数学分析17.1多元函数微分学之可微性
多元函数的连续性,偏导数存在及可微性之间的关系
１．引 言
△“一［＿ ，二（ｏ，ｏ，ｏ）ａｘ＋ （ｏ，ｏ，Ｏ）Ａｙ＋ （ｏ，ｏ，ｏ）△胡＝ １／√ ＋ （△ ）。，故
多 元 函数 微分学 是数学 专业学 习 中的一个重点 和难点 ，它涉及 的 内容实 际上是微 积分学在 多元 函数 中的体现 ，其 中有关 多元 函数 的连
｛△ 一 （ｏ，ｏ，ｏ）Ａｚ． （ｏ，ｏ，Ｏ）Ａｙ （０，ｏ，ｏ）△ ］）＝√２／２￣０。
（２）△ 一 ，ｙ）ｅ￣ｃ－Ｌ ， ）△ ，当√（△ｚ）。＋（ａｙ） 一。时是无穷
！ｉｍ。 Ｌ（ｘｏ＋ ，ｙｏ＋ａｙ，ｆ２）＝Ｌ（Ｘｏ，ｙｏ，ｚｏ），
小 量 。
所以 ， （ｚ０，ｙｏ， ０）＋铂＝Ｌ（Ｘｏ＋△＿ｚ， ｏ＋△ ，ｆ２），
３．函数 可微性进一步拓展 １９８４年 Ｈｅｎｌｅ在二元情况下利用 向量 的方法证 明了下列 定理
续性，偏 导数存 在及 可微性 之间 的关 系是学 生在学 习中容 易发生概 念 模糊和难 以把握 的一个 重要 知识点。
当前 ，多元 函数 的连续性 ，偏导数存 在及可微 性之 间的关系研究 方
面 已经 取得 了很大 的成果，它 们三者 之间 的关 系 已经得 到 了普 遍 的说 明，但是，在 国内的许多教 材中只是对它们 三者 的定义作 了说明，而对 它 们 之间 的关 系很少提 及或没 有提到，在 一些学 术性论 文 中也 只是对二 元 函数 的连续性 ，偏 导数存 在及可微性 的关系做 了具体 的说明，因此在
理 得 ：
一
ｆ（ｘｏ＋Ａ：ｃ，Ｙｏ＋△ ，Ｚｏ）－ｆ（ｘｏ＋ ，Ｙｏ，ｚｏ）＝ （ ｏ＋Ａｘ，ｆ】，Ｚｏ）Ａｙ，
其 中 ｆ】在 。和 ＋ 之间 ，由 ，ｙ，２）在点 Ｍｏ关 于 ｚ，Ｙ的
高数论文之多元函数的研究
高数论文之多元函数的研究多元函数微分学是高等数学中的一个重点，它涉及的内容是微积分学内容在多元函数中的体现，其中有关多元函数的连续性，偏导存在及可微性之间的关系是学生在学习中容易发生概念模糊和难以把握的一个重要知识点。
当前，多元函数的连续性，偏导存在及可微性之间的关系研究方面已经取得了一定的成果，但是，在一些学术性论文中只是对二元函数的连续性、偏导存在及可微性的个别关系做了具体的说明，因此，想要达到对这方面知识能做到全面的掌握对学生来说仍是一大难题。
本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间进行分析讨论，主要研究二元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念及它们之间因果关系. 然后推广到多元函数，由此来总结有关多元函数的连续性、偏导存在及可微性之间的关系，并对二元函数具体的实例详细加以证明，建立它们之间的关系图，这样对有效理解和掌握多远函数微分学知识将起到重要作用。
一、函数连续一个一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续.但对于二元函数(,)f x y 来说，即使它在某点000(,)p x y 既存在关于x 的偏导数00(,)x f x y ，又存在关于y 的偏导数00(,)y f x y ，(,)f x y 也未必在000(,)p x y 连续。
甚至，在000(,)p x y 的某邻域0()U p 存在偏导数(,)x f x y （或(,)y f x y ），而且(,)xf x y （或(,)y f x y ）在点000(,)p x y 连续，也不能保证(,)f x y 在000(,)p x y 连续.如函数(,)f x y =21sin ,00,0x y y y ⎧⎛⎫+≠⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎪=⎩关于具体验算步骤不难得出。
过，我们却有如下的定理。
定理1 [1]设函数(,)f x y 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 内有定义，若0(,)f x y 作为y 的一元函数在点y=0y 连续，(,)x f x y 在0()U p 内有界，则(,)f x y 在点000(,)p x y 连续。
《数学分析》第六章 多元函数积分学
第四章 多元函数积分学一、本章知识脉络框图[,](),(t t t αβφ∈]),[,])()((),())()t t y dyt Q t t t dtαβϕϕφφ∈''+lPdx Qdy =+⎰时的方程为当Dyxyxzz∈=∑),(),,(⎰⎰++=DyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221)),(,,(),,(时的方程为当Dyxvuzzvuyyvuxx∈===∑),(:),(),,(),,(⎰⎰⎰⎰∑∑∂∂±=++dudvvuzyPRdxdyQdzdxPdydz),(),(dudvvuyxRdudvvuxzQ),(),(),(),(∂∂+∂∂+++RdxdyQdzdxPdydzdxdydzzRyQxP⎰⎰⎰Ω⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∑∂的方向按右手法则)⎰∑∂++RdzQdyPdxdxdyyPxQdxdzxRzPdydzzQyR⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=⎰⎰∑⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=dSyPxQxRzPzQyRγβαcoscoscos二、本章重点及难点本章需要重点掌握以下几个方面内容：●二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.●三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.●重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.●含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.●第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.●第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.●曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.三、本章的基本知识要点㈠二重积分1.性质：假设性质中所涉及的函数的积分均存在（1）有界性 若),(y x f 在D 上可积，则),(y x f 在D 上有界，（可积的必要条件）. （2）线性性 若g f ,均在D 上可积，l k ,为任意实常数，则lg +kf 仍在D 上可积，且⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DDDgd l fd k d kf σσσlg)(.（3）区域可加性 设 21DD D =，其中1D 与2D 的内部不相交则),(y x f 在D 上可积的充要条件是),(y x f 在1D 和2D 上均可积，且⎰⎰Dfd σ=⎰⎰1D fd σ+⎰⎰2D fd σ.（4）单调性 若在任区域D 上，),(),(y x g y x f ≤，则≤⎰⎰Dfd σ⎰⎰Dgd σ.特别地：当0),(≥y x f 时，有0≥⎰⎰Dfd σ.当M y x f m ≤≤),(时，有D M fd D m D∆⋅≤≤∆⋅⎰⎰σ，其中D ∆表示D 的面积.（5）σσd f fd DD⎰⎰⎰⎰≤.（6）中值公式 若),(y x f 在D 上连续，),(y x g 在D 上可积且不变号，则存在D ∈),(ηξ，使⎰⎰⎰⎰⋅=⋅DDgd f gd f σηξσ),(。
17-3——华东师范大学数学分析课件PPT
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量 的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
多元函数微分学
多元函数微分学一、本章提要１．基本概念多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度． ２．基本方法二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函数求导法则求偏导数．隐函数微分法：拉格朗日乘数法． ３．定理混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件． 二、要点解析问题１ 比较一元函数微分学与二元函数微分学基本概念的异同，说明二元函数在一点处极限存在、连续、可导、可微之间的关系．解析 )1(多元函数微分学的内容是与一元函数微分学相互对应的．由于从一元到二元会产生一些新的问题，而从二元到多元往往是形式上的类推，因此我们以二元函数为代表进行讨论．如果我们把自变量看成一点P ，那么对于一元函数，点P 在区间上变化；对于二元函数),(y x f ，点),(y x P 将在一平面区域中变化．这样，无论对一元、二元或多元函数都可以统一写成)(P f u =，它称为点函数．利用点函数，我们可以把一元和多元函数的极限和连续统一表示成)()(lim ,)(lim 00P f P f A P f P P P P ==→→．（２）二元函数微分学与一元函数微分学相比，其根本区别在于自变量点P 的变化从一维区间发展成二维为区域．在区间上P 的变化只能有左右两个方向；对区域来说，点的变化则可以有无限多个方向．这就是研究二元函数所产生的一切新问题的根源．例如，考察二元函数的极限2200limyx xyy x +→→， 容易看出，如果先让0→x 再让0→y ，那么00lim )lim(lim 02200==+→→→y x y yx xy， 同样，先让0→y 再让0→x ，也得到0)lim(lim 2200=+→→yx xyy x ， 但是如果让),(y x 沿直线)0(≠=k kx y 而趋于)0,0(，则有222202201)1(lim lim k k k x kx y x xy x kxy x +=+=+→→→， 它将随k 的不同而具有不同的值，因此极限2200limyx xyy x +→→ 不存在，从这里我们可以体会到，从一维跨入二维后情况会变得多么复杂．又如，在一元函数中，我们知道函数在可导点处必定连续，但是对于二元函数来说，这一结论并不一定成立．考察函数222222,0,(,)0,0,xy x y z f x y x y x y ⎧+≠⎪==+⎨⎪+=⎩000lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆-=∆-∆+='→∆→∆x xf x f f x x x ， 同样000lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆-=∆-∆+='→∆→∆yy f y f f y y y ， 所以),(y x f 在)0,0(点可导．然而，我们已经看到极限lim →→y x =),(y x f 2200limy x xyy x +→→不存在，当然),(y x f 在)0,0(不连续．多元可导函数与一元可导函数的这一重大差异可能使初学者感到诧异，其实仔细想一想是可以理解的．因为偏导数)0,0(x f '实质上是一元函数)0,(x f 在0=x 处关于x 的导数．它的存在只保证了一元函数)0,(x f 在点0=x 的连续．同理，偏导数)0,0(y f '的存在保证了),0(y f 在0=y 点的连续，从几何意义来看，),(y x f z =是一张曲面，)0,(x f z =，0=y 为它与平面0=y 的交线，),0(y f z =，0=x 为它与平面0=x 的交线．函数),(y x f z =在（0,0）处的可导，仅仅保证了上述两条交线在（0,0）处连续，当然不足以说明二元函数),(y x f z =即曲面本身一定在（0,0）处连续．（３）在一元函数中，可微与可导这两个概念是等价的．但是对于二元函数来说，可微性要比可导性强，我们知道，二元函数的可导不能保证函数的连续，但若),(y x f z =在),(00y x 可微，即全微分存在，那么有全增量的表达式)(),(),(0000ρo y y x f x y x f z y x +∆'+∆'=∆其中当0→ρ时，)(ρo 0→，从而0lim 00=∆=∆=∆z y x ，因此函数在),(00y x 可微，那么它在),(00y x 必连续．函数是否可微从定义本身可以检验，但不太方便．然而我们有一个很简便的充分条件：若),(y x f 在),(00y x 不仅可导而且偏导数都连续，那么),(y x f 必在),(00y x 可微．函数),(y x f 的偏导数是容易求得的，求出两个偏导数后在它们连续的点处，全微分立即可以写出：d (,)d (,)d x y z f x y x f x y y ''=+．（４）二元函数的极限、连续、偏导、可微关系图：极限存在偏导数连续问题２ 如何求多元函数的偏导数？解析 求多元函数的偏导数的方法，实质上就是一元函数求导法．例如，对x 求偏导，就是把其余自变量都暂时看成常量，从而函数就变成是x 的一元函数．这时一元函数的所有求导公式和法则统统可以使用．对于多元复合函数求导，在一些简单的情况，当然可以把它们先复合再求偏导数，但是当复合关系比较复杂时，先复合再求导往往繁杂易错．如果复合关系中含有抽象函数，先复合的方法有时就行不通．这时，复合函数的求导公式便显示了其优越性．由于函数复合关系可以多种多样，在使用求导公式时应仔细分析，灵活运用． 例1 设e sin ,xyz y =求yz x z ∂∂∂∂,． 解 直接求偏导数e sin xy zy y x∂=∂， e sin e cos xy xy zx y y y∂=+∂ ， 利用全微分求偏导数d sin de e d sin xy xy z y y =+e sin (d d )e cos d xy xy y y x x y y y =++ e sin d (e sin e cos )d xy xy xy y y x x y y y =++，所以e sin ,e sin e cos xy xy xy z zy y x y y x y∂∂==+∂∂． 例2 设(e ,sin ),xyz f y =求yzx z ∂∂∂∂,． 解 由复合函数求导法则，得1(e ,sin )e xy xy zf y y x∂=⋅∂， 12(e ,sin )e (e ,sin )cos xy xy xy zf y x f y y y∂=⋅+∂， 其中21,f f 分别表示(e ,sin )xyf y 对e ,sin xyy 的偏导数．问题3 二元函数的极值是否一定在驻点取得？解析 不一定．二元函数的极值还可能在偏导数不存在的点取得．2y 例3 说明函数221),(y x y x f +-=在原点的偏导数不存在，但在原点取得极大值．解 xx x x x f x f x x x ∆∆-=∆-∆-=∆-∆+→∆→∆→∆0200lim1)(1lim )0,0()0,0(lim ， 此极限不存在，所以在)0,0(处x f ')0,0(不存在．同理y y yf y f y y ∆∆-=∆-∆+→∆→∆00lim)0,0()0,0(lim ， 此极限不存在，所以，在点)0,0(处，y f ')0,0(不存在．但函数221),(y x y x f +-=≤f )0,0(1=，即),(y x f 在点)0,0(取得极大值1．问题4 在解决实际问题时，最值与极值的关系如何？无条件极值问题与有条件极值问题有何区别？如何用拉格朗日乘数法求极值？解析 在实际问题中，需要我们解决的往往是求给定函数在特定区域中的最大值或最小值．最大、最小值是全局性概念，而极值却是局部性概念，它们有区别也有联系．如果连续函数的最大、最小值在区域内部取得，那么它一定就是此函数的极大、极小值．又若函数在区域内可导，那么它一定在驻点处取得．由于从实际问题建立的函数往往都是连续可导函数，而且最大（最小）值的存在性是显然的．因此，求最大、最小值的步骤通常可简化为三步： （1） 根据实际问题建立函数关系，确定定义域； （2） 求驻点；（3）结合实际意义判定最大、最小值．从实际问题所归纳的极值问题通常是条件极值．条件极值和无条件极值是两个不同的概念．例如，二元函数22y x z +=的极小值（无条件极值）显然在)0,0(点取得，其值为零． 但是)0,0(显然不是此函数的约束条件01=-+y x 下的条件极小值点．事实上0,0==y x 根本不满足约束条件．容易算出，这个条件极小值在点11(,)22处取得，其值为12，从几何上来看，它们的差异是十分明显的．无条件极小值是曲面22y x z +=所有竖坐标中的最小者，如图所示；而条件极小值是曲面对应于平面01=-+y x 上，即空间曲面⎩⎨⎧=-++=01,22y x y x z 上各点的竖坐标中最小者．我们所说的把条件极值化成无条件极值来处理，并不是化成原来函数的无条件极值，而是代入条件后 化成减少了自变量的新函数的无条件极值．例如把条 件x y -=1代入函数22y x z +=，便将原来的条件 极值化成了一元函数122)1(222+-=-+=x x x x z的无条件极值．用拉格朗日乘数法求出的点可能是极值点，到底是否为极值点还是要用极值存在的充分条件或其他方法判别．但是，若讨论的目标函数是从实际问题中得来，且实际问题确有其值，通过拉格朗日乘数法求得的可能极值点只有一个，则此点就是极值点，无需再判断． 例4 求522++=y x z 在约束条件x y -=1下的极值． 解 作辅助函数)1(5),,(22y x y x y x F --+++=λλ，则有λλ-='-='y F x F y x 2,2，解方程组20,20,10,x y x y λλ-=⎧⎪-=⎨--=⎪⎩ 得1,12x y λ===．现在判断11(,)22P 是否为条件极值点：由于问题的实质是求旋转抛物面522++=y x z 与平面x y -=1的交线，即开口向上的抛物线的极值，所以存在极小值，且在唯一驻点11(,)22P 处取得极小值112z =． 问题5 方向导数和梯度对于研究函数有何意义？ 解析 二元函数(,)z f x y =在点),(y x 处的方向导数lf∂∂刻画了函数在这点当自变量沿着射线l 变化时的变化率，梯度 z grad 的方向则是函数在点),(y x 处方向导数最大的射线方向．因此沿梯度方向也是函数值增加最快的方向，所以梯度对寻找函数的最大值很有帮助． 例5 求函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处函数值下降最快的方向． 解 负梯度方向是函数值下降最快的方向，因u u x ∂=∂grad i u y ∂+∂j zu ∂∂+k z y 2=i xyz 2+j 2xy +k ， (1,-1,2)24u=-+grad i j k ，故所求方向为(1,-1,2)24u =-=-+-grad a i j k ．三、例题精选 例6 求函数)1ln(2222y x y x z ---=的定义域，并作出定义域图形．解 要使函数有意义，需满足条件22220,10,11,x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨--≠⎪⎩ 即⎪⎩⎪⎨⎧≠<+≤),0,0(),(,1,2222y x y x x y定义域如图阴影部分所示．例7 设(,)e sin ,uf u v v =求 d (,)f xy x y +． 解一 因为 (,)e sin ,uf u v v = 所以 (,)e sin()xy f xy x y x y +=+，e sin()e cos()xy xy fy x y x y x∂=+++∂， e sin()e cos()xy xy fx x y x y y∂=+++∂， 所[]d (,)sin()cos()e d xyf xy x y y x y x y x +=++++[]sin()cos()e d xyx x y x y y +++．解二 由复合函数求导法则得e sin()e cos()xy xyf f u f v x y y x y x u x v x∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂， e sin()e cos()xy xy f f u f v x y x x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂， 所以[]d (,)esin()cos()d xyf xy x y y x y x y x +=++++[]e sin()cos()d xy x x y x y y +++．例8 设)(),,(u xF xy u y x f z +==，其中F 为可微函数，且xyu =，验证zxxyyuxy z yz y x z x+=∂∂+∂∂． 证 这是带有抽象符号的函数，其复合关系如图所示．[]u F x y u F y x u u F x u F y x u u f x f x z d d )(d d )(-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++=∂∂∂∂+∂∂=∂∂， 同理有u F x y u u F x x y u u f y f y z d d d d +=∂∂+=∂∂∂∂+∂∂=∂∂， uFy xy u F y u xF xy y z y x z xd d d d )(++-+=∂∂+∂∂xy z u xF xy +=+=)(2． 例９ 设2(,,)e xf x y z yz =，其中),(y x z z =由方程0=-++xyz z y x 所确定，求(0,1,1)x f '-．解 2(,,)e xf x y z yz =对x 求偏导，并注意到z 是由方程所确定的y x ,的函数，得[]2,,(,)e 2e x x x z f x y z x y yz yz x∂'=+⋅∂①下面求xz∂∂，由0),,(=-++=xyz z y x z y x F 得11x z F z zy x F yx '∂-=-=-'∂-，代入①得 []21,,(,)e 2e 1x x x zyf x y z x y yz yz yx-'=-⋅-， 于是02011(1)(0,1,1)e 1(1)2e 1(1)5101x f -⋅-'-=⋅⋅--⋅⋅-⋅=-⋅．例10 求曲面2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的切平面方程． 解析 此题的关键是找出切点．如果平面上的切点为),,(000z y x ，则曲面过该点的法向量可由000,,z y x 表示．要使所求的切平面与已知平面平行，一定有切平面的法向量与已知平面的法向量对应坐标成比例．于是切点的坐标可找出． 解 设曲面02132),,(222=-++=z y x z y x F平行于已知平面的切平面与曲面相切于),,(000z y x ，故该切平面的法向量n {}000000000(,,),(,,),(,,)x y z F x y z F x y z F x y z '''=过),,(000z y x 的切平面方程为0)(6)(4)(2000000=-+-+-z z z y y y x x x ，①该切平面与已知平面064=++z y x 平行，所以664412000z y x ==， ②又由于),,(000z y x 在曲面上，所以2132202020=++z y x ，③联立②与③式，解得⎪⎩⎪⎨⎧===.2,2,1010101z y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.2,2,1020202z y x将这两组值分别代入①，最后得到切平面方程为 及46210,46210.x y z x y z ++-=+++=例11 求函数22324y xy x x z -+-=的极值． 解 第一步：由极值的必要条件，求出所有的驻点23820,220,z x x y x z x y y∂⎧=-+=⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩ 解出{110,0,x y == {222,2.x y ==第二步：由二元函数极值的充分条件判断这两个驻点是否为极值点，为了简明列表如下：因此，函数的极大值为0)0,0(=z ． 例12 求曲线x y ln =与直线01=+-y x 之间的最短距离．解一 切线法．若曲线上一点到已知直线的距 离最短，则过该点平行与已知直线的直线必与曲线相 切；反之曲线上在该点处的切线必平行与已知直线． 据此，我们先求x y ln =的导数1,y x'=令1='y （已知直线上的斜率为1），得 1=x ，这时0=y ，故曲线x y ln =上点)0,1(到直线01=+-y x 的距离最短，其值为2)1(110122=-++-=d ．解二 代入条件法（利用无条件极值求解）．设),(y x 为曲线x y ln =上任意一点，则点),(y x 到已知直线的距离为121+-=y x d ，将x y ln =代入上式得1ln 21+-=x x d ，易知)0(01ln >>-=x x x ，故()1ln 21+-=x x d ．①令1ln +-=x x u ，则xu 11-='，由0='u ，得1=x ，这是函数1ln +-=x x u 在),0(+∞内唯一驻点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在．于是由①式得所求的最短距离为()211ln 121=+-=d ．解三 拉格朗日乘数法．设),(y x 为曲线x y ln =上任意一点，则该点到直线的距离为121)1(1122+-=-++-=y x y x d ，令2d z =，则21212122+-+-+=y x xy y x z ， 显然，在上式中x y ln =，即0ln =-x y ． 引入辅导函数 )ln (212121),(22x y y x xy y x y x F -++-+-+=λ， 解方程组(,)10,(,)10,ln 0,x y F x y x y x F x y y x y x λλ'⎧=-+-=⎪'=--+=⎨⎪-=⎩①②③①②+，得0)11(=-xλ．因为0≠λ，故1=x ，代入③，得0=y ，于是)0,1(是唯一可能的极值点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在，故曲线x y ln =上点)0,1(到已知直线的距离最短，其值为()210121=+-=d ．四、 练习题 1．判断正误)1( ()()()000000,,,x x x y y x x x x y x f y x f y x f =====表达式成立； （ √ ）解析 ()00,y x f x 表示),(y x f 在),(00y x 对x 的偏导数；()00,y y x x x y x f ==表示),(y x f 对x 的偏导数在),(00y x 处的值；()00,x x x y x f =表示),(y x f 先固定0y y =后，函数),(0y x f 在0x x =处的导数．由偏导数定义及偏导数意义可知，三个表达式是相等的．)2( 若),(y x f z =在()00,y x 处偏导数存在，则),(y x f z =在()00,y x 处一定可微；（ ⨯ ）解析 由可微的充分条件知，只有),(y x f z =在点()00,y x 处的两个偏导数存在且连续时，函数),(y x f z =在该点一定可微．例如=),(y x f 222,(,)(0,0)0,(,)(0,0)xy x y x y x y ⎧⎪≠⎨+⎪=⎩在（0，0）处偏导数存在，但不可微．)3( 若()00,y x 为),(y x f z =的极值点，则()00,y x 一定为驻点；（ ⨯ ）解析偏导数不存在的点也可能是极值点．例如 22y x z +=在（0，0）处取得极小值，但zx z y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩在（0，0）处偏导数不存在，不是驻点．)4(00==∂∂y x xf 就是函数),(y x f 在)0,0(处沿x 轴方向的方向导数． （ √ ）解析 沿x 轴方向的方向导数 πcos 0cos 2f f f f l x y x∂∂∂∂=+=∂∂∂∂． 2．选择题)1( 设22),(y x xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-．解析 22),(yx xyy x f +=是关于x ，y 的对称函数，故),(),(y x f x y f =． )2(设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）； )A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos x y -； )D ( e sin x y -．解析 e cos xz y x∂=∂，=∂∂∂y x z 2e sin x y -． )3(已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f∂∂=∂∂+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．解析 设 u y x =+，v y x =-，则 22),(y x y x y x f -=-+=))((y x y x -+变换为 uv v u f =),(．u v xvv f x u u f x f +=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，u v y v v f y u u f y f -=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂， 所以yfx f ∂∂+∂∂=y x v u v u v 222)()(-==-++． )4(函数xy y x z 333-+=的驻点为（ B ）； )A ()0,0(和)0,1(-； )B ()0,0(和)1,1(；)C ()0,0(和)2,2(；)D ()1,0(和)1,1(．解析 求两个偏导数22330,330,z x y x z y x y∂⎧=-=⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩ ⇒{0,0,x y ==与{1,1,x y ==所以驻点为)0,0(和)1,1(．)5(函数122+-=y x z 的极值点为（ D ）． )A ()0,0(； )B ()1,0(； )C ()0,1(；)D (不存在．解析 求两个偏导数20,20,zx x z y y∂⎧==⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩ 得驻点为（0，0），又因为222=∂∂=xz A ，02=∂∂∂=y x z B ，222-=∂∂=y z C ，则042>=-AC B ，所以，驻点不是极值点，极值点不存在． 3．填空题)1( 12+-=x y z 的定义域为 }1),{(2-≥x y y x ；解 要使函数有意义，应满足12+-x y ≥0，即y ≥12-x)2( 已知xy x y x x f +=+2),(，则=∂∂xfy x +2 ； 解 设 u y x =+，则xu y x x xy x y x x f =+=+=+)(),(2，关于x 的偏导数xuu f x f x f ∂∂∂∂+∂∂=∂∂)(=x u +=y x +2． )3( 设)ln(22y x z +=，则11d x y z===d d x y +；解 设 u y x =+22，则 u z ln =，所以d 12d z z u x x u x u∂∂==⋅∂∂， d 12d z z u y y u y u ∂∂==⋅∂∂， 从而 11d x y z===1111d d x x y y z z x y xy====∂∂+∂∂=d d x y +．)4( 曲面arctan()y z x =在点π(1,1,)4M 处的切平面方程为 π202x y z -+-= ；解 令 )arctan(),,(x yz z y x F -=，则 2222)(1y x y xy x y F x +=+--=，π(1,1,)412x F =， 222)(11y x x xy x F y +-=+-=，π(1,1,)412y F =-， 曲面的切平面方程为 11π(1)(1)()0224x y z ---+-= ，即 π202x y z -+-=．)5( 设e z z xy +=，则=∂∂y z 1ez x + ； 解一 令(,,)e zF x y z z xy =+-，则 1e zz F =+， x F y -=，所以=∂∂y z z y F F - =1ez x +． 解二 设),(y x z z =，两边对y 求偏导数，有y z ∂∂+e z y z ∂∂=x ， 即 y z ∂∂=1ez x+． 4．解答题)1(设可微函数,sin ),,(),,(x t t x u u x f z ===ϕ求xzd d ； 解 偏导数为d d z x =x z ∂∂+x u u z ∂∂⋅∂∂+d d z u t u t x∂∂⋅⋅∂∂ =x f ∂∂+x u f ∂∂⋅∂∂ϕ+t tu f cos ⋅∂∂⋅∂∂ϕ． )2(设)(22y x f z +=，且)(u f 可微，证明 0=∂∂-∂∂yz x x z y． 解 设 u y x =+22，则)(u f z =，从而x z ∂∂=d ()2d z uf u x u x∂'⋅=⋅∂， y z ∂∂=d ()2d z u f u y u y ∂'⋅=⋅∂， 则 yzx x z y ∂∂-∂∂=x u f y 2)(⋅'()2xf u y '-⋅=0， 所以，原结论成立．)3( 设)(22y z yf z x =+，其中f 为可微函数，求yz∂∂．解 令),,(z y x F =)(22yzyf z x -+，设yz u =，则 ),,(z y x F =)(22u yf z x -+， 从而 y uu F y F F y ∂∂⋅∂∂+∂∂=)(=)()()(2yz u f y u f -⋅'--=)()(u f u f y z -'， z uu F z F F z ∂∂⋅∂∂+∂∂=)(=yu f y z 1)(2⋅'-=)(2u f z '-，所以 y z ∂∂zy F F -=)(2)()(u f z u f u f yz'--'-=)(2)()(yz f z y z f y z y z f '-'-=． )4( 在曲线⎪⎩⎪⎨⎧===32,,t z t y t x 上求一点，使其在该点的切线平行与平面42=++z y x ，并写出切线方程；解 设所求点为（0t ，20t ，30t ），d d t t xt==1，d d t t y t==20t ，d d t t z t==320t ，故切线方程为 230200321t t z t t y t x -=-=-， 由于切线与平面平行，切线的方向向量s ={1，20t ，320t }与平面的法向量n ={1，2，1}垂直，有n s ⋅ ={1，20t ，320t }·{1，2，1}=1+40t +320t =0，解方程，得 0t =1-或31-， 当0t =1-时，切点为（1-，1，1-），切线方程为 31211+=--=+z y x ； 当0t =31-时，切点为（31-，91，127-），切线方程为31271239131+=--=+z y x ， 即 271291331+=--=+z y x ． )5(用a 元钱购料，建造一个宽与深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面单位面积材料费的2.1倍，求水池的长与宽为多少米，才能使容积最大．解 设水池底面的长为x ，宽和高为y （如图），底面单位面积材料费为b ，则侧面单位面积材料费为b 2.1，有a y xyb bxy =++)22(2.12， 即 a by bxy =+24.24.3，长方体体积 2xy V =，应用条件极值，设 A =2xy +)4.24.3(2a by bxy -+λ，得偏导方程，有223.40,2(3.4 4.8)0,3.4 2.40,A y by x Axy bx by y A bxy by a λλλ⎧∂=+⋅=⎪∂⎪∂⎪=++=⎨∂⎪∂⎪=+-=⎪∂⎩ 整理，得 b a x 5174=，ba y 561=， 由于驻点（b a 5174，b a 561）唯一，而使容积最大的情况存在，所以当长方体长为ba5174，宽和高为ba561时，长方体水池容积最大．。
多元向量值函数的导数与微分
y f ( x)
y1 f1 ( x1 , x2 ,, xn ) y2 f 2 ( x1 , x2 ,, xn ) ym f m ( x1 , x2 ,, xn )
5.1 一元向量值函数的导数与微分 定义5.1 设 f : U ( x 0 ) R R m , x 0 x U ( x 0 ), 若
y ( y1 ,, ym ), f ( f1 ,, f m )T y f ( x)
14/20
F ( x, y) 0
?
向量值函数的导数与微分 西安交通大学 李换琴
定理5.4(隐函数存在定理) 设F连续可微，且满足 ）F（x0，y0 ） 1 0;
工科数学分析基础
李换琴 西安交通大学理学院
hqlee@
第五章
多元函数微分学及其应用
第一节 n维Euclid空间点集的初步知识 1 第二节 多元函数的极限与连续性 第三节 多元数量值函数的导数与微分 第四节 多元函数的taylor公式与极值问题 第五节 多元向量值函数的导数与微分 第六节 多元函数微分学在几何上的应用 第七节 空间曲线的曲率和挠率
2 x1 x2 u 例4 1 u2 2 2 2 设w f ( u) u2 u3 , u g ( x ) x1 x2 , 求D( f g ) 2 u 1 x1 x2 3
f ( x0 ) Df ( x 0 ) x1 f ( x0 ) x2
0
f ( x0 ) f ( x0 ) x n
定义 D 2 f ( x 0 ) D ( Df ( x )T ) 为f 在 x0 处的二阶导数. x 则有
复合函数微分法
u r
2
1 r2
u
2
u x
cos
u y
sin
2
1 r2
u x
r
sin
u y
r
cos
2
u 2 u 2
x
y
.
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§2 复合函数微分法
复合函数的求导法则
复合函数的全微分
例3 设 z uv sin t, 其中 u et , v cos t, 求 dz . dt
因此有
u u x u y u cos u sin ,
r x r y r x
y
u u x u y u (r sin ) u r cos .
x y x
y
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§2 复合函数微分法
复合函数的求导法则
复合函数的全微分
于是
解 所讨论的复合函数以 (u, v) 为中间变量, (x, y) 为
自变量, 并满足定理 17.5 的条件. 因此由
z 2u
u
u2 v
,
z v
1 u2 v
,
u e x y 2 , u 2 y e x y 2 , v 2 x , v 1,
x
y
x
y
数学分析 第十七章 多元函数微分学
fz (1,1)
复合函数的求导法则
复合函数的全微分
x2y
f
(
x,
y)
x2
y2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
由 §1 习题 6 已知 fx (0,0) f y (0,0) 0, 但 f ( x, y) 在点 (0,0) 不可微. 若以 f ( x, y) 为外函数, x t, y t
数学分析17.2多元函数微分学之复合函数微分法
第十七章 多元函数微分学2复合函数微分法一、复合函数的求导法则定义1：设函数x=φ(s,t)与y=ψ(s,t)定义在st 平面的区域D 上，z=f(x,y)定义在xy 平面的区域D 1上，{(x,y)|x=φ(s,t),y=ψ(s,t), (s,t)∈D}⊂D 1， 则函数z=F(s,t)=f(φ(s,t),ψ(s,t)), (s,t)∈D 是以f 为外函数，φ,ψ为内函数的复合函数. 其中x,y 称为函数F 的中间变量，s,t 为F 的自变量.定理17.5：若函数x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)∈D 可微， z=f(x,y)在点(x,y)= (φ(s,t),ψ(s,t))可微，则复合函数z=f(φ(s,t),ψ(s,t))在点(s,t)可微，且它关于s 与t 的偏导数分别为：t)(s,sz ∂∂=t)(s,y )(x,sx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,sy y z ∂∂∂∂，t)(s,tz ∂∂=t)(s,y )(x,tx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,ty y z ∂∂∂∂.证：∵x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)可微， ∴△x=s x ∂∂△s+t x ∂∂△t+α1△s+β1△t; △y=s y ∂∂△s+ty∂∂△t+α2△s+β2△t ， 其中当△s,△t →0时，α1,α2,β1,β2→0， 又由z=f(x,y)在点(x,y)可微，∴△z=xz ∂∂△x+y z∂∂△y+α△x+β△y ，其中当△x,△y →0时，α,β→0，补充定义：当△x=0,△y=0时, α=β=0，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆∆∂∂∆∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆∆∂∂∆∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂∆t β+s α+t t y +s sy βy z t β+s α+t t x +s s x αx z =z 2211=t β+s αt t y y z + t x x z s s y y z s x x z ∆∆+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂，其中 α=x z ∂∂α1+y z ∂∂α2+s x ∂∂α+sy∂∂β+αα1+βα2,β=x z ∂∂β1+y z ∂∂β2+t x ∂∂α+ty∂∂β+αβ1+ββ2,由x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)可微知，x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)都连续， 即当△s,△t →0时，△x △y →0时，从而α,α1,α2,β,β1,β2→0，于是， 当△s,△t →0时，α,β→0，即z=F(s,t)在(s,t)可微，从而得：(链式法则)t)(s,sz∂∂=t)(s,y )(x,sx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,sy y z ∂∂∂∂，t)(s,tz ∂∂=t)(s,y )(x,tx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,ty y z ∂∂∂∂.注：1、若只求复合函数f(φ(s,t),ψ(s,t))关于s 或t 的偏导数，则内函数只需具有关于s 或t 的偏导数，但对外函数f 的可微性假设不能省略.如：函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x yx 2222222，有f x (0,0)=f y (0,0)=0，但f 在(0,0)处不可微. 若以f(x,y)为外函数，x=t, y=t 为内函数，则得 以t 为自变量的复合函数z=F(t)=f(t,t)=2t , ∴dt dz =21, 这时用链式法则， 将得到错误的结果：0t tz=∂∂=0t (0,0)tx x z =∂∂∂∂+t (0,0)tx yz =∂∂∂∂=0·1+0·1=0.2、若f(u 1,…,u m )在点(u 1,…,u m )可微，u k =g k (x 1,…,x n ) (k=1,2,…,m)在点(x 1,…,x n )具有关于x i (i=1,2,…,n)的偏导数，则复合函数关于自变量x i的偏导数为：i x z∂∂=∑=∂∂∂∂m1k ik k x u u z (i=1,2,…,n).例1：设z=ln(u 2+v), 而u=2y x e +, v=x 2+y ，求x z ∂∂,yz ∂∂. 解：x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂+x v v z ∂∂∂∂=2y x 2e v u u 2+⋅++x 2v u 12⋅+=yx e x 2e 22y 22x y 22x 22+++++;y z ∂∂=y u u z ∂∂∂∂+y v v z ∂∂∂∂=2y x 2ye 2v u u 2+⋅++v u 12+=yx e 1ye 42y 22x y 22x 22+++++.例2：设u=u(x,y)可微，在极坐标变换x=rcos θ, y=rsin θ下，证明：2r u ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂. 解：∵r x ∂∂=cos θ, r y ∂∂=sin θ; θx ∂∂=-rsin θ, θy∂∂=rcos θ; 又 r u ∂∂=r x x u ∂∂∂∂+r y y u ∂∂∂∂=x u ∂∂cos θ+y u ∂∂sin θ;θu ∂∂=θy y u ∂∂∂∂+θx x u ∂∂∂∂=y u ∂∂rcos θ-xu ∂∂rsin θ;∴2r u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂cos 2θ+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂sin 2θ+y u x u ∂∂∂∂sin2θ; 22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂sin 2θ+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂cos 2θ-y u x u ∂∂∂∂sin2θ; ∴2r u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂.例3：设z=uv+sint, 其中u=e t ,v=cost, 求dtdz. 解法一：dt dz =dt du u z ∂∂+dt dv v z ∂∂+dtdt t z ∂∂=ve t -usint+cost=e t (cost-sint)+cost. 解法二：z=uv+sint=e t cost+sint ，∴dtdz=(e t cost+sint)’=e t (cost-sint)+cost.例4：用多元复合微分法计算下列一元函数的导数.(1)y=x x; (2)y=cosxsinx )lnxx (12++.解：(1)令y=u v , u=x, v=x ， 则dx dy =dx du u y ∂∂+dxdv v y ∂∂=vu v-1+u v lnu=x x (1+lnx). (2)令y=uvw, u=sinx+cosx, v=1+x 2, w=lnx ，则dx dy =dx du u y ∂∂+dx dv v y ∂∂+dx dw w y ∂∂=-2uvw (cosx-sinx)+u w ·2x+x 1u v =22cosx)(sinx )lnx x (1++(sinx-cosx)+ cosx sinx 2xlnx ++cosx )x (sinx x 12++.例5：设u=f(x,y,z), y=φ(x,t), t=ψ(x,z)都有一阶连续偏导数，求x u ∂∂,zu ∂∂. 解：∵u=f(x,y,z)=f(x,φ(x,ψ(x,z)),z); ∴x u ∂∂=x f ∂∂+dx d φy f ∂∂+dxd ψdt d φy f ∂∂. 又u=f(x,y,z)=f(x,φ(x,ψ(x,z)),z); ∴z u ∂∂=dz d ψdt d φy f ∂∂+zf ∂∂.例6：设f(x,y)在R 2上可微，且满足方程y·f x (x,y)=x·f y (x,y). 证明：在极坐标中f 只是r 的函数，即θf∂∂=0. 证：设u=f(x,y), x=rcos θ, y=rsin θ，则有θf ∂∂=θx x f ∂∂∂∂+θyy f ∂∂∂∂=-f x (x,y)rsin θ+f y (x,y)rcos θ=-yf x (x,y)+x·f y (x,y)=0.二、复合函数的微分定义2：或以x 和y 为自变量的函数z=f(x,y)可微，则其全微分为： dz=xz∂∂dx+y z ∂∂dy. 如果x,y 作为中间变量又是自变量s,t 的可微函数：x=φ(s,t),y=ψ(s,t)，则复合函数z=f(φ(s,t),ψ(s,t))是可微的，其全微分为： dz=s z ∂∂ds+t z ∂∂dt= ⎝⎛∂∂∂∂s x x z +⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂s y y z ds+ ⎝⎛∂∂∂∂t x x z +⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂t y y z dt =⎝⎛∂∂∂∂ds s x x z +⎪⎭⎫∂∂dt t x + ⎝⎛∂∂∂∂ds s y y z +⎪⎭⎫∂∂dt t y , 又x,y 是(s,t)的可微函数，因此有：dx=s x ∂∂ds+t x ∂∂dt; dy=s y ∂∂ds+t y ∂∂dt ；∴dz=xz∂∂dx+y z ∂∂dy ，结果与非复合函数完全相同，即多元函数有一阶(全)微分形式不变性.例7：设z=e xy sin(x+y), 利用微分形式不变性求dz, 并导出xz∂∂与y z ∂∂. 解：令z=e u sinv, 即u=xy, v=x+y, 则dz=u z ∂∂du+vz∂∂dv=e u sinvdu+e u cosvdv. 又du=ydx+xdy, dv=dx+dy,∴dz=e xy sin(x+y)(ydx+xdy)+e xy cos(x+y)(dx+dy)=e xy [ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+e xy [xsin(x+y)+cos(x+y)]dy. 并可得：xz ∂∂=e xy[ysin(x+y)+cos(x+y)]；y z ∂∂=e xy [xsin(x+y)+cos(x+y)].习题1、求下列复合函数的偏导数或导数： (1)设z=arctan(xy), y=e x , 求dxdz；(2)设z=xy y x 22+exyy x 22+, 求x z ∂∂,yz ∂∂； (3)设z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtdz；(4)设z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u z ∂∂,v z ∂∂；(5)设u=f(x+y,xy), 求x u ∂∂,y u ∂∂；(6)设u=f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y ,y x , 求x u ∂∂,y u ∂∂,z u∂∂. 解：(1)dx dz =x z ∂∂+dx dy y z ∂∂=22yx 1y ++ 22y x 1x +e x =2x2xe x 1x )(1e ++. (2)令u=x yy x 22+, 则z=ue u ,∴x z ∂∂=x u du dz ∂∂=(1+u)e u (y 1-2x y )=232222yx )y x )(y xy (x -++e xyy x 22+；y z ∂∂=y u du dz ∂∂=(1+u)e u (x 1-2y x )=322222yx )x y )(y xy (x -++e xyy x 22+.(3)dt dz =dtdxx z ∂∂+ dt dy y z ∂∂=(2x+y)·2t+(x+2y)·1=2t(2t 2+t)+t 2+2t=4t 3+3t 2+2t.(4)u z ∂∂=u x x z ∂∂∂∂+u y y z ∂∂∂∂=2xlny·v 1+y x 2·3=2v 2u ln(3u-2v) +2v)-(3u v 3u 22； v z ∂∂=v x x z ∂∂∂∂+v y y z ∂∂∂∂=2xlny·⎪⎭⎫ ⎝⎛-2v u +y x2·(-2)=-32v 2u ln(3u-2v)-2v)-(3u v 2u 22.(5)∵du=f 1d(x+y)+f 2d(xy)=f 1dx+f 1dy+f 2ydx+f 2xdy=(f 1+yf 2)dx+(f 1+xf 2)dy ； ∴xu∂∂=f 1+yf 2；y u ∂∂=f 1+xf 2.(6)∵du=f 1d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x +f 2d ⎪⎭⎫ ⎝⎛z y =211y x dy f -ydx f +222zydzf -zdy f =y f 1dx+(z f 2-21y xf )dy-22zyf dz ； ∴x u ∂∂=y f 1；y u ∂∂=z f 2-21y xf ；z u∂∂=-22zyf .2、设z=(x+y)xy , 求dz.解： 令u=x+y, v=xy ，则z=u v ，且du=dx+dy ，dv=ydx+xdy. ∴dz=u z ∂∂du+vz∂∂dv=vu v-1(dx+dy)+u v (ydx+xdy)lnv =xy(x+y)xy-1dx+xy(x+y)xy-1dy+y(x+y)xy (lnx+lny)dx+x(x+y)xy (lnx+lny)dy =[xy(x+y)xy-1+y(x+y)xy (lnx+lny)]dx+[xy(x+y)xy-1+x(x+y)xy (lnx+lny)]dy. 3、设z=)y -f(x y 22，其中f 为可微函数，验证：xz x 1∂∂+y z y 1∂∂=2y z.证：令u=x 2-y 2, 则x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂=(u)f (u)f x y 22'-; y z ∂∂=y z ∂∂+y u u z ∂∂∂∂=(u)f (u)f y 2f(u)22'+; ∴x z x 1∂∂+y z y 1∂∂=(u)f (u)f y 22'-+(u)f (u)f y 2yf(u)2'+=(u)yf f(u)2=yf(u)1；又2y z =2y )f(u y=yf(u)1；∴x z x 1∂∂+y z y 1∂∂=2y z.4、设z=siny+f(sinx-siny), 其中f 为可微函数，证明：xz ∂∂secx+y z∂∂secy=1.证：令u=sinx-siny ，则x z ∂∂=xuu z ∂∂∂∂=f ’(u)cosx; y z ∂∂=y z ∂∂+y u u z ∂∂∂∂=[1-f ’(u)]cosy;∴xz ∂∂secx+y z∂∂secy=f ’(u)cosxsecx+[1-f ’(u)]cosysecy= f ’(u)+1-f ’(u)=1.5、设f(x,y)可微，证明：在坐标旋转变换x=ucos θ-vsin θ, y=usin θ+vcos θ之下(旋转角θ为常数)，(f x )2+(f y )2是一个形式不变量，即 若g(u,v)=f(ucos θ-vsin θ,usin θ+vcos θ)，则必有(f x )2+(f y )2=(g u )2+(g v )2. 证：g u =u x x f ∂∂∂∂+u y y f ∂∂∂∂=f x cos θ+f y sin θ；g v =v x x f ∂∂∂∂+vy y f ∂∂∂∂=-f x sin θ+f y cos θ； ∴(g u )2+(g v )2=(f x cos θ+f y sin θ)+(-f x sin θ+f y cos θ)2=(cos 2θ+sin 2θ)(f x )2+(sin 2θ+cos 2θ)(f y )2+2f x cos θ·f y sin θ-2f x sin θ·f y cos θ =(f x )2+(f y )2.6、设f(u)是可微函数，F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t). 试求：F x (0,0)与F t (0,0). 解：令u=x+2t, v=2x-2t ，则F u |(0,0)=f ’(0)；F v |(0,0)=f ’(0).又F x =x u u F ∂∂∂∂+x v v F ∂∂∂∂=F u +3 F v ; F t =t u u F ∂∂∂∂+tvv F ∂∂∂∂=2F u -2 F v ; ∴F x (0,0)=F u |(0,0)+ 3F v |(0,0)=4f ’(0)；F t (0,0)=2F u |(0,0)-2F v |(0,0)=0.7、若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tz)=t k F(x,y,z), (t>0), 则称F(x,y,z)为k 次齐次函数. 试证下述关于齐次函数的欧拉定理：可微函数F(x,y,z)为k 次齐次函数的充要条件是：xF x (x,y,z)+yF y (x,y,z)+zF z (x,y,z)=kF(x,y,z).并证明：z=222yx xy +-xy 为2次齐次函数.证：(1)令a=tx,b=ty,c=tz.[必要性]由F(tx,ty,tz)=t k F(x,y,z), (t>0)，两边对t 求导得：t a a F ∂∂∂∂+t b b F ∂∂∂∂+tc c F ∂∂∂∂=kt k-1F(x,y,z)，即 xF a (a,b,c)+yF b (a,b,c)+zF c (a,b,c)=kt k-1F(x,y,z)，令t=1，则有 xF x (x,y,z)+yF y (x,y,z)+zF z (x,y,z)=kF(x,y,z). [充分性]设f(x,y,z,t)=k t1F(tx,ty,tz), (t>0)，求f 关于t 的偏导数得 t f∂∂=1k t1+{[xF a (a,b,c)+yF b (a,b,c)+zF c (a,b,c)]t-kF(a,b,c)}； ∵F a (a,b,c)+yF b (a,b,c)+zF c (a,b,c)=kF(a,b,c)，∴tf∂∂=0. 即f 与t 无关，只是x,y,z 的函数，可记g(x,y,z)=f(x,y,z,t)， ∴t k g(x,y,z)=F(tx,ty,tz), (t>0). 当t=1时，g(x,y,z)=F(x,y,z)， ∴F(tx,ty,tz)=t k F(x,y,z). (2)∵当t>0时，z(tx,ty)=2223y x t xy t +-t 2xy=t 2(222y x xy +-xy)=t 2z(x,y)；∴z(x,y)为2次齐次函数.8、设f(x,y,z)具有性质f(tx,t k y,t m z)=t n f(x,y,z)，证明：(1)f(x,y,z)=x n f(1,kx y ,m xz)；(2)xf x (x,y,z)+kyf y (x,y,z)+mzf z (x,y,z)=nf(x,y,z). 证：(1)由f(tx,t k y,t m z)=t n f(x,y,z), 令t=x 1，则f(1,k x y ,m x z )=n x1f(x,y,z)，即有f(x,y,z)=x n f(1,k x y ,m xz).(2)令a=tx, b=t k y, c=t m z ，对f(tx,t k y,t m z)=t n f(x,y,z)两边关于t 求偏导数得： xf a (a,b,c)+yf b (a,b,c)+f c (a,b,c)=nt n-1f(x,y,z)，当t=1时，即有 xf x (x,y,z)+kyf y (x,y,z)+mzf z (x,y,z)=nf(x,y,z).9、设由行列式表示的函数D(t)=)t (a )t (a )t (a )t (a nn n11n 11⋯⋯⋯⋯⋯, 其中a ij (t) (i,j=1,2,…,n)的导数都存在. 证明：dt dD(t)=∑=⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯⋯⋯⋯⋯n1k nn n2n1k n k 2k 11n 1211)t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a . 证：记x ij =a ij (t) (i,j=1,2,…,n), f(x 11,x 12,…,x ij ,…,x nn )=nnn11n11x x x x ⋯⋯⋯⋯⋯.由行列式定义知f 为n 2元的可微函数且D(t)=f(a 11(t),…,a ij (t),…,a nn (t))，又由复合函数求导法则知D ’(t)=dt dx x f ij n1j ,i ij ∑=∂∂=∑=∂∂n 1j ,i ijx f a ’ij (t)，记nnn11n 11x x x x ⋯⋯⋯⋯⋯中x ij 的代数余子式为A ij ，则f(x 11,…,x ij ,…,x nn )=∑=n1j ,i ij ij A x .又ij x f ∂∂=A ij ，∴D ’(t)=∑∑==n 1i n1j ij (t)A a ’ij (t)，其中A ij (t)是将A ij 的元素x hl 换为a hl (t)后得到的n-1阶行列式，恰为行列式)t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a nn n2n1in i2i11n 1211⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯⋯⋯⋯⋯中a ’ij (t)的代数余分式，于是知 D ’(t)=∑=⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯⋯⋯⋯⋯n1k nn n2n1k n k 2k 11n 1211)t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a .。
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第十七章 多元函数微分学1可微性一、可性性与全微分定义1：设函数z=f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)上有定义，对于U(P 0)中的点P(x,y)=(x 0+△x,y 0+△y)，若f 在点P 0处的全增量可表示为： △z=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)=A △x+B △y+o (ρ)，其中ρ=22y x ∆+∆， o (ρ)是较ρ高阶的无穷小量，A,B 是仅与点P 0有关的常数， 则称函数f 在P 0可微. 并称A △x+B △y 为函数f 在点P 0的全微分， 记作dz|0P =df(x 0,y 0)=A △x+B △y.当|△x|,|△y|充分小时，dz 可作为△z 的近似值，即 f(x,y)≈f(x 0,y 0)+A(x-x 0)+B(y-y 0). 有时也表示为： △z= A △x+B △y+α△x+β△y ；其中)0,0()y x,(lim→∆∆α=)0,0()y x,(lim→∆∆β=0.例1：考察函数f(x,y)=xy 在点(x 0,y 0)处的可微性. 解：在点(x 0,y 0)处函数的全增量为：△z=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)=y 0△x+x 0△y+△x △y.∵ρy x ∆∆ρy∆≤ρ→0, ρ→0.∴△x △y=o (ρ)，∴f 在(x 0,y 0)处的可微， 且df=y 0△x+x 0△y.二、偏导数定义2：设函数z=f(x,y), (x,y)∈D, 若(x 0,y 0)∈D 且f(x,y 0)在x 0的某一邻域内有定义，则极限x )y ,x (f lim00x 0x ∆∆→∆=x)y ,x (f )y x,x (f lim 00000x ∆-∆+→∆存在时，这个极限称为函数f 在(x 0,y 0)关于x 的偏导数，记作： f x (x 0,y 0)或z x (x 0,y 0),)y ,(x 0xf∂∂,)y ,(x 00xz ∂∂.同样定义f 在点(x 0,y 0)关于y 的偏导数为：f y (x 0,y 0)或)y ,(x 00yf ∂∂.若f 在区域D 上每一点(x,y)都存在对x(或对y)的偏导数，则f 在区域D 上对x(或对y)的偏导函数(简称偏导数)，记作：f x (x,y)或xy)f(x,∂∂ (f y (x,y)或y y)f(x ,∂∂) 也简写为f x ,z x 或x f ∂∂,xz ∂∂( f y ,z y 或y f ∂∂,y z ∂∂).注：1、这里符号x ∂∂,y ∂∂专用于偏导数运算，与一元函数的导数符号dxd相似，又有差别；2、定义中，f 在点(x 0,y 0)存在关于x(或y)的偏导数，f 至少在 {(x,y)|y=y 0,|x-x 0|<δ}(或{(x,y)|x=x 0,|y-y 0|<δ})上必须有定义.二元函数偏导数的几何意义：设P 0(x 0,y 0,z 0)是曲面z=f(x,y)上一点，过P 0作平面y=y 0与曲面的交线为C ：其中⎩⎨⎧==y),x (f z y y 0是平面上的一条曲线.因此，f x (x 0,y 0)作为一元函数f(x,y 0)在x=x 0的导数，就是曲线C 在点P 0处的切线T x 对于x 轴的斜率，即T x 与x 轴正向所成倾角的正切tan α.同样的，f y (x 0,y 0)是平面x=x 0曲面z=f(x,y)的交线⎩⎨⎧==y),x (f z x x 0在点P 0处的切线T y 关于y 轴的斜率tan β.例2：求函数f(x,y)=x 3+2x 2y-y 3在点(1,3)关于x 和关于y 的偏导数. 解法1：f x (1,3)=1x dxdf(x,3)==3x 2+12x 1x ==15；f y (1,3)=3y dyy)df(1,==2-3y 23y ==-25.解法2：∵f x (x,y)=3x 2+4xy ，∴f x (1,3)=15；又f y (x,y)=-3y 2+2x 2，∴f x (1,3)=-25.例3：求函数z=x y (x>0)的偏导数. 解：z x =yx y-1；z y =x y lnx.例4：求三元函数u=sin(x+y 2-e z )的偏导数.解：u x =cos(x+y 2-e z )；u y =2ycos(x+y 2-e z )；u z =-e z cos(x+y 2-e z ).三、可微性条件定理17.1：(可微的必要条件)若二元函数f 在定义域内一点(x 0,y 0)可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且△z=A △x+B △y+o (ρ)中A=f x (x 0,y 0), B=f y (x 0,y 0). 即全微分df)y ,(x 00=f x (x 0,y 0)·△x+f y (x 0,y 0)·△y.或dz=f x (x 0,y 0)dx+f y (x 0,y 0)dy. f 在D 上全微分为df(x,y)=f x (x,y)dx+f y (x,y)dy.例5：考察函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x xy 222222，在原点的可微性.解：根据偏导数的定义，f x (0,0)=x)0,0(f )x,0(f limx ∆-∆→∆=0; 同理f y (0,0)= 0;△z-dz=f(△x,△y)-f(0,0)-f x (0,0)△x-f y (0,0)△y=22yx y x ∆+∆∆∆.∵ρdz-z lim 0ρ∆→=220ρy x y x lim ∆+∆∆∆→不存在，即△z-dz 不是ρ的高阶无穷小量， ∴f 在原点不可微.定理17.2：(可微的充分条件)若函数z=f(x,y)的偏导数在点(x 0,y 0)的某邻域上存在，且f x 与f y 在点(x 0,y 0)连续，则函数f 在点(x 0,y 0)可微. 证：△z=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)=[f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0+△y)]+[f(x 0,y 0+△y)-f(x 0,y 0)]；即全增量等于两个偏增量的和. 对它们分别应用拉格朗日中值定理得： △z=f x (x 0+θ1△x,y 0+△y)△x+f y (x 0,y 0+θ2△y)△y, 0<θ1,θ2<1. (中值公式) ∵f x 与f y 在点(x 0,y 0)连续，∴f x (x 0+θ1△x,y 0+△y)=f x (x 0,y 0)+α, f y (x 0,y 0+θ2△y)=f y (x 0,y 0)+β, 其中当(△x,△y)→(0,0)时，α→0, β→0. ∴△z=f x (x 0,y 0)△x+f y (x 0,y 0)△y+α△x+β△y ，即f 在点(x 0,y 0)可微.注1：例2函数f(x,y)=x 3+2x 2y-y 3在点(1,3)可微，且df(1,3)=15dx-25dy ；例3函数z=x y 在D={(x,y)|x>0,- ∞<y<+∞}上可微，且dz=yx y-1dx+x y lnxdy. 注2：偏导数连续并不是函数可微的必要条件，如函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++0y x 00y x y x 1sin )y x (22222222，在原点(0,0)可微，但 f x 与f y 却在点(0,0)不连续. 若z=f(x,y)在点(x 0,y 0)的偏导数f x ,f y 连续，则称f 在(x 0,y 0)连续可微.定理17.3：(中值公式)设函数f 在点(x 0,y 0)的某邻域上存在偏导数，若(x,y)属于该邻域，则存在ξ=x 0+θ1(x-x 0)和η=y 0+θ2(y-y 0), 0<θ1,θ2<1，使得 f(x,y)-f(x 0,y 0)=f x (ξ,y 0)(x-x 0)+f y (x 0,η)(y-y 0).注：1、函数可微必连续，但连续不一定存在偏导数，也不一定可微. 如：函数f(x,y)=22y x +(圆锥)在原点连续，但在该点不存在偏导数； 2、函数在某一点存在对所有自变量的偏导数，不保证在该点连续，如：f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x xy222222， 在原点不连续，但两个偏导数都为0.四、可微性几何意义及应用定义3：设P 是曲面S 上一点，T 为通过点P 的一个平面，曲面S 上的动点Q 到定点P 和到平面T 的距离分别为d 与h ，若当Q 在S 上以任何方式趋近于P 时，恒有dh→0，则平面T 为曲面S 到点P 处的切平面，P 为切点.定理17.4：曲面z=f(x,y)在点P(x 0,y 0,f(x 0,y 0))存在不平行于x 轴的切平面T 的充要条件是函数f 在点(x 0,y 0)可微.证：[充分性]若函数f 在点(x 0,y 0)可微，由定义知，△z=z-z 0=f x (x 0,y 0)(x-x 0)+f y (x 0,y 0)(y-y 0)+o (ρ)；ρ=2020)y -(y )x -(x +. 在过P 的平面T 上任取点(X,Y,Z)，若有Z-z 0=f x (x 0,y 0)(X-x 0)+f y (x 0,y 0)(Y-y 0)；则曲面上任一点Q(x,y,z)到这个平面的距离为： h=)y ,(x f )y ,(x f 1|)y -)(y y ,(x f -)x -)(x y ,(x f -z -z |002y002x000y 000x 0++=)y ,(x f )y ,(x f 1|) (ρ|002y002x++ο，又P 到Q 的距离为d=202020)z -(z )y -(y )x -(x ++=202)z -(z ρ+≥ρ. 由0≤dh <ρh =)y ,(x f )y ,(x f 11ρ|) (ρ|002y 002x ++ο→0, ρ→0，根据定义3知， 平面T 为曲面z=f(x,y)在点P(x 0,y 0,f(x 0,y 0))的切平面.[必要性]若曲面z=f(x,y)在点P(x 0,y 0,f(x 0,y 0))存在不平行于x 轴的切平面, 且Q(x,y,z)是曲面上任意一点，则点Q 到这个平面的距离为： h=22000B A 1|)y -B(y -)x -A(x -z -z |++，令△x=x-x 0,△y=y-y 0,△z=z-z 0,ρ=22y x ∆+∆.由切平面定义知,当Q 充分接近P 时,dh →0,∴对于充分接近P 的Q 有d h =22B A 1d |y B -x A -z |++∆∆∆<22BA 121++, 即 |△z-A △x-B △y|<2d=222z y x 21∆+∆+∆=22z ρ21∆+<21(ρ+|△z|)， 又|△z|-|A||△x|-|B||△y|≤|△z-A △x-B △y|<21(ρ+|△z|)，∴21|△z|<|A||△x|+|B||△又由ρ|z |∆<2(|A|ρ|x |∆+|B|ρ|y |∆)+1<2(|A|+|B|)+1知，ρ|z |∆有界，从而 由ρd =ρz ρ22∆+=2ρz 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+<1+ρz ∆<2(|A|+|B|+1)知，ρd也有界. 于是，当ρ→0时，有ρ|y B -x A -z |∆∆∆=2222B A 1ρd B A 1d |y B -x A -z |++++∆∆∆=22B A 1ρdd h ++→0,ρ→0， 即△z= A △x|+B △y+o (ρ)，即函数z=f(x,y)在点(x 0,y 0)可微.注：定理17.4说明，若函数f 在点(x 0,y 0)可微，则曲面z=f(x,y)在点P(x 0,y 0,f(x 0,y 0))的切平面方程为：z-z 0=f x (x 0,y 0)(x-x 0)+f y (x 0,y 0)(y-y 0)， 过切点P 与切平面垂直的直线称为曲面在点P 的法线. 由切面方程知，法线的方向数为：±(f x (x 0,y 0),f y (x 0,y 0),-1)，即 过切点P 的法线方程为：)y ,(x f x -x 00x 0=)y ,(x f y -y 00x 0=1-z -z 0.二元函数全微分的几何意义如图所示： 当自变量x,y 的增量分别为△x,△y 时， 函数z=f(x,y)的增量△z 是竖坐标上的一段NQ ， 而二元函数z=f(x,y)在点(x 0,y 0)的全微分 dz=f x (x 0,y 0)△x+f y (x 0,y 0)△y 的值是过点P 的切平面PM 1MM 2上相应的增量NM ， 于是△z 与dz 之差MQ 的值随着ρ→0而趋于零， 而且是较ρ高阶的无穷小量.例6：试求抛物面z=ax 2+by 2在点M(x 0,y 0,z 0)的切平面方程与法线方程. 解：∵f x (x 0,y 0)=2ax 0, f y (x 0,y 0)=2by 0, ∴在点M(x 0,y 0,z 0)的切平面方程为： z-z 0=2ax 0(x-x 0)+2by 0(y-y 0)，即z=2ax 0x+2by 0y-z 0-z=0； 在点M(x 0,y 0,z 0)的法线方程为：002ax x -x =002by y -y =1-z -z 0.例7：求1.083.96的近似值.解：设f(x,y)=x y , 令x 0=1, y 0=4, △x=0.08, △y=-0.04, 则 1.083.96=f(x 0+△x,y 0+△y)≈f(1,4)+f x (1,4)△x+f y (1,4)△y =1+4×0.08+0×(-0.04)=1.32.例8：应用公式S=21absinC 计算某三角形面积，现测得a=12.50, b=8.30,C=30⁰，若测量a,b 的误差为±0.01，C 的误差为±0.1⁰，求用此公式计算三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. 解：依题意，测量中a,b,C 的绝对误差限分别为：|△a|=0.01, |△b|=0.01, |△C|=0.1⁰=08001π. ∴S 的绝对误差限分别为： |△S|≈|dS|=a a S ∆∂∂+b b S∆∂∂+C C S ∆∂∂≤a a S ∆∂∂+b b S ∆∂∂+C C S ∆∂∂=21|bsinC||△a|+21|asinC||△b|+21|abcosC|≈0.13. 又S=21absinC ≈25.94，∴S 的相对误差限为：SS ∆≈25.9413.0≈0.5%.习题1、求下列函数的偏导数： (1)z=x 2y ；(2)z=ycosx ；(3)z=22y x 1+；(4)x=ln(x 2+y 2)；(5)z=e xy ；(6)z=arctan x y ；(7)z=xye sin(xy)；(8)u=x y +y z -zx ；(9)u=(xy)z ；(10)u=zy x .解：(1)z x =2xy; z y =x 2. (2)z x =-ysinx; z y =cosx.(3)z x =322)y (x x +-; z y =322)y (x y +-.(4)z x =22y x x 2+; z y=22y x y2+. (5)z x =ye xy ; z y =xe xy . (6)z x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+22x y 1x x-=22y x x -+; z y =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+2x y 1x 1=22yx x +. (7)z x =ye sin(xy)+xy 2e sin(xy)cos(xy); z y =xe sin(xy)+x 2ye sin(xy)cos(xy). (8)u x =-2x y -z 1; u y =x 1-2y z ; u z =y 1+2zx. (9)u x =yz(xy)z-1; u y =xz(xy)z-1; u z =(xy)z ln(xy). (10)u x =y z1y z x -; u y =zy z-1zy x lnx; u z =y zzy x lnx·lny.2、设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx，求f x (x,1). 解：∵f(x,1)=x ，∴f x (x,1)=1.3、设f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x yx 1ysin 222222，，考察f 在原点(0,0)的偏导数. 解：∵x)0,0(f )x,00(f lim0x ∆-∆+→∆=x 00lim 0x ∆-→∆=0，∴f x (0,0)=0；又y )0,0(f )y ,00(f lim 0y ∆-∆+→∆=20y y)(1sin lim ∆→∆不存在，f y (0,0)不存在.4、证明函数z=22y x +在点(0,0)连续，但偏导数不存在.证：∵22)0,0()y x,(y x lim +→=0=z(0,0)，∴z=22y x +在点(0,0)连续. 又x)0,0(f )x,00(f lim0x ∆-∆+→∆=x |x |lim 0x ∆∆→∆，y )0,0(f )y ,00(f lim 0y ∆-∆+→∆=x |x |lim0x ∆∆→∆， 即两个极限都不存在，∴两个偏导数都不存在.5、考察函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x yx 1xysin 222222，在点(0,0)的可微性. 解：∵x)0,0(f )x,00(f lim 0x ∆-∆+→∆=x 00lim 0x ∆-→∆=0，∴f x (0,0)=0；同理f y (0,0)=0；又ρy)0,0(f -x )0,0(f f y x ∆∆-∆=2222y)(x)(1siny)(x)(y x ∆+∆∆+∆∆∆≤2222y)(x)(2y)(x)(∆+∆∆+∆=2y)(x)(22∆+∆→0,ρ→0，∴f 在点(0,0)可微.6、证明函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x y x 2222222，在点(0,0)连续且偏导数存在，但在此点不可微.证：∵222yx y x +≤2xy y x 2=2x→0,(x,y)→0，即)0,0()y x,(lim →f(x,y)=0=f(0,0)，∴f 在点(0,0)连续. 又x )0,0(f )x,00(f lim0x ∆-∆+→∆=x 00lim 0x ∆-→∆=0，y )0,0(f )y ,00(f lim 0y ∆-∆+→∆=x 00lim 0x ∆-→∆=0， ∴f x (0,0)=0; f y (0,0)=0. 但ρy)0,0(f -x )0,0(f f y x ∆∆-∆=3222]y)(x)[(y x)(∆+∆∆∆. 当△x=△y 时，3222]y)(x)[(y x)(∆+∆∆∆=81，当y=0时，3222]y)(x)[(yx)(∆+∆∆∆=0.∴ρy)0,0(f -x )0,0(f f lim y x 0ρ∆∆-∆→不存在，∴f 在点(0,0)不可微.7、证明函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++0y x 00y x y x 1sin )y x (22222222，在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)不连续，而f 在点(0,0)可微. 证：∵2222y x 1sin)y x (++≤x 2+y 2→0,(x,y)→0，即)0,0()y x,(lim →f(x,y)=0=f(0,0)，∴f 在点(0,0)连续.当x 2+y 2≠0时，f x (x,y)=2xsin 22yx 1+-22y x x +cos 22y x 1+， ∵)0,0()y x,(lim →2xsin 22yx 1+=0，而)0,0()y x,(lim→22yx x +cos22yx 1+不存在，∴)0,0()y x,(lim →f x (x,y)不存在，即f x (x,y)在点(0,0)不连续， 同理f x (x,y)在点(0,0)不连续. 但x)0,0(f )x,00(f lim 0x ∆-∆+→∆=x 1x sin lim 0x ∆∆→∆=0，∴f x (0,0)=0;同理f y (0,0)=0. ∴ρy)0,0(f -x )0,0(f f y x ∆∆-∆=222222y)(x)(1siny)(x)(y)(x)(∆+∆∆+∆∆+∆≤22y)(x)(∆+∆→0,ρ→0，∴f 在点(0,0)可微.8、求下列函数在给定点的全微分： (1)z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0), (1,1)；(2)z=22yx x +在点(1,0),(0,1).解：(1)∵z x =4x 3-8xy 2，z y =4y 3-8x 2y 在(0,0)和(1,1)都连续，∴z 在(0,0)和(1,1)都可微；又z x (0,0)=0, z y (0,0)=0; z x (1,1)=-4, z y (1,1)=-4;∴dz|(0,0)=0；dz|(1,1)=-4(dx+dy).(2)∵z x =2222222yx y x x y x ++-+=3222)y (x y +在(1,0)和(0,1)都连续；z y =2222yx y x xy ++-=322)y (x xy -+在(1,0)和(0,1)也都连续；∴z 在(1,0)和(0,1)都可微；又z x (1,0)=0, z y (1,0)=0; z x (0,1)=1, z y (0,1)=0; ∴dz|(1,0)=0；dz|(0,1)= dx.9、求下列函数的全微分：(1)z=ysin(x+y)；(2)u=xe yz +e -z +y. 解：(1)∵z x =ycos(x+y), z y =sin(x+y)+ycos(x+y)在R 2上都连续， ∴z 在R 2上可微；且dz=ycos(x+y)dx+[sin(x+y)+ycos(x+y)]dy. (2)∵u x =e yz , u y =xze yz +1, u z =xye yz -e -z 在R 3上都连续， ∴u 在R 3上可微；且dz=e yz dx+(xze yz +1)dy+(xye yz -e -z )dz.10、求曲面z=arctan xy 在点(1,1,4π)的切平面方程和法线方程. 解：∵z 在(1,1)处可微，∴切平面存在. 又z x (1,1)=-21,z x (1,1)=21， ∴切平面方程为-21(x-1)+21(y-1)-(z-4π)=0，即x-y+2z=2π;法线方程：21-1-x =211-y =14π-z -，即2(1-x)=2(y-1)=4π-z.11、求曲面3x 2+y 2-z 2=27在点(3,1,1)的切平面与法线方程.解：3x 2+y 2-z 2=27两边对x 微分得：6x-2z·z x =0，∴z x =3x 1z 2z6x ===9;3x 2+y 2-z 2=27两边对y 微分得：2y-2z·z y =0，∴z y =1x 1z 2z2y===1;∴切平面方程为9(x-3)+(y-1)-(z-1)=0，即9x+y-z-27=0; 法线方程：93-x =11-y =11-z -，即x-3=9(y-1)=9(1-z).12、在曲面z=xy 上求一点，使这点的切平面平行于平面x+3y+z+9=0, 并写出该切平面方程和法线方程.证：设该点为(x 0,y 0,x 0y 0)，∵z x (x 0,y 0)=y 0; z y (x 0,y 0)=x 0；∴切平面方程为y 0(x-x 0)+x 0(y-y 0)-(z-x 0y 0)=0，即y 0x+x 0y-z-x 0y 0=0; 由切平面平行于平面x+3y+z+9=0知，y 0=-1; x 0=-3. ∴该点切平面方程为-x-3y-z-3=0，即x+3y+z+3=0. 由00y x -x =00x y -y =1-y x -z 00得1-3x +=3-1y +=1-3-z . ∴该切平面的法线方程为： 3(x+3)=y+1=3(z-3).13、计算近似值：(1)1.002×2.0032×3.0043；(2)sin29⁰·tan46⁰.解：(1)设u=xy 2z 3; x 0=1,y 0=2,z=3; △x=0.002, △y=0.003, △z=0.004；则 u(1,2,3)=108; u x (1,2,3)=108; u y (1,2,3)=108; u z (1,2,3)=108.由u(1.002,2.003,3.004)=u(1,2,3)+u x (1,2,3)△x+u y (1,2,3)△y+u z (1,2,3)△z, 得1.002×2.0032×3.0043≈108(1+0.002+0.003+0.004)=108.972. (2)设z=sinxtany; x 0=6π,y 0=4π; △x=-180π, △y=180π；则 z(6π,4π)=21;z x (6π,4π)=tan 4πcos 6π=23; u z (6π,4π)=sin 6πsec 24π=1;∴sin29⁰·tan46⁰≈21-23×180π+180π≈0.5023.14、设圆台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm, 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm ，求此圆台体积变化的近似值. 解：圆台体积为：V(R,r,h)=3πh(R 2+Rr+r 2), ∴V R (30,20,40)=3π(2×40×30+40×20)=33200π, V r (30,20,40)=3π(2×40×20+40×30)=32800π, V h (30,20,40)=3π(302+30×20+202)=31900π, 当△R=0.3,△r=0.4,△h=0.2时， △V ≈33200π×0.3+32800π×0.4+31900π×0.2=820π≈2576(cm 3). ∴此圆台体积约增加了2576cm 3.15、证明：若二元函数f 在点P(x 0,y 0)的某邻域U(P)上的偏导函数f x 与f y 有界，则f 在U(P)上连续.证：∵f x ,f y 在U(P)有界, 设此邻域为U(P;δ1)，则 存在M>0, 使|f x |<M, |f y |<M 在U(P;δ1)内成立. 又|△f|=|f(x+△x,y+△y)-f(x,y)|=|f x (x+θ1△x,y+△y)△x+f y (x,y+θ2△y)△y| ≤M|△x |+M|△y|, ∴∀ε>0, ∃δ=min{δ1,1)2(M ε}, 使当|△x |<δ,|△y |<δ时，就有|f(x+△x,y+△y)-f(x,y)|< ε,∴f 在U(P; δ)上连续.16、设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续. (1)若在intD 内有f x ≡0，试问f 在D 上有何特性？ (2)若在intD 内有f x =f y ≡0，f 又怎样？(3)在(1)的讨论中，关于f 在D 上的连续性假设可否省略？长方形区域可否改为任意区域？解： (1)f(x,y)=φ(y). 即函数值与x 无关. 理由如下： 对intD 内任意两点(x 1,y),(x 2,y)，由中值定理知： f(x 2,y)-f(x 1,y)=f x (x+θ(x 2-x 1),y)(x 2-x 1)=0，即f(x 2,y)=f(x 1,y)， 由(x 1,y),(x 2,y)的任意性知，f(x,y)=φ(y).(2)若在intD 内有f x =f y ≡0，则f(x,y)=常数，即函数值与x,y 无关. 证： 对intD 内任意两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)，由中值定理知存在 ξ=x 1+θ1(x 2-x 1), η=y 1+θ2(y 2-y 1)，使得f(x 2,y 2)-f(x 1,y 1)=f x (ξ,y 2)(x 2-x 1)+f x (x 1,η)(y 2-y 1)，∵f x =f y ≡0，∴f(x 2,y 2)≡f(x 1,y 1). 由(x 1,y 1),(x 2,y 2)的任意性知，f(x,y)=常数.(3)(1)中关于f 在D 上的连续性假设不能省略，否则不一定成立.例如，在矩形区域D=⎢⎣⎡-23,⎥⎦⎤23×[0,2]上二元函数f(x,y)=⎩⎨⎧>>中其它部分D 00y 0,x y 3，在intD 内，f x ≡0，但不连续，f(1,1)=1; f(-1,1)=0， 显然f 与x 有关，结论不成立.(1)中长方形区域不能改为任意区域，否则不一定成立.例如，设I={(x,y)|x=0,y ≥0}, D=R 2-I ，则二元函数f(x,y)=⎩⎨⎧>>中其它部分D 0y 0,x y 3， 在D 上连续，且f x ≡0，但f(1,1)=1; f(-1,1)≡0， 即f 与x 有关，结论不成立.17、试证在原点(0,0)的充分小邻域内，有arctan x y1yx ++≈x+y. 证：设f(u,v)=arctan uv1vu ++，u 0=0,v 0=0,△u=x,△v=y ，则 arctanx y1yx ++≈f(u 0,v 0)+f u (u 0,v 0)△u+f v (u 0,v 0)△v ，其中 f(u 0,v 0)=arctan0=0, f u (u 0,v 0)=f v (u 0,v 0)=1，∴arctan x y1yx ++≈△u+△v=x+y.18、求曲面z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与Ox 轴的交角.解：∵z x (2,4)=2x|x=2=1；∴切线与Ox 轴的交角为arctan1=4π.19、试证(1)乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和； (2)商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和. 证：(1)设u=xy, 则du=ydx+xdy ，∴u u ∆≈u du =y dy x dx +≤x dx +ydy. (2)设v=yx , 则dv=y dx -2y xdy，∴v v ∆≈v dv =y dy x dx -≤x dx +ydy .20、测得一物体的体积V=4.45cm 3, 其绝对误差限为0.01cm 3;又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.01g. 求由公式d=VW算出的密度d 的相对误差限和绝对误差限. 解：|△d|≈|d W ·△W+d v ·△V|=V VW V W 2∆-∆=01.045.430.804.4501.02⨯-≈0.017. 方法一：d d ∆=W d V ∆=30.80017.045.4⨯≈0.25%； 方法二：d d ∆≈W dW +VdV ≈0.032%+0.225%≈0.26%； ∴密度d 的相对误差限为约0.25%(或0.26%)，绝对误差限为0.017.。