概率论与数理统计全概率和贝叶斯公式
概率论与数理统计公式定理全总结
概率论与数理统计公式定理全总结一、概率论公式：1.基本概率公式：对于随机试验E，事件A的概率可以表示为P(A)=事件A的样本点数/所有样本点数。
2.条件概率公式：对于事件A和事件B，若P(B)>，则事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.全概率公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B有P(B)=Σ(P(Ai)×P(B，Ai))。
4.贝叶斯公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B，有P(Ai，B)=(P(B，Ai)×P(Ai))/Σ(P(B，Ai)×P(Ai))。
二、数理统计公式：1.期望：随机变量X的期望E(X)=Σ(Xi×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
2. 方差：随机变量X的方差Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 ×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，E(X)为随机变量X的期望，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
3. 协方差：随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))，其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和Y的期望。
4. 相关系数：随机变量X和Y的相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X) × Var(Y))，其中Cov(X,Y)为随机变量X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别为随机变量X和Y的方差。
三、概率论与数理统计定理：1.大数定律：对于独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，它们的均值X̄=(X1+X2+...+Xn)/n，当n趋向于无穷大时，X̄趋向于X的期望E(X)。
概率论与数理统计02-13.3全概率公式与贝叶斯公式_22
全概率公式与贝叶斯公式
利用条件概率公式不全概率公式可得到贝叶斯公式.
3. 贝叶斯公式 设 B1, B2 ,, Bn 为完备事件组，则
已知结果A，分析导致 出现此结果的第i个原
P(Bi A)
PP(A(BBii)) P ( Bi )
A
,
k
n
1P(PA()Bk
)
P
(
A
Bk )
i 1, 2,, n
解：A”检查结果为阳性” B1“被检查者患有此病”，B2“被检查者没患此病” 显然，B1，B2为完备事件组.
典型例题分析
由题意知 P(B1) 0.005 P( A B1 ) 0.95
P(B2 ) 0.995 P(A B2 ) 0.01.
由贝叶斯公式可得
可知在查为阳 性的情况下， 确实患病的概 率并丌是很大！
解：A”顾客买下”, Bi ”买下的这箱中有i只残次品”, i =0,1,2. 显然，B0 ，B1，B2为完备事件组.
P(B0 ) 0.8, P(B1) 0.1, P(B2 ) 0.1; P( A B0) 1,
P(
A
Байду номын сангаас
B1)
C149
C
4 2
0
4, 5
P( A B2 ) CC142480
12 . 19
（1）由全概率公式
P(A)
2 i0
P(A
B )iP(B
)i
0.81
0.14 ＋0.1120.94 5 19
（2）由贝叶斯公式
P(B0
A) P( A B0 )P(B0) P( A)
0.8 0.94
0.85
4. 贝叶斯方法包含的重要思想
概率论与数理统计：1_6全概率与贝叶斯公式
C72 C125
C52 C120
ห้องสมุดไป่ตู้
C82 C125
C32 C120
C81C71 C125
C42 C120
?
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三、全概率公式应用
例2. 设袋中有12个乒乓球，9个新球，3个旧球．第一次比赛
取3球，比赛后放回；第二次比赛再任取3球，求第二次比赛
取得3个新球的概率．
解：Ai={第一次比赛恰取出i个新球}（i=0,1,2,3 )
由乘法公式得， P(B/Ω1)= P(Ω1B)/P(Ω1)= P(Ω1B)，
所以，P(B)= P(Ω1B)，其中 Ω1为Ｅ1的基本空间件。
而，Ω1B= (A1+A2+…+An)B= A1B+ A2B+…+ AnB，从而有
n
n
P(B) P(1B) P( AiB) P( Ai)P(B | Ai)
§１.6 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式引入 二、全概率公式推导 三、全概率公式应用 四、贝叶斯公式及其应用
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全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式问题引入
引例1. 设甲袋有8个白球7个红球，乙袋有5个白球3个红球，现从 甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2 个红球的概率。
…
故 BAi BAj =Φ（i≠j），
按概率的可加性及乘法公式有
n
B BA1 BA2 BAn BAi
n
n
i1 n
P(B) P( AiB) P( AiB) P( Ai)P(B | Ai)
i 1
i 1
概率论与数理统计课件 5全概率公式和贝叶斯公式
B3
i 1
P(原因) P(结果 | 原因)
A
Bn
Bn1
2019/3/19
概率论与数理统计
14
设Ai ={第i 个人抽到入场券}, i 1, 2, 3, 4, 5
则Ai ={第i 个人未抽到入场券}, i 1, 2, 3, 4, 5 求P(Bi ) ?
2 P( A1 ) 5
P( A2 )=P(A1 )P(A2|A1 ) P( A1 )P( A2|A1 )
A1 A2
2019/3/19
概率论与数理统计
16
说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个
复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件 的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终 结果.
B2
B1
A
B3
Bn1
Bn
2019/3/19
概率论与数理统计
17
例1 次品检验问题 箱中装有甲乙丙三个灯泡厂生产的同种型号的
2
S
P( A1 ) 5
A1
A1
PP((AA22)) =P(A2S) =P(A2 A1 A2 A1 )
A2
有限可加性
=P(A2 A1 ) P( A2 A1 )
乘法定理
==PP((AA11))PP((AA22||AA11)) PP((AA11))PP((AA22||AA11))
最简单的全概率公式
2019/3/19
= 1 0.1 1 0.2 1 0.3
2
4
4
=0.175
“执因求果”
2019/3/19
概率论与数理统计
19
已知这个灯泡是次品,现在追究是哪个厂的责任大
甲厂生产 原因: B1 “执果索因” P(Bi | A)
概率论与数理统计随机事件与概率全概率公式与贝叶斯公式
概率论与数理统计第1章随机事件与概率第5讲全概率公式与贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式，乘法公式以及条件概率的综合运用.全概率公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥.乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)>0.设甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量Ὅ例1分别占总数的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%，从这批产品中任取一件，求它是次品的概率.解分别表示产品由甲、乙、丙厂生产完备事件组全概率公式两两互斥B 表示产品为次品01 全概率公式02 贝叶斯公式本 讲 内容O F (x )x1)O f (xx称满足上述条件的A1,A2,…,A n为完备事件组.全概率公式设S为随机试验的样本空间，A1,A2,…,A n是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i =1,2,…,n, 则对任一事件B，有证明两两互不相容，得也两两互不相容；乘法公式B加法公式某一事件B 的发生有各种可能的原因(i =1,2,…,n )，如果B 是由原因A i 所引起，则B 发生的概率是：每一原因都可能导致B 发生，故B 发生的概率是各原因引起B 发生概率的总和，即全概率公式.P (BA i )=Ὅ 全概率公式的关键数学模型完备事件组P (A i )P (B |A i ).设某人有三个不同的电子邮件账户，有70%的邮Ὅ例2件进入账户1，另有20%的邮件进入账户2，其余10%的邮件进入账户3. 根据以往经验，三个账户垃圾邮件的比例分别为1%，2%, 5%，问某天随机收到的一封邮件为垃圾邮件的概率.解分别表示邮件来自账户1、2、3B表示邮件为垃圾邮件全概率公式完备事件组甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量分别占总数的25%, 35%, 40%，次品率分别为5%,4%,2%，随机地从中任取一件，发现是次品，问它来自哪个厂的可能性大？Ὅ例3解实际中还有另一类问题：已知结果求原因乙厂生产的可能性最大贝叶斯公式有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的Ὅ例4占 20%，二厂生产的占 70%，三厂生产的占10%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%, 1%, 3%, 问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?解对于这个问题，大家都有一个直观的认识，容易求出这一概率为若记A表示“产品为次品”，B1，B2，B3表示“产品分别来自一、二、三厂”，则上式可以表示为：其中B1，B2，B3正是样本空间的一个划分.01全概率公式02 贝叶斯公式本 讲 内容该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B 已发生的条件下，寻找导致B 发生的每个原因的概率.设A 1,A 2,…,A n 是完备事件组，则对任一事件B ，有贝叶斯公式贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.——后验概率在B 已经发生的前提下，再对导致 B 发生的原因的可能性大小重新加以修正.P ( A i ) ——先验概率它是由以往的经验得到的，是事件 B 的原因.（医学模型——稀有病症的诊断率问题）甲胎蛋Ὅ例5白（AFP）免疫检测法被普遍用于肝病的早期诊断和普查. 已知肝病患者经AFP检测呈阳性的概率为95%，而非肝病患者经AFP检测呈阳性（误诊）的概率为2%. 设人群中肝病的发病率为0.04%，现有一人经AFP检测呈阳性，求此人确实患肝病的概率.解记A={肝病患者}，{经"AFP" 检测呈阳性} ,B=由贝叶斯公式经AFP检测显阳性的人，真患有肝病的人不到2%. 可见，对于稀有病症，一次检测的结果不必过于担心.对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%.每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%.已知某日早上第一件产品是合格品时,试求机器调整良好的概率.Ὅ例6解A1=B=显然A1∪A2=“机器未调整良好”，“机器调整良好”，A2=“产品是合格品”，S，由题意，A1A2=∅由贝叶斯公式，有即机器调整良好的概率为97%.某机器由A、B、C三类元件构成，其所占比例分Ὅ例7别为0.1，0.4，0.5，且其发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2. 现机器发生了故障，问应从哪类元件开始检查？解设D表示“机器发生故障”，A表示“元件是A类”，B表示“元件是B类”，C表示“元件是C类”，由全概率公式由贝叶斯公式同理故应从C元件开始检查.第5讲 全概率公式与贝叶斯公式这一讲我们学习了两个重要的公式——全概率公式与贝叶斯公式.家需要牢记，并会熟练运用.在概率的计算中，经常用到这两个公式，大 知识点解读——全概率公式与贝叶斯公式学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。
概率论与数理统计1-5
例5 甲盒装有 1 个白球 2 个黑球 ,乙盒装有 3 个白
球 2 个黑球 ,丙盒装有 4 个白球 1 个黑球 . 采取掷一骰
子决定选盒 ,出现 1、 或 3 点选甲盒 , 4 、点选乙盒 , 2 5
6 点选丙盒 ,在选出的盒里随机摸出一个球 ,经过秘
密选盒摸球后 ,宣布摸得一个白球 ,求此球来自乙
B3
B1
A B4
B5
B6 B8
诸Bi是原因 A是结果
B2
B7
1.5.2 贝叶斯公式 再看一个例子: 某人从任一箱中任意摸 出一球，发现是红球,求该球 1红4白 是取自1号箱的概率. 或者问: 1 该球取自哪号箱的可能性 最大?
2
3
这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中 更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果 发生条件下，探求各原因发生可能性大小.
(i=1,2,...,n), 则
P( Bi | A) P( A | Bi ) P( Bi )
n
, i 1, 2,.n. (1 12)
j
P( A | B ) P( B )
j j 1
(1-12)式称为贝叶斯（Bayes）公式. 该公式于1763年由贝叶斯给出. 它是在观察到 事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因 的概率.Fra bibliotek一个发生.
定理1.5.1 设试验E的样本空间为Ω, A为E的事件,
B1,B2,...,Bn为Ω的一个划分, 且P(Bi)>0(i=1,2,...,n),
则
P ( A) P ( A | B1 ) P ( B1 ) P ( A | B2 ) P( B2 ) P ( A | Bn ) P ( Bn ) P( A | B j ) P( B j )
概率论与数理统计计算公式
概率论与数理统计计算公式概率论和数理统计是数学中的两个重要分支，广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。
在实际中，我们经常需要计算各种概率和统计量，因此理解和掌握概率论和数理统计中的计算公式是十分重要的。
接下来，我将给出概率论和数理统计中一些常用的计算公式。
一、概率计算公式：1.加法原理：如果A和B是两个事件，那么它们的和事件(A∪B)的概率可以由如下公式计算：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2.条件概率：如果A和B是两个事件，且P(A)>0，那么事件B在已知事件A发生的条件下发生的概率可以由如下公式计算：P(B，A)=P(A∩B)/P(A)3.全概率公式：如果{B1,B2,...,Bn}是一个对样本空间Ω的一个划分，那么对于任意事件A，我们有：P(A)=ΣP(A，Bi)P(Bi)，其中i取1到n。
4.贝叶斯公式：如果{B1,B2,...,Bn}是一个对样本空间Ω的一个划分，那么对于任意事件A和i取1到n，我们有：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/ΣP(A，Bj)P(Bj)，其中j取1到n。
5.乘法定理：如果A和B是两个事件，那么它们的交事件的概率可以由如下公式计算：P(A∩B)=P(A)P(B，A)=P(B)P(A，B)二、统计量计算公式：1.样本均值：对于由n个观测值组成的样本，样本的均值可以由如下公式计算：\(\bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i\)2.样本方差：对于由n个观测值组成的样本，样本的方差可以由如下公式计算：\(S^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{X})^2\) 3.标准差：样本的标准差是样本方差的平方根\(S = \sqrt{S^2}\)4.相关系数：对于两个随机变量X和Y，它们的相关系数可以由如下公式计算：\(\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\)5.协方差：样本的协方差可以由如下公式计算：\(Cov(X,Y) = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})\)以上只是概率论和数理统计中的一些常用计算公式，实际应用中还有很多其他的公式和方法。
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式以下是概率论与数理统计中常见的公式整理：1.基本概率公式：P(A) = n(A) / n(S)，其中A 为事件，n(A) 为事件A 发生的基数，n(S) 为样本空间的基数。
2.条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中A 和B 为两个事件，P(A∩B) 表示事件A 和事件B 同时发生的概率，P(B) 表示事件B 发生的概率。
3.全概率公式：P(A) = ΣP(A|Bi) * P(Bi)，其中Bi 为互不相交的事件，P(Bi) 表示事件Bi 发生的概率，P(A|Bi) 表示在事件Bi 发生的条件下，事件A 发生的概率。
4.贝叶斯公式：P(Bi|A) = P(A|Bi) * P(Bi) / ΣP(A|Bj) * P(Bj)，其中Bi 为互不相交的事件，P(Bi) 表示事件Bi 发生的概率，P(A|Bi) 表示在事件Bi 发生的条件下，事件A 发生的概率，P(A|Bj) 表示在事件Bj 发生的条件下，事件A 发生的概率。
5.随机变量的期望值：E(X) = Σxi * P(xi)，其中X 为随机变量，xi 为随机变量X 取的第i 个值，P(xi) 表示X 取xi 的概率。
6.随机变量的方差：Var(X) = E((X - E(X))^2)，其中X 为随机变量，E(X) 表示X 的期望值。
7.正态分布的概率密度函数：f(x) = (1 / (σ* √(2π))) * e^(-((x-μ)^2 / (2σ^2)))，其中μ为正态分布的均值，σ为正态分布的标准差。
8.标准正态分布的概率密度函数：f(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x^2 / 2)，其中x 为标准正态分布的随机变量。
9.两个随机变量的协方差：Cov(X,Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))，其中X 和Y 为两个随机变量，E(X) 和E(Y) 分别表示X 和Y 的期望值。
概率论与数理统计——1.4全概率公式与贝叶斯公式
8
易知
P(
B1
)
2 10
P(
B2
)
3 10
P(
B3
)
5 10
P( A|B1 )
C22 C62
1 15
P(A|B2 )
C32 C62
3 15
P( A|B3 )
一批产品中有次品数 0
1
2
3
4
概率
0.1 0.2 0.4 0.2
0.1
10
解 设事件Bi是一批产品中有i个次品（i=0,1,2,3， 4），设事件A是这批产品通过检查，即抽样检查
的10个产品都是合格品
则有 PA | B0 1
P(A | B1)
C10 99
C10 100
0.900
P(A
|
B2 )
C10 98
C10 100
0.809
P(A | B3)
C10 97
C10 100
0.727
P(A |
B4 )
C10 96
C10 100
0.652
4
所求的概率为 P(A) P(Bi )P(A | Bi ) 0.8142
i 1
11
例:有三个形状相同的箱子，在第一个箱中有两个 正品一个次品；在第二个箱中有三个正品一个次 品；在第三个箱中有两个正品两个次品. 现从任 何一个箱子中任取一件产品，求取得的是正品的 概率.
概率论与数理统计完整公式
概率论与数理统计完整公式概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机现象和随机变量之间的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。
在概率论与数理统计的学习中，有许多重要的公式需要掌握。
以下是概率论与数理统计的完整公式。
一、概率论公式：1.全概率公式：设A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分，则对任意事件B，有：P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)2.贝叶斯公式：对于样本空间S的一划分A1，A2，…，An，其中P(Ai)>0，i=1,2，…，n，并且B是S的任一事件，有：P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]3.事件的独立性：若对事件A，B有P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件A，B相互独立。
4.概率的乘法公式：对于独立事件A1，A2，…，An，有：P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)5.概率的加法公式：对事件A，B有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6.条件概率的计算：对事件A，B有：P(A，B)=P(AB)/P(B)7.古典概型的概率计算：设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p)，则其概率可表示为：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二、数理统计公式：1.样本均值的期望和方差：样本的均值X̄的期望和方差分别为： E(X̄) = μ，Var(X̄) = σ^2 / n，其中μ 为总体的均值，σ^2 为总体方差，n 为样本容量。
2.样本方差的期望：样本方差S^2的期望为：E(S^2)=σ^2，其中σ^2为总体方差。
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0 . 02 0 . 3 0 . 01 0 . 5 0 . 01 0 . 2 0 . 013 .
§3.2 贝叶斯公式
全概率公式：原因
结果 原因呢？
问题：结果
贝叶斯公式
3. 贝叶斯公式
定理 设试验 E 的样本空间为
贝叶斯资料
S . A 为 E 的事件 , B 1
B 2 , , B n 为 S 的一个划分 , 且 P ( A ) 0 , P ( B i ) 0 , ( i 1 , 2 , , n ), 则 P ( Bi A ) P ( A Bi ) P ( Bi )
生活中的贝叶斯公式
工厂车间次品的来源判断 体育比赛结果的推断 伊索语言故事 一小孩每天上山放羊，山里有狼，第一天，他喊： “狼来了”，山上的村民上山打狼，狼没来。第 二天仍是如此。第三天，狼真的来了，可无论小 孩怎么喊，没有村民救他。为什么？
分析：村民对小孩的可信度是如何下降的？
思考题：
P ( B1 ) 0 .3 , P ( B 2 ) 0 .5 , P ( B 3 ) 0 .2 ,
P ( A B1 ) 0 . 02 , P ( A B 2 ) 0 . 01 , P ( A B 3 ) 0 . 01 , 故 P ( A ) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B 2 ) P ( B 2 ) P ( A B 3 ) P ( B 3 )
设事件 A 为“任取一件为次品”,
事件 B i 为 “ 任取一件为 i 厂的产品 ” , i 1 , 2 , 3 .
B1 B 2 B 3 S ,
Bi B j , i , j 1, 2 , 3 .
30% 2%
1%
1% 20%
50%
S
由全概率公式得
P ( A ) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B 2 ) P ( B 2 ) P ( A B 3 ) P ( B 3 ).
按照以往考试结果分析，努力学习的学生有 90％考试及格；不努力学习的学生有90％考试 不及格。据调查，有90％的人是努力学习的。 问：（1）考试及格的学生中有多大是不努力 学习的？ （2）考试不及格的学生中有多大是努力学习的？
四、小结
1.条件概率 P ( B A)
P ( AB ) P ( A)
j 1
n
, i 1, 2,, n
则 称 B1 , B 2 , , B n 为 样 本 空 间 S 的 一 个 划 分 .
B2
B3
B1
B n 1 B n
样本空间划分的简单理解：
(i) (ii) 样 本 空 间 S 由 B1 , B 2 , , B n 组 成 ； 每 次 试 验 中 ， B1 , B 2 , , B n 有 且 只 有 一 个 发 生 。
§3.2 全概率公式
引例：有朋友从远方来，情形如下：
迟到概率1/4； 迟到概率1/3; 迟到概率1/12; 迟到概率0
乘火车概率3/10 乘船的概率1/5 乘汽车概率1/10 乘飞机概率2/5 问：朋友迟到的概率多大？
复杂问题
全概率公式
简单化
1. 样本空间的划分
定义 设 S 为 试 验 E的 样 本 空 间 , B1 , B 2 , , B n 为 (i) (ii) Bi B j , i j , i , j 1, 2, , n ; B1 B 2 B n S . E 的一组事件,若
n
, i 1, 2 , , n .
P ( A B j )P (B j )
j 1
称此为贝叶斯公式.
证明
P ( Bi A )
P ( Bi A ) P ( A)
P ( A Bi ) P ( Bi ) ,
i 1, 2 , , n .
P ( A B j )P (B j )
j 1
乘法公式
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
全概率公式
P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A Bn ) P ( Bn )
贝叶斯公式
P ( Bi A) P ( A Bi ) P ( Bi )
P( A B j )P(B j )
全概率公式
借助于韦恩图的理解
证明
A AS A ( B 1 B 2 B n ) AB 1 AB 2 AB n .
由 B i B j ( AB i )( AB j )
P ( A ) P ( AB 1 ) P ( AB 2 ) P ( AB n )
n
例1 对以往数据分析结果表
良好时 , 产品的合格率为 时 , 机器调整良好的概率为 早上第一件产品是合格 概率是多少 ?
明 , 当机器调整得
98 % , 而当机器发生某 95 % .试求已知某日
种故障时 , 其合格率为 55 % . 每天早上机器开动 品时 , 机器调整得良好的
解 设 A 为事件 “产品合格” ,
0 .98 0 .95 0 .98 0 . 95 0 .55 0 .05
0 . 97 .
即当生产出第一件产品 整良好的概率为 0 . 97 .
是合格品时 , 此时机器调
先验概率与后验概率 上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率. 而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做后验概率.
B 为事件 “机器调整良好” .
则有
P ( A B ) 0 . 98 , P ( A B ) 0 . 55 ,
P ( B ) 0 . 95 ,
P ( B ) 0 . 05 ,
由贝叶斯公式得所求概率为
P ( B A) P ( A B )P (B ) P ( A B )P (B ) P ( A B )P (B )
对照引例，给出样本空间的划分
2. 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件 , 的一个划分 , 且 P ( B i ) 0 ( i 1 , 2 , , n ), 则 P ( A ) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B 2 ) P ( B 2 ) P ( A Bn ) P ( Bn )
P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B 2 ) P ( B 2 ) P ( A B n ) P ( B n ).
图示
B2
B1
A
B3
B n 1
化整为零 各个击破
Bn
例6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂 生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生 产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别 为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件 是次品的概率是多少? 解