2009年秋季学而思竞赛班选拔考试
学而思新人须知
新人须知，所有问题一网打尽1、网校课程跟面授有何不同只是顺序安排不同，面授和网校全年来看大纲一致，相同的知识点。
难易程度也差不多。
2、竞赛班和强化班的区别竞赛班和强化班知识点一样，竞赛班比强化班略难。
1,2年级一般最后2道例题的差别。
3年级差别大一些了。
学竞赛班，就不用学强化班了，只学一个，不用学2个。
3、上海地区和全国有何区别？基本一致，上海五年制，请选上海版。
其他地区选全国版。
4、打印资料家长买好网课后，从“我的网课”进入，就能看到自己买的课程。
上面还有讲义和测试，点击进去可以下载。
建议家长在听课前打印好讲义，孩子或大人帮助在讲义上记一下例题的笔记。
每讲的关键知识点乐乐老师都已经总结在讲义上了，便于以后的复习。
同时，在QQ群文件里，有乐乐老师专门为大家出的拓展习题，可根据年级下载。
2年级的已经全了，7月14日，柔爸上传的，“2年级拓展（全）”那个文件。
1、3年级目前不全，乐乐老师国庆后会上传。
拓展比讲义题目稍难，可隔一段时间再做，加深印象。
5、暑期卡想升级成年卡行吗可以，在暑期卡有效期前，打客服电话，让他们帮助升级成年卡，客服会帮助计算你要补多少差价，然后他们帮助你具体操作的，不要自己去买一个年卡。
年卡都是8折优惠的，而且有效期到明年7月，有的还有赠课呢，很合算的。
其中的暑期课程有效期都延到明年7月了。
6、如何请假？每门课有2次自助在线请假机会，每次最长可以请假7天，点击学习中心本课程右边的“请假”键，填入请假开始和结束时间，请假期间课程被冻结，什么都不能做，包括不能听课，不能下载讲义，课程有效期自动延长一周（如果请一周假）。
过了假期，课程自动解冻，可以学习。
如果想提前结束假期，点击“销假”键就又可以继续学习了。
7、如何延期课程有效期快到了，可是还没学完，怎么办？赶紧给客服打电话：400-610-8908 （客服正常时每天上午10点到下午7点上班，假期和5月份买课高峰时间会延长时间），要求延期，他们立刻帮你延期一个月。
2009年IMO中国国家队选拔考试试题含答案（第一天,2009年3月31日）
2009年IMO 中国国家队选拔考试第1天2009年3月31日8：00-12：30 湖北 武汉1、设D 是三角形ABC 的BC 边上一点，满足ÐCAD =ÐCBA ．圆O 经过B ，D 两点，并分别与线段AB ，AD 交于E ，F 两点，BF 、DE 相交于G 点．M 是AG 的中点．求证：CM ⊥AO ．2、给定整数2n ³，求具有下述性质的最大常数()n l ：若实数序列012,,,...,n a a a a 满足满足0120...n a a a a =££££，及111()2ii i a aa +-³+，1,2,...,1i n =-， 则有则有2211()()nni ii i ia n a l ==³åå.3、求证：对于任意的奇素数p ，满足|!1p n +的正整数n 的个数不超过23cp ，这里c 是一个与p无关的常数.1、设D 是三角形ABC 的BC 边上一点，满足ÐCAD =ÐCBA ．圆O 经过B ，D 两点，并分别与线段AB ，AD 交于E ，F 两点，BF 、DE 相交于G 点．M 是AG 的中点．求证：CM ⊥AO ．证明 如图，连接EF 并延长交BC 于P ，连接GP 交AD 于K ，并交AC 延长线于L ．K LP MGEFDCABO如下图，在AP 上取一点Q ，满足∠PQF ＝∠AEF ＝∠ADB ．易知A 、E 、F 、Q 及F 、D 、P 、Q 分别四点共圆．记⊙O 的半径为r ．根据圆幂定理知：知：AP 2＝AQ ×AP ＋PQ ×AP ＝AF ×AD ＋PF ×PE＝（AO 2－r 2）＋（PO 2－r 2）． ①QPGAOB EFD类似地，可得：类似地，可得：AG 2＝（AO 2－r 2）＋（GO 2－r 2）． ② 由①，②得AP 2－AG 2＝PO 2－GO 2，于是由平方差原理即知PG ⊥AO ．如下图，对△PFD 及截线AEB 应用Menelaus 定理，得定理，得1D A F E P B A FE PB D´´=．③ 对△PFD 及形外一点G 应用Ceva 定理，得定理，得1D KF E P B K F E P B D ´´=．④ ③÷④即得：③÷④即得：D A D K A FK F=． ⑤KPGAOBEFD⑤表明A ，K ；F ，D 构成调和点列，即AF ×KD ＝AD ×FK ． 再代入点列的Euler 公式知：公式知：AK ×FD ＝AF ×KD ＋AD ×FK ＝2AF ×KD ． ⑥而由B 、D 、F 、E 四点共圆，得∠DBA ＝∠EF A ．而∠CAD ＝∠CBA ；故∠CAF ＝∠EF A ，这就表明AC ∥EP ．由此，．由此，C P A F P DF D=． ⑦在△ACD 中，对于截线LPK 应用Menelaus 定理，得定理，得1A L C P D K L CP DK A´´=； ⑧将⑥，⑦代入⑧即得2A L L C=．最后，在△AGL 中，由M 、C 分别是AG 、AL 的中点，故MC 是其中位线，得MC ∥GL ．而已证GL ⊥AO ，从而MC ⊥AO ．2、给定整数2n ³，求具有下述性质的最大常数()n l ：若实数序列012,,,...,n a a a a 满足满足0120...n a a a a =££££，及 111()2i i i a a a +-³+，1,2,...,1i n =-，则有则有2211()()nni i i i ia n a l ==³åå.解：()n l 的最大值为2(1)4n n +.首先，令12...1n a a a ====，得2(1)()4n n n l +£.下面我们证明：对任何满足条件的序列012,,,...,n a a a a ，有不等式，有不等式22211(1)()()4nniii i n n ia a ==+³åå(*) 首先我们证明21...2n a a a n³³³.事实上，由条件有112()i i i ia i a a +-³+对任意1,2,...,1i n =-成立.对于给定的正整数11l n ££-，将此式对1,2,...,i l =求和得1(1)l l l a la ++³，即11l l a a ll +³+对任意1,2,...,1l n =-成立.下面我们证明，对于,,{1,2,...,}i j k n Î，若i j >，则2222ikjki k j k >++. 事实上，上式等价于222()2()ik j k jk i k +>+，即3()0i j k ->，显然成立. 现在我们来证明(*). 首先对于1i j n £<£，来估计i j a a 的下界. 由前述，知j i a a i j³，即0i j ja ia -³. 又因为0i j a a -£，故()()0i j j i ja ia a a --³，即22i j ji i j a a a a i ji j³+++.这样，我们有：这样，我们有：222111()2nni i i j i i i j nia i a ija a ==£<£=+ååå222222112()niji i i j ni j ij ia a a i ji j=£<£³×++++åå22112()n n ii k ik a i k ===×+åå.记212ni k ikb i k==+å，由前面证明可知12...n b b b £££.又22212...n a a a £££，由切比雪夫不等式，有：，由切比雪夫不等式，有：221111()()nn nii i i i i i a b a bn ===³ååå.这样221111()()()nnni ii i i i ia a b n ===³ååå.而22222222111111112(1)2()2()4nnnnn nii i k i i j ni i j ni ik i j ij n n biiij i i k iji j ====£<£=£<£=+==++=+==+++åååååååå因此22211(1)()4n ni i i i n n ia a ==+³åå.故(*)获证.综上所述，可知()n l 的最大值为2(1)4n n +.3、求证：对于任意的奇素数p ，满足|!1p n +的正整数n 的个数不超过23cp ，这里c 是一个与p 无关的常数.证明证明显然，符合要求的n 应满足11n p ££-. 设这样的n 的全体是12...k n n n <<<， 我们只需要证明2312k p £，当12k £时结论是显然成立的，下设12k >. 将1i i n n +-(11)i k ££-重排成不减的数列1211...k m m m -££££. 则显然有则显然有11111()k kii i k i i nn n n p m-+===-=-<åå.① 我们首先证明，对1s ³，有，有|{11:}|ii k s s m ££-=£， ②即等于给定的s 的i m 至多有s 个.事实上，设1i i n n s +-=，则1!1!10(m od )i i n n p ++º+º，由此可知(,!)1i p n =，故，故()(1)...(1)1(mod )i i in s n s n p ++-+º.故i n 是s 次同余方程次同余方程()(1)...(1)1(mod )x s x s x p ++-+º的一个解. 由于p 是素数，由拉格朗日定理知，上述同余方程至多有s 个解，故满足1i i nn s +-=的i n 至多只有s 个值，从而②得证个值，从而②得证.. 现在我们证明，对任意的正整数l ，只要(1)112l l k ++£-，就有(1)121l l lm ++³+.假设结论不成立，即(1)12l l l m++£，那么12(1)12,,...,ll m m m ++都是1到l 中的正整数. 而由②知，在12(1)12,,...,l l m m m ++中，1至多出现1次，2最多出现2次，…，l 至多出现l 次，即从1到l的正整数总共至多出现(1)12 (2)l l l ++++=次，这与(1)12l l ++个数12(1)12,,...,l l m m m ++都是不超过l 的正整数矛盾！的正整数矛盾！ 设m 是满足(1)112m m k ++£-的最大正整数，则的最大正整数，则(1)(1)(2)11122m m m m k ++++£-<+③ 我们有我们有11112(1)(1)(1)(2)(1)121122223(...)(1)(1)(1)(21).63k m m m ii i i i i i i i i i i i i i m m m m mmm m m----++++++++====³+++³+³+++=>åååå由于12k >，故4m ³，因此，结合①，③可得，因此，结合①，③可得2212331(1)(2)244(3)4(3)2k i i m m k m p m -=++<+<<<×å.这就证明了结论.。
奥数 六年级 千份讲义 25 1[1].学而思杯考前辅导
![奥数 六年级 千份讲义 25 1[1].学而思杯考前辅导](https://img.taocdn.com/s3/m/49ed10cabb4cf7ec4afed0e8.png)
模块一、计算【例 1】（2008年学而思杯6年级1试第1题）计算：11111200820092010201120121854108180270++++= 。
【例 2】（2009年学而思杯6年级第6题）计算：1122426153577++++=____。
【例 3】（2008年学而思杯6年级第1题）计算：3413441344413444444441344444444412389275277527775277777777527777777775+⨯+⨯++⨯+⨯=。
【巩固】(第五届《小数报》数学竞赛初赛计算题第3题)计算：11111 123420 261220420 +++++学而思杯考前辅导【巩固】 计算：1111111315356399143195++++++【巩固】 111111212312100++++++++++【巩固】234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯++++【巩固】 111111212312100++++++++++【巩固】234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯++++【巩固】 (仁华学校入学测试题) 22222211111131517191111131+++++=------ .【巩固】 计算：222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯【巩固】 计算：222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=----- ．【巩固】计算：222212350133********++++=⨯⨯⨯⨯．【巩固】11111 (......) 1200722006(2008)200622007120071111 (......) 20081200622005(2007)20061n nn n+++++-⨯⨯⨯-⨯⨯+++++⨯⨯⨯-⨯【巩固】1 2【例 4】（2009年学而思杯6年级第1题）a=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998，的整数部分是。
集训队第一部分答案
A
1
3
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7
B
C
2
4
6
8
【分析与解】 因为由小号房间进入到相邻的大号房间； 所以到大号房间的通路数等于与其相邻的小号房间的通路数；
A\1 1\1 3\1 5\1 7\5
B\1
2\2
4\3
6\4
8\10 C\10
如图所示，由标数法，有共有10 条通路。
【第12题】 在电脑里先输入一个数，它会按给定的指令进行如下运算：如果输入的数是偶数，就把它除 以 2 ；如果输入的是奇数，就把它加上 3 ；对产生的数继续进行同样的运算。这样进行了 3 次， 得出结果是 27 。原来输入的数可能是 ________ 。
【第4题】 某人工作一年的报酬是18000 元和一台全自动洗衣机。他干了 7 个月，得到 9500 元和一台全 自动洗衣机。这台洗衣机价值 ________ 元。
【分析与解】
这个人每个月的报酬是 18000 9500 12 7 1700 元；
这台洗衣机价值1700 12 18000 2400 或1700 7 9500 2400 元。
【分析与解】 如果是奇数，逆推只能乘以 2 ； 如果是偶数，逆推可以乘以 2 ，也能减去 3 ； ① 27 2 54 ， 54 2 108 ，108 2 216 ； ② 27 2 54 ， 54 2 108 ，108 3 105 ； ③ 27 2 54 ， 54 3 51， 51 2 102 ； 原来输入的数可能是 216 ，105 ，102 。
【分析与解】 因为李明每分钟做 3 道题； 所以李明 60 3 20 秒钟做1道题； 所以李明 20 5 100 秒钟做 5 道题； 因为张强每做 5 道题比李明少用 6 秒钟； 所以张强100 6 94 秒钟做 5 道题； 所以张强每道题用时 94 5 18.8 秒； 所以张强做完100 道题需要18.8 100 1880 秒； 所以李明1880 秒钟做1880 20 94 道题； 即张强做完100 道题时，李明已做完 94 道题。
学而思三年级竞赛班(第四讲和差倍)
杨树
杨树
柳树 槐树
柳树
10 200
槐树
6
计算：200-10+6=196（棵） 一倍数：196÷（2+1+1）=49（棵） 杨树：49×2=98（棵） 柳树：49+10=59（棵） 槐树：49-6=43（棵）
二、差倍问题（知道两个数的倍数关系以及这两个数的差，求这两个数各是多少的问题）
（一）整倍型 例 6 甲乙两筐梨，甲筐比乙筐重 48 千克，甲筐每天可以卖出的数量是乙筐的 2 倍，4 天后
哥哥 45
弟弟
计算一倍数，即哥哥现在的图书量：（25+20）÷（1+2）=15（本） 哥哥给弟弟的图书量：25-15=10（本）
（四）暗倍 注意：数字问题中，末尾添一个 0 即为原来的 10 倍
例 4 两个数的和是 682，其中一个加数的个位是 0，如果把这个 0 去掉，就得到另一个加 数，求两个加数各是多少。 解析：大数把个位的 0 去掉，即是÷10，得到小数，那么可知大数是小数的 10 倍，那么和 应该就是（1+10）=11 倍 一倍数（小数）：682÷（1+10）=62 大数：62×10=620
例 2 商店运来桔子、苹果、香蕉共 53 千克，桔子的重量是苹果的 3 倍少 3 千克，香蕉的 重量是苹果的 2 倍多 2 千克，桔子重多少千克？ 解析：苹果是 1 倍数，画出线段图
苹果
3 倍数
桔子
2 倍数
少3
53
香蕉
多2பைடு நூலகம்
看图可知，根据“多”的减去，“少”的加上的原则，53 加上 3，减去 2，则是一个整倍数。
三年级竞赛 2010 秋季 第四讲 和差倍
程雪
是乙堆的 3 倍，那么甲堆原来有零件多少个？李师傅一共生产了多少个？ 解析：如果从甲堆零件中拿 15 个放到乙堆中，则两堆零件个数相等，说明甲堆比乙堆多 15
学而思目标清北班和s班
学而思目标清北班和S班简介学而思是一家专注于K12教育的教育机构，通过提供优质的教学内容和多元化的教学形式，帮助学生在学业上取得优异的成绩。
其中，学而思目标清北班和S班是学而思的两个重点培养班级，针对具有较高学术潜力的学生，提供精细化的学习指导和资源支持，旨在培养下一代的顶尖人才。
招生对象学而思目标清北班和S班的招生对象是在学习上具有优秀潜力和成绩的学生，主要针对初中和高中阶段的学生。
学生需要通过一系列的选拔考试，包括学业考试、面试等，才有机会被录取进入这两个班级。
授课内容学而思目标清北班和S班的课程设置严格按照国家教育标准和高考要求来进行，注重培养学生的学科知识深度和广度，并加强学生的思维能力、创新能力和解决问题的能力。
学科课程学科课程包括数学、物理、化学、生物、英语、语文等主要学科，以高考要求为基础，深入浅出地讲解各个知识点，并通过大量的课后习题和考试模拟，帮助学生巩固和提高学科知识水平。
思维课程思维课程主要注重培养学生的逻辑思维能力、创造力和问题解决能力，包括数学思维课程、科学思维课程和综合思维课程等。
通过分析和解决实际问题，引导学生灵活运用知识，培养学生的创新精神和独立思考能力。
素质课程素质课程主要包括英语写作、演讲表达、心理辅导等，旨在提升学生的综合素质和综合能力，为学生未来的发展打下良好的基础。
师资力量学而思目标清北班和S班的教师团队是由经验丰富、教学水平高的教师组成的。
教师们具备深厚的学科知识和优秀的教学能力，能够针对每个学生的特点和需求，进行个性化的教学，帮助学生充分发挥自己的潜力，并取得优异的学业成绩。
辅导和指导学而思目标清北班和S班的辅导和指导包括定期的学习辅导、学业指导和职业规划指导等。
教师们会和学生进行定期的面对面交流和探讨，帮助学生解决学习中遇到的困难和问题，并为学生提供科学合理的学习计划和就业指导。
特色活动学而思目标清北班和S班还会组织丰富多样的特色活动，包括科研训练营、学术竞赛、模拟联合国等。
2009年某市公开选拔学校校长理论考试试题00
2009年某市公开选拔学校校长理论考试试题00第一篇：2009年某市公开选拔学校校长理论考试试题00一、填空题（每空1分，共18分）1、新课程改革倡导的三大理念是（关注学生发展；强调教师成长；重视以学定教）2、新时期人才培养的目标的四个学会是（学会认知，学会做事，学会共同生活，学会生存）3、新课程改革强调改变学生的学习方式，倡导建立具有（主动参与，乐于探究，交流合作（自主、合作、探究）特征的学习方式。
4、学校德育的基本途径有（通过各科教学，通过班级建设，通过实践活动，通过校园文化建设）5、学校管理的一般规律是（制订计划，组织执行，督促检查，总结提高）二、选择题（每空1分，共10分）1、树立校长威信，从根本上说，取决于校长的＿＿C＿＿。
A 严格管理B学识水平C人格魅力2、校长、教导主任管理教学工作必须读好的“三本书”是＿＿B ＿＿。
A师资力量生源素质教学实施B课程计划教学大纲教科书C专业知识管理知识边缘知识3、分层教学的实质是教学过程中应贯彻＿＿C＿＿。
A循序渐进的原则B启发诱导的原则C因材施教的原则4、教师教学过程的关键环节是＿＿B＿＿。
A备课B上课C考查5、推进素质教育的核心在于＿＿C＿＿。
A改革课程教材教法B完善教学设施C提高师资水平6、现行的学校班级授课制度始于＿＿A＿＿。
A1905年B1912年C1919年7、近代教育家中主要从事平民教育的是＿C＿＿＿。
A 陶行知B 黄炎培C宴阳初8、传统的课堂教学评价以＿＿A＿＿为中心，导致评价的失衡。
A教师B学生C教法9、“对学校的管理首先是教育思想的领导，其次才是行政的领导”这是国外教育家＿＿C＿＿关于教育的至理名言。
A杜威B孟禄C 苏霍姆林斯基10、教文局“关于举行全县学校领导干部理论考试的通知”一则公文，从公文形式上说是属于＿＿B＿＿。
A上行文B下行文C 平行文三、判断题（每小题1分，共10分）1、搞好教育改革，抓好课程建设，是教育的今天和明天的中心工作。
全国高中数学奥林匹克竞赛江苏初赛试卷2009-2017年 试卷+详解答案(纯word版)
2009年江苏省高中数学联赛初赛试卷一、填空题(每小题7分，共70分)1. 已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝ .2. 已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4. 若a 1＝－5，则k ＝ .3. 设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝ .4. 已知3x ＋19x －1＝13－31-x，则实数x ＝ .5. 如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD . R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为 .6. 设f (x )＝log 3x －4－x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是 .7. 右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定. 净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm. 若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3.8. 设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ .9. 设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为 .10. 设a 是整数，0≤b ＜1. 若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝ .二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)11. 在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点. 求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积.12. 如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12. 求BC .EBCD A13. 若不等式x ＋y ≤k 2x ＋y 对于任意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围.14.(1) 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；(2) 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论.2010年江苏省高中数学联赛初赛试卷一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1. 方程9135x x +-=的实数解为 .2. 函数sin cos y x x =+()x ∈R 的单调减区间是 .3. 在△ABC 中，已知4AB AC ⋅= ，12AB BC ⋅=-，则AB ＝ .4. 函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 .5. 在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =，()6,8B =，()2,4C =，则R 的取值范围为 .6. 设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.7. 从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为 .（第7题）8. 圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种. 其中镀2金2银的概率是 .9. 在三棱锥A BCD -中，已知ACB CBD ∠=∠，ACD ADC BCD BDC ∠=∠=∠=∠θ=，且cos θ=已知棱AB的长为，则此棱锥的体积为 .10. 设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11nn n a x x x +=+. 若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是 .二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11. 直角坐标系xOy 中，设A 、B 、M 是椭圆22:14x C y +=上的三点. 若3455OM OA OB =+ ，证明：线段AB 的中点在椭圆22212x y +=上.12. 已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列.(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=.13. 如图，圆内接五边形ABCDE 中，AD 是外接圆的直径，BE AD ⊥，垂足H . 过点H 作平行于CE 的直线，与直线AC 、DC 分别交于点F 、G . 证明： (1) 点A 、B 、F 、H 共圆； (2) 四边形BFCG 是矩形.ABCDEF H G14. 求所有正整数x、y，使得23+都是完全平方数.y x+与23x y2011年江苏省高中数学联赛初赛试卷一、填空题（本题共10小题，每小题7分，要求将答案直接写在横线上）1. 复数(1 + i)4 + (1 - i)4 =.2. 已知直线x-my + 1 = 0是圆C: x2 + y2- 4x + 4y- 5 = 0的一条对称轴，则实数m=.3. 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是（结果用最简分数表示）.4.已知1cos45θ=，则44sin cosθθ+=.5.已知向量a，b满足π2,,3==<>=a b a b，则以向量2+a b与3-a b表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为.6.设数列{a n}的前n项和为S n. 若{S n}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n3}的前n项和等于.7. 设函数2()2f x x=-. 若f (a)＝f (b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是.8. 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n a n n =∈N*，则[(2011)]f f =9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角 形的斜边长是 .10. 已知m 是正整数，且方程2100x m -+=有整数解，则m 所有可能的值 是 .二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11. 已知圆221x y +=与抛物线2y x h =+有公共点，求实数h 的取值范围.12. 设2()(,)f x x bx c b c =++∈R . 若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在区间(]2,3上的最大值为1，求22b c +的最大值和最小值.13. 如图，P 是ABC △内一点.（1）若P 是ABC △的内心，证明：1902BPC BAC ∠=+∠ ；（2）若1902BPC BAC ∠=+∠ 且1902APC ABC ∠=+∠ ，证明：P 是ABC △的内心.ABCP14.已知α是实数，且存在正整数n0.证明：存在无穷多个正整数n.2012年江苏省高中数学联赛初赛试卷一、填空题（70分）1. 当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为_____.2. 在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =_______.3. 从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________.4. 已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为________.5. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为，则直线的斜率为_______.6. 已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是________.7. 在四面体A B C D 中，5A B A C A DD B ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为____________.8. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=______.（*n N ∈）9. 将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有________种.10. 三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为_____.二、解答题（本题80分，每题20分）11. 在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明： （1）cos cos b C c B a +=； （2）22sin cos cos 2C A Ba bc +=+.12. 已知,a b 为实数，2a >，函数()|ln |(0)a f x x b x x =-+>.若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. （1）求实数,a b ；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <.13. 如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM 上有一动点B ，1,1AB OB =>. 线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点. 求线段CD 长的取值范围.14. 设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根. 证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.2013年江苏省高中数学联赛初赛试卷一、填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1. 设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 .2. 从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 .3. 设实数x ，y 满足22430x x y -++=，则22x y +的最大值与最小值之差是 .4. 若存在正实数a ，b 满足()()n n a bi a bi +=-（i 是虚数单位，*n ∈N ），则n 的最小值是 ．5. 若三角形ABC 的三边AB ，BC ，AC 成等差数列，则A ∠的取值范围是 ．6. 若数列{}n a 满足49a =，11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=（*n ∈N ），则满足条件的1a 的所有可能值之积是 .7. 已知2()942013f x x x =-+，则()6030()()n f n f n =+=∑ .8. 设x ，[]0,2y π∈，且满足12sin cos sin cos 2x y x y ++=-，则x y +的最大值为 .9. 已知正四面体ABCD 的棱长为9，点P 是面ABC 上的一个动点，满足P 到面DAB ,DBC ,DCA 的距离成等差数列，则P 到面DCA 距离的最大值是 .10. 将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 .二、解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11. 设k 为实数，06k <<，椭圆221():19x k E y -+=与椭圆222:19x E y +=交于点A 和C ，1E 的左顶点为B ，2E 的右顶点为D （如图），若四边形ABCD 是正方形，求实数k ．12. 如图，梯形ABCD中，B、D关于对角线AC对称的点分别是B'、D'，A、C关于对角线BD对称的点分别是A'、C'. 证明：四边形A B C D''''是梯形.A B CDO13. 设实数a，b满足1012a b≤≤≤≤. 证明：2()cos cosb a a bππ-≤-．14. 正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一. 证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点.2014年江苏省高中数学联赛初赛试卷一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）1．若2x ≥，则函数1()1f x x x =++的最小值是 ．2．已知函数()e x f x =．若()2f a b +=，则(3)(3)f a f b ⋅的值是 ．3．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为前n 项和，且满足221n n a S -=，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项n a = ．4．若函数2223, 0,()2,0x x x f x x ax x ⎧-⎪=⎨-+<⎪⎩≥是奇函数，则实数a 的值是 ．5．已知函数10()lg ||3f x x =-．若关于x 的方程2()5()60f x f x --=的实根之和为m ，则()f m 的值是 ．6．设α、β都是锐角，且cos α=，3sin()5αβ+=，则cos β等于 ．7．四面体ABCD 中，3AB =，5CD =，异面直线AB 和CD 之间的距离为4，夹角为o 60，则四面体ABCD 的体积为 ．8．若满足3ABC π∠=，3AC =，BC m =的ABC △恰有一解，则实数m 的取值范围是 ．9．设集合{}1,2,,8S = ，A ，B 是S 的两个非空子集，且A 中的最大数小于B 中的最小数，则这样的集合对(,)A B 的个数是 ．10．如果正整数m 可以表示为224x y - (x ，y ∈Z )，那么称m 为“好数”．问1，2，3，…，2014中“好数”的个数为 ．二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知a ，b ，c 为正实数，x y z a b c ==，1110x y z++=，求abc 的值．12．已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点B 的坐标为(0,)b ，直线1F B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若21212MF F F =，求双曲线C 的离心率．13．如图，已知ABC ∆是锐角三角形，以AB 为直径的圆交边AC 于点D ，交边AB 上的高CH 于点E ．以AC 为直径的半圆交BD 的延长线于点G ．求证：AG AE =．A BCD EGH14．（1）正六边形被3条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成4个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？A B CDEF（2）凸2016边形被2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．2015年江苏省高中数学联赛初赛试卷一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ．2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π24 处的值是 ．3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ．4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ．5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2c 2＝1有相同的离心率e ，则e 的值是 ．6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1V 2的值是 ．B（第6题图） A 17．若实数集合A ＝{31x ，65y }与B ＝{5xy ，403}仅有一个公共元素，则集合A ∪B 中所有元素之积的值是 ．8．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin α，cos α)．向量x 1，x 2，…，x 7中有3个为a ，其余为b ；向量y 1，y 2，…，y 7中有2个为a ，其余为b ．则7i =1x i y i 的可能取值中最小的为 ．9．在3³3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为 ．10．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是满足x ≥0，y ≥0，x ＋y ＋[x ]＋[y ]≤19的点(x ，y )形成的区域（其中[x ]是不超过x 的最大整数）．则区域D 中整点的个数为 ．二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．在等比数列{a n }中，a 2＝2，q 是公比．记S n 为{a n }的前n 项和，T n 为数列{a 2n }的前n项和．若S 2n ＝2T n ，求q 的值．（第9题图）1 2201512．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BD ＝CE ．∠BAC 的外角平分线与△ADE 的外接圆交于A 、P 两点． 求证：A 、P 、B 、C 四点共圆．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O 1、圆O 2都与直线l ：y ＝kx 及x 轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P (2，2)，求直线l 的方程．ABCDP(第12题图)E14．将正十一边形的k个顶点染红色，其余顶点染蓝色．（1）当k＝2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2）k取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由．2016江苏省高中数学联赛初赛试卷1、关于x 的不等式x a b +<的解集为{|24}x x <<，则ab 的值是 .2、从1, 2, 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是 .3、已知()f x 是周期为4的奇函数且当(0,2)x ∈时2()1660f x x x =-+,则f 的值是 .4、己知直线l 是函数2()2ln f x x x =+图象的切线，当l 的斜率最小时l 的方程是 .5、在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，但不经过第四象限，那么l 的斜率的取位范围是 .6、己知等边△ABC 的边长为2,若()11,32AP AB AC AQ AP BC =+=+,则△APQ 面积是 .7、已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点P 在棱BC 上，点Q 为棱CC 1的中点.若过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形.则BP 的取值范围是 .8、己知数列{}n a 的奇数项依次构成公差为d 1的等差数列，偶数项依次构成公差为d 2的等差数列.且对任意n ∈N *，都有1n n a a +< ,若a 1=1. a 2=2,.且数列{}n a 的前10项和S 10=75，则a 8= .9、己知正实数x ，y 满足()()222216x y y x+++=则x y +=.10、设M 表示满足下列条件的正整数n 的和:n 整除22016，且2016整除2n .那么M 的所有不同正因子几的个数是 .11、已知,2,0,1235cos 1sin 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=+πθθθ求θtan .12、如图，点P 在ABC △的边AB 上，且4AB AP =，过点P 的直线MN 与ABC △的外接圆交于点,M N ，且点A 是弧MN 的中点． 求证：（1）ABN ANP △△∽； （2）2BM BN MN +=．13、在平面直角坐标系xOy中.双曲线C:与双曲线C：22221yxa b-=的右焦点为F，过点F的直线l交曲线C于A.B两点.若OF AB FA FB⋅=⋅.求双曲线C的离心率e.14、己知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值λ.若九个内角中有一个角等于1200，试求常数λ的值.2017江苏省高中数学联赛初赛试卷一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分）1.已知向量((),AP PB == ，则向量AP 与AB的夹角等于 ．2.已知集合()(){}|10A x ax a x =-->，且,3a A A ∈∉，则实数a 的取值范围是 ．3.已知复数2cos sin33z i ππ2=+，其中i 是虚数单位，则32z z += ．4.在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且212,34OM PF PF PF ⊥=，则双曲线的离心率为 ．5.定义区间[]12,x x 的长度为21x x -．若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为 ．6.若关于x 的二次方程()()221200mx m x m m +--+=>的两个互异的根都小于1，则实数m 的取值范围是 ．7.若tan 4x =sin 4sin 2sin sin cos8cos4cos4cos2cos2cos cos x x x xx x x x x x x+++= ．8.棱长为2的正方体ABCD -1111A B C D 在空间坐标系O -xyz 中运动，其中顶点A 保持在z 轴上，顶点1B 保持在平面xOy 上，则OC 长度的最小值是 ．9.设数列12321,,,,a a a a 满足：()111,2,3,,20n n a a n +-== ，1721,,a a a 成等比数列．若1211,9a a ==，则满足条件的不同的数列的个数为 ．10.对于某些正整数n ，分数2237n n ++不是既约分数，则n 的最小值是 ．二、解答题：（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11.设数列{}n a 满足：①11a =，②0n a >，③2*11,.1n n n na a n N na ++=∈+求证：（1）数列{}n a 是递增数列；（2）对如图任意正整数n ，111.nn k a k=<+∑12.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，直线:30.l x y a +-=若椭圆E，原点O 到直线l的距离为（1）求椭圆E 与直线l 的方程；（2）若椭圆E 上三点()(),0,,,0P A b B a 到直线l 的距离分别为123,,d d d ， 求证：123,,d d d 可以是某三角形三条边的边长．13.如图，圆O 是四边形ABCD 的内切圆，切点分别为,,,,P Q R S OA 与PS 交于点1,A OB 与PQ 交于点1B ，OC 与QR 交于点1C ，OD 与SR 交于点1D ．求证：四边形1111A B C D 是平行四边形．14.求满足373x x y y -=-的所有素数x 和.yOD 1C 1B 1A 1SRQPDCBA2009年江苏省高中数学联赛初赛解析1. 已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝ .【解析】由于|sin α|≤1，|cos β|≤1，现sin αcos β＝1，故sin α＝1，cos β＝1或sin α＝－1，cos β＝－1，∴ α＝2kπ＋π2，β＝2lπ或α＝2kπ－π2，β＝2lπ＋π⇒α＋β＝2(k ＋l )π＋π2(k ，l ∈Z ).∴ cos(α＋β)＝0.2. 已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4. 若a 1＝－5，则k ＝ .【解析】设公差为d ，则得55＝－5×11＋12×11×10d ⇒55d ＝110⇒d ＝2.a k ＝55－4×10＝15＝－5＋2(k －1)⇒k ＝11.3. 设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝ . 【解析】由(2b )2＝2c ×2a ⇒a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0⇒e ＝－1＋52.4. 已知3x ＋19x －1＝13－31-x，则实数x ＝ .【解析】即13x －1＝3x3(3x －1)⇒32x －4×3x ＋3＝0⇒3x ＝1(舍去)，3x ＝3⇒x ＝1.5. 如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD . R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为 .【解析】A 、B 到平面PQR 的距离分别为三棱锥APQR 与BPQR 的以三角形PQR 为底的高. 故其比值等于这两个三棱锥的体积比.V APQR ＝12V APQD ＝12×13V APCD ＝12×13×13V ABCD ＝118V ABCD ；又，S BPQ ＝S BCD －S BDQ －S CPQ ＝(1－13－23×13)S BCD ＝49S BCD ，V RBPQ ＝49V RBCD ＝12×49V ABCD ＝418V ABCD .∴ A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4. 又，可以求出平面PQR 与AB 的交点来求此比值：在面BCD 内，延长PQ 、BD 交于点M ，则M 为面PQR 与棱BD 的交点.由Menelaus 定理知，BM MD ·DQ QC ·CP PB ＝1，而DQ QC ＝12，CP PB ＝12，故BMMD ＝4.在面ABD 内，作射线MR 交AB 于点N ，则N 为面PQR 与AB 的交点. 由Menelaus 定理知，BM MD ·DR RA ·AN NB ＝1，而BM MD ＝4，DR RA ＝1，故AN NB ＝14.∴ A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4.MNR Q PA DCB6. 设f (x )＝log 3x －4－x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是 .【解析】定义域(0，4]. 在定义域内f (x )单调增，且f (3)＝0. 故f (x )≥0的x 的取值范围为[3，4].7. 右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定. 净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm. 若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3.【解析】设净水器的长、高分别为x ，y cm ，则xy ＝300， V ＝30(20＋x )(60＋y )＝30(1200＋60x ＋20y ＋xy )≥30(1200＋260x ×20y ＋300)＝30(1500＋1200)＝30×2700. ∴ 至少可以存水78000cm 3.8. 设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ .【解析】设|→AO |＝|→BO |＝|→OC |＝R . 则→BC ·→AO ＝(→BO ＋→OC )·→AO ＝→BO ·→AO ＋→OC ·→AO ＝R 2cos(π－2C )＋R 2cos2B＝R 2(2sin 2C －2sin 2B )＝12(2R sin B )2－12(2R sin C )2＝12(122－132)＝－252.9. 设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为 .【解析】若a n ＋1≠0，则a n ＝2－2a n ＋1，故a 2008＝2－2，a 2007＝2－22－2＝－2，a 2006＝2＋2，a 2005＝ 2.一般的，若a n ≠0，1，2，则a n ＝2－2a n ＋1，则a n －1＝a n ＋1－2a n ＋1－1，a n －2＝22－a n ＋1，a n －3＝a n ＋1，故a n －4＝a n .于是，Σk ＝12009a n ＝502(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2009＝502(a 2005＋a 2006＋a 2007＋a 2008)＋a 2009＝2008＋ 2.10. 设a 是整数，0≤b ＜1. 若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝ . 【解析】若a 为负整数，则a 2＞0，2b (a ＋b )＜0，不可能，故a ≥0. 于是a 2＝2b (a ＋b )＜2(a ＋1)⇒a 2－2a －2＜0⇒0≤a ＜1＋3⇒a ＝0，1，2. a ＝0时，b ＝0；a ＝1时，2b 2＋2b －1＝0⇒b ＝3－12； a ＝2时，b 2＋2b －2＝0⇒b ＝3－1.说明：本题也可以这样说：求实数x ，使[x ]2＝2{x }x .B二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)11. 在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点. 求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积.【解析】取方程组⎩⎨⎧4x 2＋9y 2＝36，x ＝2y －4．代入得，25y 2－64y ＋28＝0.此方程的解为y ＝2，y ＝1425.即得B (0，2)，A (－7225，1425)，又左焦点F 1(－5，0).连OA 把四边形AFOB 分成两个三角形.得，S ＝12×2×7225＋12×5×1425＝125(72＋75).也可以这样计算面积：直线与x 轴交于点C (－4，0). 所求面积＝12×4×2－12×(4－5)×1425＝125(72＋75).也可以这样计算面积： 所求面积＝12(0×2－0×0＋0×1425－(－7225)×2＋(－7225)×0－(－5)×1425＋(－5)×0－0×0)＝12(14425＋14255)＝125(72＋75). 12. 如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12. 求BC .【解析】AD AC ＝ACAB⇒△ACD ∽△ABC ⇒∠ABC ＝∠ACD ＝∠BCE .∴ CE ＝BE ＝12. AE ＝AB －BE ＝16.∴ cos A ＝AC 2＋AE 2－CE 22AC ·AE ＝142＋162－1222·14·16＝142＋28·42·14·16＝1116.∴ BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝142＋282－2·14·28·1116＝72·9⇒BC ＝21.13. 若不等式x ＋y ≤k 2x ＋y 对于任意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围. 【解析】解法一：显然k ＞0.(x ＋y )2≤k 2(2x ＋y )⇒(2k 2－1)x －2xy ＋(k 2－1)y ≥0对于x ，y ＞0恒成立. 令t ＝xy＞0，则得f (t )＝(2k 2－1)t 2－2t ＋(k 2－1)≥0对一切t ＞0恒成立. 当2k 2－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k 2－1＞0.此时当t ＝12k 2－1时，f (t )取得最小值12k 2－1－22k 2－1＋k 2－1＝2k 4－3k 22k 2－1＝k 2(2k 2－3)2k 2－1.EBCD A当2k 2－1＞0且2k 2－3≥0，即k ≥62时，不等式恒成立，且当x ＝4y ＞0时等号成立. 所以k ∈[62，＋∞). 解法二：显然k ＞0，故k 2≥(x ＋y )22x ＋y ＝x ＋2xy ＋y2x ＋y .令t ＝x y ＞0，则k 2≥t 2＋2t ＋12t 2＋1＝12(1＋4t ＋12t 2＋1).令u ＝4t ＋1＞1，则t ＝u －14. 只要求s (u )＝8uu 2－2u ＋9的最大值.s (u )＝8u ＋9u－2≤82u ·9u －2＝2，于是，12(1＋4t ＋12t 2＋1)≤12(1＋2)＝32.所以k 2 ≥ 32，即k ≥ 62时，不等式恒成立(当x ＝4y ＞0时等号成立).又：令s (t )＝4t ＋12t 2＋1，则s '(t )＝8t 2＋4－4t (4t ＋1)(2t 2＋1)2＝－8t 2－4t ＋4(2t 2＋1)2，t ＞0时有驻点t ＝12.且在0＜t ＜12时，s '(t )＞0，在t ＞12时，s '(t )＜0，即s (t )在t ＝12时取得最大值2，此时有k 2≥12(1＋s (12))＝32.解法三：由Cauchy 不等式，(x ＋y )2≤(12＋1)(2x ＋y ).即(x ＋y )≤622x ＋y 对一切正实数x ，y 成立. 当k ＜62时，取x ＝14，y ＝1，有x ＋y ＝32，而k 2x ＋y ＝k 62＜62×62＝32. 即不等式不能恒成立. 而当k ≥62时，由于对一切正实数x ，y ，都有x ＋y ≤622x ＋y ≤k 2x ＋y ， 故不等式恒成立. 所以k ∈[62，＋∞). 14. (1) 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；(2) 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论.【解析】对于任意n ∈N *，n 2≡0，1(mod 4).设a ，b 是两个不同的自然数，①若a ≡0(mod 4)或b ≡0(mod 4)，或a ≡b ≡2(mod 4)，均有ab ≡0(mod 4)，此时，ab ＋10≡2(mod 4)，故ab ＋10不是完全平方数；② 若a ≡b ≡1(mod 4)，或a ≡b ≡3(mod 4)，则ab ≡1(mod 4)，此时ab ＋10≡3(mod 4)，故ab ＋10不是完全平方数.由此知，ab ＋10是完全平方数的必要不充分条件是a ≡/b (mod 4)且a 与b 均不能被4整除. (1) 由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a ＝2，b ＝3，c ＝13，则2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72. 即2，3，13是满足题意的一组自然数.(2) 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数.这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数. 故证.2010年江苏省高中数学联赛初赛解析版一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1. 方程9135x x +-=的实数解为 .【解析】x ＜0无解; 当0x ≥时，原方程变形为32x +3x －6=0，解得3x =2，x =log 32. 2. 函数sin cos y x x =+()x ∈R 的单调减区间是 .【解析】与f (x )=y 2=1+|sin2x |的单调减区间相同， [,],2422k k k ππππ++∈Z . 3. 在△ABC 中，已知4AB AC ⋅= ，12AB BC ⋅=-，则AB ＝ . 【解析】216AB AC AB BC AB ⋅-⋅== ，得4AB =.4. 函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 .【解析】极小值－4，端点函数值f (2)=0，f (0)=－2，最小值－4，最大值0.5. 在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =，()6,8B =，()2,4C =，则R 的取值范围为 .【解析】画图观察，R 最小时圆与直线段AC 相切，R 最大时圆过点，10]. 6. 设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.【解析】f (2k -1)=0，k ∈Z . 又可作一个函数()f x 满足问题中的条件，且()f x 的 一个零点恰为21x k =-，k ∈Z . 所以至少有50个零点.7. 从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为 . 【解析】不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以.8. 圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种. 其中镀2金2银的概率是 .（第7题）【解析】穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为13.9. 在三棱锥A BCD -中，已知ACB CBD ∠=∠，ACD ADC BCD BDC ∠=∠=∠=∠θ=，且cos θ=已知棱AB的长为，则此棱锥的体积为 . 【解析】4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为144 . 10. 设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11nn n a x x x +=+. 若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是 . 【解析】由11n n n a x x x +=+，2321n n n a x x x +++==+()21111n n a x a x ++=++()3211n n n a x x a a x =+++恒成立， 即()()2110n n a a x x a +++-=.因为1n x a ≠-或0，故210a a ++=，所以12a i =-±. 二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11. 直角坐标系xOy 中，设A 、B 、M 是椭圆22:14x C y +=上的三点. 若3455OM OA OB =+ ，证明：线段AB 的中点在椭圆22212x y +=上.【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 214x ＋y 12＝1，224x ＋y 22＝1.由3455OM OA OB =+ ，得 M (35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2).因为M 是椭圆C 上一点，所以21234()554x x +＋(35y 1＋45y 2)2＝1， …………………6分即 (214x ＋y 12)(35)2＋(224x ＋y 22)(45)2+2(35)(45)(124x x ＋y 1y 2)=1，得 (35)2＋(45)2+2(35)(45)(124x x＋y 1y 2)＝1，故124x x ＋y 1y 2＝0. …………………14分又线段AB 的中点的坐标为 (122x x +，122y y +)，所以212()22x x +＋2(122y y +)2＝12(214x ＋y 12)+12(224x ＋y 22)+124x x ＋y 1y 2＝1，从而线段AB 的中点(122x x +，122y y +)在椭圆22x ＋2y 2＝1上. ………………20分12. 已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列.(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=.【解析】(1) 设数列前6项的公差为d ，则a 5=－1+2d ，a 6=－1+3d ，d 为整数. 又a 5，a 6，a 7成等比数列，所以(3d －1)2=4(2d －1)，即 9d 2－14d +5=0，得d =1. …………………6分 当n ≤6时，a n =n －4，由此a 5=1，a 6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n ≥5时，a n =2n -5.故 a n =54,42,5n n n n --≤⎧⎨≥⎩ …………………10分(2) 由（1）知，数列{}n a 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，… 当m =1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)； 当m =3时等式成立，即 －1+0+1=0；当m =2、4时等式不成立； …………………15分 当m ≥5时，a m a m +1a m +2 =23m -12， a m +a m +1+a m +2=2m -5(23－1)=7×2m -5， 7×2m -5≠23m -12， 所以 a m +a m +1+a m +2≠a m a m +1a m +2 .故所求 m = 1，或m =3. …………………20分 13. 如图，圆内接五边形ABCDE 中，AD 是外接圆的直径，BE AD ⊥，垂足H . 过点H 作平行于CE 的直线，与直线AC 、DC 分别交于点F 、G . 证明： (1) 点A 、B 、F 、H 共圆； (2) 四边形BFCG 是矩形.【解析】(1) 由HG ∥CE ，得∠BHF =∠BEC ， 又同弧的圆周角 ∠BAF =∠BEC ， 所以∠BAF =∠BHF ，所以点 A 、B 、F 、H 共圆； …………………8分 (2) 由(1)的结论，得 ∠BHA =∠BFA ， 因为BE ⊥AD ，所以BF ⊥AC ， 又AD 是圆的直径，所以CG ⊥AC ， …………………14分 由A 、B 、C 、D 共圆及A 、B 、F 、H 共圆，所以∠BFG =∠DAB =∠BCG ，所以B 、G 、C 、F 共圆. 所以∠BGC =∠AFB=90°，所以BG ⊥GC ，故四边形BFCG 是矩形. …………………20分 14. 求所有正整数x 、y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数.ABCDEF H G【解析】若x =y ，则x 2+3x 是完全平方数. 因为x 2＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2，所以x 2+3x = (x +1)2，∴ x =y =1. ………………5分 若x ＞y ，则x 2＜x 2+3y ＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2. 因为x 2+3y 是完全平方数，所以x 2+3y = (x +1)2，得3y = 2x +1，由此可知y 是奇数， 设y = 2k +1，则x =3k +1，k 是正整数.又 y 2+3x = 4k 2+4k +1+9k +3=4k 2+13k +4是完全平方数， 且 (2k +2)2=4k 2+8k +4＜4k 2+13k +4＜4k 2+16k +16= (2k +4)2， 所以y 2+3x =4k 2+13k +4=(2k +3)2，得 k =5，从而求得x =16，y =11. …………………15分 若x ＜y ，同x ＞y 情形可求得 x =11，y =16.综上所述，(x ，y )= (1，1), (11，16), (16，11). …………………20分2011年江苏省高中数学联赛初赛解析版一、填空题（本题共10小题，每小题7分，要求将答案直接写在横线上）1. 复数(1 + i)4 + (1 - i)4 = .【解析】(1 + i)4 + (1 - i)4 = [(1 + i)2]2 + [(1-i)2]2 = (2i)2 + (-2i)2 = - 8.2. 已知直线x - my + 1 = 0是圆C : x 2 + y 2 - 4x + 4y - 5 = 0的一条对称轴，则实数m = .【解析】圆心C (2,-2)在直线x - my + 1 = 0上，所以2 + 2m + 1 = 0，解之得m =32-.3. 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）. 【解析】2301+28+28571930291452C ==⨯. 4. 已知1cos45θ=，则44sin cos θθ+= . 【解析】由1cos45θ=得221cos 2sin 25θθ-=，又22cos 2sin 21θθ+=，所以223cos 2,52sin 2.5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以442222221124sin cos (sin cos )2sin cos 1sin 212255θθθθθθθ+=+-=-=-⨯=.5. 已知向量a ，b 满足π2,,3==<>=a b a b ，则以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为 .【解析】因为22224428+=++⋅=a b a b a b ，22239628-=+-⋅=a b a b a b ，所以23+=-=a b a b 记向量2+a b 与3-a b 的夹角为θ. 则22(2)(3)6242422+⋅-=+⋅-=+-=a b a b a a b b ，另一方面(2)(3)23cos 28cos θθ+⋅-=+⋅-=a b a b a b a b ，所以11cos 14θ=.所以sin θ=所以所求平行四边形的面积为=6. 设数列{a n }的前n 项和为S n . 若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前 n 项和等于 .【解析】因为2n n S =，所以12,1,2,2,n n n a n -=⎧=⎨≥⎩则318,1,8, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩ 记数列{a n 3}的前n 项和为T n .所以当n ≥ 2时，T n = 8 + (81+ 82+ … + 8n -1) = 8 + 887n -=1(848)7n+.当n = 1时，也符合上式.综上所述，T n =1(848)7n +7. 设函数2()2f x x =-. 若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是 . 【解析】由题可知2 - a 2 = b 2 - 2，所以a 2 + b 2 = 4 ≥ 2ab ，又0＜a ＜b ，所以ab ∈(0,2). 8. 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n a n n =∈N*，则[(2011)]f f = 【解析】f (2011)为数列{a n }中小于2011的项的个数， 而442 = 1936 < 2011，452 = 2025 > 2011，所以f (2011) = 44. 类似地，可知f (44) = 6. 所以[(2011)]f f =6.9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 .【解析】如图，等腰Rt △DEF 的三个顶点D 、E 、F 分别在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的三条侧棱AA 1、BB 1、CC 1上，∠DEF = 90°.因为正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为4，结合图形的对称性可得：该三角形斜边EF 上的中线DG 的长等于底面三角形的高，所以该三角形的斜边EF 上的中线DG =，所以斜边EF的长为.10. 已知m是正整数，且方程2100x m -+=有整数解，则m 所有可能的值是 .【链接】（2011年苏锡常镇四市一模) 设m ∈N，若函数()210f x x m =-+存在整数零点，则m 的取值集合为 ．D E FGA 1B 1C 1CBA解：当x ∈Z ，且x ≤10时，Z ． 若m =0，则x = -5为函数f (x )的整数零点． 若m ≠0，则令f (x )=0，得mN ．注意到-5≤x ≤10N ，得x ∈{1，6，9，10}，此时m ∈{3，223，14，30}． 故m 的取值集合为{0，3，14，30}．注：将“m ∈N ”改为“m ∈N *”，即得上面的填空压轴题.二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11. 已知圆221x y +=与抛物线2y x h =+有公共点，求实数h 的取值范围. 【解析】设公共点（cos θ，sin θ），代入抛物线方程，得22215sin cos sin sin 1(sin )24h θθθθθ=-=+-=+-. 因为[]sin 1,1θ∈-，所以5,14h ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.12. 设2()(,)f x x bx c b c =++∈R . 若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在区间(]2,3上的最大值为1，求22b c +的最大值和最小值.【解析】由题意函数图象为开口向上的抛物线，且()f x 在区间(]2,3上单调递增， 故有(2)(3)1f f =≤，从而5b -≥且38c b =--. 1°若()0f x =有实根，则240b c ∆=-≥，在区间[]2,2-有(2)0,(2)0,22,2f f b ⎧⎪-⎪⎨⎪⎪-⎩≥≥≤≤即420,420,44,b c b c b -+⎧⎪++⎨⎪-⎩≥≥≤≤消去c ，解出4,54,44,b b b ⎧-⎪⎪-⎨⎪-⎪⎩≤≤≤≤即4b =-，这时4c =，且0∆=.2°若()0f x =无实根，则240b c ∆=-<，将38c b =--代入解得84b -<<-. 综上54b --≤≤.所以22222(38)104864b c b b b b +=+--=++，单调递减， 故2222min max ()32,()74b c b c +=+=. 13. 如图，P 是ABC △内一点. （1）若P 是ABC △的内心，证明：1902BPC BAC ∠=+∠ ；（2）若1902BPC BAC ∠=+∠ 且1902APC ABC ∠=+∠ ，证明：P 是ABC △的内心.AB CP【解析】（1）111 180()180(180)90222BPC ABC ACB BAC BAC∠=-∠+∠=--∠=+∠；（2）因为1902BPC BAC∠=+∠是大于90 的定角，BC是定线段，所以点P在以BC为弦的圆上，其中1902BPC BAC∠=+∠，且劣弧 BPC与A在BC的同侧.同理，点P在以AC为弦的圆上，其中1902APC ABC∠=+∠，且劣弧 APC与B在AC的同侧.所以P是这两个圆的公共点.由（1）可推知，ABC△的内心也是这两个圆的公共点.又C是此两圆的另一个公共点，但不在ABC△内，所以P是内心.14.已知α是实数，且存在正整数n0.证明：存在无穷多个正整数n.qp=，其中p，q为互质的正整数，则202qnpα+=. 设k为任意的正整数，构造222n p k qk n=++，qpkp+∈Q.2012年江苏省高中数学联赛初赛解析版一、填空题（70分）1. 当[3,3]x∈-时，函数3()|3|f x x x=-的最大值为_____.【解析】设3()3,[3,3]g x x x x=-∈-，2()333(1)(1)g x x x x'=-=-+.因为(1)2g-=，(1)2g=-，(3)18g=，(3)18g-=-，根据()g x的单调性结合绝对值的性质知3()3f x x x=-的最大值为18.2. 在ABC∆中，已知12,4,AC BC AC BA⋅=⋅=-则AC=_______.【解析】16AC BC AC BA⋅-⋅=，16AC AC⋅=，所以4AC=.3.从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________.【解析】考虑取出三数从小到大成数列.当d=1时，有3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8四组.当d=2时，有3，5，7；4，6，8两组，所以有6种情形.。
学而思寒春高端班次介绍
高端班次介绍
预录取体系——目标获得预录取名额且通过自主招生考试
开班时间及开班地点：
寒假
徐老师 李静怡 徐老师 郑巍 徐老师
北海路 8 号福申大厦 709 教室 天山路 1825 号皇家楼 410 教室 北海路 8 号福申大厦 709 教室 天山路 1825 号皇家楼 417 教室 大连路 1053 号卢比克大厦 500 教室
二模热身 期末考试
八超星——目标新知杯一等奖
开班时间：
寒假：无 春季：共 15 次课，周晓东老师，2 月 24 日起每周日上午 8:30-11:30
开班地点：
黄浦区北海路 8 号福申大厦 7 楼
报名资格：
新知杯获奖的七、八年级学员、学而思推荐学员
授课内容：
1. 大纲将由周晓东老师敲定并调整，在上届八超星基础上，大纲与选题会优化 2. 难度较大
授课内容：
寒假：相对较简单，可以当作复习 春季：中考压轴训练，和竞赛体系完全不同
对于稳定考试感觉和维持学习节奏，冲刺中考数学满分是非常有用的
寒假 组合 圆幂定理 四点共圆 高次方程中的韦达定理 数论一 数论二 代数式恒等变形 考试
春季 中考题集——相似三角形 1 中考题集——相似三角形 2 中考题集——以函数为载体 中考题集——以三角形为载体 中考题集——以四边形为载体 中考题集——以圆为载体
结课日期
2013-6-15
2013-6-14 2013-6-15 20130-21:00
周五晚 18:00-21:00 周六下 13:00-16:00 周日下 13:00-16:00
新知杯获奖的七、八年级学员、入围决赛的七年级学员、原新知杯集训队或九超星学员可直接报名
春季
徐老师 郑巍 李静怡 徐老师 徐老师
2009年IMO中国国家队选拔考试
３．显然，符合要求的ｎ应满足
１≤拜≤ｐ—１．
。
设这样的ｎ的全体是
忍，＜ｎ２《…＜ｎｉｔ．
只须｛歪明蠡≤１２ｐ芎． 当矗≤１２时，结论是显然成立的． 下设ｋ＞１２。
将毽＋ｌ一獠（１≤ｉ《露一１）重摊成不减 的数列１≤产ｌ《如≤…《心－１．则显然有
∑羧＝∑（Ｉｔ㈦一Ｉｔｉ＞
＝ｌ＇ｔＩ一，Ｉｌ＜ｐ．
１
口ｆ≥｛Ｌ＿（口ｔ＋１＋口ｉ—１）（ｉ＝１，２，…，ｎ一１），
则（∑ｉａｉ）２≥Ｊ；【（凡）∑０２；．
‘＝ｌ
ｌ ２Ｉ
（朱华伟供题）
３．求证：对于任意的奇质数Ｐ，满足
Ｐ Ｉ（凡！＋１）的正整数凡的个数不超过ｃｐ一３， 这里。ｃ是一个与Ｐ无关的常数．
（余红兵供题）
第二天
４．设正实数凸、ｂ满足ｂ—ｎ＞２．求证： 对区问［口，ｂ）中任意两个不同的整数ｍ、 ｎ，总存在一个由区间［８６，（ａ＋１）（ｂ＋１）） 中某些整数组成的（非空）集合ｓ，使得
接下来证明：对任何满足条件的序列 ａｎ，ａｌ’．一，ａ。，有不等式
（骞¨２≥唑半妻ｉ＝ｌ以 ①
首先证明：。。≥丁ａ２≥…≥菩
事实上，由条件有２ｉａ；≥ｉ（ａ…＋ａＨ） 对任意的ｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ一１）成立．
对于给定的正整数ｚ（１≤ｆ≤ｎ一１），将 此式对ｉ（江１，２，…，ｉ）求和得
（Ｚ＋１）ａｆ≥ｌａ…，
方．
享ｌ理的证明：取秽是大于或等予业的
最小整数，即整数锣满足
煦≤钟＜堂＋ｌ
拄
聪
磷口６≤删《ａｂ＋珏（＜ａｂ＋口＋ｂ＋１）． ①
． 故ａｂ＜（芏舂＋１）秽＝嬲＋秽＜ａｂ＋赫＋ａｂ＋ｌ
珏
《ａｂ＋ｏ＋ｂ＋１（因穗《ｕ＜ｂ）．
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2009年秋季学而思竞赛班选拔考试
学校 姓名 得分
所在学而思班次 春季 暑期 秋季
考试
说明 1．考试时间：60分钟．
2．试卷分值：本试卷共15道题，每题8分，共120分．
快乐的暑假即将结束了，灰太郎向羊村的村民们发出了挑战：进行一场数学大赛，如果
羊村的代表输给灰太郎，就要被吃掉．为了打败灰太郎，羊村派出最聪明的喜羊羊和他的伙
伴们组成了数学学习小组，每天集中学习和讨论经典的数学题型．现在，就让我们也来一起
研究这些题目，帮助羊村一起度过难关吧！
小朋友们一定要睁大眼睛，耐心仔细地看好题目，躲过其中的小陷阱，最后不要忘记一
定要认真检查！加油！！
EMBED Equation.DSMT4 ．
用2，4这两张卡片可以组成 个不同的数．
数一数．（必须全答对才给分哦！）
个正方体 个正方体．
早上9：00刚到学校，懒羊羊就饿了，但是中午11：00才能吃午饭，请你帮他算一算，再过
分钟懒羊羊才能吃上午饭．
慢羊羊在去给病人看病的路上，两只手各拎了1个药箱，每个药箱里各装着3瓶药，请问：
慢羊羊带了 瓶药去看病．
☆＋▼=22，▼－☆=12，则▼= ．
妹妹今年4岁，哥哥今年10岁，再过5年，哥哥比妹妹大 岁．
把一根绳子先对折，再对折，然后从正中剪断，这根绳子被剪成了 段．
小红借给灰灰10元钱后还剩下20元，这时两人的钱数同样多，灰灰原来有 元钱．
小红和小明共有42张画片，如果小红给小明5张，两人的画片张数就同样多，原来小红有
张．
羊村为庆祝国庆六十周年特地彩排了一个舞蹈，他们按1红、1蓝、1紫、1白的服装颜色依
次列队，如果这列小羊共有23只，那么最后一只小羊穿 颜色的服装．
有三根铁丝，第一根长15米，第二根长24米，第三根的长度和前两根的总和同样长，这三
根铁丝一共长 米．
暖羊羊和美羊羊一共有20块糖，美羊羊有12块，两人相差 块糖，如果想让两人的
糖数一样多，那么美羊羊要给暖羊羊 块糖．（必须全答对才给分哦！）
一只蜗牛从12厘米深的空穴底部往上爬，每爬3厘米要用3分钟，然后停１分钟休息一下，
再继续往上爬，蜗牛从洞底爬到洞口一共要用 分钟．
在50以内（包括50），十位上的数字比个位上的数字大的两位数一共有 个．
2009年秋季学而思竞赛班选拔考试 —— 二年级 第 PAGE 2 页
新二年级
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