⑷.2． 极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 3 设0P 为函数)(P f 的极值点. 则当)(0P f x 和存在时,有)(0P f x =)(0P f y 0=. (证)函数的驻点、不可导点 ， 函数的可疑点 .3. 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实 )二次型 222),(cy bxy ax y x g ++=. 其矩阵为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a . ⅰ> ),(y x g 是正定的,⇔ 顺序主子式全0 >,),(y x g 是半正定的,⇔ 顺序主子式全 0 ≥;ⅱ> ),(y x g 是负定的,⇔ 0||) 1(1>-k ij k a , 其中k ij a 1||为k 阶顺序主子式. ),(y x g 是半负定的, ⇔ 0||) 1(1≥-k ij k a .ⅲ> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a < 0时, ),(y x g 是不定的. 充分条件的讨论: 设函数),(y x f 在点),(000y x P 某邻域有二阶连续偏导数.由Taylor公式, 有)()(!21)(),() , (20200000ρ +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=-++P f y k x h P f y k x h y x f k y h x f =)(0P f x h +)(0P f y k + [])()()(2)(!21220020ρ +++k P f hk P f h P f yy xy xx . 令 )(0P f A xx = , )(0P f B xy =, )(0P f C yy =, 则当0P 为驻点时, 有[])(221),() , (2220000ρ +++=-++Ck Bhk Ah y x f k y h x f . 其中22k h +=ρ. 可见式),() , (0000y x f k y h x f -++的符号由二次型222Ck Bhk Ah ++完全决定.称该二次型的矩阵为函数),(y x f 的Hesse 矩阵. 于是由上述代数准备, 有ⅰ> 0 , 02>->B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极小值点 ;ⅱ> 0 , 02>-<B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极大值点 ;ⅲ> 0 2<-B AC 时, 0P 不是极值点;ⅳ> 0 2=-B AC 时, 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 综上, 有以下定理.Th 4 设函数)(P f 在点0P 的某邻域内有连续的二阶偏导数, 0P 是驻点. 则ⅰ> ()0)( , 0)(020>->P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极小值点; ⅱ> ()0)( , 0)(020>-<P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极大值点;ⅲ> ()0)( 02<-P f f f xy yy xx 时 , 0P 不是极值点;ⅳ> ()0)( 02=-P f f f xy yy xx 时 , 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .例3—7 [1]P 179—182 E6—10 .四． 函数的最值：例8 求函数),(y x f y x y xy x 4102422+--+=在域D = } 4 , 0 , 0 |),( {≤+≥≥y x y x y x 上的最值 .解 令 ⎩⎨⎧=+-==-+=.04 44),(,01042),(y x y x f y x y x f yx 解得驻点为) 2 , 1 (. 1) 2 , 1 (-=f . 在边界) 40 ( 0≤≤=y x 上 , y y y f 42),0(2+-=, 驻点为1=y , 2)1,0(=f ; 在边界) 40 ( 0≤≤=x y 上 , x x x f 10)0,(2-=, 没有驻点;在边界) 40 ( 4≤≤-=x x y 上 , 16185)4 , (2-+-=-x x x x f ,驻点为8.1=x , 2.0)8.14 , 8.1(=-f .又24)0,4( , 16)4,0( , 0)0,0(-=-==f f f .于是 , )}0,4( , )4,0( , )0,0( , )2.2 , 8.1( , )1,0( , )2,1(max{),(max f f f f f f y x f D = 2.0} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 max{=---=.),(min y x f D24} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 min{-=---=.Ex [1]P 184 8⑴⑵，9⑴⑵，10，11 .。
多元函数的可微性
ｌ
—
由 于 一 口时 ， （ 一 ｜ 口 ， ｈ ） Ｉ ） 故 一 口时 ， （ 一 Ｏ 因 此 ， （ ） 证 得 （ ） ｌ （ ， ） ． ７ 由 ２可 １．
例 设 厂： 一 且 曼
幽 “
一
， ≠ｏ ’
Ｘ一 ０。
Ｉ
ｏ
．
其 中 ａ＞ ｌ ｌ ２ … ， ， 厂（ 在 ０处 是 可 微 的 ． ｉ ， 一 ， ， １则 ＂ ｌ ）
叶 耀 军 ， 任 华 国
（ ．河 南 农 业 大 学 基 础 科 学 学 院 ， 州 ４ ０ ０ ； ２ １ 郑 ５ ０ ２ ．河 南 城 建 高 等 专 科 学 校 ， 顶 山 ４ ７ ０ ） 平 ６ ０ １
［ 摘 要 ］ 给 出 了 多 元 函 数 可 微 性 的 等 价 条 件 ； 用 这 个 条 件 可 以 简 便 有 效 地 判 别 多 元 函数 的 可 微 性 利 ［ 键 词 ］ 多 元 函 数 ； 微 性 ； 续 性 关 可 连 ［ 图 分 类 号 ］ ０１ ２ １ 中 ． ７ ［ 献 标 识 码 ］Ｃ 文 ［ 章 编 号 ］ １ ０— １ ０ ２ ０ ） ４０ ０ —２ 文 ０ ７４ ２ （０ ２ ０— １ ４０
第 ４期
叶耀 军 等 ： 多元 函 数 的 可 微 性
１５ ０
， ） — ７ 一 （
ｌ ０．
广一 ＇
，
一 口．
对 于 任意 的 ∈Ｄ， 有
＿ ） 厂（ 一ｆ（ ） ｂ・（ 口一 一口 ＋ ， ）・（ 口 ） （ 一 ）
一
６・（ － ａ ＋ ｘ ） ｂ・（ 一口 ＋ ）ｌ 一口ｌ ） （ ｌ １ ．
和
ｌ ｌｘ 一０ ｉ （） ｍｒ
多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在的关系
多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限
存在的关系
多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在的关系
在高等数学中，我们熟悉的多元函数可微性是指函数在某一点处沿着任意方向的增量与对应的线性主部之比存在极限，而偏导数是指函数在某一点关于某一变量的导数，即在其他变量不变的情况下，该变量的导数存在极限。
那么多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在之间存在着怎样的关系呢？
首先，多元函数在某一点处可微，则必然在该点处连续，并且在该点处偏导数存在，反之亦然。
这可以从定义出发进行证明。
其次，多元函数在某一点处连续，则必然在该点处偏导数都存在，但不一定可微。
这是因为连续性只能保证存在单向导数，而可微性需要同时满足双向导数都存在且相等。
第三，偏导数在某一点处存在，但不一定连续。
例如函数
$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy^2}{x^2+y^4},&(x,y)\neq(0,0) \\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$在$(0,0)$处$x$和$y$的偏导数都存在，但不连续。
综上所述，多元函数可微与偏导数都存在、连续、极限存在之间存在着一定的关系，但彼此之间并不完全等价。
在实际问题中，我们
需要根据具体情况选择适合的理论工具来研究多元函数的性质，以解决相应的问题。
§1 可微性
第十六章多元函数微分学【教学目的】1.理解并掌握多元函数全微分、偏导数的概念和基本求法；掌握多元函数的偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间关系；2.掌握多元函数可微性的讨论方法；掌握多元复合函数的求导法；掌握多元函数极值和最值的求法。
【教学重点】全微分和偏导数的概念、偏导数的计算方法以及应用。
【教学难点】复合函数偏导数的计算及多元函数的泰勒公式。
【教学时数】12-18学时本章和下一章，我们将对照一元函数的可微性，平行建立多元函数的可微性，并介绍多元函数偏导数的求法。
不失一般性，我们还是以二元函数为例§1可微性一、可微性与全微分一元函数可微的定义和二元函数可微的定义对照表一元函数()f x 在点0x 可微的定义二元函数()(,)f P f x y =在点000(,)P x y 可微的定义基本条件()f x 定义在0()U x 内基本条件()(,)f P f x y =定义在0()U P 内()f x 在点0x 可微⇔存在常数A ，使得，0()()f x A x o x ∆=⋅∆+∆（0x ∆→），其中线性部分A x ⋅∆称为()f x 在点0x 的微分，记为00()()df x A x A dx f x dx '=⋅∆=⋅=。
()(,)f P f x y =在点0P 可微⇔存在常数A 和B ，使得，0()()f P A x B y o ρ∆=⋅∆+⋅∆+（0ρ→），其中22()()x y ρ=∆+∆，线性部分A x B y ⋅∆+⋅∆称为()f P 在点0P 的全微分，记为0()df P A x B y A dx B dy =⋅∆+⋅∆=⋅+⋅。
注：10由可微的定义知，若()(,)f P f x y =在点0P 可微，则（1）()(,)f P f x y =在点0P 连续（可微与连续的关系）；（2）当x ∆和y ∆都很小时，00()()f P df P A x B y ∆≈=⋅∆+⋅∆，即0()(,)()f P f x y f P A x B y =≈+⋅∆+⋅∆。
多元函数偏导数连续和可微的关系
多元函数偏导数连续和可微的关系引言在数学中，我们常常需要研究多元函数的性质和特点。
其中，多元函数的偏导数是一个重要的概念，它在数学分析以及应用数学中有着广泛的应用。
本文将探讨多元函数偏导数的连续性和可微性之间的关系。
多元函数的偏导数定义考虑一个二元函数f(x,y)，其中x和y是自变量，f是因变量。
我们可以将x或y视为定值，而将另一个变量作为独立变量进行求导。
这样得到的导数就称为偏导数。
具体而言，函数f(x,y)的对x的偏导数记作∂f∂x，表示在y固定的情况下，f对x的变化率。
同样地，函数f(x,y)的对y的偏导数记作∂f∂y，表示在x固定的情况下，f对y的变化率。
对于多元函数，我们可以类似地定义更多的偏导数。
例如，对于三元函数f(x,y,z)，我们可以求得∂f∂x 、∂f∂y和∂f∂z。
连续性和可微性在研究多元函数的性质时，连续性和可微性是两个重要的概念。
下面我们将分别讨论偏导数的连续性和可微性。
偏导数的连续性定义首先，我们来定义多元函数偏导数的连续性。
偏导数连续的定义如下：若函数在某一点处的偏导数存在且连续，则称该函数在该点处的偏导数连续。
定理根据多元函数的连续性的定义，我们可以得到以下定理：如果在某区域内，函数的偏导数连续，那么函数在该区域内是连续的。
证明如下：假设函数在某一点处的偏导数连续，即∂f∂x 和∂f∂y在该点处连续。
那么根据偏导数的定义，我们有：∂f ∂x =limΔx→0f(x+Δx,y)−f(x,y)Δx∂f ∂y =limΔy→0f(x,y+Δy)−f(x,y)Δy由于偏导数连续，我们可以将极限与连续性交换，即：∂f∂x=f x(x,y)∂f∂y=f y(x,y)由此可见，在函数的偏导数连续的情况下，函数在该点处是连续的。
因此，我们可以得出结论：函数的偏导数连续是函数连续的充分条件。
偏导数的可微性定义接下来我们来定义多元函数偏导数的可微性。
偏导数可微的定义如下：如果函数在某一点的所有偏导数都存在且连续，那么函数在该点处可微。