K(m,n)方程的对称性约化
《群论基础》习题
《群论基础》习题1．讨论以下集合是否构成群：（1）除0以外的全体偶数集合对数的乘法；（2）1的任何次根（n k i n e π21=，k ＝0，1，…，n-1）的全体复数集合对于乘法；（3）绝对值等于1的全体复数集合（θi e ，πθ20≤≤）对于乘法；（4）m ⨯n 矩阵的集合对于矩阵加法（m ≠n ）；2．回答问题：（1）什么是群中的“类”，请证明阿贝尔群中所有元素都自成一类。
（2）什么是“特征标”，群中同类元素的特征标有何特点。
（3）什么是“群表示”和“群的不可约表示”。
（4）不可约表示特征标有何特点？如何判断一个表示是否可约？（5）什么点群的分子既有偶极距又有旋光性？具有偶极距或旋光性的分子其分子对称性有何特点？3. 从下列点群中补充或减少指定的对称元素，将得到什么点群？(1) C 3加i (2) C 3加S 6 (3) C 5v 加σh (4) S 6减i(5)S 4加i (6) D 3d 减S 6 (7)C 3v 加i (8)T d 加i4．一个正方体，如果把互相错开的顶角都锯掉同样的一个小正三棱体，得到的多面体属于哪一个点群。
5．确定以下分子所属点群：（1）1，3-二氯代丙二烯 （2）乙二醇（3）8-羟基喹啉 （4）肼（5）对称三氮杂苯 （6）对称三氯代苯（7）六氯代苯（相邻的C-Cl 上下交错地偏离苯环平面12°）（8）环戊二烯 （9）环丁烷（10）六氯乙烷 （11）丁二烯6．构成点群C 2h 的乘法表，并将群元素分类。
7．构成点群C 2h 的特征标表，并标出它的不可约表示。
8．利用C 2h 的特征标表说明：（1） 将C 2轴看做是Z 轴，σh 为xy 平面，在C 2h 点群中x 、y 和z 属于哪一种表示。
（2） d xy ，d xz 和d yz 属于哪一种表示。
9．试对H 2O 分子中氧原子的d 轨道进行对称性分类。
11．对D 6h 群，写出下列直积表示的特征标，并确定组成它们的不可约表示：A 1g ⊗B 1g A 1u ⊗ A 1u B 2u ⊗ E 1gE 1g ⊗ E 2u E 1g ⊗ B 2g A 2u ⊗ E 1u12．用对称性匹配函数的方法造出环丁二烯的分子轨道。
非线性薛定谔方程的非局域对称
非线性薛定谔方程的非局域对称杜晓阳;费金喜;马正义【摘要】基于非线性薛定谔方程及其Lax对,通过恰当的对称假设,得到了薛定谔方程含Lie点对称的非局域对称.由于所得到的非局域对称不能直接用来构造方程的精确解,为此引入了一个辅助变量,将薛定谔方程的非局域对称局域化为拥有扩大空间的Lie点对称,从而构建了封闭的延拓系统.在对称约化过程中,得到了与雅可比函数相关的显式解,其图像显示了孤波和椭圆余弦波之间的相互作用.【期刊名称】《浙江理工大学学报》【年(卷),期】2016(035)001【总页数】5页(P140-144)【关键词】薛定谔方程;非局域对称;Lax对;延拓系统;精确解【作者】杜晓阳;费金喜;马正义【作者单位】浙江理工大学理学院,杭州310018;丽水学院工程与设计学院,浙江丽水323000;丽水学院工程与设计学院,浙江丽水323000【正文语种】中文【中图分类】O175.29非线性偏微分方程(nonlinear partial differential equation，NPDE)，是现代数学的一个重要分支。
它常常被用来描述力学、控制系统、化工循环系统、流行病等领域的问题，对这些现象的研究最终可归结为微分方程的求解问题。
然而，由于结构的复杂性，大部分NPDE的解是无法用现有的方法直接得到的，有的也仅是近似解。
另外，随着人们对其研究的深入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，如今也必须考虑非线性对其造成的影响。
因此，对NPDE的研究，尤其是对其如何求精确解，就具有很重要的意义。
正是因为这样，众多学者在如何求解NPDE方面做了很多研究，提出了很多研究方法，如反散射法、Hirota双线性法、Painlevé有限展开法、Bäcklund变换法、Darboux变换法，Lie群法等。
就Lie群法而言，自从Sophus Lie的Lie群理论被引入，它就被广泛用于寻找偏微分方程的Lie点对称。
群表示理论
(4) 广义正交定理（关键定理，Great Orthogonality Theorem）：
对于群G的每个操作R，G和Gn是具有矩阵 D (R ) 和 Dv (R )
（维数分别为n和nn)的两个不可约表示，那么矩阵元素具有下列方程所表述的
一. 群的表示
1.群的各种表示
群的表示的定义：任意一组集合,如果它的乘法关系与群的相同,那么这组集合就是群 的一个表示。群的表示就是群的一个同构或同态的群 。
群的矩阵表示：通常总是选择一组矩阵(矩阵群)作为群的表示(这样,就将群的对称性 变换化为矩阵运算,便于解析),称为群的矩阵表示。
基的选择：可以是坐标、向量,也可以是一组线性独立的函数 。 因为基的选择是随意的,因而产生的表示也有无数多；但是对一个特定群,不等价不可 约表示是固定的有限个。
1
k (E ) 2 g 1(C i ) 1 (第1列和第1行)
1
ab
c
d
（2）不可约表示的数目r等于类的数目k
(3)各行必须满足 (4)各列必须满足
k
gi (C i )n (C i )* g n
i 1
k
n 1
n
(C i)nຫໍສະໝຸດ (Cj )*(
g
gi )ij
1 2a 3b 0
2
Oˆ R
A1
f
2
A1Oˆ R
f2
A1D
f
(R
)
f
2
A1D
f
(R
)
A
g2
g
n
f
n
分子对称性和群论初步
Cn轴产生n个旋转操作的周期均为n。
（2）对称轴 (Cn )和旋转操作 (Cn )
对称元素: 旋转轴C2 对称操作: 旋转
H2O中的C2
H2O2中的C2
NH3中的C3轴
SF6中的C4轴
Fe(C5H5)2中的C5轴
C6H6中的C6轴
N2中的C∞轴
（3）对称面 s 和反映操作 s
对称面
相当于一个镜面，把分子图形分成两个完全相等的对称 部分，两部分之间互为镜中映象；对称面所相应的对称 操作是镜面的一个反映，在对称面的反映操作下，分子 图形相等的两部分互相交换位置，相同性质的点（同类 原子）彼此置换。显然，反映操作的周期为2，即：
ˆ ˆ =E s
操作定义
Cn旋转轴能生成n个旋转操作，记为：
2 ˆ ˆ n, Cn , C
…
, ˆn=E ˆ C Cn
n 1 n
ˆk 若取逆时针方向的旋转为正操作，表示为 C n，则顺 k ˆ 时 针 旋 转 为 逆 操 作 ， 表 示 为C n ，不难理 (nk )。 ˆk ˆ 解C n =C n
操作的周期
S8
2.5 假轴向群 Sn群
Sn：有一个 n重象转轴，须考虑 n的奇偶性。 n为偶数时， 群中有n个元素，n为奇数时，Sn不独立存在。 只有S4是独立的点群。例如：1,3,5,7-四甲基环辛四烯， 有一个S4映转轴，没有其它独立对称元素。
S2 S4
2.6 六方群
1). Td群
若一个四面体骨架的分子，存在4个C3轴，3个C2轴，同时每 个C2轴还处在两个互相垂直的平面sd的交线上，这两个平面还 平分另外2个C2轴（共有6个这样的平面）则该分子属Td对称性。 对称操作为｛E，3C2，8C3，6S4，6sd｝共有24阶。 四 面 体 CH4 、 CCl4 对 称 性 属 Td 群 ， 一 些 含 氧 酸 根 SO42- 、 PO43-等亦是。在CH4分子中，每个C-H键方向存在1个C3轴，2 个氢原子连线中点与中心C原子间是C2轴，还有6个sd平面。
高三二轮复习选填满分“8+4+4”小题强化训练第5练(原卷及答案)(新高考专用)
高三二轮复习选填满分“8+4+4”小题强化训练(5)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设R U =，已知两个非空集合M ，N 满足∅=⋂N C M U ，则（）A．RM N ⋂=B．M N⊆C．N M⊆D．RM N ⋃=2.已知,,R a b c ∈，那么下列命题中正确的是（）A．若a b >，则22ac bc >B．若a bc c>，则a b >C．若a b >且0ab <，则11a b>D．若22a b >，则11a b<3.函数2()()log xxf x e e x -=+的图象大致是（）A. B.C. D.4.欧拉公式i e cos isin (i x x x =+为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知i a e 为纯虚数，则复数sin211ia ++在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5.良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区瓶窑镇、良渚街道境内.1936年浙江省立西湖博物馆的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚镇一带发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑．国际学术界曾长期认为中华文明只始于距今3500年前后的殷商时期，2019年7月6日，中国良渚古城遗址被列入世界遗产名录，这意味着中国文明起源形成于距今五千年前，终于得到了国际承认！2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裏泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%．已知经过x 年后，碳14的残余量(1)(,0,01;0)x y k p k k p x =-∈><<R ，碳14的半衰期为5730年，则以此推断此水坝大概的建成年代是（）．（参考数据：2log 0.5520.8573≈-）A．公元前2893年B．公元前2903年C．公元前2913年D．公元前2923年6.已知12,F F 为椭圆1C ：2222111x y a b +=(110>>a b )与双曲线2C ：2222221x y a b -=(220,0a b >>)的公共焦点，点M 是它们的一个公共点，且123F MF π∠=，12,e e 分别为1C ，2C 的离心率，则12e e 的最小值为（）A．2C．2D．37.三棱锥P ABC-的所有顶点都在球O 的球面上.棱锥P ABC-的各棱长为：2PA =，3,4,5,PB PC AB BC AC =====，则球O 的表面积为（）A.28πB.29πC.30πD.31π8.已知0.40.7e ,eln1.4,0.98ab c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A．a c b >>B．b a c>>C．b c a>>D．c a b>>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，随机观察了他所在地区的100天中的“日落云里走”的情况和后半夜天气情况，得到如下数据，后半夜天气情况“日落云里走”的情况下雨未下雨总计出现25530未出现254570总计5050100并计算得到219.05χ≈，则小波对该地区天气的判断正确的是（）A.后半夜下雨的概率约为12B.未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为59C.有99%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下雨”有关D.若出现“日落云里走”，则后半夜有99%的可能会下雨10.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的总数为n S ，则（）A.535S =B.1n n na a +-=C.1(1)2n n n n S S -+-=，2n ≥ D.1231001111200101a a a a ++++= 11.已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有下列结论正确的有（）A．203f π⎛⎫=⎪⎝⎭B．若()56f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π；C．关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有4个不相等的实数解D．若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤ ⎥⎝⎦12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点F 在正方形11CDD C 内，则（）A.若1C F ⊥平面1A CF ，则点F 的位置唯一B.若1//B F 平面1A BD ，则1B F 不可能垂直1CD C.若()112BF BC BD =+，则三棱锥11-F B CC 的外接球表面积为4πD.若点E 为BC 中点，则三棱锥11A AB E -的体积是三棱锥1-A FA B 体积的一半三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13.若随机变量1~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()*N E X ∈，写出一个符合条件的n =___________.14.九龙壁是中国古代建筑的特色，是帝王贵族出入的宫殿或者王府的正门对面，是权力的象征，做工十分精美，艺术和历史价值很高．九龙壁中九条蟠龙各居神态，正中间即第五条为正居之龙，两侧分别是降沉之龙和升腾之龙间隔排开，其中升腾之龙位居阳位，即第1，3，7，9位，沉降之龙位居2，4，6，8位．某工匠自己雕刻一九龙壁模型，为了增加模型的种类但又不改变升腾之龙居阳位和沉降之龙的位置，只能调换四条升腾之龙的相对位置和四条沉降之龙的相对位置，则不同的雕刻模型有______种（用数字作答）．15.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，且()24f =，则不等式()2f x x>的解集为__________．16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，ADE V 的周长是13，则DE =_____．高三二轮复习选填满分“8+4+4”小题强化训练(5)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设R U =，已知两个非空集合M ，N 满足∅=⋂N C M U ，则（）A．R M N ⋂=B．M N⊆C．N M ⊆D．RM N ⋃=【答案】B【解析】根据题意，作出如下图韦恩图：满足∅=⋂N C M U ，即M N ⊆.故选：B.2.已知,,R a b c ∈，那么下列命题中正确的是（）A．若a b >，则22ac bc >B．若a bc c>，则a b >C．若a b >且0ab <，则11a b>D．若22a b >，则11a b<【答案】C【解析】A ．若a b >，当0c =时，22ac bc =，所以选项A 不成立；B ．若a bc c>，当0c <时，则a b <，所以选项B 不成立；C ．因为0ab <，将a b >两边同除以ab ，则11a b>，所以选项C 成立；D ．如果2,1,a b ==-满足22a b >，但是11a b>，所以选项D 不成立．故选：C．3.函数2()()log xxf x e e x -=+的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】22()()log ()log ()xx x x f x ee x e e xf x ---=+-=+=,()f x 为偶函数，排除AD ，又01x <<时，()0f x <，排除B ．故选：C ．4.欧拉公式i e cos isin (i x x x =+为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知i a e 为纯虚数，则复数sin211ia ++在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为i e cos isin x x x =+，所以i e cos isin a a a =+，因为i a e 为纯虚数，所以cos 0a =，sin 0a ≠，故sin 22sin cos 0a a a ==，所以()()sin2111i 1i 11i 1i 1i 1i 1i 222a +--====-+++-，则复数sin211i a ++在复平面内对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则其在第四象限，故选：D.5.良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区瓶窑镇、良渚街道境内.1936年浙江省立西湖博物馆的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚镇一带发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑．国际学术界曾长期认为中华文明只始于距今3500年前后的殷商时期，2019年7月6日，中国良渚古城遗址被列入世界遗产名录，这意味着中国文明起源形成于距今五千年前，终于得到了国际承认！2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裏泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%．已知经过x 年后，碳14的残余量(1)(,0,01;0)x y k p k k p x =-∈><<R ，碳14的半衰期为5730年，则以此推断此水坝大概的建成年代是（）．（参考数据：2log 0.5520.8573≈-）A．公元前2893年B．公元前2903年C．公元前2913年D．公元前2923年【答案】B【解析】 碳14的半衰期为5730年，∴1573057305730111(1)(1)222x k k p p y k ⎛⎫⎛⎫=-⇒-=⇒= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当55.2%y k =时，5730155.2%2x k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1222log 0.552log 0.552,5730log 0.55249125730xx ∴==-=-≈， 2010年之前的4912年是公元前2902年，∴以此推断此水坝大概的建成年代是公元前2903年.故选：B.6.已知12,F F 为椭圆1C ：2222111x y a b +=(110>>a b )与双曲线2C ：2222221x y a b -=(220,0a b >>)的公共焦点，点M 是它们的一个公共点，且123F MF π∠=，12,e e 分别为1C ，2C 的离心率，则12e e 的最小值为（）A．2C．2D．3【答案】A【解析】设椭圆1C 、双曲线2C 的共同半焦距为c ，由椭圆、双曲线对称性不妨令点M 在第一象限，由椭圆、双曲线定义知：1212||||MF MF a +=，且212||||2MF MF a -=，则有112||MF a a =+，212||MF a a =-，在12F MF △中，由余弦定理得：22212121212||||||2||||cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠，即222121212124()()2()()cos3c a a a a a a a a π=++--+-，整理得：2221243c a a =+，于是得2212222212123134a a c c e e e e =+=+≥=，当且仅当221213e e =，即21e =时取“=”，从而有12≥e e ，所以12e e.故选：A7.三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上.棱锥P ABC -的各棱长为：2PA =，3,4,5,PB PC AB BC AC =====O 的表面积为（）A.28πB.29πC.30πD.31π【答案】B【解析】由题意知：222PB PC BC +=，222PA PC AC +=，222PA PB AB +=，∴,,PA PB PC 两两垂直，即P ABC -为直三棱锥，∴若Rt PBC △的外接圆半径为r ，则522BC r ==，又PA ⊥面PBC ，∴外接球心O 到PA 的距离为52r =，故外接球半径2R ==，∴外接球表面积2429S R ππ==.故选：B.8.已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A．a c b >>B．b a c >>C．b c a>>D．c a b>>【答案】A【解析】构造()1=ln e f x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x '>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当2x =时，等号成立，当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98e e<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，随机观察了他所在地区的100天中的“日落云里走”的情况和后半夜天气情况，得到如下数据，后半夜天气情况“日落云里走”的情况下雨未下雨总计出现25530未出现254570总计5050100并计算得到219.05χ≈，则小波对该地区天气的判断正确的是（）A.后半夜下雨的概率约为1 2B.未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为5 9C.有99%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下雨”有关D.若出现“日落云里走”，则后半夜有99%的可能会下雨【答案】AC【解析】对A，把频率看作概率，可得后半夜下雨的概率约为5011002=，故A判断正确：对B，未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为255254514=+，故B判断错误；对C，由219.05 6.635χ≈>，知有99%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下雨”有关，故C判断正确；易知D判断错误.故选：AC10.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有n a个球，从上往下n层球的总数为n S，则（）A.535S =B.1n n na a +-=C.1(1)2n n n n S S -+-=，2n ≥ D.1231001111200101a a a a ++++= 【答案】ACD【解析】因为11a =，212a a -=，323a a -=，……，1n n a a n --=，以上n 个式子累加可得：(1)1232n n n a n +=++++=，所以512345136101535S a a a a a =++++=++++=，故选项A 正确；由递推关系可知：11n n a a n +-=+，故选项B 不正确；当2n ≥，1(1)2n n n n n S S a -+-==，故选项C 正确；因为12112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以12100111111112122223100101a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭120021101101⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故选项D 正确；故选：ACD.11.已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有下列结论正确的有（）A．203f π⎛⎫=⎪⎝⎭B．若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π；C．关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有4个不相等的实数解D．若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦【答案】ABD【解析】A，∵7375,124126ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 在73,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，又73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73212423πππ+=，∴203f π⎛⎫=⎪⎝⎭，故A 正确；B，区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭右端点56x π=关于23x π=的对称点为2x π=，∵203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，f (x )在75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，∴根据正弦函数图像特征可知()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，∴512(62322T T ππππω-==⋅ 为()f x 的最小正周期)，即ω 3，又0ω>，∴03ω< .若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()f x 的图象关于直线512x π=对称，结合203f π⎛⎫=⎪⎝⎭，得()252121312442k k T k ππππω++-===⋅∈Z ，即()42k k ω=+∈Z ，故k ＝0，2,T ωπ==，故B 正确.C，由03ω< ，得23T π，∴()f x 在区间[)0,2π上最多有3个完整的周期，而()1f x =在1个完整周期内只有1个解，故关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有3个不相等的实数解，故C 错误.D，由203f π⎛⎫=⎪⎝⎭知，23π是函数()f x 在区间23π⎡⎢⎣，136π⎫⎪⎭上的第1个零点，而()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则13252632T T ππ<- ，结合2T πω=，得81033ω< ，又03ω< ，∴ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦，故D 正确.故选：ABD.12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点F 在正方形11CDD C 内，则（）A.若1C F ⊥平面1A CF ，则点F 的位置唯一B.若1//B F 平面1A BD ，则1B F 不可能垂直1CD C.若()112BF BC BD =+，则三棱锥11-F B CC 的外接球表面积为4πD.若点E 为BC 中点，则三棱锥11A AB E -的体积是三棱锥1-A FA B 体积的一半【答案】AD【解析】如图，以D 为原点分别以DA 、DC 、1DD 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系：则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()12,0,2A ，()12,2,2B ，()10,2,2C ，()10,0,2D ，由于动点F 在正方形11CDD C 内，可设()0,,F m n ，其中02m <<，02n <<，选项A：若1C F ⊥平面1A CF ，则11C F A C ⊥ ，1C F CF ⊥．由于()10,2,2C F m n =-- ，()12,2,2A C =-- ，()0,2,CF m n =-，则()()()()222220220m n m n n ⎧⨯---=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得：11m n =⎧⎨=⎩或22m n =⎧⎨=⎩（舍去），此时()0,1,1F ，即点F 的位置唯一，故选项A 正确；选项B：()10,2,2A B =- ，()2,2,0BD =--，设平面1A BD 的一个法向量为(),,n x y z =r．则220220y z x y -=⎧⎨--=⎩，令1y =，得1x =-，1z =，故()1,1,1n =-，而()12,2,2B F m n =--- ，若1B F ∥平面1A BD ，则10B F n ⋅=，则2220m n +-+-=，即2m n +=，所以()0,,2F m m -，此时()12,2,B F m m =---，而()10,2,2CD =- ，所以()112022244B F CD m m m ⋅=-⨯-⨯--⨯=-+，当1m =时，440m -+=，此时110B F CD ⋅= ，则11B F CD ⊥.故选项B 不正确；选项C：由于()112BF BC BD =+，则F 为1CD 的中点，此时()0,1,1F ，设三棱锥的11-F B CC 的外接球的球心为(),,O x y z ，则11OC OB OC OF OC OC⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即()()()()()()()()()()2222222222222222222222211222x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⎧+-+=-+-+-⎪⎪+-+=+-+-⎨⎪+-+=+-+-⎪⎩，解得：121x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()1,2,1O ，则三棱锥的11-F B CC的外接球的半径为R OC ==，所以三棱锥的11-F B CC 的外接球表面积为22448R πππ=⨯=，故选项C 不正确；选项D：点E 为BC 中点，由正方体可知BC ⊥平面11A ABB ，则11111111111222132323A AB E E AA B V V AA A B BE --==⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=111111111422232323A FAB F AA B V V AA A B BC --⋅==⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=则三棱锥11A AB E -的体积是三棱锥1-A FA B 体积的一半.故选项D 正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13.若随机变量1~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()*N E X ∈，写出一个符合条件的n =___________.【答案】3（答案不唯一）【解析】因为随机变量1~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()*1N 3E X n =∈，所以一个符合条件的3n =，故答案为：3（答案不唯一）14.九龙壁是中国古代建筑的特色，是帝王贵族出入的宫殿或者王府的正门对面，是权力的象征，做工十分精美，艺术和历史价值很高．九龙壁中九条蟠龙各居神态，正中间即第五条为正居之龙，两侧分别是降沉之龙和升腾之龙间隔排开，其中升腾之龙位居阳位，即第1，3，7，9位，沉降之龙位居2，4，6，8位．某工匠自己雕刻一九龙壁模型，为了增加模型的种类但又不改变升腾之龙居阳位和沉降之龙的位置，只能调换四条升腾之龙的相对位置和四条沉降之龙的相对位置，则不同的雕刻模型有______种（用数字作答）．【答案】576【解析】分步完成：第一步调换四条升腾之龙的相对位置，第二步调换四条沉降之龙的相对位置，方法数为4444576A A =．故答案为：576.15.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，且()24f =，则不等式()2f x x>的解集为__________．【答案】()2,+∞【解析】令()()f xg x x=，因为对()120,x x ∀∈+∞、，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，不妨设120x x <<，则120x x -<，故()()21120x f x x f x -<，则()()1212f x f x x x <，即()()12g x g x <，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又因为()24f =，所以()()2222f g ==，故()2f x x>可化为()()2g x g >，所以由()g x 的单调性可得2x >，即不等式()2f x x>的解集为()2,+∞.故答案为：()2,+∞16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，ADE V 的周长是13，则DE =_____．【答案】6【解析】如图，连接122,,AF DF EF ，因为C 的离心率为12，所以12c a =，即2a c =，所以22223b a c c =-=，因为12122AF AF a c F F ====，所以12AF F △为等边三角形，又2DE AF ⊥，所以直线DE 为线段2AF 的垂直平分线，所以2AD DF =，2AE EF =，则ADE V 的周长为22||||||||AD AE DE DF EF DE ++=++2211DF EF DF EF =+++134134a a ==⇒=，138c ∴=，而1230EF F ︒∠=，所以直线DE 的方程为3)3y x c =+，代入椭圆C 的方程2222143x y c c +=，得22138320x cx c +-=，设()11,D x y ，()22,E x y ，则21212832,1313c c x x x x +=-=-，所以48613cDE==，故答案为：6.。
多项式矩阵理论
7.11 既约性 7.12 史密斯形 7.13 波波夫形 7.14 矩阵束和克罗内克尔形 7.15 小结
7.11 既约形
1.列既约性和行既约性 2.既约性判据
3.非既约性的既约化
既约性
1 行既约（行化简）多项式矩阵 满足下列关系式的非奇异 m 阶多项式方阵 M(s) 是行既约多项式矩阵。
证：由于rankA S 0，所以A s 中一定存在非零元素。通过行或 列的对调，我们总可以假设a11 ( s ) 0. 由引理得，可经过有限次初 等变换得到一个与A S 等价的B s 满足b11(s)为首一非零多项式， b (s) 且b11(s)能整除B s 的所有元素。将B S 第一项分别乘以- i1 加 b11 ( s ) b1 j ( s ) 到第i行，i 2, 3 m, 再将B S 的第一列分别乘以加到j列， b11 ( s ) j 2, 3 n.
A2(s ) P(s ) A1(s ) T(s )
(7 7)
【问题】为什么可以通过初等变换把多项式矩阵 化为Smith形且具有相关性质？
引理：设多项式矩阵 As =(aij (s))mn 的元素 a11 (s) 0，且A(s)中 至少有一个元素不能被它整除，则必存在一个与A(s) 等价的多项式矩阵B(S),其首行首列位置的素b (s) 0 ， 且次数比 a11 (s) 的次数低，并且b11 ( s)整除B(s)的所有元 素。
k
i 1
ci
3 deg det A(s) 3;
k
i 1
ri
4 deg det A( s) 3
即A(s)列既约的，但不是行既约的。 同理可得，B(s)既不是行既约的，也不是列既约的
江苏省盐城市阜宁县东沟高级中学2022—2023学年高三年级高考数学第四次综合训练试卷(解析版)
江苏省盐城市阜宁县东沟高级中学2022—2023学年高三年级高考数学第四次综合训练试卷【参考答案】一、单项选择题。
（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足（1﹣i）z＝2+2i，则|z|＝（）A．1B．C．2D．2【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结论．【解答】解：∵（1﹣i）z＝2+2i，∴|1﹣i||z|＝|2+2i|，则，∴|z|＝2，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知M，N均为R的子集，且M⊆∁R N，则∁R M∩N＝（）A．∅B．M C．N D．R【分析】根据M⊆∁R N可画出Venn图，根据Venn图即可得出∁R M∩N＝N．【解答】解：用Venn图表示M，N如下：由Venn图看出，M⊆∁R N，∁R M∩N＝N．故选：C．【点评】本题考查了交集和补集的定义及运算，子集的定义，借助Venn图解决集合问题的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（）A．事件A与B相互独立B．事件A与C相互独立C．D．【分析】由古典概型概率计算公式求出P（A），P（B），P（C），P（AB），P（AC），再利用相互独立事件的定义能判断AB；利用条件概率公式计算能判断CD．【解答】解：将甲、乙、丙、丁4名医生派往①②③三个村庄义诊的试验有＝36个基本事件，它们等可能，事件A含有的基本事件数为＝12，则P（A）＝＝，同理P（B）＝P（C）＝，事件AB含有的基本事件个数为＝2，则P（AB）＝，事件AC含有的基本事件数为＝5，则P（AC）＝，对于A，P（A）P（B）＝≠P（AB），即事件A与B相互不独立，故A不正确；对于B，P（A）P（C）＝≠P（AC），即事件A与C相互不独立，故B不正确；对于C，P（B|A）＝＝，故C不正确；对于D，P（C|A）＝＝，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查相互独立事件的定义、条件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知向量，满足＝（，1），•＝4，则||的最小值为（）A．1B．C．D．2【分析】由平面向量数量积运算，结合平面向量模的运算求解即可．【解答】解：由＝（，1），则，则，即，则||的最小值为2，故选：D．【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．5．已知直线l：x+（a﹣1）y+2＝0，，且l 1⊥l2，则a2+b2的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据l1⊥l2得出b与a的关系式，代入a2+b2中利用二次函数的性质即可求出a2+b2的最小值．【解答】解：因为l1⊥l2，所以b+（a﹣1）＝0，所以a＝1﹣b，所以a2+b2＝+b2＝4b2﹣2b+1＝4+，所以当时，a2+b2取最小值为．故选：A．【点评】本题考查了两直线垂直的应用问题，也考查了利用函数求最值的应用问题，是基础题．6．为庆祝神舟十三号飞船顺利返回，某校举行“特别能吃苦，特别能战斗，特别能攻关，特别能奉献”的航天精神演讲比赛，其冠军奖杯设计如图，奖杯由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm 的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，则冠军奖杯的高度为（）cm．A．B．C．D．【分析】A，B，C在底面内的射影为M，N，P分别为对应棱的中点，求解△ABC外接圆圆心O的半径r，转化求解O1到平面DEF距离，推出结果．【解答】解：由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，设：A，B，C在底面内的射影为M，N，P分别为对应棱的中点，∴，∴△ABC是边长为9的等边三角形，设△ABC外接圆圆心O，半径r，则，∴，，∴O1到平面DEF距离：9，∴冠军奖杯的高度为：．故选：C．【点评】本题考查空间点、线、面距离的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线E的两条渐近线分别交于M，N，若，且∠F1NF2＝90°，则双曲线E的离心率为（）A．B．4C．D．6【分析】设N（x1，y1）则，利用，M在，求得N，则，，由，即可求双曲线离心率．【解答】解：设N（x1，y1），，∵N在，M在，∴∴，即N，则，，∴，∴，∴，故选：B．【点评】本题考查了双曲线的性质，考查了计算能力、转化思想，属于中档题．8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣a，若f（x）＝m|x﹣1|恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（）A．（，）∪[﹣，﹣]B．（，）∪[﹣，]C．（，）∪{﹣}D．（，）∪{﹣}【分析】利用函数的奇偶性以及函数的对称性，推出函数的周期，结合函数的图象，函数零点个数，列出不等式求解即可．【解答】解：定义在R上的奇函数f（x），满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（x）关于x＝1对称，f（0）＝0，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣a，所以a＝1，y＝m|x﹣1|关于x＝1对称，f（x）＝m|x﹣1|有6个根，∴f（x）＝m（x﹣1）在x∈（1，+∞）有三个根，f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），函数的周期T＝4，作出f（x）图象如图：当m＞0时，k AC＜m＜k AB，则；点m＜0时，，∴m的取值范围，故选：D．【点评】本题考查函数与方程的应用，零点个数的判断，考查数形结合以及计算能力，是中档题．二、多项选择题。
4 快速傅里叶变换
4.2 直接计算 DFT 的问题及改进的途径
设 x(n) 为 N 点有限长序列 , 其 DFT 为
X (k ) x(n)W , k 0,1,…,N-1
n 0 nk N
N 1
(4-1)
反变换( IDFT) 为
1 N 1 nk x(n) X (k )WN , n 0,1,…,N-1 N k 0
表示。流图的表示法 将在第五章中讨论 , 当支路上没有标出系数
时 , 则该支路的传输系数为 1 。
采用这种表示法 , 可将上面讨论的分解过程表示于图 4-2 中。 此图表示 N= =8 的情况 , 其中输出值 X(0) 到 X(3 )是由(4-11) 式给出的 , 而输出值 X(4 )到 X(7 )是由 (4-12) 式给出的。
前半部分X（k）（k=0，1……,N/2-1)
后半部分X（k）（k= N/2 ……,N-1)
这样 , 只要求出 0 到 (N/2-1 ）区间的所有
值 , 即可
求出 0 到 (N-1) 区间 内的所有 X(k）值 , 这就大大节省了运算。
(4-11）式和 (4-12）式的运算可以用图 4-1 的蝶形信号流图符号
nk （1） WN 的对称性
(W ) W
nk * N
nk N
nk （2 ） 的周期性 WN
W
（3）W
nk N 的可约性
nk N
W
W
( n N ) k N
W
n( k N ) N
W
nk N
nmk mN
,W
nk N
W
nk / m N /m
由此可得出
n ( N k ) ( N n ) k nk WN WN WN ,
《(2+1)-维非线性薛定谔方程组的Lie对称、一维优化系统及约化》范文
《（2+1）-维非线性薛定谔方程组的Lie对称、一维优化系统及约化》篇一(2+1)-维非线性薛定谔方程组的Lie对称、一维优化系统及约化一、引言在物理学和数学领域，非线性薛定谔方程组扮演着重要的角色。
特别是在(2+1)维度下，其复杂性和重要性更为突出。
本文将探讨(2+1)-维非线性薛定谔方程组的Lie对称性，以及如何通过一维优化系统进行约化，以获得高质量的解。
二、(2+1)-维非线性薛定谔方程组(2+1)-维非线性薛定谔方程组是一个描述多粒子系统在三维空间中相互作用的数学模型。
其形式复杂，涉及到多个未知函数和偏导数。
这些方程在物理、化学、生物等多个领域都有广泛的应用。
三、Lie对称性Lie对称性是一种强大的数学工具，可以用于研究非线性系统的性质和结构。
在(2+1)-维非线性薛定谔方程组中，Lie对称性可以用来简化方程，使其更易于求解。
通过构造适当的对称变换，可以降低方程的维度，从而得到更简单的解。
四、一维优化系统为了求解(2+1)-维非线性薛定谔方程组，我们引入一维优化系统。
这个系统通过优化某些特定的参数或变量，使方程的解达到最优。
我们采用梯度下降法等优化算法，对系统进行迭代求解，从而得到高质量的解。
五、约化方法约化方法是一种将高维问题转化为低维问题的技术。
在本文中，我们利用Lie对称性和一维优化系统，将(2+1)-维非线性薛定谔方程组约化为一系列一维方程。
这样，我们就可以通过求解这些一维方程来得到原问题的解。
约化过程不仅简化了问题，还提高了求解的效率和精度。
六、实验结果与分析我们通过数值模拟和实验验证了本文提出的方法。
首先，我们构造了(2+1)-维非线性薛定谔方程组的Lie对称变换，并利用这个变换将原问题转化为一系列一维方程。
然后，我们采用一维优化系统对这些问题进行求解，得到了高质量的解。
最后，我们将实验结果与传统的求解方法进行了比较，发现我们的方法在求解速度和精度方面都有明显的优势。
七、结论本文研究了(2+1)-维非线性薛定谔方程组的Lie对称性、一维优化系统和约化方法。
多维氢原子主量子数升降算符的归一化系数
２ 归一化系数 和
对 于 ｋ 空间，径 向 函数 的标 积 为 维
（（ Ｉ ＝ 厂（ ｇ 厂 ） （） ‘ ） ） ｇ （
态条件 Ｒ ｏ ＝ （） ， （ ） 尺０ ＝０ 可求得 ｏ
ｄ ４
（） ８
积 多了 个 因 ， 厄密 算符的 分中 一 子 根据 共轭 定义（（ 譬 ） （（ （） 并 径向函 缚 厂 ） （） 厂 ） ， 利用 ＝ ） 数束
ｌｌ 一 ｋ Ｉ】 了 ｆＪ一一１ ｄ － — 一 ｄ＝
求 得
＋
： 一
Ｉ （ 、 ９ ， ） Ｊ
（ ０） １
２ｄ
一 一
二 ≠
ｄ
显然 Ｂ不是厄密算符， 这需要特别注意． 其本征函数 Ｒ （） 尽管是归一的， 但并不正交． 由于
（（ Ｉ Ｉ ） （ Ｉ尺 ） ｎ Ｒ ） （ ＝尺 ）ｌ ） ， ４Ｂ 尺 ） （ （ ＝ 得到 （ （ Ｉ ＋ － 尺 １ ） ｋ ）０ ） ＝ （１ １）
多维氢原子主量子数升降算符 的归一化系数
李克轩
（ 中国人民武装警察部队学院 基础部 ，河北 廊坊 ０ ５０ ） ６０ ０
摘要 ：提 出了一种计算多维氢原子主量子数升降算符的归一化 系数 的方法．该方法利 用算符运算 和位力定理 ， 算得到ｋ 计 维氢原子归一化 系数的普适表 示式 ，进一步求得 了径向方程的本征值和 归一化的本征 函数．结果表 明，该方法很好地解决 了径 向方程无量纲变形后 ，其本征 函数非正交 的问题 ，并可直接得到归一化 系数的一般表 示式 ，当ｋ 和 ｋ ３时，得到二 维与三维氢原子升 ＝２ ＝ 降算子的归一化 系数． 关键词 ：ｋ 维氢原子 ；升降算符 ；位力定理 ；归一化 系数 ；本征 函数 中图分 类号 ：０５２２ ６． 文 献标 识码 ：Ａ